高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：解三角形及其應(yīng)用

專題08解三角形及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識(shí)盤(pán)點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精向紿

K正、余弦印與變形）

------(/-J+a2—2caco?8)

K內(nèi)角和定理）-c2轆01正空定理麻三角形

轆02余型定穌三角形

Ytin(/f=?inC)健03判后匍杉的的形狀

壁04三匐秒的好的個(gè)數(shù)

凝三觸的面積及應(yīng)用

_（o知識(shí)點(diǎn)一正、余弦定理及應(yīng)用）05

■（三角形中的三角函數(shù)關(guān)至）-三。E三角二三廣室,

型解三角形中的星鰥圉礴

-（解三角形中的常用結(jié)論》07

轆08三角形的中緣型、角物線

睡09多三角腱甌形的解三匍K

a=iKOsC-cCOBB

&=ocosC-CCOBJ

c=bcGsA-acaB

踞角形RMEZffl＜三角形）---（」＞3€?心修疝」＞疝3）

■＜三角形常用面積公式）

在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視

＜0^碇

域的叫做仰角，目斑螭私正現(xiàn)印的叫做侑角

壁01測(cè)嬖離問(wèn)題

。知識(shí)點(diǎn)二解三角形的實(shí)際應(yīng)用卜一筋番—從某點(diǎn)的§方向線蛔8W針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間密02測(cè)星角度問(wèn)題

的夾角叫做方位角，方位角e的范圉是0Ye〈36（r,轆03測(cè)量角度問(wèn)題

-方向角一舊成正南方向線與目標(biāo)方向線所成的角，通常表達(dá)為北癰漏東㈣

口原盤(pán)點(diǎn)?查；層外與

知識(shí)點(diǎn)1正、余弦定理及應(yīng)用

1、正、余弦定理與變形

定理正弦定理余弦定理

a2=b>2+c2—2/?ccosA；

a_____b_____c___

內(nèi)容sinA-sinB-sinC~2Rb2=c2+a2—2cacosB；

c2=a2+b2—labelsC

及+。2—〃2

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；cosA-2bc；

(2)a:b:c=sinA:sin3：sinC；c2+a2-b2

變形cos8-2ac；

a-\~b-\-ca

("sinA+sin8+sinCsinA4Z2+Z?2~C2

cosC~2ab

【注意】若已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，可用正弦定理.在根據(jù)另一邊所對(duì)角的正弦值確定

角的值時(shí)，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”及三角形內(nèi)角

和定理去考慮問(wèn)題.

2、解三角形中的常用結(jié)論

（1）三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，A+B+C=TI；變形：或芋=尹,

（2）三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

?ocA~\-BC三A+5C

①sin(A+3)=sinC；(2)cos(A+B)=-cosC；③sin-,-=cosy；④cos-?-=sin萬(wàn).

(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

(4)三角形中的大角對(duì)大邊：在△A3C中，A>B^a>b^sinA>sinB.

3、三角形常用面積公式

(1)S=/ha(ha表示邊〃上的高)；

(2)S=]〃Z?sinC=]〃csinB=]Z?csinA；

（3）S=%（a+6+c）（r為內(nèi)切圓半徑）.

知識(shí)點(diǎn)2解三角形的實(shí)際應(yīng)用

名稱意義圖形表示

/目標(biāo)

在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)/視線

鉛

仰角與俯角視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視垂角水平

線y角視線

、目標(biāo)

線在水平視線下方的叫做俯角

視線

從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻奖?/p>

435°東

方位角目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位V

角。的范圍是0。*<360。

例：（1）北偏東a：（2）南偏西a：

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的

方向角北f北f

銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）

【注意】（1）方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達(dá)形式，是同一問(wèn)題中對(duì)角的不

同描述.

（2）將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似值要求，同時(shí)還要注意所求的結(jié)果

是否符合實(shí)際情況.

X重點(diǎn)突破?春分?必檢

重難點(diǎn)01解三角形中的最值范圍問(wèn)題

1、三角形中的最值、范圍問(wèn)題的解題策略

（1）定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系，利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角

或邊角關(guān)系，并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.

（2）構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示.

（3）求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值.

2、求解三角形中的最值、范圍問(wèn)題的注意點(diǎn)

（1）涉及求范圍的問(wèn)題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，己知邊的范圍求角的

范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

（2）注意題目中的隱含條件，如A+B+C』，0<A<7t,b-c<a<b+c,三角形中大邊對(duì)大角等.

類型1角或三角函數(shù)值的最值范圍

【典例1］（2324高三下?山西?模擬預(yù)測(cè)）鈍角AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為“，6,。，若acos3=csinA,

則sinA+A/2sinB的最大值是.

【答案】|

4

［解析】因?yàn)閍cosB=csinA,由正弦定理得sinAcosB=sinCsinA,

irTL

又因?yàn)锳E。兀），可得sinAwO,所以sinC=cos_B,貝UC=三—區(qū)或C=—+3.

22

當(dāng)C=時(shí)，可得A=W，與“IBC是鈍角三角形矛盾，所以C=^+5,

.7C

0<A<—

2

由JT,貝！JA=j'r一23>0,可得7T

224

A+8+C=兀

所以sinA+V2sinB=sin+C）+^2sinB=cos2B+^2sinB

=-2sin2B+V2sinB+l=-2—+：,

所以當(dāng)sinB=1^時(shí)，sinA+0sin5的最大值為g.

【典例2］（2324高三下?福建廈門(mén)?三模）記銳角AABC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為若2cosc=改-:,

ab

則B的取值范圍是.

【答案】

【解析】因?yàn)?cosc=亞-￡,所以2"cosC=362—4,

ab

由余弦定理可得：248（：05。=/+廿-02,

可得〃=萬(wàn)02,在銳角的。中，由余弦定理可得:

2ac4

a2+b2>c23c

因?yàn)?，?即所以

b1+C1>a2

3爰邛,所以正

所以cosB=—

4。4

類型2邊或周長(zhǎng)的最值范圍

【典例1】（2324高三下.江蘇.月考）在"IBC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知。2一〃=℃

（1）若2=60。求C的大??；

b

（2）若AABC為銳角三角形，求一的取值范圍.

【答案】(1)90°；(2)(3,百)

【解析】(1)由題意，在AABC中，b1-a2=ac.,

由余弦定理得，a2+c2—lac-cosB=b1

??a2+c2—2tzc?,cosJ5—a?—etc，c—2acosB=a，

VA+B+C=180°,

sin(A+-2sinAcosB=sinA=^>cosAsinB-sinAcosB=sinA,

/.sin(B-A)=sinA,\B-A=A^B-A+A=TI(舍)，:.B=2A

VB=6Q°,,*.A=30°,/.C=180-A-B=90°.

(2)由題意及(1)得，在AABC中，B=2A,

△ABC為銳角三角形,

0<2A<I解得：棄人寸，

71

0<TC-A-2A<-

/.y/2<2cosA<@，

A

【典例2】（2324高三下?安徽淮北.二模）記AABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c-6=2csin2.

（1）試判斷AABC的形狀;

（2）若c=l,求AABC周長(zhǎng)的最大值.

【答案】（1）AABC是直角三角形；（2）V2+1

【解析】⑴由—吟可得叫"’所以『詈*

1b匚匚2.b

---J所以cosA=一，

畤-等22cc

又由余弦定理得“+C2一七="可得"+k=°2,所以c=5，

2bcc2

所以AABC是直角三角形

（2）由（1）知，AABC是直角三角形，且c=l,可得a=sinA,b=cosA,

所以AABC周長(zhǎng)為1+sinA+cosA=l+0sin[A+；）,

因?yàn)锳w[。,,），可符

所以，當(dāng)A=?時(shí)，即A/WC為等腰直角三角形，周長(zhǎng)有最大值為0+1.

類型3三角形面積的最值范圍

【典例1】（2324高三下?廣東茂名?一模）在AABC中，內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別是a,b,c,且

Z?sin（B+C）=asin

（1）求8的大小;

（2）若。是AC邊的中點(diǎn)，且8￡>=2,求u1BC面積的最大值.

【答案】⑴B十⑵苧

【解析】（1）vA+B+C=7t,.,.sinA=sin（5+C）,bsinA=asin冗；=acos：,

D

由正弦定理可得sin3sinA=sinAcos—,

2

???sinB=2sin-cos-,/.2sin-cos-sinA=sinAcos-,

22222

A,BE(0,7i),sinA0,cos—^0,/.sin—=—,即0='，gpB=—；

222263

(2)依題意，S^ABC=.acsinB二ac,

|麗+喇=2即"麗+明=4,(而+珂=16,

即a2+c2+2QCXCOS§=16,

即，+4+QC=16N3QC,當(dāng)且僅當(dāng)Q=C=上叵時(shí)，等號(hào)成立，

3

即℃<乎，:.△ABC面積的最大值為L(zhǎng)gx」L速.

32323

【典例2】(2324高三下?湖北武漢?二模)在AABC中，角A民C的對(duì)邊分別為a*,c,已知

(2a-c\cosB-bcosC=0.

(1)求8；

(2)已知/?=百，求go+2c的最大值.

【答案】⑴5=5；⑵歷.

【解析】(1)V(26i-c)cosB-Z?cosC=0,

由正弦定理得(2sinA—sinC)cossinBcosC=0,

2cosBsinA-cosBsinC-sinBcosC=0,BP2cosBsinA=sinBcosC+cosBsinC,

所以2cos4sinA=sin(B+C)=sinA,

VAG(0,7i),...sinAwO,/.cosB=^,

71

V0<B<7T,AB=-;

a_c_b_V3_

(2)由正弦定理，得sinAsinCsinB^3，

~2

1c-44"?AA'\27r.|

—?+2c=sinA+4sinC=smA+4sin------A

2I3)

=sinA+26cosA+2sinA=3sinA+26cosA=\/21sin(A+0),

X'*'0<A<,。為銳角，，sin(A+0)的最大值為J萬(wàn)，

ga+2c的最大值為01.

重難點(diǎn)02解三角形角平分線的應(yīng)用

如圖，在AABC中，力。平分乙84C,角4、B,C所對(duì)的邊分別問(wèn)a,b,c

(1)利用角度的倍數(shù)關(guān)系：^BAC=2乙BAD=2乙CAD

(2)內(nèi)角平分線定理：4D為△力BC的內(nèi)角NB4C的平分線，則第=箕

說(shuō)明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對(duì)邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就

可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問(wèn)題，運(yùn)用向量知識(shí)解決起來(lái)都較為簡(jiǎn)捷。

(3)等面積法：因?yàn)镾AABD+SAACD=SAABC，所以jc,ADs譏曰+=jbcs譏4

.A

所以(6+c)4D=2兒cos-,整理的：4。=—爐(角平分線長(zhǎng)公式)

2b+c

【典例1】(2324高三下?江西?模擬預(yù)測(cè))在AABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,其外接圓的半徑

為26,且反osC=“+與sinB.

3

(1)求角3；

(2)若N3的角平分線交AC于點(diǎn)。,8。=石，點(diǎn)E在線段AC上，EC=2EA,求的面積.

【答案】(1)B=與;(2)走.

32

【解析】(1)因?yàn)閆?cosC=a+4"CsinB,

3

由正弦定理可得sinBcosC=sinA+—sinCsinB,

3

XA=TI-(B+C),所以sinBcosC=sin(B+C)+#sinCsinB,

所以sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+sinCsinB,

3

即sinCcosBH■—-sinCsinB=0,

3

,.,CG(0,K),故sinCwO,

c-DE

/.cosBH-----sinB-0,即tanB=—y/3,

3

0

又㈤，貝”=7T

(2)由(1)可知，B=—,又外接圓的半徑為26；

由正弦定理可知上=4石，所以6=46sin至=6,

sinB3

171

因?yàn)?。是/ABC的平分線，i^ZCBD=ZABD=-ZABC=-f

又BD=A/3，由S^ABC=S/CD+S4BD，

nJW—?csin-=—a-V3sin—+—<??\/3sin—,即ac=^(a+c).①

232323v7

27r

由余弦定理可知，b2=a2+c2-2accos—,BP(tz+c)2-ac=36.②

由①②可知〃=c=20.所以BD_LAC,

又?.?EC=2AE,則。石=1,

所以S=—x1x6=.

△oBzDzEc2Y2

【典例2】（2324高三下?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）在AASC中，角C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知片=c（c+b）.

(1)求證：B+3C=n；

（2）若—ABC的角平分線交AC于點(diǎn)。，且a=12,6=7,求2。的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）4A/6.

【解析】(1)在AABC中，由余弦定理〃=<?+〃-2c6cosA及6=c(c+。)，

得。2-2McosA=Z?c,即b—2ccosA=c,

由正弦定理，得sinB-2sinCcosA=sinC,

gpsinC=sin(C+A)—2sinCcosA=sinAcosC—cosAsinC=sin(A—C),

由0<。<兀，得sin(A—C)=sinC>0,則0<A-C<A<TI,

因此C=A—C,即A=2C,則2c+5+。=兀，

所以5+3C=7r.

(2)由/=c(c+b),得122=C(C+7),由C>0,得C=9.

ABsinZADBsinZBDC_BC

在△ABD,△BCD中，由正弦定理,得ZR——

ADsinZABD~sinZCBD~~CD

912

則正萬(wàn)=^—解得A￡>=3,從而Z）C=4,

又cosZADB+cosZCDB=0,

由余弦定理，得手+破-9：+42+30-12?=0,解得3。=4#,

2x3BD2x4BD

所以BD的長(zhǎng)為4".

重難點(diǎn)03解三角形中線的應(yīng)用

1、中線長(zhǎng)定理：在A4BC中，AD是邊BC上的中線，貝ijAB?+AC?=20。2+人^）

【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中

2、向量法：AD2=（b2+c2+2bccosA）

【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知篙的值也適用）.

【典例1】（2324高三下?山西?三模）在AABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為已知

27r

4=彳，/+。2=24448。的外接圓半徑尺=2道,。是邊47的中點(diǎn)，則30長(zhǎng)為（）

A.72+1B.2百C.6亞D.721

【答案】D

【解析】由A=V，aA8C的外接圓半徑尺=2/，得a=2RsinA=2x2Gx也=6,

32

由片=廿+。2一2"cosA和/+c'=24得而=12,

又，，+；:24,解得b=c=25所以3=C=：（兀

be=122<3J6

因?yàn)椤坝?。中，。是邊AC的中點(diǎn)，所以麗=:（而+前），

于是師|=gj例+硝2=g^BA2+21BA||BC|cosAABC+BC

=；42+6ca+a1=1112+舟2舟6+36=庖.故選：D.

【典例2】（2324高三下?黑龍江哈爾濱?三模）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,"c,且。=若,2。邊

上中線AD長(zhǎng)為1,則歷最大值為（）

77

A.-B.—C.6D.25/3

42

【答案】A

【解析】由題意得NAD3+NADC=7I,所以COSNAD3+COSNADC=0,

又。=上,且。是3c的中點(diǎn)，所以。B=DC="，

2

7,2

在△ABD中,cosZADB=AD2+BD2-C24

2ADBD

7一從

在A4DC中，c-3+―4

2ADCDF

-7

所以

cosZADC+cosZADB==0'

y/3V3

7‘當(dāng)且僅當(dāng)』邛取等號(hào)，故選:A

gpb22=-^2bc<b2+c2=

+c2f24

法技巧?逆賽學(xué)霸

一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：

1、選定理.

（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；

（2）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；

（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；

（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；

（5）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊，利用余弦定理；

2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間

的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡(jiǎn).

3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并

注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。

【典例1】（2324高三下?浙江金華.三模）在AABC中，角AdC的對(duì)邊分別為。，b,c.若〃=近，b=2,

A=60°,貝I"為（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

b2+c2-a2

【解析】由余弦定理得cosA=

2bc

即22+/一（近），1,即C2-2C-3=0,解得C=3或C=T（舍）.故選：C.

2x2c2

【典例2】（2324高三下.江蘇.二模）設(shè)鈍角AASC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若。=2,

Z?sinA=^3,c=3,貝！I.

【答案】V19

【解析】由余弦定理得，COSAJ°=4=^2,

2bc6b6b

而由人sinA=J§\得sinB=/^,

b

因?yàn)锳ABC是鈍角三角形，且c>。，故A為銳角，所以cosA=Jl-1,

f―3-b2+5碗,日千門(mén)

所rnr以|Jl-yy=——，解得62=7或。?=19,

Vb6b

當(dāng)廿=7時(shí)，即〃=近，c>b>a,由大邊對(duì)大角得：最大角為C

cosC=--——=——/>0,故C為銳角，不符合題意；

Iba6x，7

當(dāng)。2=19時(shí)，即6=M，b>c>a,由大邊對(duì)大角得：最大角為B,

cos.=c2+"2J9+4T9<O,故B是鈍角，符合題意.

2ca6x2

【典例3】（2324高三下?廣東江門(mén)?二模）尸是44BC內(nèi)一點(diǎn)，ZABP=45°,ZPBC=ZPCB=ZACP=30°,

則tan/54P=（）

A.-B.-C.-D.；

3532

【答案】D

【解析】因?yàn)镹ABP=45。,/尸3C=N?C5=NACP=30。，

所以ABAC=180°-（45°+30°+30°+30。）=45°,

設(shè)NBAP=a,因?yàn)閆PBC=/PCB,所以BP=CP.

A

P

BC

APsin45°APsin30。

在AABRAACP中，由正弦定理可得”=-7,7^

D1olilIXsin（45°-cr）

sin45°_sin30°

則sina-sin（45°-a）'即sin45°sin（45°-a）=sin30°sina,

sma1上乙3c

即x（cosa-sina）=-sina斛得tan<7=-------=—.故選：D

222cosa2

二、判定三角形形狀的兩種常用途徑

1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；

2、邊化角：通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

【典例1】（2324高三下?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，角4昆C的對(duì)邊分別為6,c,若sin2A=sin2B,

則從1BC的形狀為.

【答案】等腰三角形或直角三角形.

【解析】因?yàn)閟in24=sin25,可得2sinAcosA=2sinBcosB,

由正弦定理和余弦定理，可得2?？?廠—“一二26?"一+廠一」，

2bclac

21222222224224

整理得a{b+c-a）=Z7（a+c-^）,即ac-a-bc+b=0,

即可得（片一/標(biāo)一心/卜。，

所以a=b或4+62=02,所以VRC是等腰三角形或直角三角形.

【典例2】（2324高三下?河北秦皇島?三模）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,。，且3=2C,

b=42a,貝!1（）

A.AABC為直角三角形B.AABC為銳角三角形

C.AABC為鈍角三角形D.AABC的形狀無(wú)法確定

【答案】A

【解析】由b=&a,可得sin3="J1sinA，

貝ljsin2C=A/^sin（兀-3。）=逝sin3C,

sin2C=5/2sin2CcosC+>/2cos2C-sinC，

2cosC=2V2cos2C+y/2（2cos2C-l）,

即4A/2COS2C-2COSC-72=0.

由5=2C>C,故C只能為銳角，可得cosC=4Z,

2

因?yàn)?<C<￡,所以C=￡,B=故選：A.

三、三角形的面積及應(yīng)用

1、三角形面積公式的使用原則：對(duì)于面積公式S=56sinC=；acsin8=*csinA,一般是使用哪一個(gè)角就使

用哪一個(gè)公式；

2、與面積有關(guān)的問(wèn)題：一般要用到正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化；

3、三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=（a+b）22ab將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩邊之和的問(wèn)題。

【典例11（2324高三下.重慶.三模）（多選）在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊為a/,c,若6=26,c=2,C=f,

則AABC的面積可以是（）

A.6B.3C.2A/3D.3#>

【答案】AC

【解析】由余弦定理得:片=<22+12-4V3<?cosy=4,

6

即a?—6〃一8=0,〃=2或4,故面積S=ga/?sinC=百或26.故選：AC.

【典例2】（2324高三下?福建莆田?三模）在AABC中，內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a也c,且

/?（cosC+l）=c（2-cosB）.

（1）證明：a+b=2c.

9，一.

（2）若a=6,cosC=~~,求aABC的面積.

16

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）”也或受正

416

【解析】（1）根據(jù)正弦定理知"（cosC+l）=c（2-cosB）=>sinBcosC+sinB=2sinC-sinCeosB,

整理得sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC=>sin（B+C）+sinB=2sinC,

因?yàn)锳+3+C=7t,所以sinA=sin（3+C）=>sinA+sin3=2sinC,

由正弦定理可得a+b=2c；

（2）因?yàn)閏osC=M，所以sinC=Jl-cos2c=m,

1616

97

由余弦定理可得，=/+廿一2必cosC,BPc2=36+b2-—b,

4

則4c2=144+4〃-276,

因?yàn)椤?6,所以6+b=2c,所以36+12Z?+》2=公2,

貝！J144+4/—27Z?=36+126+/,即/―13b+36=0,解得6=4或b=9,

當(dāng)b=4時(shí)，a=6,此時(shí)AABC的面積S=L〃OsinC=1x4x6x^^=,

22164

當(dāng)b=9時(shí)，〃=6,此時(shí)AABC的面積S=LqbsinC=^x6x9x,近=135/7.

221616

所以AABC的面積為"丑或空夕.

416

四、利用正弦定理解三角形的外接圓

利用正弦定理：-^―=—也==2R可求解三角形外接圓的半徑。

sinAsinBsinC

若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將R用含角的式子表示，再通過(guò)三角函數(shù)的范圍來(lái)求半徑的范圍。

【典例1】（2324高三下?云南?月考）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,記"RC的面

積為S,已知（6+c）2-a?=4石s,b-2,c=3,求AABC外接圓半徑R與內(nèi)切圓半徑r之比為（）

A7+3/D7+5近小6-幣66+3幣

9988

【答案】B

【解析】因?yàn)?+c）2-4=4百S,所以加+/-a2+?c=4/.；AsinA,

b1+C1-a11n;..

BnP------+1=A/3sinA,

2bc

由余弦定理，得代sinA-cosA=1,

2sin[Aq]=l,=

在三角形中Ae（O,兀），則A-或空（舍），故A=/

0003

由余弦定理，/=+/—2bccosA=4+9—2x2x3x—=7,所以〃=y/j,

Q=幣二2近n

由正弦定理，蓊飛-正,則氏=為，

因?yàn)楣ぃ≦+b+c）r=LbcsinA,

22

所以加sinA_2x3x5_3也,所以四==21處.故選：B.

5+

【典例2】（2324高三下?河南?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，角A氏。的對(duì)邊分別為久久。，且

ccosB+2acosA+ftcosC=0.

IT

（2）如圖所示，。為平面上一點(diǎn)，與AABC構(gòu)成一個(gè)四邊形ABOC,>ZB￡>C=-,若c=26=2,求AD

的最大值.

【答案】（1）A=y;（2）用

【解析】（1）因?yàn)?OS5+2〃COsA+Z2cosc=0,

由正弦定理得，sinCcosB+2sinAcosA+sinBcosC=0,

所以2sinAcosA+sin（3+C）=0,

所以2sinAcosA+sinA=0,

因?yàn)閟inAwO,所以cosA=—工，

2

因?yàn)槿恕辏?,兀），所以A=g.

（2）在AABC中,由余弦定理得'-=J。?+<2-2%OSA=J?+l，—2x2xlx=用,

27rjr

因?yàn)?BAC+/BDC=—+-=7i,

33

所以四邊形ABDC存在一個(gè)外接圓。，

…a出2而

所以圓。的直徑為“X一；i/一一^一丁，

sin——

3

因?yàn)锳DV2R,即叵，當(dāng)A。為圓。直徑時(shí)取等號(hào)，

3

故他的最大值為當(dāng).

五、利用解三角形解決測(cè)量距離問(wèn)題

1、解決方法：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、

余弦定理求解。

2、求距離問(wèn)題的注意事項(xiàng)

（1）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，

則把未知量放在另一確定三角形中求解.有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程（組），解方程（組）得

出所要求的量.

（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.

【典例1】（2324高三下?吉林?二模）如圖，位于某海域A處的甲船獲悉，在其北偏東60。方向C處有一艘

漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東15。，且與甲船相距/nmile的B處的

乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（