廣東省珠海市2025屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省珠海市2025屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知全集。={x|x>0},集合A={x|lVx<2},則即A=()

A.(-OO,1]U[2,-H?)B.(O,1)U[2,-H?)

C.(F,1)U(2,+<?)D.(0,l)o(2,+?)

2.復(fù)數(shù)z=f(i為虛數(shù)單位)，z的共輾復(fù)數(shù)為()

-3+1

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

3.在△ABC中，。是上一點(diǎn)，滿足50=3。。，"是AO的中點(diǎn)，若=+

則4+〃=()

575

A.-B.1C.-D.-

488

4.已知點(diǎn)A(—L。)，8(0,3),點(diǎn)尸是圓(X-3)2+V=I上任意一點(diǎn)，貝?！骺偯娣e的最小值

為()

A.6B.—C,-D.6--

222

5.一個(gè)內(nèi)角為30。的直角三角形，分別以該三角形的斜邊、兩條直角邊所在直線為軸，其

余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成3個(gè)幾何體.這3個(gè)幾何體的體積從小到大之比為()

A.1：>/3:2B.1:3:4C.g:2:2陋D.出:2:遍

2'+〃,xW0,

6.已知函數(shù)〃x)=[08]"+1)+“,》＞0,(℃均在區(qū)上沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

、2

()

A.(y,-l)u｛。｝B.(一8,-1)C.(-1,+co)D.(0,+8)

7.aifcf(X)=273sin2(?x)+sin^(?x+,其中。＞0,其最小正周期為兀，則下列說(shuō)法

錯(cuò)誤的是()

A.(D=\

B.函數(shù)〃x）圖象關(guān)于點(diǎn)信呵對(duì)稱

c.函數(shù)/'（X）圖象向右移0（°>0）個(gè)單位后，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則。的最小值為1

7T

D.若xe0,-,則函數(shù)的最大值為6+1

8.若不等式法+1We-'-依2對(duì)一切xeR恒成立，其中a/eR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a+b

的取值范圍是（）

A.B.(-℃>,-1)C.(-oo,l]D.(f2)

二、多選題

9.設(shè)A,9為隨機(jī)事件,且尸（A）,尸⑻是A,9發(fā)生的概率.P（A）,P（B）e（0,l）,則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.若A,B互斥,則尸（AU8）=尸（4）+尸（3）

B.若尸（AB）=尸（A）P（B）,則A,8相互獨(dú)立

C.若A,8互斥，則A,B相互獨(dú)立

'尸（A⑻P（B|A）^P（B|A）P（A|B）4

10.設(shè)〃力=X3-3無(wú)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)y=的圖象與圓V+y2=i有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)

B.存在無(wú)數(shù)個(gè)等腰三角形A8O,其三個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=/（x）的圖象上

C.存在無(wú)數(shù)個(gè)菱形ABCQ,其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)>=/（尤）的圖象上

D.存在唯一的正方形ABCD其四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)y=f（x）的圖象上

11.中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對(duì)稱精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，

中國(guó)結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐

標(biāo)系x0y中，到兩定點(diǎn)耳乙（。,0）距離之積為常數(shù)/的點(diǎn)的軌跡C是雙紐線.若

“（3,0）是曲線C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))

C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過(guò)3

D.曲線C上有且僅有3個(gè)點(diǎn)尸滿足歸用=怛閭

三、填空題

12.直線'=e與曲線C：y=；rlnx相切，則。=.

13.已知點(diǎn)P在雙曲線C:二-工=1上，R,F,分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若APF、F,

6436

的面積為45,則忸用+忸用=.

14.甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成績(jī)?yōu)?/p>

72分，方差為90分2；乙班的平均成績(jī)?yōu)?0分，方差為60分2.那么甲、乙兩班全部90

名學(xué)生的平均成績(jī)是分，方差是分2.

四、解答題

15.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c其中方=(a/),n=lcosB,|sinA

S.m-n=c■

(1)求sinA的值；

(2)若VABC的外接圓半徑為5,求VABC面積的最大值.

16.如圖，三棱柱A2C-A瓦G中，側(cè)面AB4A，底面A3C，AB=AAi=AC=2,

BC=2?,NAB4=60。，點(diǎn)。是棱A4的中點(diǎn).

B

(1)證明：AD，BC；

(2)求面ABC與面\BC夾角的正切值.

22

17.已知橢圓。:斗+與=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為%F2,且寓局=40，點(diǎn)

ab

手］在橢圓C上，直線/:y=^+f.

(1)若直線/與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍；

⑵當(dāng)f=2時(shí)，記直線/與x軸，y軸分別交于A,8兩點(diǎn)，P,。為橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，求四邊

形融。8面積的最大值.

18.設(shè)函數(shù)〃x)=ln［x+J,A-G(O,1).

⑴試判斷了'(X)的單調(diào)性；

(2)證明：對(duì)任一有/(x)2-(%)(x—%)+/(%),當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí)等號(hào)成立.

19.對(duì)于數(shù)列｛廝｝,若存在常數(shù)T,?0(T,n0eN*),使得對(duì)任意的正整數(shù)wN%,恒有an+T=an

成立，則稱數(shù)列｛an｝是從第"。項(xiàng)起的周期為T的周期數(shù)列.當(dāng)』=1時(shí)，稱數(shù)列｛即｝為純周

期數(shù)列；當(dāng)%22時(shí)，稱數(shù)列｛即｝為混周期數(shù)列.記［劃為不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)各項(xiàng)均為

?，?！睘榕紨?shù)

正整數(shù)的數(shù)列｛an｝滿足：。用=2.

上+2［幅布，?！盀槠鏀?shù)

、2

(1)若對(duì)任意正整數(shù)〃都有%wl,請(qǐng)寫出三個(gè)滿足條件的％的值；

(2)若數(shù)列｛5｝是純周期數(shù)列，請(qǐng)寫出滿足條件的q的表達(dá)式，并說(shuō)明理由；

⑶證明：不論q為何值，總存在狐〃eN*使得。

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BBCDCADAABDABC

題號(hào)11

答案AC

1.B

【分析】由條件，結(jié)合補(bǔ)集的運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】因?yàn)閧,>。},A={x[l<x<2},

所以取1=(0,1)U[2,田),

故選：B.

2.B

【分析】先將該復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式，再寫出共輾復(fù)數(shù)即可.

1010(—3—i)10(-3-i)

【詳解】z=-^=IJ:一=_3T所以z的共軌復(fù)數(shù)為-3+i.

-3+1(一3+1)(-3—1)9-1

故選:B

3.C

【分析】利用平面向量線性運(yùn)算相關(guān)計(jì)算方式計(jì)算即可.

【詳解】由題可知，AM=-AD^2BM-2BA=BD-BA^BM=-BA+-BI),

222

BD=SDC=3(BC-BD^^>Bi5=^BC,

____.i______1___i__.3___?i37

所以有的=展麗+彳麗k=展麗+^而，所以a=7,〃=g,得幾+〃=g.

222X2oo

故選：C

4.D

【分析】求出直線A8的方程，利用點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)求出點(diǎn)P到直線A3距

離的最小值即可求得最小值.

【詳解】?jī)牲c(diǎn)A(-LO),B(0,3),則|AB|="(-1)2+3?=如，直線AB方程為y=3x+3,

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

圓(x-3『+y2=：^/4C(3,0),半徑廠=1,

——126710

點(diǎn)C到直線AB:3x-y+3=0的距離d=/,

V3+(-D5

因此點(diǎn)P到直線AB距離的最小值為d-r=巫-1，

5

所以面積的最小值是LjiUx(迦-1)=6-叵.

252

故選：D

5.C

【分析】設(shè)該直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為1,石,2,求出三角形斜邊上的高，再根據(jù)圓錐的

體積公式即可求解.

【詳解】設(shè)該直角三角形的三條邊長(zhǎng)分別為1,下,2,

設(shè)三角形斜邊上的高為〃，

則S=1_x2J7=[*><lxJ^=,

222

2

由題意設(shè)該3個(gè)幾何體的體積為匕,匕,匕，

則匕=--7T-A/3=7T,

133

V2xl=7t,

?.?匕<匕<匕，

所以這3個(gè)幾何體的體積從小到大之比為與gn”=62:2技

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

故選：c.

6.A

2',x<0

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)=log](尤+l),x>0與函數(shù)y=—。的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，利用數(shù)

形結(jié)合法求解.

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)與函數(shù)y=-a的圖象沒(méi)有交點(diǎn),

所以一。=0或一Q>1,

解得a=0或a<-1,

故選：A.

7.D

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式可求①判斷A,驗(yàn)證是否為

函數(shù)/(X)的對(duì)稱中心判斷B,結(jié)合函數(shù)圖象平移變換結(jié)論判斷C,結(jié)合不等式性質(zhì)及正弦

函數(shù)性質(zhì)判斷D.

【詳解】由已知

=g(1-cos+sin2coxcosg+cos2coxsing,

/(x)=2A/3sin2(ox)+sin|2?x+—

I3

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

所以/（A:）=--sin2cox---cos2<z>x+^3=-sin^2a）x+^j-+-y/3,

又口〉0,所以函數(shù)〃x）的最小正周期為m

2兀

由已知——=71,所以G=1,A正確；

2a）

所以/（x）=-sin（2x+|J+6,

因?yàn)?xm+；=7T,所以函數(shù)〃x）圖象關(guān)于點(diǎn)1寸稱，B正確，

將函數(shù)圖象向右移。（。>。）個(gè)單位后可得函數(shù)>=-$苗（2》-29+弓］+石的圖象，

因?yàn)閥=-si?2x-2夕+［］+石的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以0=_,*'keZ,又夕>0,

所以。的最小值為蘭，C正確，

12

.-71fi71-7147r

^0<x<-f貝+

所以一2^4+W1,+</（-X）<~~~1

所以當(dāng)X=］時(shí)，函數(shù)/（X）取最大值，最大值為半，D錯(cuò)誤.

故選：D.

8.A

A

［分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為（加+^+l）e<1對(duì)一切xwR恒成立，設(shè)/（x）=（依2+bx+1）1,

則后者可轉(zhuǎn)化為/（無(wú)）（/（0）恒成立即/（0）為函數(shù)的極大值，故可求參數(shù)的范圍或取值，故

可得正確的選項(xiàng)，或者將原不等式轉(zhuǎn)化為以2+6尤+i<e-'，根據(jù)左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象

位置關(guān)系可求參數(shù)的范圍.

【詳解】法一：不等式法+14片工-雙2對(duì)一切xeR恒成立即為

不等式（ox2+Z?x+l）ex<1對(duì)一切xeR恒成立，

今/（尤）=（。/+6尤+l）e，，則有/（0）=1；

故不等式芯+1V片，-"2對(duì)一切尤eR恒成立等價(jià)于/（x）</（0）恒成立，

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

所以〃0)為了(尤)的最大值點(diǎn).

顯然，a<0,否則Xf+8時(shí)，/(%)->+00,與題設(shè)矛盾.

又/'(x)=e[or2+(2a+b)x+6+l],止匕時(shí)/'(0)=6+1

若6+1>0,存在區(qū)間(sj),是否Oe(sj)且Vx<sj),總有尸(久)>0,

這與/'(0)為/(元)的最大值點(diǎn)矛盾，故人+1>0不成立，

同理b+l<0也不成立，故6+1=0,貝—1,

/'(X)=e*[or?+(2a+l)x]=xe*(tzr+2a—1),

當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，尸(K)>0,當(dāng)xe(O,+8)時(shí)，/(x)<0,

故/(x)在(-8,0)上遞增，(0,+8)上遞減，/(x)w〃o)符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)xe(_8,l一)時(shí),/'(X)<0,

當(dāng)尤時(shí)，尸(無(wú))>o,

故“X)在/0士券)上遞減，[「,0)上遞增，(0,+8)上遞減，

不41-2。,1—2d1—J1—4〃J1—4〃—2a

而當(dāng)％<-----時(shí)，----------------=----------<0,

aa2a2a

故/一x+i<o即/(x)<0,故/(x)V〃O)恒成立，故a<0符合題意.

綜上，”40,6=-1,因此a+6e(-oo,-l].

法二：不等式(a-+及+1)e*41可化為ax1+bx+\<Qx,

令/(%)=加+to+l,g(x)=e-v,

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=?x2+/?x+l=fex+l,此時(shí)，直線/(x)恒過(guò)點(diǎn)(0,1),

故只需直線/("=法+1為g(x)=e』在點(diǎn)(0,1)處的切線即可，

6=g'(0)=-1,此時(shí)a+)=-l.

當(dāng)”W0時(shí)，“X)亦恒過(guò)點(diǎn)(0,1),

為使6Z?+岳:+1〈夕'對(duì)一切X6R恒成立，

需/⑺=62+法+1開口向下，且在點(diǎn)(0,1)處與g(x)=eT有公切線即可,

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

<0

故[f(o)=6=_l，此時(shí)a+6<-1.

綜上，的取值范圍是1].

故選：A.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：多變量不等式恒成立問(wèn)題，可將原不等式作適當(dāng)變形，從而將恒成立問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系，或者根據(jù)不等式的特征將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值問(wèn)

題.

9.ABD

【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念可判斷B選項(xiàng)；

由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念可判斷C選項(xiàng)；由條件概率公式化簡(jiǎn)，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：若A,B互斥,根據(jù)互斥事件的概率公式，則尸(AUB)=尸(A)+P(B),

故A正確；

對(duì)于B：由相互獨(dú)立事件的概念知，若尸(AB)=尸(A)尸(3),則事件A,B是相互獨(dú)立事件,

故B正確;

對(duì)于C：若A,B互斥,則A,8不一定相互獨(dú)立,

例：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，事件A="正面朝上”，事件3="反面朝上”,

事件A與事件B互斥，但P(A8)=0,P(A)=尸(8)=：,

所以不滿足相互獨(dú)立事件的定義，故C錯(cuò)誤；

P(A|B)P(B|A)p(B)P(AB)P(A)尸(通)

對(duì)于D：

P(A⑻'P(B|A)-P(B)'P(AB)'P(A)'P網(wǎng)一P(AB)

尸網(wǎng)A)P(A|B)P(AB)P(A)P(AB)P(B)P(AB)

P(B|A)P(A|B)-P(A)尸(AB)P(B)P(AB)-P(AB)

P伍⑻幽&與迎)_P__(_A_|_B_)

所以相等,故正確.

P(A|B)P(B|A)^P(B|A)P(\A|B」)D

故選：ABD.

10.ABC

【分析】對(duì)于A,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)與圖象判斷即可；對(duì)于B、C,利用函數(shù)y=f(久)關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合等腰三角形三線合一，以及菱形的對(duì)角線互相垂直判斷即可；對(duì)于D,由曲線

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

的對(duì)稱性，可知要使得正方形存在，則VAOB為等腰直角三角形，利用極限思想可得至少存

在兩個(gè)正方形.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,令/''（x）=3尤2—3=3（x+l）（尤-1）,當(dāng)xe（-8,_1）51,+力）時(shí),（（＞）＞0,

當(dāng)久時(shí)，/（久）＜0,則函數(shù)在（一。一1）、（1,+8）上單調(diào)遞增，在（一1,1）上單

調(diào)遞減，

又/（-!）=—1+3=2,/⑴=1一3=—2,函數(shù)y=/（x）的圖象與圓/+丁=1得圖象如圖所示：

yjk

故函數(shù)y=/（久）的圖象與圓/+/=1有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B、C,由于函數(shù)y=/（久）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。成中心對(duì)稱，

過(guò)點(diǎn)。作直線交的圖象于3、D兩點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)。作的垂線交/（元）的圖象于A、C兩點(diǎn)，

則△河為等腰三角形，四邊形ABC。為菱形，

當(dāng)線段80繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

仍為等腰三角形，四邊形A3CD仍為菱形，故選項(xiàng)B、C均正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：由于/（T）=T3+3X=_〃X）,

故要使得正方形存在，則VAQ5為等腰直角三角形，

顯然，當(dāng)3（T，2）時(shí)，02=如，點(diǎn)尸（2,1）在函數(shù)圖象外側(cè)，貝|。4〈石，

止匕時(shí)

利用極限思想，當(dāng)03—。時(shí)，OA.5此時(shí)08＜。4；

當(dāng)023g"時(shí)，OA^+oo,止匕時(shí)O3＜Q4；

如圖所示，故至少存在兩個(gè)正方形，故D錯(cuò)誤.

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是，熟練掌握函數(shù)的對(duì)稱性，注意使用極限思想，從而

得到至少兩個(gè)正方形.

11.AC

【分析】根據(jù)題意求出軌跡C的方程，把（-蒼-y）代入C的方程可判斷A；令>=0,

尤=±1,尤=±2,得y的范圍可判斷B；由曲線C的方程可得尤2+國(guó)=根據(jù)

x+y

d=+43可判斷C；由題意得與=0,設(shè)尸（0,%）,結(jié)合題意計(jì)算”可判斷D.

22222

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：\PF}\-\PF21=yl（x+a）+y-^（x-a）+y=a,

化簡(jiǎn)得到：（/+/『=2/（/一產(chǎn)），

將M（3,0）代入可得2/=9,

所以曲線C:（Y+y2）2=9（f一力.

把（-羽-y）代入（丁+y2『=9卜2一V）得卜2+9）2=9（/_力，

所以，曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：令尸0解得》=0,尤=±3,即：曲線經(jīng)過(guò)（0,0）,（3,0）,（-3,0）,

結(jié)合圖象，得-3VxV3.

今了=±1,得/=*也更<1,

令工=±2,得l<yjT7+屈<2,

2

因此，結(jié)合圖象曲線C只能經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn)（0,0）,（3,0）,（-3,0）.

故B錯(cuò)誤；

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

對(duì)于選項(xiàng)C：(Y+y2)2=9(/_力可得工2+9——Jw9，

所以曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離d=y/x2+y2<3,

即：都不超過(guò)3,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：點(diǎn)尸滿足|P德=盧周，則P在尸鳥垂直平分線上，則4=0,

設(shè)網(wǎng)0，力，則(荷+)『="，

,y.=o,

故只有原點(diǎn)滿足，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程的方法：

一般情況下，所求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，依賴于另外一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可以通過(guò)對(duì)這些點(diǎn)設(shè)坐標(biāo)來(lái)

尋找代換關(guān)系.

(1)求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)；

(2)所依賴的點(diǎn)稱之為“參數(shù)點(diǎn)”,設(shè)為(如％)(i=0,1,2…)等;

(3)“參數(shù)點(diǎn)”滿足某個(gè)(些)方程，可供代入；

(4)尋找所求點(diǎn)與“參數(shù)點(diǎn)”之間的坐標(biāo)關(guān)系，反解參數(shù)值；

(5)代入方程，消去參數(shù)值.

12.2

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為億八型)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為&Hnf),由于弁=lnx+l,

所以切線的斜率為：k=]nt+l,

所以曲線在(rjlnt)處的切線方程為：y=(lnr+l)(x-t)+〃nr,即y=(lnr+l)x-r,

所以，=e,a=]nt+l=lne+l=2,

故答案為：2.

13.25

【分析】設(shè)p在雙曲線右支上，由雙曲線定義得至1尸耳尸耳1=16,由余弦定理和面積公式，

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

得到tan笥"=g,進(jìn)而得到伊￡卜|產(chǎn)局=手，從而求出

（|P周+儼用）2=（-國(guó)-歸國(guó)）2+4|巴訃|尸用=625,求出答案.

【詳解】設(shè)尸在雙曲線右支上,則仍國(guó)-怛同=2x8=16,

二也「+附2-閨樓（尸司一|明）2-|職「+2閥卜|咽

由余弦定理得cosN6產(chǎn)鳥

2忙用在周-2|尸盟.盧圖

4a2-4c2+2PF,-^^12\PF]-\PF^~^b1

=

2M.p62\PFt\-\PF2\'

\PF\.\PFI__理___理___藝_

所以?一jos4"-2.2ZfjPfi-sin?芻煦，

22

▽SPFF=-\PFl\-\PF2\sinZFlPF2=-------號(hào)2sin/6."cos')P片

又"指弓21"121122.2HP%22

Sm一丁

b2

=~ZF.PE

tan—!1

2

所以京互醫(yī)"J解得tan手=g=黑溫,結(jié)合sin?/甲出+c°s=單岑=1，

I.2NRPF216

則sin2----

241

36x41369

|尸團(tuán),|尸6|=,占盧216一丁

sin——-——-

2

又「周—盧閭=2x8=16,

故（|尸團(tuán)+|P閭）2=（|尸毛一|尸馬）2+4|尸周療閭=256+369=625,

故|「團(tuán)十|尸閭=25.

故答案為：25

470

14.80~r

【分析】利用平均數(shù)的定義求出90名學(xué)生的平均成績(jī)，根據(jù)局部方差和整體方差的公式進(jìn)

行求解.

79x50+Q0x40

【詳解】甲、乙兩班全部9。名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?。+4。-8。分，

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

方差為藕小0+（72一80）［+費(fèi)x［60+（90.80）［春154+豹6。=等

故答案為：80,

4

15.⑴二

（2）32

3

【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理可得sinAcos5+-sin5sinA=sinC,根據(jù)

4

sin（A+5）=sinC可變形為］SinA=cosA,由sir?A+cos2A=1,即可求解；

（2）由正弦定理可得，=8,根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得加480,根據(jù)面積公式即可

求解面積的最大值.

-----3

【詳解】（1）由題意得，m-n=acosB+—bsinA=c,

4

、3

由正弦定理可知，sinAcosB+—sinBsinA=sinC,

4

在VASC中，因?yàn)锳+與+。=兀，sin（A+B）=sinC,

3

所以sinAcosB+—sinBsinA=sinAcosB+cosAsin5,

4

3

BP—sinBsinA=cosAsinB,

4

因?yàn)锳,5￡（0,兀），所以sin5w0,

3

所以:sinA=cosA,又sit?A+cos2A=1,

4

4

所以smA=y；

ab

（2）由正弦定理J=2R,

sinAsinBsinC

43

因?yàn)镽=5,sinA=-,所以々=8,cosA=-

由/=〃+/—2bc?osA,得64=〃+-gA,

由基本不等式可知，64=b2+c2-^bc>2bc-^bc=^bc,

所以bc?80,當(dāng)且僅當(dāng)。=c=4不時(shí)等號(hào)成立,

114

所以S3=—Z?csinA<—x80x—=32,

225

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

所以NABC面積的最大值為32.

16.(1)證明見解析

⑵當(dāng)

【分析】(1)由側(cè)面A34A，底面ABC得AD_L底面ABC,進(jìn)而可證;

(2)向量法求面與面的夾角.

【詳解】(1)因?yàn)槿庵鵄BC-A4G中=A4-

故四邊形為菱形，又因乙鉆4=60。，點(diǎn)。是棱A耳的中點(diǎn),

故AD1AB,

又側(cè)面ABBiA_L底面ABC,側(cè)面ABBiA口底面ABC=AB,"><=側(cè)面48瓦4,

所以AD_L底面ABC,又BCu底面ABC,故AD23c.

(2)因AB=AC=2,BC=2A/2，故VABC為直角三角形,

故AB1AC,

z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

貝|」力(0,0,0),5(2,0,0),C(0,2,0),

由⑴可知，A〃=l,A￡>=W=框,故4卜1,0,⑹，30,0,@,

貝1］嗣=/3,0,6)，區(qū)=(-1,-2,班)

由題意平面ABC的一個(gè)法向量為AD=(0,0,73)

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

n?甌=01-3尤+用z=0

則即《令尤=1,貝!Jz=?,y=l,

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

則萬(wàn)=（1,1,石卜

設(shè)面A3C與面ABC夾角為6,川而T1一-6

則阿間“3XJ1+1+3.百

故tan小電應(yīng)=4一逅,

cos0cos03

面A3C與面ABC夾角的正切值為必

3

17.⑴。；=1

124

(2)8

【分析】（1）根據(jù)焦距可得/一〃=8,再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上可得：+:=1,解出“力后可得

橢圓的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后結(jié)合判別式可求t的范圍；

（2）由題設(shè)可得當(dāng)過(guò)尸,。且與直線/平行的直線與橢圓相切時(shí)面積之和最大，故求出切點(diǎn)

坐標(biāo)后可求面積和的最大值.

【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為J貝Uc=2點(diǎn)，故“2_/=8,

而，羊]在橢圓上，故鳥+[=1,

（3Ja3b

故1=12萬(wàn)=4,故橢圓方程為：上+反=1,

124

fy=x+t

由j^+3y2_]2可得4尤2+6劉+3/-12=0,

故A=36?-16（3/一12）>0即192-12/>0即T</<4.

（2）當(dāng)f=2時(shí)，直線/:y=x+2,故A（-2,0）,B（0,2）,

由題設(shè)可得P,。為位于直線AB的兩側(cè)，不妨設(shè)。在直線A8上方，尸在直線A8的下方,

當(dāng)過(guò)。的直線與直線A3平行且與橢圓相切時(shí)，

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

Q到直線AB的距離最大及^QAB的面積最大,

當(dāng)過(guò)P的直線與直線A8平行且與橢圓相切時(shí),

Q到直線AB的距離最大及AQAB的面積最大,

由(1)可得相切時(shí)△=0即t=±4,

當(dāng)f=4時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-?=-3,切點(diǎn)坐標(biāo)為在直線A8上方,

O

|-3-1+2|

此時(shí)(-3,1)到48的距離為=也，

當(dāng)t=-4時(shí)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-?=3,切點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),在直線下方;

O

此時(shí)(3,-1)到AB的距離為陽(yáng)尸=30,

又|AB|=2血

故四邊形鞏Q8面積的最大值為8.

18.(l)/'(x)在(0,1)上單調(diào)遞增

(2)證明見詳解

222

x_]..4x+(l+x)(l-

【分析】(1)求出尸(x)=x(v+i)，設(shè)=再求出g'(x)=——、

(X+X)

可得g\x)>0,則得尸(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;

⑵令力(x)=〃x)-[尸(陶。一無(wú)0)+/6)],可得//(%)=0,〃(x)=r(x)-r(/),由

尸(久)在(0,1)上單調(diào)遞增，可得h(x)在x=x°處取最小值〃(%),則

f(無(wú))—"'(%)(尤—%)+■/■(尤0)]20，即/(x)2/'(%)G—Xo)+/(Ao),命題得證.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=ln[x+：J,xe(0,l),

則卜會(huì)，設(shè)g(x)=^j，

—X4+4x2+1

貝Ijg'(無(wú))=

因?yàn)椋?(0,1),所以1-%2>0,

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

4x2+(l+x2)(l-x2)

所以g'(x)=——―->0，

所以，/'(%)在(0,1)上單調(diào)遞增.

⑵令/z(x)=〃x)-[尸(%(%-%)+〃％)],

則--X。)+“X。)]=。，

〃(x)=7'(x)—/'(xo)，

又因?yàn)槭?)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)0<x<x°<l時(shí)，f\x)<f'(xo)=>h\x)=f\x)-f'(xo)<o,h(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<%<尤<1時(shí),f'(x0){f(x)=>h'(x)=f(x)-f(x0))0,八⑺單調(diào)遞增；

當(dāng)x=x0時(shí)，h'(x)=f(x)-f'(xo)=O,

所以拉。)在x=x0處取最小值h[x0),

BP/Z(X)>/Z(A:O)=O,

所以〃x)-[/'(*(x-Xo)+〃Xo)]NO,

即〃x)2/北)+/1小).

則對(duì)任一飛?0,1),有/(x)-_f(4)(x—/)+/(%),當(dāng)且僅當(dāng)％=無(wú)。時(shí)等號(hào)成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：小問(wèn)(2),令〃(力=〃司-[〃2(*-飛)+〃M)],則

,

/?(x)=r(x)-r(A0),由尸0)在(o,i)上單調(diào)遞增，得到八0)在x=%處取最小值從毛)，可

得/?(力2/?。)=0,則命題得證.

19.(1)3,5,6

(2)q=2'—lheN*),理由見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)分別取4=2,3,4,5,6,根據(jù)已知條件逐一驗(yàn)證即可求解；

(2)分別取q=l,2,3,4,5,6,7,根據(jù)已知條件逐一驗(yàn)證得出猜想，并驗(yàn)證猜想；

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

（3）根據(jù)（2）的分析，q=2k-l,eN*）時(shí)，滿足題意；再證明，當(dāng)“產(chǎn)力時(shí),

也存在m,n使得%=2'"-1即可.

【詳解】(1)因?yàn)閷?duì)任意整數(shù)n都有a戶1,

所以取4=2,則出=?=1,不符合題意；

取華=3,a[=1+2。"”]=]+2=3,a3=a4=---=an=?>,

此時(shí)，數(shù)列｛%｝為常數(shù)列⑶；

取q=4,%=鼻=2,%=?=1,不符合題意；

0822

取q=5,a2=~~~+2['^=2+2=6,a3=^~=3,a4=a5=---=an=3,

5,〃二1

此時(shí)，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為。“=，6,〃=2；

3,n>3

1OS2

取q=6,a2=^-=3,a3=1+2^=1+2=3,

%=%=…=〃〃=3,

「、f6,n=1

此時(shí)，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=A”>？；

所以滿足條件的三個(gè)q的值為3,5,6；

8

(2)取4=1,g=1+2口°”1=1,a3=a4=---=an=l,

此時(shí)數(shù)列｛4｝為常數(shù)列｛1｝,為純周期數(shù)列；

取4=2,貝ij4=j=1,%=%=…=4,=1，

(xf2,72=1

此時(shí)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=1n>2,為混周期數(shù)列；

取4=3,%=%21+21'。二"=1+2=3,a3=ai=■■■=an=3,

此時(shí)，數(shù)列｛4｝為常數(shù)列｛3｝,為純周期數(shù)列；

取=4,42=甘=2,=1'。4=。5=…=。"=1，

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

4,〃=1

此時(shí)數(shù)列｛。“｝的通項(xiàng)公式為%=2,”=2,為混周期數(shù)列；

l,n>3

取q=5,%=%21+，晦句=2+2?=6,a3=^~=3,a4=a5=?-?=an=3,

5,n=l

此時(shí)，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=，6,