2024-2025學年人教版初中數(shù)學九年級上冊期末押題卷3（測試范圍：九年級上冊+九年級下冊第26章）（解析版）

人教版九年級數(shù)學期末押題卷03

考試時間：120分鐘試卷滿分：120分測試范圍：九上+九下第26章

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，則下列事件為必然事件的是

（）

A.兩枚骰子向上一面的點數(shù)和大于1

B.兩枚骰子向上一面的點數(shù)和等于3

C.兩枚骰子向上一面的點數(shù)和等于7

D.兩枚骰子向上一面的點數(shù)和大于12

【分析】根據(jù)必然事件，不可能事件，隨機事件的概念判斷即可.

【解答】解：A選項是必然事件，符合題意；

3選項是隨機事件，不符合題意；

C選項是隨機事件，不符合題意；

。選項是不可能事件，不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了必然事件，不可能事件，隨機事件的概念，理解必然事件的概念是解題的關鍵.

2.（3分）下列圖案中，是中心對稱圖形的是（）

A刀玲C?,召

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【解答】解：選項A、C、。都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，

所以不是中心對稱圖形，

選項8能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，

故選：B.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合.

3.（3分）小明正在玩飛鏢游戲，如果小明將飛鏢隨意投中如圖所示的正方形木框，那么投中陰影部分的概

率為（）

B.-Lc.AD.A

361834

【分析】根據(jù)題意，設每個小正方形面積為1,觀察圖形并計算可得陰影部分的面積與總面積之比即為所

求的概率.

【解答】解：設小正方形面積為1,觀察圖形可得，圖形中共36個小正方形，則總面積為36,

其中陰影部分面積為：2+2+3+3=10,

則投中陰影部分的概率為：」與=區(qū).

3618

故選：B.

【點評】本題考查了幾何概率的求法，關鍵在于計算陰影部分的面積之和，要根據(jù)矩形與三角形的面積

關系來計算各陰影部分的面積再求和.熟練掌握概率=相應的面積與總面積之比是解題的關鍵.

4.（3分）如圖所示，圓0的直徑與弦相交于點P.己知圓的直徑AB=4,NAPN=45°,則MF^+NP1

的值是（）

A.8&B.8C.4A/3D.4

【分析】過點0作于點C,連接ON,根據(jù)題意可得OC=PC,進而根據(jù)垂徑定理，有NC

MC,進而將政棧+可伊轉(zhuǎn)化為2。爐，即可求解.

【解答】解：如圖所示，過點。作OCLMN于點C,連接ON,則NC=MC,

VZAPN^45°,

OC=PC,

'：MP1+NP2=(NC-PC)2+(NC+PC)2

=2(Nd+pd1)

=2(NC2+OC2)

=2。解，

VAB=4,

：.ON=2,

：.MP1+NP2=2X22=8,

故選：B.

【點評】本題主要考查垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等，把式子A/P2+Np2進行變形是解題的關鍵.

5.(3分)如圖，將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)65°,得到△AED,若/E=35°,AD//BC,則下列結(jié)論

不正確的是()

A.AC=ADB.ZBAC=80°C.BC=AED.ZD=65°

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)判斷4再旋轉(zhuǎn)得/A4E=NCAO=65°,/E=/B=35°,由三角形的內(nèi)角和

定理求得乙4。8,再由平行線的性質(zhì)得/EA。，便可判斷8；由三角形內(nèi)角和定理求得乙D,便可判斷D；

由三角形的大角對大邊，小角對小邊，得出再由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得BC與AE的關系，從而判斷C.

【解答】解：：將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)65°得△AOE,

.,.AC—AD,故A正確；

由旋轉(zhuǎn)知，ZBAE=ZCAD=65°,ZE=ZB=35°,

/.ZAOB=180°-65°-35°=80°,

'：AD//BC,

：.ZEAD=ZAOB^O°,

NBAC=/8AE+NCAE=/CAr)+NCA￡'=NEA￡)=80°,故2正確;

.*.ZD=180°-ZEAD-ZE=180°-80°-35°=65°,故O正確；

'：ZD<ZEAD,

：.AE<DE,

由旋轉(zhuǎn)知，BC=DE,

：.AE<BC,故C錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關鍵.

6.（3分）已知二次函數(shù)y=（x-5）2-2,那么該二次函數(shù)圖象的對稱軸是（）

A.直線x=5B.直線％=-5C.直線x=2D.直線冗=-2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)，即可進行解答.

【解答】解：二次函數(shù)>=（X-5）2-2圖象的對稱軸是直線x=5,

故選：A.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握>=（X-/?）2+上的對稱軸為尤=〃，頂

點坐標為（〃，k）.

7.（3分）如圖，菱形ABC。中對角線AC與相交于點R且AC=8,BD=8?,若點尸是對角線8。

上一動點，連接AP,將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AE,使得/必E=NA4。，連接PE、EF,則在點尸

的運動過程中，線段跖的最小值為（）

【分析】連接QE,由菱形的性質(zhì)及AC=8,8。=8五得出AF=4,DF=AM，ACLDB,AB=AD,由

勾股定理得4。=8,進而得出，ZADB^ZABD^30°,證明三角形E48全等于三角形EZM,得出角

ADE=30°,得出當EP_L￡）E時EF最小.求出EF的長度即可.

【解答】解：連接。E,

,?,四邊形A3C。是菱形，且AC=8,20=8五,

.*.AF=AAC=4,DF=%D=4,,n

22

'JACLBD,BA^DA,

?,-A￡?=VAF2+DF2=3+(4通產(chǎn)=g,

AZADB=ZABD=30°,

將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)使得/抬E=/BAD,

：.AP^AE,ZBAD^ZFAE

：.ZBAP=ZDAE

在△血!「和△D4E中，

BA=DA

<ZBAP=DAE-

PA=AE

:.LBAP咨LDAE（.SAS）,

：.ZADE^ZABP^3Q°,

?.ZABD+ZADE=6Q°,

.?.當EB_LOE時EP最小，

此時/EFD=30°,

/.EF=DFXcosZEFD=4/3X逅=6.

2

故選：B.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)的值，找出全等的三角形

證明NAZ）E=30°是關鍵.

8.（3分）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)。=區(qū)-%與丫=（左W0）的大致圖象是（）

【分析】根據(jù)人的取值范圍，分別討論%>0和4<0時的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的

特點進行選擇正確答案.

【解答］解:當上>0時，

一次函數(shù)y=Ax-左經(jīng)過一、三、四象限，

函數(shù)梟W0）的圖象在一、二象限，

IXI

故選項②的圖象符合要求.

當ZVO時，

一次函數(shù)》=日-女經(jīng)過一、二、四象限，

函數(shù)>=1斗（ZWO）的圖象經(jīng)過三、四象限，

IxI

故選項③的圖象符合要求.

故選：B.

【點評】此題考查一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵.

9.（3分）已知二次函數(shù)丫二一+盧"?，當無取任意實數(shù)時，都有y>0,則（）

A.a<0,且B.a<0,且。機<工

44

C.a>0,且am<—D.a>0,且am>—

44

【分析】二次函數(shù)開口向上，當X取任意實數(shù)時，都有y>0,則呈-4就<0,據(jù)此即可列不等式求解.

【解答】解：由題意可知，a>0,b1-4ac=l-4am<0,

解得:a>0,且。機>

4

故選：D.

【點評】本題考查了拋物線與x軸交點個數(shù)，個數(shù)由廬-4碇的符號確定，當A=b2-4ac>0時，拋物

線與x軸有2個交點；八=房-4℃=0時，拋物線與x軸有1個交點；A=62-4ac<0時，拋物線與x

軸沒有交點.

10.（3分）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，AB^AD,ZBCD=120°,E、尸分別為8C、CD上一點，Z

EAF=30°,EF=3,。尸=1.則BE的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】延長EB至少，使=。尸，連接AF,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/54。=60°,/ABF

=ZADC,進一步證得△ABP'/△ADR得出A/=AF,BF'=DF=1,ZBAF'=ZDAF,然后根

據(jù)SAS證得△AEP^AAEF,即可求得BE=2.

【解答】解：延長國至尸，使B盧=DF,連接AF',

:四邊形ABC。內(nèi)接于OO,ZBCD=120°,

：.ZBAD=60°,ZABF'=ZADC,

"：ZEAF=3Q°,

ZBA￡+ZZ)AF=30°,

在△ABF和△A。/中，

'AB=AD

'NABF'=NADF，

BF'=DF

/.AABF'^AADF(SAS),

：.AF'=AF,BF'=DF=1,ZBAF'=ZDAF,

：.ZBAF'+ZBA￡=30°,

：.ZEAF'=ZEAF=3Q°,

在△?!斯'和AAE尸中,

AF，=AF

ZEAF7=NEAF，

AE=AE

/.AAEF'(SAS),

：.EF'=EF=3,

:.BE=3-1=2,

故選：B.

【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對角互補是

解答此題的關鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）若點M（a,-1）與點（1,b）關于原點對稱，則a+b=0.

【分析】平面直角坐標系中任意一點尸（x,y）,關于原點的對稱點是（-x,-y）,據(jù)此即可求得。與b

的值，則可以求得。+6的值.

【解答】解：：點M（a,-1）與點（1,b）關于原點對稱，

??〃=11b~~1>

/.a+b=O.

【點評】關于原點對稱的點坐標的關系，是需要識記的基本問題.

12.（3分）如圖，O。的弦48=8,圓心。到4B的距離為3,則G）。的半徑為5.

【分析】連接0A,根據(jù)垂徑定理求出AC=4,再根據(jù)勾股定理求出。4=5即可.

【解答】解：連接0A,

?.?弦43=8,圓心0到AB的距離OC=3,

OCLAB,

：.AC=BC=4,ZOCA=90°,

由勾股定理得：AO={oc2+AC2=d32+A2=5"

即。。的半徑為5,

【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股

定理.

13.（3分）等邊三角形邊長為x,面積為y,則v與x之間的函數(shù)關系為丫=返租.

4

【分析】根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得。為的中點，即在直角三角形A3。中，已

知A3、BD,根據(jù)勾股定理即可求得的長，即可求三角形ABC的面積，即可解題.

【解答】解：等邊三角形三線合一，即。為BC的中點，.,.2D=JDC=x,

在RtZXAB。中，AB^x,BD=2L,

_2

AAD=VAB2-BD2=哼方

.?.△ABC的面積為：y=2BC-AZ）=-lxxX返尤=近/,

2224

【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關系式以及勾股定理在直角三角形中的運用，等邊

三角形面積的計算，本題中根據(jù)勾股定理計算AD的值是解題的關鍵.

14.（3分）小李在罰球線上投籃結(jié)果的頻數(shù)表如下，則他一次投中的概率是0.5.（精確到0.1）

投籃次數(shù)50100150200250300500

n

投中次數(shù)285878104123152251

m

投中頻率0.560.5800.5200.5200.4920.5060.502

m

n

【分析】根據(jù)頻率與概率的關系進行解答即可.

【解答】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)：隨著投籃次數(shù)的增加，投中的頻率逐步趨于穩(wěn)定，在0.50左右浮動，故估

計概率為05

故答案為：0.5.

【點評】本題主要考查了頻率與概率的關系，解題的關鍵是熟練掌握：經(jīng)過大量重復實驗后，頻率會穩(wěn)

定在一個常數(shù)，就可以估計這個事件發(fā)生的概率.

15.（3分）如圖，點尸是反比例函數(shù)y=-2圖象上的一點，尸。垂直于彳軸于點。，則△P。。的面積為

【分析】因為過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值因，△P。。的面積為矩

形面積的一半，即」|3

2

【解答】解：由于點P是反比例函數(shù)y=-2圖象上的一點，

X

所以的面積5=上因=」|-2|=1.

22

故答案為：1.

k

【點評】主要考查了反比例函數(shù)yq中左的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得

矩形面積為因，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點.這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的

幾何意義.

16.（3分）將二次函數(shù)>=/-尤-12在無軸上方的圖象沿無軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得

到一個新圖象.若直線y^x+m與這個新圖象有3個公共點，則m的值為-13或-4.

【分析】如圖所示，過點A作直線>=無+利，將直線向下平移到恰好相切位置，根據(jù)一次函數(shù)y=x+/〃在

這兩個位置時，兩個圖象恰好有3個交點，即可求式的值.

【解答】解：如圖所示，直線/、”在圖示位置時，直線與新圖象有3個交點,

n'

y=x2-x-12,令y=0,貝!Jx=4或-3,則點A（4,0）,

，將點A的坐標代入y=x+m即可解得：機=-4,

???二次函數(shù)在x軸下方的圖象對應的函數(shù)表達式為：-12,

令y—x2-x-12—x+m,

整理得：J?-2x-12-m=0,

△=4+4（12+m）=0,解得：m=-13,

故答案為：-13或-4.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)與坐標軸的交點，涉及到一次函數(shù)、根的判別式、翻折的性質(zhì)等知識點，

本題的關鍵通過畫圖，確定臨界點圖象的位置關系.

三.解答題（共9小題，滿分72分）

17.（4分）如圖，線段繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到線段ALBI,若A的對應點為AI,8的對應點

為31,請用直尺和圓規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心。（不寫作法，保留作圖痕跡）

【分析】分別作441、的垂直平分線，它們的交點為。點.

【解答】解：如圖，點。為所作.

【點評】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也

相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)

后的圖形.

18.（4分）如圖所示，O。中弦AB=C￡）,求證：AD=BC.

【分析】連接ADBD,CB,由在同圓中等弦對等弧可得，弧42=弧8,根據(jù)等量減上等量還是等量

得AD=CB,可得

【解答】證明：連接A。，BD,CB,

'：AB=CD,

AAB-BD=CD-BD,

?*.AD=CB,

：.AD=BC.

【點評】本題利用了在同圓或等圓中，等弧對等弦及等弦對等弧求解.

19.（6分）在平面直角坐標系龍。》中，直線A與y軸交于點A（0,加），與反比例函數(shù)>=生（x>0）的圖

x

象交于點艮過點8作BHLx軸于H.

（1）若A（0,-3）,B（ml）,求直線/i的解析式；

（2）平移（1）中的直線/1,若直接寫出機的取值范圍.

【分析】（1）把8（ml）代入y=2（尤>0）求出〃=4,得出8的坐標是（4,1）,然后根據(jù)待定系數(shù)

法即可求得.

(2)若則母/=3|機求出兩種特殊位置優(yōu)的值，可得結(jié)論.

3

【解答】解：(1)把8(w,1)代入>=匡(x>0)得：〃=4,

x

即B(4,1),

設直線h的解析式為>=丘+6,

把A、8的坐標代入得：，4k+b=l,

lb=-3

解得心口，

lb=-3

一次函數(shù)的解析式是y=x-3.

(2)設直線A8交x軸于點C,由題意可知直線/i為y=%+m,

由題意，A(0,m),C(-m,0),

：.OA=OC=\m\f

???ABCH是等腰直角三角形,

若A0=25H,則BH=3|創(chuàng),

當m<0時，B(-衛(wèi)-,-3m),

3m

則有-4〃z=-A,解得m=-零■或但(舍棄),

3m33

當相>0時，B(』>,3m),

3m

則有27"=_￡,解得機=-逅(舍棄)或遮，

3m33

【點評】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會尋找特殊位置解決問

題，屬于中考?？碱}型.

20.(6分)已知拋物線>=辦2+公+1經(jīng)過點(1,-2),(-2,13).

(1)求a,b的值；

(2)若(5,力)，(m,n)是拋物線上不同的兩點，求機的值.

【分析】(1)把點(1,-2),(-2,13)代入y=a/+6x+l解方程組即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)拋物線的對稱性得到四=2,即可得到結(jié)論.

2

【解答】解：(1)把點(1,-2),(-2,13)代入》=0?+法+1得，Ja+b+l=-2,

14a~2b+l=13

解得：/a=1;

lb=-4

(2)由(1)得函數(shù)解析式為y=/-4x+l,

.?.對稱軸是直線尤=-二^=2,

2X1

V(5,n),(m,〃)是拋物線上不同的兩點，縱坐標相同，

(5,幾),(m,n)是對稱點，

,5"4TL一Q

2

解得m=-1.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關鍵.

21.(8分)為了迎接6.26世界禁毒日，積極籌備開展“6.26”國際禁毒日宣傳活動，某中學舉行了“禁毒

知識競賽”，李老師將九年級(1)班的學生成績劃分為A、B、C、。、E五個等級，并繪制了圖1、圖2

兩個不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中的信息解答下列問題：

(1)九年級(1)班共有50名學生;

(2)補全條形統(tǒng)計圖，并計算扇形統(tǒng)計圖中的“C”所對應的圓心角的度數(shù)；

(3)成績?yōu)锳類的5名同學中，有2名男生和3名女生，王老師想從這5名同學中任選2名同學進行

交流，請用列表法或畫樹狀圖的方法求選取的2名同學都是女生的概率.

【分析】（1）由8等級的人數(shù)和其所占的百分比即可求出總?cè)藬?shù)；

（2）求出D等級的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖；C等級的人數(shù)可知，而總?cè)藬?shù)已求出，進而可求出其所對應

扇形的圓心角的度數(shù)；

（3）畫出樹狀圖，得出所有等可能的情況數(shù)，找出剛好抽到2名同學都是女生的情況數(shù)，即可求出所求

的概率.

【解答】解:（1）由題意可知九年級（1）班共有學生人數(shù)為10?20%=50（名），

故答案為：50；

（2）D等級的人數(shù)為50-5-10-15-7=13（名），補全條形統(tǒng)計圖如圖1所示：

扇形統(tǒng)計圖中C等級所對應扇形的圓心角=360°義」互=108°；

50

（3）畫樹狀圖如圖:

所有等可能的情況有20種，其中選取的2名同學都是女生的情況有6種，

選取的2名同學都是女生的概率=旦=_工.

2010

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖以及概率公式；用到的知識點為：概

率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22.（10分）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價50元，每天

銷售量y（桶）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示.

（1）求y與龍之間的函數(shù)表達式；

（2）每桶消毒液的銷售價定為多少元時，藥店每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？（利潤=銷售

【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)表達式為>=依+5,將點（60,100）、（70,80）代入一次函數(shù)表達式,

即可求解;

（2）根據(jù)利潤等于每桶的利潤乘以銷售量得卬關于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：（1）設y與銷售單價x之間的函數(shù)關系式為：y=kx+b,

將點（60,100）、（70,80）代入一次函數(shù)表達式得:100=60k+b

80=7Ok+b

解得:k=-2

b=220

故函數(shù)的表達式為：y=-2x+220；

（2）設藥店每天獲得的利潤為w元，由題意得:

w=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)2+1800,

：-2<0,函數(shù)有最大值,

.?.當x=80時，w有最大值，此時最大值是1800,

故銷售單價定為80元時，該藥店每天獲得的利潤最大，最大利潤1800元.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用以及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，正確利用銷量X

每件的利潤=w得出函數(shù)關系式是解題關鍵.

23.（10分）如圖，已知AB是。。的直徑，點尸在BA的延長線上，弦BC平分NP3。，且于點

D.

(1)求證：尸。是O。的切線.

(2)若AB=8C7〃，BD=6cm,求弧AC的長.

P

【分析】(1)連接0C,利用同圓的半徑相等，角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)和切線的判定定理

解答即可；

(2)連接OC,利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式求得B4的長，在Rt^OCP中，利用直角三角

形的邊角關系和特殊角的三角函數(shù)值求得/COP的度數(shù)，再利用圓的弧長公式解答即可.

【解答】(1)證明：連接0C,如圖，

：.ZOCB=ZOBC.

■:弦BC平分/PBD,

：.ZOBC=ZDBC,

：.ZOCB=ZDBC.

：.OC//BD,

"：BD±PD,

：.OC±PD.

為oo的半徑，

;.尸。是。。的切線；

(2)解：連接。C,如圖,

PC_P0

而萬

4二PA+4

?=PA+8

：.PA=4.

：.PO=PA+OA=8.

在RtZ\OCP中，

：cos/COP=^=A,

OP2

ZCOP=60°.

二弧4c的長=60冗X4=.

1803

【點評】本題主要考查了圓的有關性質(zhì)，同圓的半徑相等，角平分線的定義，平行線的判定與性質(zhì)，切

線的判定定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關系定理，特殊角的三角函數(shù)值，連接經(jīng)

過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線.

24.(12分)如圖，在平面直角坐標系中，。是坐標原點，拋物線y=o?+bx-3與x軸交于A(-1,0)、

B(3,0),與y軸交于點C,其頂點為D點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)連結(jié)CD,動點。的坐標為(m,1).尸為拋物線上的一點，是否存在以3,D,Q,尸為頂點

的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P,。的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)連結(jié)。。、CQ,當NCQ。最大時，求出點。的坐標.

(2)求得頂點。(1,-4),分兩種情況討論，當。。為對角線時，當。尸為對角線時，根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)即可求解；

(3)記的外心為M,則M在OC的垂直平分線上(設與y軸交于點N),連接。加、

CM.由圓周角定理和三角函數(shù)的定義可表示出sinZCQO,可得出smZCQO的值隨著的增大而減

小，則可得OM與直線y=l相切，再結(jié)合勾股定理可求得。點的坐標.

【解答】解：(1):拋物線＞=。/+法-3與x軸交于A(-1,0)、B(3,0),

a-b-3=0

9a+3b-3=0

解得卜=1,

Ib=-2

拋物線的解析式為y=/-2x-3；

(2)'."y—x1-lx-3=(x-1)2-4,

：.D(1,-4),

當DQ為對角線時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，相當于BD向上平移1個單位，

VD(1,-4),B(3,0),

點B向上平移1個單位為點Q,

...點。向上平移1個單位為點尸，則點P的縱坐標為-3,

解方程f-2x-3=-3,得尤=0或x=2；

當x=0時，P(0,-3),即點。(1,-4)向上平移1個單位，向左平移1個單位，

...點B(3,0)向上平移1個單位，向左平移1個單位，得到點。(2,1),

當x=2時，同理P(2,-3),Q(4,1)；

即尸(0,-3),Q(2,1)或尸(2,-3),Q(4,1)；

當。尸為對角線時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，相當于2。向上平移5個單位，

:B(3,0),

.?.點尸的縱坐標為5,

解方程x2-2x-3=5,得，彳=-2或苫=4；

同理得尸(-2,5),。(-4,1)或尸(4,5),Q(2,1)；

綜上，P(0,-3),Q(2,1)或P(2,-3),Q(4,1)或P(-2,5),。(-4,1)或P(4,5),

Q(2,1)；

(3)如圖，記△0℃的外心為則/在OC的垂直平分線上(設MN與y軸交于點N).

連接。M、CM,則NCQ0=/NCM0=N0MN，MC^MO^MQ,

,,sin/CQO=sin/OMN=v

Um

J.smZCQO的值隨著OM的增大而減小.

y.'：MO=MQ,

：.當MQ取最小值時sinZCQO最大，

即MQ垂直直線y=1時，ZCQO最大，

此時，OM與直線y=l相切.

:.MQ=NF=25,MN-VOM2-ON2=2'

二。坐標為（2,1）.

根據(jù)對稱性，另一點（-2,1）也符合題意.

綜上可知，。點坐標