山東省濟(jì)南市鋼城區(qū)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期期末考試

初三數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前請考生務(wù)必在試卷的規(guī)定位置將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等內(nèi)容填寫準(zhǔn)確.

2.本試題分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間為120

分鐘.

3.選擇題每小題選出答案后，用25鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇

題用0.5/n/n黑色簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)區(qū)域，不能答在試卷上；解答題作圖需用黑

色簽字筆，不能用鉛筆.

4.考試結(jié)束后，由監(jiān)考教師把答題卡收回.

第I卷（選擇題40分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題選對得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)均

記零分，共40分）

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念：在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它

的對稱中心；據(jù)此判斷即可.

【詳解】A、不是軸對稱圖形是中心對稱圖形，故不符合題意；

B、是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故不符合題意；

C、是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，故符合題意；

D、不是軸對稱圖形是中心對稱圖形，故不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，明確軸對稱圖形和中心對稱的概念是解題的關(guān)

鍵.

7

2.要使分式.》+3有意義，'應(yīng)滿足的條件是（）

A.X>-3B.X<-3C.X=-3D.xH-3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查分式的知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件，則分母不為0,即可.

7

【詳解】???使分式x+3有意義，

X+3H0,

解得：KW-3.

故選：D.

3.對甲、乙、丙、丁四名射擊選手選行射擊測試，每人射擊io次，平均成績均為95環(huán)，方差如表所

示：則四名選手中成績最穩(wěn)定的是（）

選手甲乙丙T

方差1.34016256021

A.甲B.乙C.兩D.丁

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)方差越小，越穩(wěn)定判斷即可.本題考查了方差的意義，解題關(guān)鍵是明確方差越小，波動越

小.

【詳解】解：因?yàn)橐业姆讲钭钚?，所以乙的成績最穩(wěn)定；

故選：B.

4.如圖，圖1是我國古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征著堅(jiān)冰出現(xiàn)裂紋并開始消溶，形狀無一

定規(guī)則，代表一種自然和諧美.圖2是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形，則

N1+N2+/3+/4+/5的度數(shù)是（）

D.720°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了多邊形外角和，熟練掌握多邊形的外角和等于360度是解題的關(guān)鍵.根據(jù)多邊形的外

角和等于360度，即可求解.

【詳解】解：由多邊形的外角和等于360度，可得Nl+N2+N3+N4+N5=360°.

故選：B.

24

-----+-5----

5.計(jì)算x+11‘-1的結(jié)果是()

A.x+lB.x+lC.T-lD.A--l

【答案】c

【解析】

【分析】本題主要考查了異分母分式加法計(jì)算，先把兩個(gè)分式通分，再把分子去括號，合并同類項(xiàng)，最后

約分即可得到答案.

24

------1"—;----

【詳解】解：x+1X--1

2(x-l)4

=----------------+----------------

(x+l)(i-l)

2x-2+4

(x+l)(x-l)

2x+2

(x+l)(x-l)

2(x+l)

=(x+l)(x-l)

故選c.

6.下列各選項(xiàng)中，因式分解正確的是()

Aa~+6'=(a+byBa'-4=(x-2>

2

c,加？-4加+4=(加一D-2y+=-+3)

【答案】c

【解析】

【分析】分別對各式因式分解得到結(jié)果，即可作出判斷.

【詳解】解：A、原式不能分解，不符合題意；

B、原式=(x+2)(x-2),不符合題意；

C、原式=(m-2)2,符合題意；

D、原式=-2y(y-3),不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解.熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

7.《九章算術(shù)》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)

定時(shí)間多一天，如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求規(guī)定時(shí)

間.設(shè)規(guī)定時(shí)間為1天，則可列方程為（）

900.900c900900

------=jx-------2x------=-------

A.x+1x-3B.x+1x-3

c900900900、900

c.A--lx+3D..x+1x+3

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系列方程即

可.

【詳解】解：設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則快馬所需的時(shí)間為天，慢馬所需的時(shí)間為（x+1）天，

c>x_9_0_0=_9_0_0_

根據(jù)題意可得：~.V4-1A-3,

故選：B.

8.如圖，在d超。中，AB=BC=10,3。平分/23c交幺C于點(diǎn)。，點(diǎn)尸在3c上，且EF=4,

連接￡為的中點(diǎn)，連接DE,則DE的長為（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得到加=DC，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算得到答案.

【詳解】解：BF=4,

尸。=8。-即=10-4=6,

■：AB=BC,BD平分/相

：,AD=DC,

:AE=EF,

：.DE是a"。的中位線，

;.D￡.l/V-lx6-3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解

題的關(guān)鍵.

9.已知在平面直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)：B[3,1）、0（1，-2）.在平面內(nèi)確定點(diǎn)。，使得以

4、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)不可能是（）

A.（15）B.（-3，T）c.（’-3）D.（6T）

【答案】D

【解析】

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，分類討論①當(dāng)AB,CD為對角線時(shí)，②當(dāng)AC,8。為對角線時(shí)和③當(dāng)

BC,為對角線時(shí)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)畫出圖形即得出答案.

【詳解】①當(dāng)AB，C。為對角線時(shí)，如圖，此時(shí)四邊形'CRD：為平行四邊形，

...AC=BD]

：0門.一?向上平移4個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位得到山―1,1，

；.B134I向上平移4個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位得到；

②當(dāng)AC,8。為對角線時(shí)，如圖，此時(shí)四邊形為平行四邊形，

.AB=D2C

向上平移1個(gè)單位，向左平移4個(gè)單位得到"（一1'』,

.1.Cll，-2：l向上平移1個(gè)單位，向左平移4個(gè)單位得到2（一工一1）.

③當(dāng)BC,AD為對角線時(shí)，如圖，此時(shí)四邊形幺8°。3為平行四邊形，

.AB=DC3

V'L0向下平移1個(gè)單位，向右平移4個(gè)單位得到夕（3,11

口1一?向下平移1個(gè)單位，向右平移4個(gè)單位得到031、-A）.

綜上可知點(diǎn)D的坐標(biāo)可能是（I；）或（一N一1）或（5,一3i,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形.利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵.

10.如圖，原點(diǎn)。為的對稱中心，軸，與y軸交于點(diǎn)日°」），4?與無軸交于

F-1,0

I2J,=.若將ZUOE繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束

時(shí)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)()

A(LT)B(T,l)cD(3。)

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了圖形與坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，周期型規(guī)律問題，

連接°C,設(shè)CD與F軸交于點(diǎn)G,3c與:V軸交于點(diǎn)利用中心對稱的性質(zhì)確定。尸、OH、FH的

長度，利用平行四邊形的判定及性質(zhì)可以得到幺3=切，再根據(jù)=確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)的

周期性確定乙4。后繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)與位置重合，即可得到點(diǎn)A的對

應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).能準(zhǔn)確確定點(diǎn)A的坐標(biāo)及在第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)”。月所在的位置是解決本題的關(guān)鍵.

【詳解】連接。C,設(shè)與F軸交于點(diǎn)G,3。與x軸交于點(diǎn)

V原點(diǎn)0為CABCD的對稱中心,

?..點(diǎn)月與點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)。對稱，

OF=OH=3一

/.2,FH=D,

v四邊形四斤H是平行四邊形,

：.AB=FH=3,

又?:班=2醞點(diǎn)E(OJ)

AE=-AB=\

：.3,

即點(diǎn)月（T1），點(diǎn)C（LT）

???△20E繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°,

???360。+90°=4，

2024^4=506,

即繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)與△SON位置重合，

/.點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（一L1）.

故選：B.

第II卷（非選擇題110分）

二、填空題（本大題共6小題，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分，共24分）

11.分解因式：4~X2=.

【答案】

【解析】

【詳解】解：直接應(yīng)用平方差公式即可：4-X*=（"XM2-X）.

故答案為：c+x）e-x）.

a_3_】a-b

12.已知?2,則分式。+6的值等于.

4

【答案】5

【解析】

3

【分析】根據(jù)8-2,設(shè)°=%力=條，代入分式求值即可.

a_3

【詳解】解：蒞2,設(shè)。=3無力="的。0）,

2a-b_2x3k-2k_4左_4

/.a+b3k+2k5k5；

4

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查分式求值.熟練掌握設(shè)上法，是解題的關(guān)鍵.

13.為了了解某小區(qū)居民的用水情況，隨機(jī)抽查了該小區(qū)10戶家庭的月用水量，結(jié)果如下：

月用水量⑺1013141718

戶數(shù)23221

則這10戶家庭月用水量的眾數(shù)是；中位數(shù)是

【答案】①.13@.13.5

【解析】

【分析】本題考查眾數(shù)，中位數(shù)，根據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的叫眾數(shù)，坐中間的叫中位數(shù)求解即可得到答案；

【詳解】解：由表可得，

13出現(xiàn)3次，出現(xiàn)的最多，

故答空1答案為：13,

?「+3=5,2+3+2=7>6,

...第5第6個(gè)數(shù)據(jù)是13和14,

生％3,5

二中位數(shù)是：2,

故答空2答案為：13.5.

x-1_m-4

14.若關(guān)于尤的方程有X-3-X-3增根，則m的值為.

【答案】6

【解析】

【分析】本題主要考查解分式方程以及分式方程的增根，掌握分式方程的增根是解題的關(guān)鍵.先解分式方

程，再根據(jù)增根的定義即可得到答案.

【詳解】解：兩邊同時(shí)乘以1一3,得

x-1_m-A

由于關(guān)于尤的方程有二--v-3增根，

則》-3=0,解得x=3,

故將x=3代入.1-1=m一4,

得加?6.

故答案為：6.

15.如圖，在RtZk/HC中，ZC=90°,ZABC-3Q0,AB-1Q,將沿US方向向右平移得到

GEF.若四邊形/出如的面積為15,則平移距離為.

AD

BE

【答案】3

【解析】

【分析】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)、也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).先

根據(jù)含30度的直角三角形得到再根據(jù)平移的性質(zhì)得4)=3E,ADnBE,于是可判斷四邊形

/助為平行四邊形，則根據(jù)平行四邊形的面積公式得到BE的方程，則可計(jì)算出3E=3,即得平移距

離.

【詳解】解：在RtZkABC中，ZC=90°,Z4BC=30°,^45=10,

AC=-AB=5

2,

-：SC沿向右平移得到GEF,

AD=BE,ADUBE,

四邊形4BEZ)為平行四邊形，

1/四邊形23ED的面積等于15,

：.ACBE=\5,

即53耳=15,

:.BE=3,

即平移距離等于3.

故答案為：3.

16.如圖，中，對角線4c與3。相交于點(diǎn)F,ACJ.BD,且NC=8,3。=8后，若點(diǎn)P是

對角線3。上一動點(diǎn)，連接⑷\將心繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使至得NP4E=NBAD,連接PE,取

加的中點(diǎn)。，連接。豆，則在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段。后的最小值為.

【答案】2

【解析】

【分析】連接如，由菱形的性質(zhì)及月C=8，BD=8后,得出至'=4DF=4后,AC1BD,

BA=DA,由勾股定理求出4D=8,進(jìn)而得出乙4。3=乙超。=30°,證明血P2A得出

^ADE=3Q°,進(jìn)而得出當(dāng)OE,QE時(shí)，。豆的值最小，求出此時(shí)。豆的長度即可.本題考查了菱形的

性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出全等的三角形，證明乙”)3=30°是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接班，

四邊形HBCQ是平行四邊形，且AC工BD

，四邊形上38是菱形，

■.■AC=3.BD=8后,

AF=4,DF=4忑,AC1BD,BA=DA,

...AD=ylAF2+DF2=V16+48=8,

.?.ZADB=ZABD=30。,

v將四繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得/PAE=ABAD,

.-.AP=AE,

,-.ABAP=ADAE,

在△&4P和AOAE1中，

rBA=DA

<ABAP=ADAE

LPA=EA，

BAPADAE（SAt）,

:.AADE=AABP=30°,

/.DE是滿足NAD3=30°的線段，

當(dāng)。⑤_LOE時(shí)，0后的值最小，

:。是4?的中點(diǎn)，

OD=-AD=-x8=4

..—-

OE=-OD=-^A=2

???1c1。J

???在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段。豆的最小值為2,

故答案為：2

三、解答題（本大題共10小題，共86分，解答要寫出必要的文字說明、證明過程或推演步

驟）

17.因式分解：

⑴

（2）<v-6.n-+9r.

【答案】⑴（>+3—

⑵丁5-3『

【解析】

【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

（1）利用平方差公式分解因式即可；

（2）先提取公因式丁，再利用完全平方公式分解因式即可.

【小問1詳解】

解：1一9艮

=（A+3rMx-31"）

【小問2詳解】

解：.凸」6y+91

=》（尸-6x+9）

=y（j-3）a

12_2_1

18.解分式方程：儲一9x-3x+3.

【答案】無解

【解析】

【分析】根據(jù)分式方程的解法即可求出答案.

【詳解】解：去分母得：12~2（"3）=1,

去括號得：12-2r-6=x-3,

移項(xiàng)合并得：3X=9,

系數(shù)化成1得：x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=3是增根，

,原分式方程無解.

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

T-J

19.先化簡，再求值：V-VA-2.T+1,其中X=1.

X-l1

【答案】x+1,3

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的

_X-1

值.先把括號內(nèi)通分，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，接著約分得到原式一初\然后把X的值代入計(jì)算

即可.

x（X-1）2

A-lX（X+1）

x-1

X+1,

_2-l_1

當(dāng)x=?時(shí)，原式-2+l-3.

20.“五一”假期很多人都喜歡外出旅游，面對各大媒體報(bào)道出的各景區(qū)游客火爆的現(xiàn)象，學(xué)校人文社團(tuán)

對30個(gè)地區(qū)“五一”假期的出游人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，獲得了它們“五一”假期出游人數(shù)（出游人數(shù)用機(jī)表

示，單位：百萬）的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理.數(shù)據(jù)分成5組：

A組：2組：c組：23sm<34；。組：34<m<45；E組：454加<56

下面給出了部分信息：

a.2組的數(shù)據(jù)：12,13,15,16,17,17,18,20.

b.不完整的“五一”假期出游人數(shù)的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：

（1）統(tǒng)計(jì)圖中E組對應(yīng)扇形百分比為期，加=—;

（2）請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）這30個(gè)地區(qū)“五一”假期出游人數(shù)的中位數(shù)是一百萬;

（4）各組“五一”假期的平均出游人數(shù)如下表：

A：B：c：D：E：

組另U

l<m<1212<m<2323<m<3434<m<4545<m<56

平均出

游人數(shù)

16325

（百5.54250

萬）

求這30個(gè)地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù).

【答案】⑴10；

（2）見解析；（3）15.5；

（4）這30個(gè)地區(qū)五一平均出游人數(shù)是二0百萬；

【解析】

【分析】（1）本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖綜合求數(shù)據(jù)，根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的頻數(shù)除以樣本容量求

解即可得到答案；

（2）本題考查補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)樣本容量結(jié)合條形統(tǒng)計(jì)圖求出相應(yīng)的頻數(shù)即可得到答案;

（3）本題考查求中位數(shù)，根據(jù)表格找到最中間的數(shù)求平均數(shù)即可得到答案;

（4）本題考查根據(jù)樣本情況估算總體情況，利用各個(gè)數(shù)據(jù)乘以占比求解即可得到答案;

【小問1詳解】

解：由圖像可得,

E的占比為:E%=3-30x100%=10%,

.?."=10,

故答案為：1。；

【小問2詳解】

解：由題意可得,

v12<15,12+8>16,

.?.第15、16個(gè)在8組中，分別是15、16,

1^1￡=15.5

中位數(shù)為：2

故答案15.5；

【小問4詳解】

解：由題意可得,

（5.5x12+16x8+325x4+42x3+50x3）*30=20（百萬），

答：這30個(gè)地區(qū)五一平均出游人數(shù)是20百萬.

21.已知：如圖，點(diǎn)。為G23CQ對角線4c的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線與山，分別相交于點(diǎn)E,

求證：DE■BF.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出愈=8。，3BC,進(jìn)而得出NEA。=一尸00,

Z0EA=N0FC,再證明一HOEgAC。尸，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出HE=CF,再利用線段的差

^AD-AE=BC-CF,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：?..四邊形是平行四邊形，

:.AD=BC,AD//BC,

.\AEAO=々FCO,ZOEA=￡OFC,

???點(diǎn)。為對角線幺C的中點(diǎn)，

：.AO=CO,

：-AOE^-COF,

,-.AE=CF,

：.AD-AE=BC-CF,

:.DE=BF.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

22.在邊長為1個(gè)單位長度化小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系"C是格點(diǎn)三角

形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上）；

（1）作出?45。關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱的一4用01,并寫出一48cl三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)4（）,B1

（）,C（）；

（2）把一44G向上平移4個(gè)單位長度得到△4BC,畫出

（3）△4目《與成中心對稱，請直接寫出對稱中心的坐標(biāo)（）.

【答案】⑴作圖見解析；3,0；5,-3.1.-1

（2）見解析（3）（°二1

【解析】

【分析】此題考查中心對稱圖形的畫法，平移圖形的畫法，中心對稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，對稱中心的確

定方法，正確掌握中心對稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)作出點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)4,瓦,。,然后順次連接即可；

（2）根據(jù)平移特點(diǎn)先作出點(diǎn)4,c平移后的對應(yīng)點(diǎn)%,G,然后順次連接即可；

（3）連接兩組對稱點(diǎn)的交點(diǎn)即為對稱中心，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出此點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【小問1詳解】

解：如圖，一4%。1為所求作的三角形；

根據(jù)圖可知，4（3，°）,且（5,-3）G（L-l）.

故答案為：*；5,-3；1,-1.

【小問2詳解】

解：如圖，△444為所求作的三角形；

【小問3詳解】

解：連接班、則叫、CC2的交點(diǎn)即為對稱中心,

..5(-5.3)區(qū)(5,1)

，對稱中心的坐標(biāo)為（芋巧

即對稱中心的坐標(biāo)為1°二1

故答案為：二）.

1—L--J—'—1$—」—*—?—」—」

23.“元旦”期間，某電商想購進(jìn)A、R兩種商品出售，已知每件B種商品的進(jìn)價(jià)比每件A種商品的進(jìn)價(jià)

少5元，且用400元購進(jìn)A種商品的數(shù)量是用100元購進(jìn)B種商品數(shù)量的2倍.

（1）求每件A種商品和每件B種商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）商店決定購進(jìn)A、B兩種商品共80件，A種商品加價(jià)5元出售，B種商品比進(jìn)價(jià)提高20%后出

售，要使所有商品全部出售后利潤不少于200元，求A種商品至少購進(jìn)多少件？

【答案】（1）每件A商品的進(jìn)價(jià)為10元，每件A商品的進(jìn)價(jià)為5元

（2）A種商品至少購進(jìn)30件

【解析】

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)

鍵.

（1）設(shè)每件A商品的進(jìn)價(jià)為1元，則每件R商品的進(jìn)價(jià)為（1—5）元，根據(jù)題意列出方程并求解，之后檢

驗(yàn)，即可獲得答案；

（2）設(shè)購進(jìn)A商品。件，則購進(jìn)E商品（8°-a）件，根據(jù)題意列出一元一次不等式并求解，即可獲得答

案.

【小問1詳解】

解：設(shè)每件A商品的進(jìn)價(jià)為1元，則每件F商品的進(jìn)價(jià)為（*-5）元，

400、100

----二1X-----

根據(jù)題意，得xx-5,

解這個(gè)方程，得》=10,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原分式方程的解，且符合題意，

則1-5=5,

答：每件A商品抽進(jìn)價(jià)為10元，每件R商品的進(jìn)價(jià)為5元；

【小問2詳解】

解：設(shè)購進(jìn)A商品。件，則購進(jìn)P商品一°）件，

由題意，可得5a+5x20%（80-a）之200,

解得a230,

答：A種商品至少購進(jìn)30件.

24.閱讀材料：教科書中提到。2+二匕》+6:和-2必+從這樣的式子叫做完全平方式.有些多項(xiàng)式不是

完全平方式，我們可以通過添加項(xiàng)，湊成完全平方式，再減去這個(gè)添加項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這樣也

可以將多項(xiàng)式進(jìn)行分解，并解決一些最值問題.

例如：(1)分解因式：產(chǎn)一？工一3

x2-2x-3

=.r1-21+1-1-3

=(x—I)3—4

=(A--1)J-23

=(x-l+2)(x-l-2)

=(x+l)(x-3)

(2)求代數(shù)式/一2》一3的最小值.

*2-2x-3=--2x+l-4=-4

(x-1)3>0,

/.當(dāng)A=1時(shí)，代數(shù)式v:-2.V-3有最小值-4.

結(jié)合以上材料解決下面的問題：

(1)若二次三項(xiàng)式產(chǎn)一七+9恰好是完全平方式，/的值是_；

(2)分解因式：好-8.T+15；

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，『-ST+15有最小值？最小值是多少？

【答案】(1)6或-6

⑵(x-3)(x-5)

(3)x?4時(shí),最小值-1

【解析】

【分析】本題考查完全平方式、因式分解：

(1)利用完全平方式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)求解；

(2)仿照材料中方法進(jìn)行因式分解；

(3)仿照材料中方法將/?以+15變形為即可求解.

【小問1詳解】

解：/-匕+9=尸-右+3,恰好是完全平方式，

^=±2x1x3=+6,

即左的值是6或一6；

【小問2詳解】

X3-8x4-15

=.r3-8.x+16-16+15

=(x—4f-1

=(x-4+l)(x-4-1)

=(x-3)(x-5)

【小問3詳解】

解：F-8x+15

=x3-8x+16-16+15

=(x-4-1

,.,(x-4)3>0

，當(dāng)x=4時(shí)，代數(shù)式/-Si+15有最小值-1.

25.綜合與實(shí)踐

問題背景：幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們對土地面積測量的需要，可以說幾何學(xué)從一開始便與面積結(jié)下了不解

之緣.我們已經(jīng)掌握了平行四邊形面積的求法，但是一般四邊形的面積往往不易求得，那么我們能否將其

轉(zhuǎn)化為平行四邊形來求呢？

問題解決：下面是兩位同學(xué)的轉(zhuǎn)化方法：

方法1：如圖1,連接四邊形/步②的對角線HC,BD,分別過四邊形」鉆CZ）的四個(gè)頂點(diǎn)作對角線的

平行線，所作四條線相交形成四邊形易證四邊形E尸GH是平行四邊形.

圖1圖2

（1）請直接寫出用和‘之間的數(shù)量關(guān)系：—.

方法2：如圖2,取四邊形就CQ四邊的中點(diǎn)E,F,G,H,連接￡/，F(xiàn)G,GH,HE,

（2）請直接寫出6-助⑺與S'〉之間數(shù)量的關(guān)系：—.

（3）求證：四邊形E尸GH是平行四邊形；

實(shí)踐應(yīng)用：

如圖3,某村有一個(gè)四邊形池塘，它的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D處均有一棵大樹，村里準(zhǔn)備開挖池塘建魚

塘，想使池塘的面積擴(kuò)大一倍，又想保持大樹不動，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形的形狀.

（4）請問能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想?若能，請你畫出你設(shè)計(jì)的圖形；若不能，請說明理由.

(5)己知，在四邊形池塘/ROD中，對角線AC與8。交于點(diǎn)O.AC=8cm,BD=6cm,

4°8=60°,則求四邊形池塘538的面積.

SnuthHjS9fnuV_今V

【答案】⑴*2；⑵見解析；(3)Q…成廠~”門加；⑷能，畫圖見

解析；

=~^^SFGH~12也

\37—,?

【解析】

【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理.

(1)根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形四3°,四邊形B&*。，四邊形CGDO,四邊形0H40都是平

行四邊形，結(jié)合平行四邊形的對角線分得兩個(gè)面積相等的三角形求解即可得到答案；

(2)根據(jù)中位線得到平行且等于底邊一半，得到平行四邊形，結(jié)合平行四邊形判定即可得到答案；

(3)根據(jù)中位線得到平行且等于底邊一半，得到平行四邊形，結(jié)合平行四邊形判定即可得到答案；

(4)本題考查作平行線，根據(jù)題目要求構(gòu)造平行線即可得到答案；

(5)本題考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，過H作HM上EF于點(diǎn)、M,結(jié)合勾股定理求出印M,結(jié)

合面積公式求解即可得到答案；

5|||<hIAX'D=*rjrsu

【詳解】解：⑴’3?如，理由如下，

..EF\\AC\\HDtEH\\BD\\FGf

.?.四邊形絲80,四邊形Bmo,四邊形CGDO,四邊形QHAO都是平行四邊形，

,J.ASO~j'XXBOS".e。=大,叫心ADO~li"DMOMCO~aTC'O

?t?―，1，—，—

<-lc

QiL,-彳R1PGH

故答案為：九’3=5%皿

(2)證明：H分別為/L8,加中點(diǎn)

:.EHkBD.

,:F,G分別為BC,C。中點(diǎn)

FO=-BD

：.EH//BD,2,

;.EH//FG,EH=FG,

...四邊形EFG”為平行四邊形,

(3)由題意得IrWD=;門型；

(4)能，如圖所示，連接對角線ac,3。交于點(diǎn)0,

過點(diǎn)。作4(7的平行線，過點(diǎn)B作/C的平行線

過點(diǎn)A作BD的平行線，過點(diǎn)c作BD的平行線

四邊形EHGR即為所求,

(5)過H作HM工EF于點(diǎn)M,

??408=60。

.-.ZAEM=60°,^EHM-30°,

AC=8cm,BD=6cm,

.?.EM=3,EH=6,EF=S,

...HM=JHE^EM1='忑,

EFHM=2471

mrABCD~~12小

26.問題情景：老師讓同學(xué)們以“兩個(gè)大小不等的等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)重合，并讓一個(gè)三角板固

定，另一個(gè)繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動.如圖1,4姐C和5都是等腰直角三角形，

NC=90°,點(diǎn)nE分別在邊3CAC±,連接4?,點(diǎn)M，P,N分別為DE,AD,43的中

點(diǎn).試判斷線段PM與尸”的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

問題探究：

（1）甲小組發(fā)現(xiàn)：圖1中，線段尸M與兩的數(shù)量關(guān)