2024-2025學年廣東省深圳某中學九年級（上）開學數(shù)學試卷（含詳解）

2024-2025學年廣東省深圳中學九年級（上）開學數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

1.2024年巴黎奧運會是第三十三屆夏季奧林匹克運動會，將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.

下面2024年巴黎奧運會項目圖標是中心對稱圖形的是（）

人豳物嗦

2.若a>6,則下列不等式不一定成立的是（）

a卜

A.CL-2>b—2B.2a>2bC.~□V―~D,a2>b2

—3

3.若代數(shù)式落在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝年的取值范圍為（）

A.x>0且久#3B.x>0C.x=#3D.x>。且x片3

4.把多項式久2+ax-2分解因式，結(jié)果是（％+1）（久+6）,則a,b的值為（）

A,a=3,b=2B,a=-3,b=2

C.a=1,b=-2D,a=-1,b=-2

5.如圖，在口43。。中，按照如下尺規(guī)作圖的步驟進行操作：①以點B為圓

心，以適當長為半徑畫弧，分別與AB,8c交于點E,F；②分別以E,F為圓

心，以適當長為半徑畫弧，兩弧交于點G,作射線BG,與邊4D交于點H；③以

B為圓心，B2長為半徑畫弧，交于邊BC于點M.若48=5,BH=8,則點4MB

之間的距離為（）

A.5B.6C.7D.8

6.下列命題中，假命題是（）

A.順次連接任意四邊形各邊中點形成的四邊形都是平行四邊形

B.等腰三角形的高、中線、角平分線重合

C.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形

D.用反證法證明命題"三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60?！睍r，首先要假設(shè)“這個三角形中每一個內(nèi)

角都大于60?！?/p>

7.如圖，用長為20m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為11m）,圍成中間隔有一道籬笆的長方形花

圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時，在BC上用其他材料做了寬為1爪的兩扇小門，若花圃的面積剛好

為407n2,則此時花圃4B段的長為（）m.

第1頁，共16頁

墻長Um

B------ImIm-----lC

A-10

A.4或B噂C.4D.10

8.如圖，在矩形4BCD中，AB=8,AD=84，點E為邊4。上一動點，點尸為

CE的中點，連接BE,點G在BE上，且EF=GF,則下列結(jié)論：①在點E從點

。運動到點4的過程中，點F運動的路徑長為4避；②4F+DF的最小值為

16；③點G到BC的中點的距離為定值44；④S^EFG的最小值為16避—24.

其中正確的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

9.因式分解：x2y-xy2=

10.若a為方程d+2久-5=0的解，貝I]3a2+6a-8的值為

11.如圖，在CMBCD中，AB=3,AD=7,4ABC的平分線交4。于E,交

的延長線于點F,貝⑺尸=.

12.若關(guān)于x的方程白-1=瑞解為正數(shù)，則小的取值范圍是.

X—ZX—L

13.在Rt△ABC中，4ABC=90°,AB=3,BC=5,。為4c的中點,

NMDN分別交直線4B,BC于點E,F,且NMDN=90。，連接EF,當

2E=1時，EF的長為_____.

三、解答題：本題共7小題，共61分。

f3(x-l)>2x-40

14.(1)解不等式組：巴1②

(2)解方程：X2-10X-24=0.

第2頁，共16頁

15.先化簡(1+為然后從-1,1,-2,2中選取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值.

16.如圖，在平面直角坐標系中，△力BC的頂點4(—1,1),5(-4,2),C(-3,3).

(1)平移△ABC,若點4的對應(yīng)點41的坐標為(3,—1),畫出平移后的△4/10；

(2)將△ABC以點(0,2)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180。，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的2c2；

(3)已知將△4/1的繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到2c2,則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為；

(4)若第二象限內(nèi)存在點D,使得以4、B、C、。四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，則點。的坐標為

17.如圖，口4BCD的對角線AC、BD相交于點0,BE//AC,AE//BD,OE與4B交于點F.

(1)在不添加新的點和線的前提下，增加一個條件:,使得四邊形40BE是矩形，并說明理由;

(2)若力C1BD,0E=10,AC=16,求口4BCD的面積.

18.深圳市某商場準備購買足球、排球兩種商品，每個足球的進價比排球多30元，用3000元購進足球和

2100元購進排球的數(shù)量相同.

(1)每個足球和排球的進價分別是多少？

(2)根據(jù)對運動用品的市場調(diào)查，商場計劃用不超過4800元的資金購進足球和排球共60個，其中足球數(shù)量

不低于排球數(shù)量4倍，該商場有幾種進貨方案？(不用寫出具體方案)

第3頁，共16頁

19.材料1：法國數(shù)學家弗朗索瓦?韋達在著作《論方程的識別與訂正》中提出一元二次方程以2

+bx+c=0(aK0力2-4ac20)的兩根打，久2有如下的關(guān)系(韋達定理)：久1+久2=—,乂2=￡；

材料2：如果實數(shù)小、71滿足爪2一小一1=0、n2-n-l=0,且m則可利用根的定義構(gòu)造一元二次方程

x2-x-l=0,然后將6、n看作是此方程的兩個不相等實數(shù)根.

請根據(jù)上述材料解決下面問題：

(1)①已知一元二次方程2/-3%-5=0的兩根分別為久1，久2，則比1+無2=，.

②已知實數(shù)a,b滿足：a?+4a-3=0,b2+4b—3=0(a手b),貝咕+去=.

(2)己知實數(shù)?n、？1、t滿足：m2-4m=11+t,n2-4n=11+t,且0<m<n,求(m+l)(n+1)的取值

范圍.

(3)設(shè)實數(shù)a,b分別滿足3a2+19a+12=0,12b2+19b+3=0,且ab41,求3ab+；。+3的值.

20.垂美四邊形定義如下：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

(1)如圖1,四邊形ABCD是“垂美四邊形"，猜想A/、CD2與BC2、4屏之間的數(shù)量關(guān)系：,并說

明理由.

(2)如圖2,分別以Rt△ABC的直角邊力C和斜邊力B為邊向外作正方形4CFG和正方形4BDE,連接BG、

CE,若AB=4/C=23，求EG的長.

(3)如圖3,在Rt△4BC中，^ABC=90°,點P是Rt△ABC外一點，連接BP,BP=AC=10,已知

\BC-AB\=2,若以4B、C、P為頂點的四邊形為垂美四邊形，請直接寫出4P的長.

第4頁，共16頁

參考答案

1.【答案】B

解：4該圖不能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱

圖形，故本選項不符合題意；

8、該圖能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故

本選項符合題意；

C、該圖不能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖

形，故本選項不符合題意；

。、該圖不能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖

形，故本選項不符合題意.

故選：B.

2.【答案】D

解：4???如果a>6,貝!|a-2>b-2,.,.此選項的不等式一定成立，故此選項不符合題意；

2.；如果a>6,貝！12a>2a,.?.此選項的不等式一定成立，故此選項不符合題意；

?！溉绻?gt;6,則白<號，.??此選項的不等式一定成立，故此選項不符合題意；

—3

。.：如果。>6,即當a=-l,6=-2時，02cb2,.,.此選項的不等式不一定成立，故此選項符合題意;

故選：D.

3.【答案】A

解：由題意得，2x>0且x—3豐0,

解得X>0且工豐3.

故選：A.

4.【答案】D

解：x2+ax-2=(%+1)(%+b)=x2+(1+b)x+b,

所以a=1+b,b--2,

解得a=-1,b=-2.

故選：D.

5.【答案】B

第5頁，共16頁

解：如圖，連接AM、MH,設(shè)AM交于點。，

由題意可知，8”是乙48c的角平分線，

???乙ABHjCBH,

又??,四邊形ZBCO是平行四邊形，

??.AD//BC,

???乙AHB=Z.CBH,

???乙ABH=UHB,

AB=AH,

???以B為圓心，84長為半徑畫弧，交于邊BC于點M,

AB-BM,

AH=BM,

又AH"BM,

四邊形是平行四邊形，

又48=AH,

???四邊形ABM”是菱形，

???AM1BH,OB=0H=^BH=4,OA=0M,

???乙408=90°,

OA=^AB^—OB2=^/52—42=3,

AM=20A-6,

故選：B.

6.【答案】B

解：力、順次連接任意四邊形各邊中點形成的四邊形都是平行四邊形，是真命題，不符合題意；

2、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線重合，故本選項命題是假命題，符合題意；

C、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，是真命題，不符合題意；

。、用反證法證明命題”三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60?！睍r，首先要假設(shè)“這個三角形中每一個內(nèi)

角都大于60?！?，是真命題，不符合題意；

故選：B.

7.【答案】C

第6頁，共16頁

解：設(shè)力B=x米，貝I|8C=(20—3x+2)米，

依題意，得：x(20-3x+2)=40,

整理，得：3x2-22x+40=0,

-1n

解得：刀1=不，久2=4.

1n

當尤1=不時，20-3%+2=12>11,不合題意，舍去;

當％=4時，20-3x+2=10,符合題意.

故選：C.

8.【答案】D

解：取CD的中點H,連接FH,

點F是CE的中點，

FH//AD,FH=^AD,

???點尸在直線上運動，

當點E和點4重合時，有最大值，

???點/運動的路徑長為=|X8V3=4后

故結(jié)論①正確；

連接AC,AF,

???在矩形4BCD中，^ADC=90°,

又點F是CE的中點，

DF==CF,

：.AF+DF=AF+CF>AC,

第7頁，共16頁

???在矩形2BCD中，CD=AB=8,

在Rt△2CD中，AC=yjAD2+CD2=,(80)2+82=16,

AF+DF的最小值為16,

故結(jié)論②正確；

取BC的中點/,連接G/,則G/的長為點G到BC的中點的距離，連接DF,CG,

ZCDF=90°,點尸是CE的中點，

DF=|CE,EF=CF=^CE,

???EF=GF,

DF=EF=CF=GF,

,.點、D,E,G,C在以點F為圓心，EC為直徑的圓上，

.-.Z.CGE=90°,

???乙BGC=180°-NCGE=90°,

點1是BC的中點，

GI=^BC="8避=48，

???點G到BC的中點的距離為定值4避，

故結(jié)論③正確；

r點E是4D上的動點，

???5ABCE=|BC-CD=1x8x8V3=3273,

???GI=BI=CI=4居

.??點G在以點/為圓心，4平為半徑的圓上運動，

.?.當G/1BC時，ZiBGC的面積最大，最大值為SABGC=，BC-G/=3X8避x4避=48,

此時S^CEG=S^BCE-S^BCG=32避一48為最小值，

'.1點尸是EC的中點，

EFG的最小值為SAEFG=^CEG=a328-48)=16避一24,

第8頁，共16頁

故結(jié)論④正確.

綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④.

故選：D.

9.【答案】xy(x-y)

解：原式=xy(x-y),

故答案為：xy(x-y).

10.【答案】7

解：a為方程%2+2%-5=0的解，

a2+2a—4=0,

a2+2a=5,

3a2+6a—8=3(a2+2a)—8=3x5—8=7.

故答案為：7.

11.【答案】4

解：四邊形4BCD是平行四邊形，

AB//CD,AD=BC=7,=CD=3,

Z.ABE=Z.CFE,

乙48c的平分線交4。于點E,

乙ABE=Z.CBF,

Z.CBF=/-CFB,

???CF=BC=7,

DF=CF-CD=7-3=4.

故答案為：4.

12.【答案】m〉2且小片4

解：將關(guān)于％的分式方程昌-1=墨的兩邊都乘以尤-2,得

2x—x+2=m,

解得久=m-2,

由于關(guān)于久的分式方程白-1=言解為正數(shù)，

x—z人一乙

所以6一2>0,

即m>2,

第9頁，共16頁

又???分式方程的增根是久=2,

當久=2時，即血一2=2,

解得zn=4,

因此mW4,

綜上所述，血的取值范圍是租>2且mH4.

故答案為：m>2且znH4.

13.【答案】爭

解：如圖，過點。作0/148由=于點人DK1BC于點K.

???四邊形0/BK是矩形，

DJ//BC,DK//AB,

???AD=DC,

??.AJ=JB,BK=CK,

.?.DJ=^BC=2.5,DK=^AB=1.5,

???乙EDF=乙JDK=90°,

??.Z.JDE=乙FDK,

???乙DJE=乙DKF=90°,

???△DJEs△DKF,

???DE：DK=DJ：DK=3：5,

???AE=1,A]=1.5,

??.E]=0.5,

:.DE=M/2+EJ2=，2.52+0.52=呼,

??.DF=lDE=宜生，

510

第10頁，共16頁

EF=y/DE2+DF2=((歲產(chǎn)+(3產(chǎn))2=7^1.

故答案為：等

14.解：(1)解不等式①得，x>-1,

解不等式②得，%<4,

所以不等式組的解集為：-1W久<4.

(2)X2-10X-24=0,

(x-12)(x+2)=0,

則x—12=0或％+2=0,

所以％1=12,x2=-2.

15.解：原式=三^.”筆2)

_x-1(X+2)(%-2)

-x-2'-(%-1)2-

x+2

=

%—1,

x—2。0且X+2W0且久一1W0,

二在一1,1,—2,2中工只能取一1,

當久=一1時,原式=―丁j

第11頁，共16頁

16.解：（1）如圖，△21/C1即為所求.

（2）如圖，2c2即為所求.

（3）連接2遇2,B$2,C1C2交于點P,

???旋轉(zhuǎn)中心的坐標為（2,1）.

故答案為：（2,1）.

（4）如圖：。的坐標為（一2,0）或（0,2）或（一6,4）時，以力、B、C、。四個點為頂點的四邊形是平行四邊形,

???。在第二象限,

???D(-6,4).

17.解：⑴添力口:AC1BD(答案不唯一).

理由：???BEHAC,AE//BD,

???四邊形20BE是平行四邊形，

AC1DB,

???Z,AOB=90°,

???四邊形40BE是矩形；

故答案為：AC1BD(答案不唯一).

(2)由(1)可知，四邊形A08E是矩形，

AB=OE=10,

???四邊形A8CD是平行四邊形，

OA=OC=^AC=8,

??,AC1BD,

...(JU=OB=ylAB^—AO^=^/102-82=6,

BD=12,

四邊形ABC。的面積=1x16x12=96.

18.解：（1）設(shè)每個足球的進價是x元，則每個排球的進價是Q-30）元,

第12頁，共16頁

根據(jù)題意得：等2100

%-30,

解得：x=100,

經(jīng)檢驗，X=100是所列方程的解，且符合題意,

%—30=70,

答：每個足球的進價是100元，每個排球的進價是70元;

(2)設(shè)購進足球機個，則購進排球(60-zn)個,

,100m+70(60—m)<4800

由題意得:m>-(60—m)

解得：15<zn420,

又?：根為正整數(shù),

???m=15,16,17,18,19,20,

???該商場有6種進貨方案.

19.解：(1)①？一元二次方程2%2一3久-5=0的兩根分別為％x2,

???+%2=15?%2=—2.5;

故答案為：1.5；—2.5；

②???實數(shù)a,b滿足：CL2+4a—3=0,b2+4b—3=0(aWb),

???a,b是方程%2+4%—3=0的解,

a+b=-4,ctb=-3,

Al+l=a±b=4

abab3

故答案為：*

(2),?,實數(shù)zn、n>t滿足：m2—4m=11+t,n2-4n=11+t

??.m,ri是方程/-4%—1IT=0的解，

???m+n=4,mn=—11—t,

???(m+l)(n+1)=mn+m+n+1=—t—6

0<m<n,

???4=16-4x1x(-11-t)>0,-11-t>0,

-15<tV—11,

5V-t—6<9,

??.5<(m+l)(n+1)<9；

第13頁，共16頁

(3)v3ci2+19a+12=0,12b2+196+3=0,

???3(1)2+19X1+12=0,

abW1,

???a4

???Q,是方程3/+19%+12=0的解，

,11914

?*,CL+工=丁,ax工=4,

b3b

???3ab——19b—3,a—4h,

3ab+5a+3—19b—3+20b+3

；d

???----b-------=----------b;----------=1.

20.(1)解：數(shù)量關(guān)系為：AD2+BC2=AB2+CD2,

記AC,BD交于點0,

AC1BD,

^￡RtAAOD,RtABOC^,由勾股定理得：AO2+OD2=AD2,BO2+OC2+BC2,

：.AD2