廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次教學(xué)調(diào)研試卷（含答案解析）

廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期第一次教學(xué)調(diào)研監(jiān)

九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.方程3--2x-6=0，一次項(xiàng)系數(shù)為（）

A.—2B.—2xC.—6D.6

2.矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線相等B.對(duì)角線互相平分

C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線互相垂直且相等

3.下列條件中，不能判定平行四邊形是矩形的是。

A.ZA=/CB.ZA=ZBC.AC=BDD.ABIBC

4.一元二次方程/-2x-5=0的左邊配成完全平方后所得方程為（）

A.（x+1）2=6B.（x-1）2=6C.（尤+2>=9D.（x-2）2=9

5.根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值，判斷方程辦2+區(qū)+0=0a,b,。為常數(shù)）的一個(gè)解x

的范圍是（）

X3.233.243.253.26

ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24

C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

6.如圖，在菱形45CQ中，連接助，若//=60。，BD=2,則菱形/BCD的面積為（）

A.4B.6C.273D.473

7.如圖，將矩形ABCD沿斯折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在A8邊的中點(diǎn)。上，若48=6,BC=9,

折痕為跖，則尸C的長為（）

試卷第1頁，共6頁

D'

9

A.5B.4C.3D.-

2

8.如圖，在菱形A8CD中，AC=16,BD=12,E是CO邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E分別作EFLOC

于點(diǎn)廠，EFLOC于點(diǎn)、G,連接FG,則尸G的最小值為()

A.4B.4.8C.5D.6

9.等腰三角形的底和腰是方程/-7x+12=0的兩個(gè)根，這個(gè)三角形的周長是()

A.11B.10C.11或10D.不能確定

10.隨著中考結(jié)束，初三某畢業(yè)班的每一個(gè)同學(xué)都向其他同學(xué)曾送一張自己的照片留作紀(jì)念,

全班共送了2256張照片，若該班有x名同學(xué)，則根據(jù)題意可列出方程為()

A.x(x-l)=2256B,x(x+l)=2256C.2x(x-l)=2256D.^-%(x-l)=2256

二、填空題

11.方程。+1)。-2)=-6,化成一般形式是.

12.如圖，在RtzXZBC中，CD是斜邊NB上的中線，48=10,貝!ICD=.

B

CA

13.若關(guān)于x的一元二次方程f-3x+〃z=0沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

14.如圖，正方形/由/。必八A2B2C2D2,A3B3C3D3./加4。4〃4的邊長分別為2、4、6、4,

四個(gè)正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)如，出，4分別位于正方形出以。。/、A?B2c2D2、A3B3C3D3

試卷第2頁，共6頁

的對(duì)角線的交點(diǎn)，則重疊部分的陰影部分的面積之和是

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形。43c的頂點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,3),

點(diǎn)2為第二象限的點(diǎn)，則點(diǎn)2的坐標(biāo)為.

三、解答題

16.解方程：

(1)2(JC-3)=3JC(X-3).

(2)2X2+3X-5=0.

17.如圖：在平行四邊形A8C。中，用直尺和圓規(guī)作/AID的平分線交5C于點(diǎn)E(尺規(guī)

作圖的痕跡保留在圖中了)，連接跖.判斷四邊形43環(huán)的形狀，并說明理由：

18.如圖，在矩形48CD中，AB>BC,/C是對(duì)角線.

試卷第3頁，共6頁

(1)尺規(guī)作圖：作線段NC的垂直平分線所，分別交NC,AB,CD于點(diǎn)。、E、尸(不寫

作法，28鉛筆作圖，保留清晰、規(guī)范的作圖痕跡)；

⑵在(1)的條件下，求證：BE=DF.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程V-/x-2=0

(1)若x=T是方程的一個(gè)根，求加的值和方程的另一根；

(2)證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)加，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

20.2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)在全國各地積極開展.某品牌頭盔的銷量逐月

攀升，已知4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長率

相同.

(1)求該品牌頭盔銷售量的月平均增長率；

(2)若此頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，經(jīng)測(cè)算當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為300個(gè)；售價(jià)每上

漲1元，則月銷售量減少10個(gè)，為使月銷售利潤達(dá)到3960元，并盡可能讓顧客得到實(shí)惠，

則該品牌頭盔的售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？

21.如圖，一輪船以40km/h的速度由西向東航行，在途中點(diǎn)C處接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心

點(diǎn)B正以20km/h的速度由南向北移動(dòng).已知距臺(tái)風(fēng)中心200km的區(qū)域(包括邊界)都屬于

受臺(tái)風(fēng)影響區(qū).當(dāng)輪船接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí)，測(cè)得BC=500km,BA=300km.(假定輪船不改變

航向).

(1)如果這艘輪船不改變航向，經(jīng)過11小時(shí)，輪船與臺(tái)風(fēng)中心相距多遠(yuǎn)？此時(shí)，輪船是否

受到臺(tái)風(fēng)影響；

(2)如果這艘輪船受到臺(tái)風(fēng)影響，請(qǐng)求出輪船受到臺(tái)風(fēng)影響一共經(jīng)歷了多少小時(shí).

點(diǎn)。出發(fā)沿向終點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)以同樣的速度

沿80向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，作CMLx軸，交折線CM-48于點(diǎn)作DNLx軸，交折線創(chuàng)-/O

試卷第4頁，共6頁

于點(diǎn)N,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f.

⑴求直線4的表達(dá)式；

(2)在點(diǎn)C,點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過程中.

①當(dāng)點(diǎn)M,N分別在。1,48上時(shí)，求證四邊形CA〃VD是矩形.

②在點(diǎn)C,點(diǎn)。的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)四邊形CMVD是正方形時(shí)，請(qǐng)你直接寫出f的值.

⑶點(diǎn)尸是平面內(nèi)一點(diǎn)，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，問是否存在以點(diǎn)尸，O,A,C為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

23.定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的

“中點(diǎn)四邊形如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四

邊形

概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

問題解決：如圖2,以銳角V4BC的兩邊/8、/C為邊長，分別向外側(cè)正方形和正方

形/CFG,連接3尸、EG、GC.求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”：

性質(zhì)探究：如圖1,四邊形N8C。是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形N8C。的兩

條站論：①②一

拓展應(yīng)用：如圖3,已知四邊形/BCD是“中方四邊形”，M,N分別是CD的中點(diǎn)，

(1)試探索NC與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)若Z8+CD的最小值是4,則3。的長度為一，(不需要解答過程)

試卷第5頁，共6頁

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參考答案:

題號(hào)12345678910

答案ABABCCABCA

1.A

2

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax+bx+c=0（a,b,C是常數(shù)且"0）,其中。，b,

c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).

【詳解】解：方程3X2-2X-6=0,一次項(xiàng)系數(shù)為-2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵把握要確定一次項(xiàng)系數(shù)，首先要把

方程化成一般形式.

2.B

【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，因而平行四邊形的性質(zhì)就是四個(gè)圖形

都具有的性質(zhì).

【詳解】平行四邊形的對(duì)角線互相平分，而對(duì)角線相等、平分一組對(duì)角、互相垂直不一定成

立.

故平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是：對(duì)角線互相平分.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四邊形的性質(zhì)，理解四個(gè)圖形之間的關(guān)

系是解題關(guān)鍵.

3.A

【分析】本題考查了矩形的判定，掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)矩形的判定逐個(gè)判斷即

可.

【詳解】解：A、=不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形，符合題意；

B、ZA=ZB,4+4=180。，所以44=/8=90。，可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，不

符合題意；

C、AC=BD,對(duì)角線相等，可推出平行四邊形N8C。是矩形，不符合題意；

D、ABLBC,所以￡）2=90°,可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，不符合題意.

故選：A

4.B

【分析】把常數(shù)項(xiàng)-5移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)-2的一半的平方.

答案第1頁，共19頁

【詳解】把方程N(yùn)-2x-5=0的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到N-2X=5,方程兩邊同時(shí)加

上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得至限x2-2x+(-1)2=5+(-1)2,配方得：(x-1)占6.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程.配方法的一般步驟：

(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；

(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；

(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍

數(shù).

5.C

【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，令y=ax2+"+c(aHO,a,6,c為常數(shù)),

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，方程辦2+云+C=0有解，進(jìn)而可求解.

【詳解】解：y=ax2+bx+c(awO,a,b,c為常數(shù))，

當(dāng)x=3.24時(shí)，ax1+bx+c=-0.02,

當(dāng)x=3.25時(shí)，ax1+/>x+c=0,03>

.?.3.24<x<3.25時(shí)，二次函數(shù)〉=?2+法+0的圖象與彳軸有一個(gè)交點(diǎn)，

即方程"2+加+0=0的一個(gè)解x的范圍是3.24<x<3.25,

故選C.

6.C

【分析】先由菱形性質(zhì)得NB=8C=CD=4),ACLBD,AO=-AGDO=-BD,結(jié)合

22

/DAB=60°,可得△/AD為等邊三角形，而30=2,可得4D=BD=2,再運(yùn)用勾股定理

列式計(jì)算40=J/加_=6從而可得答案.本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，

菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟記等邊三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接/C,如圖：

答案第2頁，共19頁

AB=BC=CD=AD,ACLBD,AO=-AGDO=-BD,

22

/DAB=60°,

為等邊三角形，ZDAC=30°,

BD=2,

AD=BD=2,DO=1,AC)7Alf-DO=百，

，AC=2。,

：.菱形/BCD的面積為:NCXAD=；X2GX2=25

故選：C.

7.A

【分析】本題考查翻折變換，掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)折疊的性質(zhì)可

知，F(xiàn)C=FC,利用勾股定理求出3尸，從而得出尸C即可.

【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，F(xiàn)C=FC,

沒BF=x,貝！|/。=尸。'=9一x,

■：BF2+BC'2=FC'2,

:.x2+32=(9-x)2,

解得：x=4,

:.BF=4,

：.FC=BC-BF=5.

故選：A.

8.B

【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及垂線段最短等知

識(shí).連接根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得NCOD=90。，CD=10,再證明四邊形OGM

是矩形，進(jìn)而得出G尸=?！?當(dāng)。石，力。時(shí)，OE最小，即尸G取最小值，即可得出答案.

【詳解】解：如下圖，連接OE,

答案第3頁，共19頁

在菱形48C。中，AC=16,BD=U,

：.ZCO￡>=90°,C￡>=Jg+oc，=弁+62=10,

,/EFYOC,EFLOC,

**?四邊形OGEF是矩形，

???GF=OE,

???bG的最小值，即OE最小值，

???當(dāng)。￡_L4C時(shí)，OE最小，

■：S^OCD=^OC-OD=^CDOE,

—x8x6=—xlOxOE,

22

OE=4.8,

?！曜钚?.8,

即尸G的最小值為4.8,

故選：B.

9.C

【分析】根據(jù)方程可以求得方程的根，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可以求得這個(gè)三角形的周長.

【詳解】vx2-ix+n=o,

(x-3)(x-4)=0,

解得，xi=3,X2=4,

?.?等腰三角形的底和腰是方程X2-7X+12=0的兩個(gè)根，

...當(dāng)4為底邊時(shí)，則腰為3,因?yàn)?+3=6>4,此時(shí)三角形的周長是：3+3+4=10,

當(dāng)3為底邊時(shí)，則腰為4,此時(shí)三角形的周長是：3+4+4=11,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程-因式分解法、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)，解

答案第4頁，共19頁

答本題的關(guān)鍵是明確解方程的方法，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.

10.A

【分析】若該班有x名同學(xué)，那么每名學(xué)生送照片。-1)張，全班應(yīng)該送照片尤(x-l)張，那

么根據(jù)題意可列得方程.

【詳解】解：若該班有x名同學(xué)，那么每名學(xué)生送照片(X-1)張，全班應(yīng)該送照片尤(X-1)張,

則可列方程為尤0-1)=2256.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是列

出方程；弄清每名同學(xué)送出的照片是(x-1)張是解決本題的關(guān)鍵.

11.x2—x+4=0

【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，先展開，移項(xiàng)，即可得出G2+bx+c=0

的形式即可.

【詳解】(X+1)(X-2)=-6,

整理，得/-2x+x-2=-6,

Wx2-x+4=0.

12.5

【分析】本題主要考查直角三角形斜邊中線定理，熟練掌握直角三角形斜邊中線定理是解題

的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：在中，CO是斜邊48上的中線，48=10,

CD=-AB=5；

2

故答案為5.

13.m>—

4

【分析】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式

即可得出關(guān)于％的一元一次不等式，解不等式即可求出優(yōu)的取值范圍，熟知一元二次方程

的根與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???方程f-3x+〃z=0沒有實(shí)數(shù)根，

/.A=(-3)2-4m<0,

9

解得m>~,

4

答案第5頁，共19頁

_9

故答案為：m>--

4

14.14

【分析】如圖，因?yàn)樗倪呅蝂/BC/。/,/282C2D2是正方形，過出作2/G,GD的垂線，垂

足分別為￡，F(xiàn),先證△出絲△血EN,從而推得四邊形加MC/N的面積為正方形出以。。

面積的四分之一，同樣的方法，求得另外兩個(gè)陰影部分面積，即可解決.

【詳解】解：設(shè)正方形AiBiCiDi.A2B2c2D2、483c3。3中的面積分別為S/,&,&,

如圖，設(shè)出為與氏。交于點(diǎn)M,A2D2與CiDi交于點(diǎn)N,過血分別作A2ELB1C1于E,A2F1.C1D1

于R連接加G，A2BI，

...四邊形出氏GD是正方形，出是對(duì)角線的交點(diǎn)，

:.A2cl平分/BICLDI,且△43/C1是等腰直角三角形,

'：A2E±BICI,A2FLC1D1,

.\A2E=A2F=-BjCi,

2

ZA2EC1=ZBiCiD]=ZA2FC1=90°,

，四邊形A2EC1F為正方形，

CiE=AzE=-B1C1,

2

1.,四邊形A2B2C2D2是正方形,

/B2A2口2=/E/F=90°,

ZEA2M=/FAN,

在Z2EM與AAzFN中，

ISAiEM=i)A2FN

1^E=A2F,

EA2MFA^N

:.AA2EM沿AA2FN(ASA),

答案第6頁，共19頁

Sy!&FN，

A2EM

2

二

?.S/—S[—Sy.2尸M+S四邊形切2尸0一§正方形為EC—-一1,

同理：S2=正方形4232c2。2=4,$3二-S正方揚(yáng)/sG。,-9，

陰影部分的面積和為：1+4+9=14,

故答案為：14.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等

三角形是解本題的關(guān)鍵.

15.(-2,4)

【分析】先作/軸，作CFLx軸，于點(diǎn)尸，點(diǎn)B作BELCF,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明

AAOH為OCF為CBE,可得OF=CE=4H,CF=BE=OH,即可得出答案.

【詳解】過點(diǎn)N作軸，于點(diǎn)〃，過點(diǎn)C作C尸，x軸，于點(diǎn)尸，過點(diǎn)8作5ELCF,

交FC的延長線于點(diǎn)E.

ZAHO=ZCFO=NBEC=90°.

:點(diǎn)/(1,3),

；.AH=3,OH=1.

:四邊形N0C8是正方形，

:.AO=CO=BC,ZAOC=ABCO=90°,

NAOH+ZCOF=NCOF+NFCO=ZFCO+NBCE=NBCE+NEBC=90°,

ZAOH=ZFCO=ZEBC,

：.AAOH迫AOCF迫KBE,

：.OF=CE=AH=3,CF=BE=OH=1,

...點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-(3-1)=-2,縱坐標(biāo)為1+3=4,

答案第7頁，共19頁

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-2,4).

故答案為：(-2,4).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的

坐標(biāo)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2

16.(l).r,=-,X2=3

,5

(2)占=1,x2=--

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解

法、公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵.

(1)移項(xiàng)后用因式分解法求解即可；

(2)直接用因式分解法求解即可.

【詳解】(1)解：???2(x-3)=3x(x-3),

:.3x(x-3)-2(x-3)=0,

.-.(3x-2)(x-3)=0,

3x-2=0或尤-3=0,

7

解得：X1=->尤2=3;

(2)2x2+3x-5=O,

(x-l)(2x+5)=0,

x-1=0或2x+5=0,

解得：無i=l,X2=-：.

2

17.四邊形為菱形；理由見解析

【分析】本題主要考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握菱形的判定方法，根據(jù)作圖得出48=4F,4E平分NB4D,證明=,

得出AB=BE,證明=AF//BE,得出四邊形/BE/為平行四邊形，根據(jù)48=2E,

得出四邊形/BE尸為菱形.

【詳解】解：四邊形43跖為菱形，理由如下：

根據(jù)作圖可知：AB=AF,4E平分NB4D,

答案第8頁，共19頁

???/BAE=/DAE,

V四邊形ABCD為平行四邊形,

???AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB,

???NBAE=ZAEB，

：.AB=BE,

：.AF=BE,

,:AF〃BE,

：.四邊形ABEF為平行四邊形，

AB=BE,

???四邊形環(huán)為菱形.

18.(1)見解析

⑵見解析

【詳解】(1)解：圖形如圖所示:

(2)證明：???四邊形/BCQ是矩形，

:.AB=CD,AB//CD,

:.ZFCO=ZEAO,

由作圖可知：川垂直平分4。，

???OC=OA,

ZFCO=ZEAO,OC=OAfZFOC=ZEOA,

“COF知AOE(ASA),

CF=AE,

:,CD-CF=AB-AE,

答案第9頁，共19頁

即DF=BE.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，矩形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的

判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

19.(l)m=l,方程的另一根為x=2

⑵見解析

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若為，超是一元二次方程辦2+及+，=0值*0)的兩

bc

不艮，/=---，X|X二—.

a2a

(1)設(shè)方程的另一根為人根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到-1+，=%，-lx?=-2,然后解兩個(gè)方

程即可；

(2)計(jì)算判別式的值得到A=〃/+8,則利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷△>(),然后根據(jù)判別式的

意義可判斷對(duì)于任意實(shí)數(shù)加，這個(gè)一元二次方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【詳解】(1)解：設(shè)方程的另一根為，，

根據(jù)題意得—1+/=，"，-1x7=-2,

解得t—2,"7=1,

即加=1,方程的另一根為x=2；

(2)證明：A=Z)2-4ac=m2+8,

因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)小，m2>0,

所以川+8>0，

所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)⑺，這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

20.(1)20%

(2)48元/個(gè)

【分析】(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為x,根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的

月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)售價(jià)增加了x元，根據(jù)題意列一元二次方程，再取合適的值，進(jìn)而求售價(jià).

【詳解】(1)解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為X,

150(1+X)2=216,

答案第10頁，共19頁

解得：Xj=—=20%,x2=——(舍)

答：該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為20%.

(2)解：設(shè)售價(jià)增加了x元.由題意可得：

(40+x-30)(300-10x)=3960,

x2-20x+96=0,

(x-12)(x-8)=0,

解得：X]=12(舍)x2=8,

售價(jià)=40+8=48(元/個(gè))

答：該品牌頭盔的售價(jià)應(yīng)定為48元/個(gè).

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

21.(1)40V5km,輪船受到臺(tái)風(fēng)影響；(2)輪船受到臺(tái)風(fēng)影響一共8小時(shí).

【分析】(1)直接利用勾股定理得出AC的長，進(jìn)而利用勾股定理求出輪船與臺(tái)風(fēng)中心距離,

然后通過比較判斷輪船是否受到臺(tái)風(fēng)影響；

(2)利用勾股定理結(jié)合一元二次方程解法得出輪船受到臺(tái)風(fēng)影響時(shí)間.

【詳解】解：(1)VCB=500km,AB=300km,

AC=yJcB2-AB2=400(km),

J(11X40-400)2+(300_11X20)2=406(km),

V40V5<200,

此時(shí)，輪船受到臺(tái)風(fēng)影響；

(2)設(shè)輪船受到臺(tái)風(fēng)影響時(shí)間為t,

由題意得：(400-40t)2+(300-20t)2=2002,

解得：h=7,t2=15,

輪船受到臺(tái)風(fēng)影響時(shí)間：15-7=8(小時(shí))，

答：輪船受到臺(tái)風(fēng)影響一共8小時(shí).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意得出關(guān)于x

的等式是解題關(guān)鍵.

答案第11頁，共19頁

3

22.(l)y=——x+6

4

(2)①見解析；②/若或II

⑶存在，月(4,-3),P(9,3),P

23r3

【分析】（I）先將點(diǎn)/的坐標(biāo)代入直線4的表達(dá)式，求出機(jī)的值，再設(shè)直線4的表達(dá)式為

y^kx+b,將點(diǎn)A（4,3）,B（8,0）代入直線4的表達(dá)式，即可求解；

（2）①先由CM_L08,DNVOB,可得/MCB=/NDB=90。,仄而CM〃DN,由題意

可知：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（f,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（8T,0）,可得點(diǎn)”的坐標(biāo)為點(diǎn)

N的坐標(biāo)為故CM=DN,所以四邊形C肱VD是平行四邊形，再由NMC8=90。,

即可判定四邊形CMND是矩形；

②分0V/V4和4<tW8兩種情況討論，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CD=CM,即可建立關(guān)于I

的方程，求解即可；

（3）分。/為菱形的邊和對(duì)角線兩種情況討論，利用菱形的性質(zhì)，以及點(diǎn)的平移規(guī)律，即

可求解.

【詳解】（1）解：.?,點(diǎn)A（4,加）在直線［上，

3

.?.加=—x4=3.

4

???點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,3）.

設(shè)直線4的表達(dá)式為歹=履+尻

3=4k+b

將點(diǎn)A（4,3）,B（8,0）分別代入〉=履+人得

0=8左+b'

k」

解得4.

b=6

3

二?直線/2的表達(dá)式為y=--x+6.

(2)解：?-CM1OB,DNLOB,

/MCB=ZNDB=90°.

CM//DN,

答案第12頁，共19頁

由題意可知：點(diǎn)c的坐標(biāo)為a,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（8-/,o）,

二點(diǎn)M的坐標(biāo)為，j,，點(diǎn)N的坐標(biāo)為

CM=DN.

，四邊形CMND是平行四邊形.

ZMCB=90°,

，四邊形CMND是矩形.

②當(dāng)0VIV4時(shí)，由題意可得點(diǎn)。的坐標(biāo)為a,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（87,0）,

二點(diǎn)加■的坐標(biāo)為c.

3

:.CD=8-t-t=S-2t,CM=-t.

4

,??四邊形CMVD是正方形，

3

:.CD=CM,BP8-2/=-/.

解得才若32.

當(dāng)4</48時(shí)，由題意可得點(diǎn)。的坐標(biāo)為0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（8T,0）,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為+

/、3

CD=/—（8—/）=2/—8,CM=—/+6.

4

四邊形CWD是正方形，

3

：.CD=CM,BP2z-8=--z+6.

4

解得小泉

綜上所述，/的值為II或II.

（3）解：當(dāng)。/為菱形的邊時(shí)，有。/=OC或。/=ZC,

①當(dāng)CM=OC時(shí)，如圖，

答案第13頁，共19頁

?.,以點(diǎn)P,O,A,C為頂點(diǎn)的四邊

形是菱形，

OC=OA=V42+32=5，

：.C(5,0)

：?點(diǎn)。到點(diǎn)4的平移方向、距離和點(diǎn)C到點(diǎn)P的平移方向、距離是相同的,

,點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)/(4,3),

六點(diǎn)產(chǎn)(5+4,0+3),即點(diǎn)尸(9,3)；

②當(dāng)CM=/C時(shí)，如圖，

.為菱形O4CP的對(duì)角線,

二點(diǎn)尸與點(diǎn)/關(guān)于x軸對(duì)稱，

??,點(diǎn)/(4,3),

二點(diǎn)尸(4,-3)；

當(dāng)CM為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖,

答案第14頁，共19頁

???以點(diǎn)尸，。，A,C為頂點(diǎn)的四邊形

是菱形,

:.AC=OC,

,點(diǎn)。(0,0),點(diǎn)/(4,3),點(diǎn)CG,0),

-+(3-0)=t,

解得好2白5，

o

???四邊形尸是菱形,

二點(diǎn)C到點(diǎn)/的平移方向、距離和點(diǎn)O到點(diǎn)尸的平移方向、距離是相同的,

???點(diǎn)。(0,0),點(diǎn)/(4,3),點(diǎn)Cf'4

綜上所述，存在，4(4,-3),P2(9,3),P3

【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、矩形的判定、正方形的性質(zhì)、解一

元一次方程、菱形的性質(zhì)、點(diǎn)的平移規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論和數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思

想解決實(shí)際問題.

23.概念理解：D；

問題解決：見解析；

性質(zhì)探究：①AC=BD；②AC工BD；

拓展應(yīng)用：(1)MN=—AC.理由見解析；(2)272.

2

【分析】對(duì)于概念理解，結(jié)合“中方四邊形”的定義解答即可;

答案第15頁，共19頁

對(duì)于問題解決，設(shè)四邊形8CGE的邊BC,CG,GE,8￡的中點(diǎn)分別為M,N,R,L,連接CE交

4B于點(diǎn)、P,連接&G交CE于點(diǎn)K,先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)說明四邊形跖\他是平行四

邊形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)證明名△R4G,可證明平行四邊形MM匕是菱形，

然后說明NLVW=90。，可得答案；

對(duì)于性質(zhì)探究，根據(jù)上述解答過程可得答案；

對(duì)于拓展應(yīng)用，（1）標(biāo)注ND,3c的中點(diǎn)為E,F,連接BD,EN,NF,FM,EM,根據(jù)“中方

四邊形”的定義得四邊形近VFM是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得MN=6FN，即可得出答

案；（2）,連接如交/C于點(diǎn)。，連接。M,6W,說明2（?！?。刈的最小值=21亞，再根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)得AB=2OM,CD=2ON,即可得出答案.

【詳解】概念理解：???四邊形是正方形，點(diǎn)E,F,G,〃依次是的

中點(diǎn)，

AEF=HG=-AC,EF//HG,4C=BD,403=90°,

2

...四邊形斯GH是平行四邊形，

同理￡7/=尸6=,8。，EH//BD,

2

，四邊形EBG8是菱形，四邊形。電@是矩形，

/.ZPHQ=90°,

...四邊形所G8是正方形.

所以正方形的一定是“中方四邊形”；

DFC

問題解決，證明：如圖，設(shè)四邊形BCGE的邊BC,CG,GE,8E的中點(diǎn)分別為N,R,L,

連接CE交于點(diǎn)尸，連接8