2024年人教版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用

第6課相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)

1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；

2、通過典型實(shí)例認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，能運(yùn)用圖形相似的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題（如何把

實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）.

施劉識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)。相似三角形的性質(zhì)

相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用

1.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相簧，對(duì)應(yīng)邊的比相笠.

2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.

相似三角形對(duì)應(yīng)高,對(duì)應(yīng)中線,對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

要點(diǎn)詮釋：

要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.

3.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

MBCS.B&，則半=半=與=匕

A'B'B'CC'A'

由比例性質(zhì)可得：一+&C+C4=kA'B'+kBC+kC'AZ

A'B'+B'C'+C'A'A'B'+B'C'+C'A'

AJ

Bc1

4.相似三角形面積的比等于相似比的平方

在48csM'B'C'，則處=匹_=￡1;

i=匕分別作出MB。與AA'BO的高AD和?D，則

A'B'B'C1CAf'

c-BCAD-kB'C'k-AD'

)△ABC—_JI________—2_____________—e

S晨F。-B'C'AD'-B'C'AD'

22

釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來

的.

'知識(shí)點(diǎn)02相似三角形的應(yīng)用

1.測(cè)量高度

測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決.

相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用

要點(diǎn)詮釋：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：

平面鏡測(cè)量法影子測(cè)量法手臂測(cè)量法標(biāo)桿測(cè)量法

2.測(cè)量距離

測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1.如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長(zhǎng)度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出

AB的長(zhǎng).

2.如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長(zhǎng).

要點(diǎn)詮釋:

1.比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離;

2.太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線.在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于

其對(duì)應(yīng)高的比;

3.視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）

4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角.

U能力拓展

考法01相似三角形的性質(zhì)

【典例1］如圖，在口ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，且DF=BE,EF與CD交于點(diǎn)

G.

(1)求證：BD//EF；

(2)若理_=2,BE=4,求EC的長(zhǎng).

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行四邊的判定與性質(zhì)，可得答案；

（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案.

【答案】B.

【解析】（1）證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC.

VDF=BE,

.?.四邊形BEFD是平行四邊形，

；.BD〃EF；

（2）:四邊形BEFD是平行四邊形，

；.DF=BE=4.

VDF/7EC,

.?.△DFGsCEG,

?DG,DF

"CGCE）

x3=6.

...CE=DF?CG=4

DG2

【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì).

【即學(xué)即練11在銳角4ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，4ABC和4BDE的面積分別等于18和2,

DE=2,求AC邊上的高.

A

【答案】過點(diǎn)B做BFXAC,垂足為點(diǎn)F,

VAD,CE分別為BC,AB邊上的高，

AZADB=ZCEB=90°,

又；/B=NB,

ARtAADB^RtACEB,

BDABBDBE

/.—=——，即m——=—,

BECBABCB

且/B=NB,

AEBD^ACBA,

.SMED/呵：2」

,?S-CAUCJ1891

??D?E—―,

AC3

又；DE=2,

/.AC=6,

???Sx；Ad8，，BF=6.

A

A

C

D

【典例2】己知：如圖,在ZkABC與4CAD中,DA〃BC,CD與AB相交于E點(diǎn),

且AE：EB=1：2,EF〃BC交AC于F點(diǎn)，Z\ADE的面積為1,求4BCE和4AEF的面積.

【答案與解析】；DA〃BC,

.,.△ADE^ABCE.

22

??SAADESABCE-AE;BE.

VAE：BE=1:2,

??SAADE:S/\BCE=1：4?

?SAADE-1,

??SABCE=4.

,**SAABC:S/\BCE二AB:BE=3:2,

??SAABC=6.

VEF//BC,

AAEF^AABC.

VAE:AB=1:3,

22

**?SAAEFSAABC-AE:AB—1:9.

._62

??SAAEF—---?

93

【總結(jié)升華】注意，同底（或等底）三角形的面積比等于該底上的高的比；同高（或等高）三角形的面積

比等于對(duì)應(yīng)底邊的比.當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方.

【即學(xué)即練2】如圖，已知MBC中，＜8=5,5C-3.0C=4,點(diǎn)尸在乂。上,(與

點(diǎn)4。不重合)，Q點(diǎn)在3。上.

(1)當(dāng)NQC的面積與四邊形以刁Q的面積相等時(shí)，求。尸的長(zhǎng).

(2)當(dāng)加5QC的周長(zhǎng)與四邊形R1BQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求。尸的長(zhǎng).

【答案】(1)^iiPCQ=S四114加0B

^HfCQ"

■.?PQHAB

.-.ECQsMCR

..獨(dú)=(丐2

SMOSCA

.CP_yf2

"CA~~

：.CP~2-J2-

(2)???APQC的周長(zhǎng)與四邊形R43Q的周長(zhǎng)相等.

CP+CQ+PA+AB+BQ

?.CP+CQ=^(AC+BC+AB')=6,

rPQHAB

?CQsMCB

CP_CQ

~AC~CB

CP_CP+CQ

~AC~AC+BC

CP__=6_

4_7

考法02相似三角形的應(yīng)用

【典例3】如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB=2.4m,直立在F處的觀測(cè)者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在同一

條直線上（點(diǎn)F,B,D也在同一條直線上）.己知BD=8m,FB=2.5m,人高EF=1.5m,求樹高CD.

【答案與解析】解：過E作EHLCD交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G,如下圖所示:

由已知得，EF±FD,AB±FD,CD±FD,

EH±CD,EH±AB,

四邊形EFDH為矩形，

二EF=GB=DH=L5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，

AG=AB-GB=2.4-1.5=0.9米，

EH±CD,EH±AB,

AGIICH,

...△AEG-ACEH,

AG=EG

CH西

-0.9_2.5

-CH-2.5+8；

解得：CH=3.78米，

DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米.

答：故樹高DC為5.2米.

【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形在實(shí)際問題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形.

【即學(xué)即練3】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗

下的墻腳距離CE=1.2m,窗口高AB=1.8m,求窗口底邊離地面的高度BC.

【答案】作EFLDC交AD于F.

VAD^BE,：.AFDE=￡BEC

又?：4DEF=4ECB=90。，

:?ADEFSAECB，

.DEEF

?-----=----.

ECCB

VAB/7EF,AD〃BE,

四邊形ABEF是平行四邊形,

.\EF=AB=1.8m.

3處空=理』卻

DE1.5

【典例4】如圖，正方形ABCBi中，AB=1.AB與直線1的夾角為30。，延長(zhǎng)CB1交直線1于點(diǎn)Ai,作正

方形A1B1C1B2,延長(zhǎng)C1B2交直線1于點(diǎn)A2,作正方形A2B2c2B3,延長(zhǎng)C2B3交直線1于點(diǎn)A3,作正方形

【思路點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得到AAi=2,

同理：A2A3=2（遂）2,A3A4=2（V3）\從而找出規(guī)律答案即可求出.

【答案與解析】2（加）2。14

解：：四邊形ABCBI是正方形,

AB=ABi,ABIICBi,

/.ABIIAiC,

?,.ZCAiA=30°,

AIBI=A/3?AAI=2,

.e*AIB2=AIB1=^/3,

AiA2—

同理：A2A3=2（遂）2

A3A4=2（V3）3

'''AnAn+l=2（＞/"§）”，

.A2014A2015=2（V3）2014,

故答案為：2（5）2014.

【總結(jié)升華】本題是相似性質(zhì)的運(yùn)用與找規(guī)律相結(jié)合的一道題，要注意從特殊到一般形式的變換規(guī)律.

羔分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8,另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3和4及x,

那么x的值（）

A.只有1個(gè)B.可以有2個(gè)C.有2個(gè)以上，但有限D(zhuǎn).有無數(shù)個(gè)

【答案】B.

【解析】x可能是斜邊，也可能是直角邊.

2.若平行四邊形ABCD中，AB=10,AD=6,E是AD的中點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)F,使△CBFs/\CDE,則BF的

長(zhǎng)為（）.

A.1.8B.5C.6或4D.8或2

【答案】A.

3.己知△ABCS/IDEF,若aABC與4DEF的相似比為之，則AABC與4DEF對(duì)應(yīng)中線的比為（）

4

A.工B.-1C.2D.也

43169

【答案】A.

【解析】VAABC^ADEF,AABC與4DEF的相似比為S,/.△ABC與4DEF對(duì)應(yīng)中線的比為

44

4.如圖G是AABC的重心，直線/過A點(diǎn)與BC平行.若直線CG分別與AB、/交于D、E兩點(diǎn)，直線BG與

AC交于F點(diǎn)，則4AED的面積：四邊形ADGF的面積=()

A.1：2B.2：1C.2：3D.3：2

【答案】D.

5.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，連接EF,分別交

AD,CD于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

AEA-EGnEG-AGpAB—BC

BEEFGHGDAECF0?翻

【答案】C.

【解析】???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BF,BE〃DC,AD=BC,

???E“AE-G,--EG'AG,-H-F--FC--CF,

BE-EFGH-GDEH-BC-AD

故選c.

6.如圖，在OABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE=2：3,連結(jié)AE、BE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,則

SADEF：SAEBF：SAABF等于（）

A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：25

【答案】A.

DEDF2

【解析】OVBCD中，AB〃DC,ADEF^AABF,

_（DE]_4S^FF_DF_2_4

豆罰=25-^7=5F=5=i0

（△DEF與AEBF等高，面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比），所以答案選A.

題組B能力提升練

7.將一副三角板按圖疊放，則AAOB與ADOC的面積之比等于.

D

BC

【答案】1：3.

【解析】VZABC=90°,ZDCB=90°

；.AB〃CD,.,.Z0CD=ZA,ZD=ZAB0,

.".△AOB^ACOD；又；AB：CD=BC：CD=1：遂

AAOB與ZXDOC的面積之比等于1：3.

8.如圖，ZXABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足NADC=NACB,若AC=2,AD=1,貝i|DB=.

【答案】3.

ACADAC222

【解析】VZADC=ZACB,ZDAC=ZBAC,AAACD^AABC,/.——=——,AB=----=——=4,

ABACAD1

；.BD=AB-AD=4T=3.

9.如圖，在APAB中，M、N是AB上兩點(diǎn)，且APilN是等邊三角形，△BPMs^PAN,則NAPB的度數(shù)是

【答案】120。.

【解析】ABPM^APAN,NBPM=/A,

△PMN是等邊三角形，/A+NAPN=60°,即NAPN+/BPM=60°,

：.NAPB=/BPM+/MPN+NAPN=60°+60°=120°.

10.若aABC與ADEF相似且面積之比為25：16,則AABC與4DEF的周長(zhǎng)之比為

【答案】5：4.

【解析】:△ABC與4DEF相似且面積之比為25：16,

.,.△ABC與4DEF的相似比為5：4；

.二△ABC與aDEF的周長(zhǎng)之比為5：4.

11.如圖，丁軒同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD,當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到

路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行20m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部，

已知丁軒同學(xué)的身高是L5m,兩個(gè)路燈的高度都是9m,則兩路燈之間的距離是

【答案】30m.

12.如圖，銳角4ABC中,AD,CE分別為BC,AB邊上的高，AABC和4BDE的面積分別等于18和2,DE=2,

則AC邊上的高為.

【答案】6.

【解析】；AD,CE分別為BC,AB邊上的高，

ZADB=ZBEC=90°,ZABD=ZEBC

ARtAABD^RtACBE

.ABBD

??一,

BCBE

.'.△ABC^ADBE

?..相似三角形面積比為相似比的平方,

.?/四］=更=9,.?i=3,

\DE）2DE

；.AC=3DE=3X2=6

h=2S_AABC/AC=2X18/6=6

即AC邊上的高是6.

題組C培優(yōu)拔尖練

13.為了測(cè)量圖（1）和圖（2）中的樹高，在同一時(shí)刻某人進(jìn)行了如下操作：

圖（1）：測(cè)得竹竿CD的長(zhǎng)為0.8米，其影CE長(zhǎng)1米，樹影AE長(zhǎng)2.4米.

圖（2）：測(cè)得落在地面的樹影長(zhǎng)2.8米，落在墻上的樹影高1.2米，請(qǐng)問圖（1）和圖（2）中的樹高

各是多少？

【解析】（1）VACDE^AABE,A—=——，

AEAB

又竹竿CD的長(zhǎng)為0.8米，其影CE長(zhǎng)1米，樹影AE長(zhǎng)2.4米,

AB=L92米.即圖1的樹高為1.92米.

（2）設(shè)墻上的影高落在地面上時(shí)的長(zhǎng)度為x,樹高為h,

:竹竿CD的長(zhǎng)為0.8米，其影CE長(zhǎng)1米，

?J_=二

"0.81.2

解得x=l.5（m）,

...樹的影長(zhǎng)為：1.5+2.8=4.3(m),

,J_=43

解得h=3.44(m).

14.某車庫出口處設(shè)置有"兩段式欄桿”，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，點(diǎn)E是欄桿兩段的連接點(diǎn)，當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí),

欄桿AEF升起后的位置如圖1所示（圖2為其幾何圖形）.其中AB±BC,DC±BC,EFIIBC,ZEAB=150°,

AB=AE=1.2m,BC=2.4m.

（1）求圖2中點(diǎn)E到地面的高度（即EH的長(zhǎng).%=1.73,結(jié)果精確到0.01m,欄桿寬度忽略不計(jì)）；

（2）若一輛廂式貨車的寬度和高度均為2m,這輛車能否駛?cè)朐撥噹?？?qǐng)說明理由.

【解析】解：（1）如圖，作AMLEH于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)N,

則四邊形ABHM和MHCN都是矩形，

ZEAB=150°,ZEAM=60°,

又AB=AE=1.2米，

EM=0.6后0.6x1.73=1.038=1.04（米），

EH=2.24（米）；

（2）如圖，在AE上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作BC,CD的垂線，垂足分別是Q,R,PR交EH于點(diǎn)K,不

妨設(shè)PQ=2米，

下面計(jì)算PR是否小于2米；