2025年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.（5分）設(shè)集合/={x|-2<x<4},B=[2,3,4,5},貝（）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.（5分）已知z=2-3則z（z+i）=（）

A.6~2iB.4_2zC.6+2，D.4+2z

3.（5分）已知圓錐的底面半徑為魚，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

4.（5分）下列區(qū)間中，函數(shù)/（x）=7sin（x-1）單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

7TTC37r37r

A.（0,-）B.（一,TT）C.（IT,—）D.（—，2it）

2222

5.（5分）基本再生數(shù)尺o與世代間隔7是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的

平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

I（f）=e"描述累計感染病例數(shù)/（7）隨時間單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,T近似滿

足尺0=1+”.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出剛=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感

染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為（）（加2p0.69）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

6.（5分）過點（0,-2）與圓/+爐-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=（）

V15VToV6

A.1B.------C.-----D.—

444

S

7.（5分）記&為數(shù)列{斯}的前〃項和，設(shè)甲：{斯}為等差數(shù)列；乙：{1}為等差數(shù)列，則（）

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

11

8.（5分）已知sin（a-P）=于cosasinp=則cos（2a+20）=（）

7117

A.—B.—C.一不D.-TT

9999

二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

第1頁（共19頁）

選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）已知正方體48c￡>-481clDi,貝|（）

A.直線3cl與ZMi所成的角為90°

B.直線8C1與所成的角為90°

C.直線2。與平面ABbDbD所成的角為45°

D.直線與平面/BCD所成的角為45°

（多選）10.（6分）已知O為坐標(biāo)原點，點/（1,1）在拋物線C：x?=2py（p>0）上，過點3（0,-1）

的直線交。于尸，。兩點，則（）

A.。的準(zhǔn)線為y=-lB.直線45與C相切

C.\OP\'\OQ\>\OA\^D.\BP\'\BQ\>\BA\^

3

（多選）11.（6分）已知函數(shù)八x）及其導(dǎo)函數(shù)，（x）的定義域均為R,記g（x）=/（x）.若/（萬―2x）,

g（2+x）均為偶函數(shù)，則（）

1

A./（0）=0B.g（-5）=0

C./（-1）=/（4）D.g（-1）=g（2）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。把答案填在答題卡中的橫線上。

12.（5分）（1—3）（比+y）8的展開式中x2/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

—>—?

13.（5分）已知P是邊長為2的正六邊形48CDE尸內(nèi)的一點，貝1J4P?的取值范圍是.

cosAsin2B

14.（5分）記△48C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知;——=----—.

1+sinAl+cos2B

（］）若0=竽，則3=;

（2）的最小值為_____________________.

cL

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

61n+1,"tl為奇數(shù),

15.（13分）已知數(shù)列｛a力滿足ai=l,an+\=

0n+2,n為偶數(shù).

（1）iHbn—ain,寫出bi，bi,并求數(shù)列｛5｝的通項公式;

（2）求｛斯｝的前20項和.

16.（15分）隨著中國實施制造強國戰(zhàn)略以來，中國制造（MadeinChina）逐漸成為世界上認(rèn)知度最高的

標(biāo)簽之一，企業(yè)也越來越重視產(chǎn)品質(zhì)量的全程控制.某企業(yè)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取40件作為樣本,

第2頁（共19頁）

檢測其質(zhì)量指標(biāo)值，質(zhì)量指標(biāo)的范圍為［50,100］,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后得到如下頻率分布直方圖：

(1)為了進(jìn)一步檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，在樣本中從質(zhì)量指標(biāo)在［50,60)和［90,100］的兩組中抽取3件產(chǎn)品，

記取自［50,60)的產(chǎn)品件數(shù)為講求:的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)該企業(yè)采用混裝的方式將所有的產(chǎn)品按200件一箱包裝，質(zhì)量指標(biāo)在［60,90)內(nèi)的產(chǎn)品利潤是5

元，質(zhì)量指標(biāo)在［60,90)之外的利潤是3元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，試估計每箱產(chǎn)

品的利潤.

17.(15分)如圖，在正四棱柱/BCD中，AB=2,44i=4.點42,Bi,Ci,。2分別在棱441,

BBi,CCi,DD\±,AAi=1,BBi=DDi=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A2D2；

(2)點尸在棱381上，當(dāng)二面角p-/2c2-。2為150°時，求8#.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=o1gx1-Inx+lna.

(1)當(dāng)。=e時，求曲線(x)在點(1,7(D)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若/(x)21,求a的取值范圍.

/y2-y2

19.(17分)已知橢圓C：丁+今=1(a>6>0)的離心率為一，且過點N(2,1).

(1)求。的方程；

(2)點、M,N在C上，1.AMLAN,ADLMN,。為垂足.證明：存在定點。，使得為定值.

第3頁(共19頁)

2025年安徽省合肥市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.(5分)設(shè)集合/=-2<x<4},3={2,3,4,5},貝!|/nB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【解答】解：集合/={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},

則NA3={2,3}.

故選：B.

2.(5分)已知z=2-i,則z(2+i)=()

A.6~2iB.4_2zC.6+2zD.4+2/

【解答】解：：z=2-i,

：.z(z+z)=(2-z)(2+z+z)=(2-z)(2+2z)=4+4/-2z-2i2=6+2i.

故選：C.

3.(5分)已知圓錐的底面半徑為VL其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()

A.2B.2V2C.4D.4近

【解答】解：由題意，設(shè)母線長為/,

因為圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，

則有2兀?&=兀-1,解得I=2衣,

所以該圓錐的母線長為2夜.

故選：B.

4.(5分)下列區(qū)間中，函數(shù)/(x)=7sin(x-1)單調(diào)遞增的區(qū)間是()

7Tyr37r37r

A.(0,-)B.(一,IT)C.(TT,—)D.(—，2K)

2222

【解答】解：令一1+2/CTT4—.3.+2/CTT,任Z.

則一可+2kn4%M—I-2kn,左EZ.

,n27r

當(dāng)左=0時t，xG[-J,—],

TCrr27r

(0,-)C[-Ty].

第4頁(共19頁)

故選：A.

5.（5分）基本再生數(shù)尺o與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的

平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

/（?）=e"描述累計感染病例數(shù)/。）隨時間，（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,7近似滿

足尺0=1+7/有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感

染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為（）（歷2-0.69）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【解答】解：把-0=3.28,7=6代入Ro=l+",可得r=0.38,⑺=e°-38z,

當(dāng)t=0時，/（0）=1,則e°.=2,

l-vt2

兩邊取對數(shù)得0.38/=應(yīng)2,解得仁盥-1.8.

U.DO

故選：B.

6.（5分）過點（0,-2）與圓/+爐-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=（）

V15V10V6

A.1B.---C.---D.—

444

【解答】解：圓x2+f-4x-1=0可化為（x-2）2+/=5,則圓心C（2,0）,半徑為廠=遮；

設(shè)P（0,-2）,切線為刃、PB,則PC="2+22=2近,

aV5aI5V3

△E4C中,，所以COS]

Sm?=M[1一1運

aa,V5V3V15

所以sina=2si=2xx^4==—.

vos?2V22V24

7.（5分）記出為數(shù)列｛斯｝的前“項和，設(shè)甲：｛斯｝為等差數(shù)列；乙：｛上｝為等差數(shù)列，則（)

n

第5頁（共19頁）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【解答】解：若｛斯｝是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛斯｝的首項為公差為d,

則Sn="2—，

,72—1d,d

即一=。1-|—2~^7=2，

s

故｛上｝為等差數(shù)列，

n

即甲是乙的充分條件.

反之，若｛右｝為等差數(shù)列，則可設(shè)&甘-&=。，

nn+1n

S

則一n=Si+(w-1)D,即Sn=nSi+n(〃-1)D,

n

當(dāng)〃22時，有&」=(n-1)Si+(?-1)(?-2)D,

上兩式相減得：an=Sn-Sn-l=Sl+2(〃-1)Q,

當(dāng)〃=1時，上式成立，所以斯=41+2(〃-1)。，

則cin+i~〃篦=〃i+2〃Z)-[izi+2(n-1)D]=2D(常數(shù))，

所以數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列.

即甲是乙的必要條件.

綜上所述，甲是乙的充要條件.

故本題選：C.

11

8.(5分)已知sin(a-P)=可，cosasinp=則cos(2a+20)=()

,7117

A.—B.—C.-6D.-6

9999

ii

【解答】解：因為sin(a-0)=sinacosB-sin0cosa=守cosasin0=不，

所以sinacosP=彳

112

所以sin(a+P)=sinacosP+sinPcosa=2+q=?

貝(jcos(2a+20)=1-2sin2(a+0)=l-2x*=義.

故選：B.

第6頁(共19頁)

二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

（多選）9.（6分）己知正方體4BCD-NiBiCbDi,則（）

A.直線3cl與。所成的角為90°

B.直線2。與所成的角為90°

C.直線BC1與平面ASLDLD所成的角為45°

D.直線BCi與平面48co所成的角為45°

【解答】解：如圖，

連接21C,由出以〃。。，A\B\=DC,得四邊形。/121C為平行四邊形，

可得?.?5CJ31C,...直線與所成的角為90°,故N正確；

"：A\B\LBC\,BCi±BiC,4iBiCBiC=Bi,二2。_1平面。4由。，而。c平面D4bBiC,

：.BCi±CAi,即直線8。與C4i所成的角為90°,故3正確；

設(shè)/1。1^囪。1=。，連接2。，可得CiO_L平面即NCbBO為直線BQ與平面3201。所成的

角，

nr1

：sin/Ci3O=+?.直線與平面3囪。。所成的角為30°,故C錯誤；

DLZ

底面4BCD,.../CbBC為直線BC1與平面48CO所成的角為45°,故。正確.

故選：ABD.

（多選）10.（6分）已知。為坐標(biāo)原點，點/（1,1）在拋物線C：?=2py5>0）上，過點3（0,-1）

的直線交C于尸，。兩點，則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=-lB.直線與C相切

C.\OP\'\OQ\>\OA\^D.\BP\'\BQ\>\BA^

【解答】解：；點/（1,1）在拋物線C：f=2py（p>0）上，

1

.\2p=\,解得p=2，

第7頁（共19頁）

拋物線。的方程為，=y,準(zhǔn)線方程為y=-%,選項/錯誤；

由于N(1,1),B(0,-1),則%B=1占D=2,直線的方程為y=2x-1,

聯(lián)立P二2久—1,可得X2-2X+1=0,解得X=1,故直線與拋物線C相切，選項3正確；

=y

根據(jù)對稱性及選項5的分析，不妨設(shè)過點5的直線方程為歹=而-1(左>2),與拋物線在第一象限交于

P(xi,yi),Q(12,J2),

聯(lián)立｛：_1,消去V并整理可得/-履+1=0,則制+%2=匕X1%2=1,y/2=(憶％1-1)(憶X2-1)=

2fc(%i+%2)+

kxrx2—1=1，

|OP|?|OQ|=+為2?1冷2+丫2?之?,2%2y2=2yly2=2=\OA\2,由于等號在制=

%2="=歹2=1時才能取到，故等號不成立，選項C正確；

\BP\\BQ\=g2+(乃+1)2,，町2+皿2+1)2>J<2+4yi.J的+4y2=75xl2,75x22=

52

“XL2=5=\BA\f選項D正確.

故選：BCD.

(多選)11.(6分)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)，(x)的定義域均為凡記g(x)=/'(x).若/(，2x),

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

1

A.f(0)=0B.g(一))=0

C./(-1)=/(4)D.g(-1)=g(2)

333q

【解答】解：-2x)為偶函數(shù)，...可得/(5-2x)=/(]+2x),關(guān)于對稱，

令xj可得/弓一2x%=/(|+2x%，即八-1)=/(4),故C正確；

Vg(2+x)為偶函數(shù)，，g(2+x)=g(2-x),g(x)關(guān)于x=2對稱，故。不正確；

V/(%)關(guān)于％=9對稱，.??x=|■是函數(shù)/(%)的一個極值點，

333

???函數(shù)/G)在(5,力處的導(dǎo)數(shù)為o,即g(-)=f(-)=o,

535

又，g(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，?，?g(-)=g(-)=0,?,?函數(shù)/(x)在(5，力的導(dǎo)數(shù)為0，

r25al

.,.x=2是函數(shù)/(%)的極值點，又了(%)的圖象關(guān)于x=2對稱，:?(5,方)關(guān)于％=2的對稱點為(5，

t),

由x=5是函數(shù)f(x)的極值點可得x弓是函數(shù)/(x)的一個極值點，；.g(1)=f(|)=0,

第8頁(共19頁)

177?

進(jìn)而可得g(-)=g(-)=0,故工=5是函數(shù)/(x)的極值點，又/(x)的圖象關(guān)于對稱，

22乙乙

7?111

**?(5，，)關(guān)于％=]的對稱點為(―2，%),**g(-])=f(-])=0,故8正確；

/(X)圖象位置不確定，可上下移動，即每一個自變量對應(yīng)的函數(shù)值不是確定值，故N錯誤.

解法二：構(gòu)造函數(shù)法，

3

令/(x)=1-sinirr,則=l+cos2nx,則g(x)=f(x)=-TTCOSTCG

g(x+2)=-TTCOS(2n+7tx)=-TTCOSTIX,

滿足題設(shè)條件，可得只有選項BC正確，

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。把答案填在答題卡中的橫線上。

12.(5分)(1—q)(x+y)8的展開式中x2/的系數(shù)為-28(用數(shù)字作答).

【解答】解：由已知可得(1-^)(x+y)8=(x+y)'-\(x+y)8,

所以由二項式定理可得多項式(1-q)(x+y)8的展開式中含x2/的項為c"2y6一"3y5=_28x2y6,

(1-')(%+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為-28.

故答案為：-28.

—>—>

13.(5分)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDE產(chǎn)內(nèi)的一點，則4PTB的取值范圍是(-2,6)

【解答】解：畫出圖形，如圖所示；

AP?AB=\AP\X\AB\Xcos<AP,AB>,

->—>

它的幾何意義是的長度與4P在向量上的投影的乘積；

當(dāng)點尸在C處時，取得最大值，Mqxcos/C42=MB|+/明=3,

—>—>—>—>—>—>

所以AP?4B=|4P|><MB|XcosV4P,=2X3=6,即最大值為6；

點尸在尸處時取得最小值，

所以AP?4B=|力P|Xp4B|XcosV4P,=-2X2x忘=一2,即最小值為-2；

由P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，

-?->

所以的取值范圍是(-2,6).

故答案為：(-2,6).

第9頁(共19頁)

ED

cosAsin2B

14.（5分）記△45。的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

1+sinAl+cos2B

（1）若。=爭，則3=—￡—

JO

層+,2

⑵丁的最小值為一4/一5—?

cosAsin2B2sinBcosBIsinBcosB

【解答】解：（1）V——

1+SLTLAl+cos2Bl+(2cos2B—1)2cos2B'

cosAsinB

1+sinAcosB'

cosAcosB-sinAsinB=sinB,cos(4+5)=sinB,

一2TTTC

又C=??AB=71-C

7T1

sinB—cos(A+B)=cos-^—訝,

又「OVBV半；.B=?

(2)由(1)知,sin5=cos(/+/)=-cosC,

'：smB>Q,：.CG(J,7T),

,*,—cosC—sin^C—*2)?**?C—2=8,即(7=5+彳,

TTTT

**?A=7T—(B+C)=7T—(B+B+<2)=2—28,

V^>0,***BG(0/*)':?cosBG/1)9

22

2222sin(^—2B)4-sin52222

a+bsinA+sinBcos2B+sinB(2COS2JB—1)+(1-cos^)

sin^Csin2(5+^)COS2BCOS2B

1

令COS2B=t.1),

a2+b2(2t-l)2+(l-t)4t2-5t+224tx1-5=

=4t+--5>24A/2-5,

t

當(dāng)且僅當(dāng)4t=*即1=爭時取"

層+52

工^的最小值為4‘-5.

第10頁（共T9頁）

7T

故答案為：4V2-5.

6

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知數(shù)列｛斯｝滿足。1=1,即+1=［即+1'”為，

0n+2，TL為偶數(shù).

(1)記加=。2",寫出61,bi,并求數(shù)列｛仇｝的通項公式;

(2)求｛斯｝的前20項和.

an+1,n為奇數(shù)

【解答】解：⑴因為也=1,an+i=

0n+2，n為偶藪

所以。2=01+1=2,03=02+2=4,。4=。3+1=5,

所^以61=42=2,歷=。4=5,

bn-bn-\=ain-a2n-2=Q2n-42〃-1+。2〃-1-42*2=1+2=3,〃三2,

所以數(shù)列｛為｝是以61=2為首項，以3為公差的等差數(shù)列，

所以方=2+3(〃-1)=3n-1.

另解：由題意可得。2"+1=。2及-1+3,。2〃+2=。2〃+3,

其中。1=1,-2=41+1=2,

于是劣=。2〃=3(〃-1)+2=3〃-1,HGN*.

(2)由(1)可得及〃=3〃-1,nGN*,

貝Ua2n-1=。2及-2+2=3(7?-1)-1+2=3〃-2,〃三2,

當(dāng)〃=1時，41=1也適合上式，

所以。2九一1=3〃-2,“EN*,

所以數(shù)列｛斯｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，

1Ayo1f)x9

則｛即｝的前20項和為。1+。2+…+。20=(ai+w^---Hai9)+(a2+a^---1*。20)—10H---—X3+10X2H---—x3

=300.

16.(15分)隨著中國實施制造強國戰(zhàn)略以來，中國制造(MadeinChina)逐漸成為世界上認(rèn)知度最高的

標(biāo)簽之一，企業(yè)也越來越重視產(chǎn)品質(zhì)量的全程控制.某企業(yè)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取40件作為樣本，

檢測其質(zhì)量指標(biāo)值，質(zhì)量指標(biāo)的范圍為［50,100］,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后得到如下頻率分布直方圖：

(1)為了進(jìn)一步檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，在樣本中從質(zhì)量指標(biāo)在［50,60)和［90,100］的兩組中抽取3件產(chǎn)品，

記取自［50,60)的產(chǎn)品件數(shù)為"求《的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)該企業(yè)采用混裝的方式將所有的產(chǎn)品按200件一箱包裝，質(zhì)量指標(biāo)在［60,90)內(nèi)的產(chǎn)品利潤是5

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元，質(zhì)量指標(biāo)在［60,90）之外的利潤是3元，以樣本分布的頻率作為總體分布的概率，試估計每箱產(chǎn)

品的利潤.

【解答】解：（1）樣本中質(zhì)量指標(biāo)在［50,60）的有40X10X0.015=6,在［90,100）的有40X10X0.01

=4,

己所有可能取值為0,1,2,3,

、cl1一翎一3

尸5=或力

P(《=1)一鬲一奇

P（戶2）=警另,

P4=3)一璘一升

C10

故m的分布列為：

20123

P1311

301026

AQ

故￡(己)=3x-=q

（2）設(shè)質(zhì)量指標(biāo)在［60,90）內(nèi)有X件，每箱產(chǎn)品的利潤為￥元，則質(zhì)量指標(biāo)在［60,90）外的有200

-X件，由題意知y=5R3（200-X）=2桿600,

3

因為X-8（200,

所以￡（X）=200x1=150,

所以￡(匕＞=E(ZY+600)=2E(X)+600=900(元).

17.(15分)如圖，在正四棱柱/BCO-NbBiCiDi中，4B=2,441=4.點血，比，Ci,。2分別在棱441,

BBi,CCi,DDi±,AAi=\,BBi=DDi=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A2D2；

(2)點P在棱381上，當(dāng)二面角尸-/2C2-D2為150°時，求82P.

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【解答】解：（1）證明：以C為坐標(biāo)原點，CD,CB,CG所在直線為x,丹Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),C2(0,0,3),Bz(0,2,2),Di(2,0,2),Az(2,2,1),

—>—>

82c2

所以=(0,-2,1),A2D2=(0,-2,1),

—>—>

所以82c2=

—>—>

所以B2c2〃42。2，

又B2c2,N2D2不在同一條直線上，

所以22c2〃4力2.

(2)設(shè)平面N2c力》2的法向量蔡=(a，b,c),則蔡=(1,1,2),

設(shè)尸(0,2,入)(0W入W4),

—>—>—>

又4。2二(-2,—2,2),尸。2=(°，—2,3-A),D2c2=(-2,0，1),

設(shè)平面為2c2的法向重"=(X,y,z),貝-，

(.n，PC2=—2y+(3—A)z=0

令z=2,得y=3-入，x=X-1,

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所以?1=(4—1，3—A/2),

所以|cos&,m)\=["沙=——[6=|COsl50°|=卓，

MIMIV6j4+(A-l)2+(3-A)2

化簡可得，入2-4入+3=o,解得)=]或入=3,

所以尸(0,2,1)或P(0,2,3),

所以22P=1.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=aecX-Inx+lna.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若/(x)21,求°的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)q=e時，f(x)=x+1,

1

f'(x)---，

Jx

：.f(1)=e-1,

V/(l)=e+l,

???曲線V=/(%)在點(1,/(D)處的切線方程為歹-(e+1)=(e-1)(x-1),

當(dāng)％=0時，y=2,當(dāng)y=0時，1=5告，

...曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=*x2x言=占.

(2)方法一：由/(x)21,可得1-Inx+lna1,即，i+lna-Inx+lna^1,

1+lnalnx

即/+lna+x-1lnx+x=e+lnxf

令gG)=/+/,

則山⑺="+1>0,

：.g⑺在R上單調(diào)遞增，

Vg(lna+x-1)2gUnx)

Ina+x-1^Inx,

EPIna^lnx-x+1,

令h(x)=lnx-x+1,

:?h'(x)=——1=

xx

當(dāng)0<xVl時，h'(x)>0,函數(shù)為(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>l時，hr(x)<0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞減，

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:?h(x)Wh(1)=0,

Ina^Of

??ci1,

故q的范圍為［1,+°°).

方法二：由/(x)21可得1-Inx+lna^1,x>0,〃>0,

即ae^1-l^lnx-Ina,

設(shè)g(x)=/-x-1,

:?g'(x)=，-l>0恒成立，

：.g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

：.g(x)>g(0)=1-0-1=0,

-x-l>0,

即ex>x+\,

再設(shè)h(x)=x-1-Inx,

：.h'(x)=—,

XX

當(dāng)OVxVl時，h'(x)<0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時，h'(x)>0,函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，

：?h(x)2〃(1)=0,

Ax-1-Inx^O,

即1-1濘nx

?W12%,則ae^］

此時只需要證ax^x-Ina,

即證x(Q-1)三-Ina,

當(dāng)oil時，

??x(a-1)>0>-Ina恒成立，

當(dāng)OVqV1時，x(6Z-1)<0<-Ina,此時x(a-1)-Ina不成立,

綜上所述。的取值范圍為［1,+°°).

方法二：由題意可得xE(0,+8),aE(0,+8),

：.f(x)

易知，（x）在（0,+8）上為增函數(shù),

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11111

①當(dāng)OVQVI時，f(I)=a-l<0,f(—)=〃e萬t—a=a(ea-I)>0,

CL

1

???存在xoE(1,-)使得，(xo)=0,

當(dāng)(1,X0)時，f(X)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

(x)<f(1)=a+lna<a<l,不滿足題意，

②當(dāng)時，/1>O,lna>0,

.*./(x)2/1-Inx,

令g(x)=/1-Inx,

?，?g/(%)=/1—p

易知g'(x)在(0,+°°)上為增函數(shù)，

???g'(1)=0,

???當(dāng)立(0,1)時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)比(1,+8)時，g，(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

/.g(x)2g(1)=1,

即f即)21,

綜上所述。的取值范圍為［1,+°°).

方法四：V/(x)=aex1-Inx+lna,x>0,q>0,

：.f(x)=aexi-^,易知，(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

??7=Q，1在(0,+8)上為增函數(shù)，在0,+8)上為減函數(shù)，

???》=。/一1與在0,4-00)上有交點，

1

存在xoe(0,+8),使得/(xo)^ae^-1--=0,

xo

貝！J6zex°-1=—,貝！JIna+xo-1=-Inxo,KPlna=l-xo-Inxo,

xo

當(dāng)(0,xo)時，f(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xE(xo,+8)時，f(x)>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，

.*./(x)2/(xo)=aeXQ~1—Inxo+lna

1i

=-----lnxo+1-xo-lnxo=------2lnxo+l-xoNl

%0%0

?1

———2/nxo-x()NO

Xo

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設(shè)g(x)=—2lnx-x,

易知函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且g(1)=1-0-1=0,

???當(dāng)xE(0,1］時，g(x)20,

,1

.*.xoE(0,1］時，——2lnxo-xo^O,

設(shè)〃(x)=1-x-Inx,xE(0,1］,

：.h'G)=-V0恒成立，

：.h(x)在(0,1］上單調(diào)遞減，

：.h(x)