平面向量基本定理及其拓展（爪子定理）（高階拓展）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第03講平面向量基本定理及其拓展

（“爪子定理”）（高階拓展）

（3類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年全國乙卷文數(shù)，第6數(shù)量積的運(yùn)算律

用基底表示向量

題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示

2022年新I卷，第3題,5分用基底表示向量無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解平面向量基本定理及其意義

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

3.掌握基底的概念及靈活表示未知向量

4.會(huì)綜合應(yīng)用平面向量基本定理求解

【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積基本定理的基底表示向量、在平面幾何圖形中的應(yīng)用問題，易

理解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

知識(shí)點(diǎn)1平面向量基本定慳

知識(shí)講解

1.平面向量基本定理

如果約，02是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量處有且只有一

對實(shí)數(shù)丸1，丸2，使。=丸101+丸202.

其中，不共線的向量約，02叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

(1).基底約，02必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底.

(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題

(1)只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組.

(2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、

減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.

3.形如血=工方+了就條件的應(yīng)用(“爪子定理”)

“爪，，字型圖及性質(zhì)：A

⑴己知AB,AC為不共線的兩個(gè)向量,則對于向量7萬，必存在xj，使得/\

石赤+則氏C,。三點(diǎn)共線ox+y=1//\

BDC

當(dāng)0<x+y<l,則。與/位于5c同側(cè)，且。位于Z與8c之間

當(dāng)x+y〉l,則。與幺位于5c兩側(cè)

x+y=l時(shí)，當(dāng)x〉0)〉0,則。在線段5c上；當(dāng)孫<0,則。在線段8c延長線上

A

(2)己知。在線段5c上，且忸。|:|。。|=機(jī)：〃，則屈=」一方+“一%//\

m+nm+n//\

3、40=%45+?4。中工,)/確定方法_Z----

?mDn

(1)在幾何圖形中通過三點(diǎn)共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定

x,y

(2)若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程彳方=xNZ+yk,可考慮兩邊對同一向量作數(shù)

量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解

(3)若所給圖形比較特殊(矩形，特殊梯形等)，則可通過建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于xj的方程,

再進(jìn)行求解

考點(diǎn)一、基底的概念及辨析

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）下列各組向量中，可以作為基底的是（）.

A.召=（0,0）,瓦=（1,一2）B.4=（一1,2）,.=（5,7）

C.耳=（3,5）,瓦=（610）D.耳=（2,-3）,當(dāng)=[，一:

【答案】B

【分析】不共線的非零向量可以作為向量的基底.

【詳解】因?yàn)?=（-1,2）與瓦=（5,7）不共線，其余選項(xiàng)中耳、瓦均共線，所以B選項(xiàng)中的兩向量可以作為基

底.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如果耳，瓦是平面a內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為

平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（）

A.昌與q+e?B.q—2e2與q+2e?

C.4+及與耳一馬D.耳+3瓦與24+6瓦

【答案】D

【分析】分別驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)中的兩向量是否共線即可選出正確答案.

【詳解】選項(xiàng)A中，設(shè)4+瓦=文不，無解,則兩向量不共線；

/、[2=1

選項(xiàng)B中，設(shè)耳-2無=4耳+2瓦），貝U?/無解，則兩向量不共線；

[1=-X

/、[2=1

選項(xiàng)C中，設(shè)百+瓦=幾（目-瓦），貝I」|,，無解，則兩向量不共線；

[1=-X

選項(xiàng)。中，百+3瓦=；（2耳+6瓦），所以兩向量是共線向量.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了基底的涵義，考查了兩向量是否共線的判定.本題的關(guān)鍵是判斷兩向量是否共線.

3.（2023高三?福建?階段練習(xí)）下列向量組中，可以用來表示該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的是（）

A.a—（1,2）,b=（0,0）B.a—（1,2）,b=（-1,-2）

C.a=（1,2）,b=（5,10）D.a=（1,2）,b=（-1,2）

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量基本定理可知，表示平面內(nèi)的任意向量的兩個(gè)向量不能共線，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷.

【詳解】表示平面內(nèi)的任意一個(gè)向量的兩個(gè)向量不能共線，

A.向量B是零向量，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故A錯(cuò)誤；

B.a=-b，兩個(gè)向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故B錯(cuò)誤；

C.b=5a，兩個(gè)向量共線，所以不能表示平面內(nèi)的任意向量，故C錯(cuò)誤；

D.不存在實(shí)數(shù)X,使3=而，所以向量用在不共線，所以可以表示平面內(nèi)的任意向量，故D正確.

故選：D

即0唧（

1.（2023?陜西西安?一模）設(shè)左eR,下列向量中，可與向量2=組成基底的向量是（）

A.b=（k,k）B.c=（-k,-k）

C.d=（k2+1,k2+\^D.e=（k2-l,k2-\）

【答案】C

【分析】根據(jù)構(gòu)成基地向量的條件不共線的兩個(gè)非零向量解決.

【詳解】對于AB項(xiàng)，若左=0時(shí)，S=（0,0）,）=（0,0）不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以AB都錯(cuò)誤；

對于D項(xiàng)，若"=±1時(shí)，工=（。,0）不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以D錯(cuò)誤；

對于C項(xiàng)，因?yàn)閄^eRk+lwO,又因?yàn)椋?2+1卜（-1）-（/+1卜1片0恒成立，說明2與q不共線，復(fù)合構(gòu)

成基向量的條件，所以C正確.

故選:c

2.（2023高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)忖,￡｝為平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（）

A.e1+e2^Ue1-e2B.4,+2g和2q-4,

e

C.Ze】+e2和,+a2D.ex-2e2和4e2+2q

【答案】C

【分析】根據(jù)基底的概念確定正確答案.

【詳解】平面向量的基底由兩個(gè)不共線的非零向量組成，

C選項(xiàng)中，2et+e2=2l61+-62I,即2q+e2和q+502為共線向量,

所以它們不能作為基底.

其它選項(xiàng)中的兩個(gè)向量都沒有倍數(shù)關(guān)系，所以可以作為基底.

故選:C

考點(diǎn)二、平面向量的基本定理綜合

典例引領(lǐng)

■——

1.（2022?全國?高考真題）在“8C中，點(diǎn)。在邊上，BD=2DA.記0=應(yīng)，麗=五，則口=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+35

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊上，BD=2DA,所以麗=2方，即麗-3=2@-麗），

所以池=3而-2瓦=31—2/=-2加+3師.

故選：B.

2.（全國?高考真題）在△ABC中，4。為2c邊上的中線，E為/。的中點(diǎn)，則麗=

3—1—1—3—

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3——1一1——3—

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

一1一1一

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得8￡=萬34+萬3。,之后應(yīng)用向量

的加法運(yùn)算法則--一三角形法則，得至U比=加+就，之后將其合并，得到=+下一步應(yīng)

44

一3一1__

用相反向量，求得=從而求得結(jié)果.

44

【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

—1—1—1——1——1——17—

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA

222424、

1—1--1—3—1一

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC

24444f

一3—1——

所以E3=—AB--AC,故選A.

44

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加

法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在。中，”是的中點(diǎn)，不=3祀,CM與8N相交于點(diǎn)尸，則后=

()

1—?3—?

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

1—?3—?3―?1—?

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

2442

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算、三點(diǎn)共線等知識(shí)列方程組，由此求得正確答案.

【詳解】設(shè)N=X商+4%,由河是45的中點(diǎn)，得益=2五萬，

____?4?

由AN=3NC，得/C=]/N,

所以萬=24加+〃就，且衣=2萬+g〃不,

由CW與8N相交于點(diǎn)P可知，點(diǎn)P在線段CW上，也在線段8N上,

22+〃=1

解得；5，所以—?1―?3—?

由三點(diǎn)共線的條件可得2+1//=1

即時(shí)檢測

1.（廣東?高考真題）在平行四邊形/BCD中，NC與AD交于點(diǎn)O,￡是線段。。的中點(diǎn)，/￡的延長線與

CD交于點(diǎn)尸，若就=心麗=5，則/=

112-1-1-1r1-2-

A.一aH—rbB.一aH—bC.一4H—bD.—<7H—b

42332433

【答案】B

【分析】利用平面幾何知識(shí)求解

【詳解】如圖，可知

DF

__2____________?__.2__?__?2__?__?

AFk=AC+CF=AC+-CD=AC--AB=AC--(AO+OB)

=%一21_1%__1而）=1斗匕與=4+匕，選B.

3（22）3（22J33

【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算及其幾何意義，同時(shí)要注意利用平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，

2.Q024?山西呂梁?三模）已知等邊。3C的邊長為1,點(diǎn)分別為4民的中點(diǎn)，若麗=3而，則萬=

（）

1―?5—?1—?3—?

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】B

【分析】?。?，萬｝為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.

【詳解】在。3c中，?。ň?，萬｝為基底，

則的=畫=2,（前,硝=60。,

因?yàn)辄c(diǎn)AE分別為/及BC的中點(diǎn)，DF=3EF,

—,1―?1—?

所以EF=—DE=—AC,

24

所以”=方+麗=；（方+/）+；/=;在+《衣.

故選：B.

3.92-23高一下?河南洛陽?階段練習(xí)）在中，點(diǎn)，是45的中點(diǎn)，N點(diǎn)分/C的比為/N:NC=1:2,BN

與CN相交于E,設(shè)方=用元=3,則向量標(biāo)=（）

A.—a+—bB.—a+—bC.—a+—bD.—a+—b

32235555

【答案】C

【分析】由三點(diǎn)共線性質(zhì)以及平面向量基本定理解方程組即可得解.

【詳解】A

A

______1k____________1k_______]—2______?

由題意民E,N三點(diǎn)共線，所以存在彳eR,使得通=/1次+(1-4)而=/1而—就,

使得在=〃就+(一〃)育=〃就+^^

同理C,E,X三點(diǎn)共線，所以存在〃eR,1

h1-〃

由平面向量基本定理可得1/解得力=>〃=

1—X55,

二----

143

—?21-

所以4￡=《萬+^6.

故選：C.

考點(diǎn)三、“爪子定理”的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（全國,高考真題）設(shè)。為△48C所在平面內(nèi)一點(diǎn),且灰；=3麗，貝U()

—-1--4—--"1—.4—■

A.A.D——ABH—ACB.AD—-AB——AC

3333

4--1-.

C.AD——ABH—ACD.AD=--AB——AC

3333

答案：A

A

--1—?3--—?1—?4--

解析：由圖可想至IJ“爪字形圖得：AC=-AB+-AD,解得：AD=——AB+-AC

4433

__ki__kk2__________________________?

2.如圖，在△力臺(tái)。中，AN=-NC,尸是5N上的一點(diǎn)，若彳萬=機(jī)商+—就，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為

311

解：觀察到民尸,N三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得

AP=mAB+nAN,且機(jī)+〃=1,由衣=工而可得彳曾=工彳亍，

34

__?__k1__kk2__?1283

所以4P=機(jī)■—nAC,由己知/尸=機(jī)4sH—ZC可得：—n=—nn=—,所以機(jī)=一

4114111111

答案：C

3.如圖，在AZ5c中，AN=-NC,尸是5N上的一點(diǎn)，若刀=機(jī)商+—%,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為

311

()

9532

A.—B.—C.—D.—

11111111

解：觀察到民P,N三點(diǎn)共線，利用“爪”字型圖，可得

AP=mAB+nAN,且機(jī)+〃=1,由前=工比可得彳獷=工％,

34

__kkkk2__k1283

所以4P=機(jī)43HnAC,由已知/尸=7〃4sH----ZC可得：一〃=一=>〃=一，所以m=一

4114111111

答案：C

即時(shí)檢測

L（2024?云南昆明?一模）在。8C中，點(diǎn)。滿足而=4麗，則（）

A.CD^-CA+-CBB.CD^-CA+~CB

4444

C.CD=|G4+|CBD.CD=^CA+^CB

【答案】C

【分析】利用平面向量的加減法則，根據(jù)向量定比分點(diǎn)代入化簡即可得出結(jié)果.

【詳解】如下圖所示：

A

—?—?----?—?4—>-—?4/—?—?\—<?4/—>■—?\1—?4—?

易知CD=G4+/r>=C4+《/B=C/+］（/C+C2）=C4+M（_C/+CB）=《C/+WC8；

—?1—?4—?

即可得CD=1G4+《C8.

故選：C

2.（2024?廣東廣州?一模）已知在AASC中，點(diǎn)D在邊3c上，且前=5反，則赤=（）

A.-AB+-ACB,工就+?標(biāo)C.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

【答案】A

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可.

【詳解】在U8C中，BC^AC-AB＞又點(diǎn)。在邊8。上，且詼=5況，

貝1］至=萬+而=布+』阮?=方+之證-畫:"1■方+工工,

661'66

故選：A.

3.（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測）如圖，在。BC中，點(diǎn)。在BC的延長線上,

\BD\^3\DC\,如果詬=xZ§+.y就，那么（）

A

1313

A.x=—,y=—B.x=——,y=—

2222

1313

C.一D.x=-,y=-

222

【答案】B

【分析】用向量的線性運(yùn)算把向量通分解成?=x方+'就形式即可得答案.

_____?_______3__?

【詳解】vAD=AB+BD,BD=-BC,

2

—,,—-3—----,3/->—?1—?3―?

AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB——AB+—AC,

22、22

故選：B.

4.（2023-江蘇蘇州?模擬預(yù)測）（多選）在A48C中，記次三，就=],點(diǎn)。在直線8C上，且2D=3DC.

__M4

若AD=ma+nB，則一的值可能為（）

n

11

A.-2B.——C.-D.2

33

【答案】BC

【分析】分點(diǎn)內(nèi)分與外分線段5。討論，再由向量的線性運(yùn)算求解即可.

【詳解】當(dāng)。點(diǎn)在線段3C上時(shí)，如圖，

—?―?—?—?3—?—?3/—?-1—?3—?L3f

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-[AC-AB]=-AB+-AC=-a+-b,

44、74444

j_

所”以一加一=今4=』1，

n3

4

當(dāng)。點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖,

A

CD

八萬+而二方+*=萬+|國一期萬

1

2

故選：BC.

IN?好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2024?上海浦東新?三模）給定平面上的一組向量［、&,則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的

是（）

A.2,+02和6-？2B.,+36和4+3,

C.3q-%和24-6,D.,和,+e2

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】對A：不存在實(shí)數(shù)4,使得+￡=

故2,+々和不共線，可作基底；

對B：不存在實(shí)數(shù)X,使得烏+302=/1（4+30），

故q+3e2和e2+3q不共線，可作基底；

對C：對和區(qū)-6泉，因?yàn)?是不共線的兩個(gè)非零向量,

且存在實(shí)數(shù)-2,使得-61=-2（31-最），

故3,-4和24-66共線，不可作基底；

對D：不存在實(shí)數(shù)彳，使得1=2后+1）,故]和?+最不共線，可作基底.

故選：C.

2.（2024?浙江紹興?二模）已知四邊形48CD是平行四邊形，反=2屜，DF=2FC,記方=Z,AD=b>

則麗=（）

1—2y1-27

A.——a+—bB.——ab

3333

2-IT2-]y

C.—a+—bD.-a——b

3333

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運(yùn)算求解即得.

【詳解】在。/BCD中，EC=2BE，DF^2FC，AB=a,AD^b，

所以加=麗-屋=一而一一CB=--a+-b.

3333

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）在平行四邊形N3C。中，EB=2AE,BF=FC,記方=扇疝5=3,則麗=（）

?2,12一1-

A.—a——rbBn.—a+—b

3232

L1-1WC1-

C.—a+—bD.—a+—b

3223

【答案】B

【分析】由向量的線性運(yùn)算，用方，詬表示訪

【詳解】因?yàn)榈Z=2次,而=元，則有麗=一益,而=一就=一而，

322

故選：B.

—2—

4.（2024?山東濟(jì)南?二模）在“8C中，￡為邊48的中點(diǎn)，BD=-BC,則瓦=（）

1—?2—?5—?1—?

A.——AB+-ACB.-AB+-AC

6363

1—?2—?1—?2―?

C.-AB+-ACD.-AB——AC

6363

【答案】D

【分析】借助平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理計(jì)算即可得解.

【詳解】因?yàn)椤隇檫叺闹悬c(diǎn)，BD=^BC,

所以反=麗+礪=2通二方=口方-宿-，礪」在二式.

323、7263

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知等邊三角形A8C的邊長為2,尸為AASC的中心，PELAC,垂足為E,則

PE=（）

1--2—-1—.1—-1--1—2—>1—>

A.——AB+-ACB.——AB+-ACC.——AB+-ACD.——AB+-AC

33366333

【答案】B

【分析】連接/P并延長，交8C于點(diǎn)。，根據(jù)尸為的中心，易得。為8c的中點(diǎn)，E為/C的中點(diǎn)，

利用平面向量的線性運(yùn)算求解.

【詳解】解：如圖所示：

因?yàn)槭瑸锳ABC的中心，

所以。為的中點(diǎn).

又尸￡，/。,;.后為/。的中點(diǎn)，

__k1_____________2__.

:.PE=AE-AP=-AC——AD,

23

二元_2'_1（方+宿」方+工，

232、136

故選：B.

6.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在梯形/BCD中，反=3次,E為線段4D的中點(diǎn)，DF=2FC，則而=

（）

--1—?1—?—?1—?1—?—?3—-

A.-BA+-BCB.——BA+BCC.——BA+-BCD.-BA+-BC

22222

【答案】A

【分析】先用向量和三角形減法法則得EF=DF-DE，再對它們進(jìn)行線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為EF=-^BA+^BD,

此時(shí)繼續(xù)找到麗=就+3麗，從而可得結(jié)果.

【詳解】

由圖可得：EF=DF-DE，由而=2京,E為線段的中點(diǎn)可得，

-.2__?1—?

EF=-DC--DA,再由方=3萬可得，

麗=gx（-3）麗一;回一珂=-|■或+g麗,

又因?yàn)辂?就+而=而+3茄，代入得：

￡F=-|S3+|（5C+3A4）=-53+15C,

故選：A.

7.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知平行四邊形/BCD中，E為/C中點(diǎn)./為線段/。上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn),

設(shè)方=&,ll）=b＞則/=（）

1-173.1-

AA.——a——bB.——a——b

4242

八1.17U3-

C.—a—bD.—a—b

2424

【答案】C

【分析】利用向量的線性運(yùn)算可得答案.

【詳解】如圖所示，由題意可得就=萬+詬=,

EF=EA+AF=-CA+-AD=一一（a+b]+-b=一一a一一b,

242、,424

故選：c.

DC

8.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測）已知在梯形43C。中，45〃。。且滿足酢=2反，/為4C中點(diǎn)，尸為線段45

上靠近點(diǎn)5的三等分點(diǎn)，設(shè)方=1,AD=b，則加=（）.

2-3一1]51-1_17*

A.—a——bB.—a——bC.——a——bD.-a一一b

324612226

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】如圖所示，

_.__._.1__.?—?1(-1、251一

\^EF=EA+AF=-CA+-AB=一一\b+-a\+-a=—a一一b.

23212)3122

故選：C.

9.(2024?廣東汕頭?三模)已知四邊形/5CQ是平行四邊形，~BE=2EC，DF=FC,則而=()

A.-—~AB+-~ADB.--~AB--AD

2323

C.--AB+-ADD.--AB--AD

3232

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量求解即得.

【詳解】在口中，由屜=2反，DF=FC^

^EF=EC+CF=-BC+-CD=--AB+-AD.

3223

故選:A

10.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）在“8C中，AB=a,AC=b,若公=2反航=2灰，線段4D與班交

于點(diǎn)尸，則而=（）

1-2-、1-2-

An.—a+—bB.—a——b

3333

C.--a-bD.--a--b

3+333

【答案】B

【分析】根據(jù)中線性質(zhì)得出萬=g而，再由平面向量線性運(yùn)算即可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示:

由/C=2EC,BC=2DC可得。,E分別為BC,NC的中點(diǎn),

2—>

由中線性質(zhì)可得4尸=§4。,

又通=；(方+%)=g,+B),所以#=gx；(3+B)=g,+B),

因此:而=

G5+M=-B+1a+b=-a--b.

333

故選：B

能力提不二

一、單選題

L(2024?福建漳州?模擬預(yù)測)在A/8C中，。是邊BC上一點(diǎn)，且BD=2DC,E是/C的中點(diǎn)，記

AC^m,AD=n,貝傣=()

5一一7一一7-一

A.-n-3mB.-n—3mC.-m-3nD.-m-3n

3222

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】BE=AE-AB=^AC-(AC+CB)

=-^AC-3CD=-^AC~3(AD-AC)

5—.—?5

=-AC-3AD=-m-3n,

22

故選：D.

A

2.（2024?遼寧?二模）已知平行四邊形N8CD,點(diǎn)P在△BCD的內(nèi)部（不含邊界），則下列選項(xiàng)中，N可

能的關(guān)系式為（）

A.AP=-AB+-ADB.AP=-AB+-Al5

5544

C.AP=-AB+-AI）D.AP=-AB+-AI）

3433

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)：l?=x刀+了1萬，結(jié)合平面向量的基本定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】設(shè)/尸=+y￡R）,由平面向量的基本定理，可得：

當(dāng)x+y=l時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在直線上；

當(dāng)0<x+y<l時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)/和直線之間；

當(dāng)l<x+y<2時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸在點(diǎn)C和直線5。之間；

當(dāng)x+y=2時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸在過點(diǎn)。且與直線AD平行的直線上，

—?1—?3—?13

對于A中，由向量4尸=,48+14。，滿足所以點(diǎn)尸在△48。內(nèi)部，所以A錯(cuò)誤；

對于B中，由—/?尸1—+?=3—?滿足1：+3；=1,所以點(diǎn)尸在AD上，所以B錯(cuò)誤；

4444

—?2—?3—?23

對于C中，由=+滿足1<§+廠2,所以點(diǎn)P可能在△BCD內(nèi)部，所以C正確；

對于D中，由后方+：而，滿足：+。=2,此時(shí)點(diǎn)P在過點(diǎn)C且與直線2。平行的直線上，所以D

錯(cuò)誤.

故選：C.

3.（2023?湖南?一模）在"8C中，點(diǎn)。滿足詬=2麗,E為△BC。重心，^JC=m,AC=n,則荏可表

示為（）

A.-m+-nB.--m+-n

3333

C.--m+-nD.-m+-n

9999

【答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算、三角形的重心等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】^=7C+CE=AC+-^-^[CD+CB^='AC+-{-CB+-CA\+-CB=n+-+—

323(33)39I79

（一五）+]?（一玩）=一1成+§元

故選：C

4.（22-23高三上?全國?階段練習(xí)）在平行四邊形43c。中，礪=2而，AF=AC+2AB,若

__^

EF=AAB+JuAD^,Ju&R),則一=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算可得方=^方+（右，從而得解.

【詳解】AF=AC+2AB=AB+AD+2AB=3AB+AD,

AE=AB+BE=AB+2ED=AB+2（AD-AE）,

：.AE=-AD+-AB,

33

EF=AF-AE=3AB-^-'AD一一AD――AB=-AB+-AD,

3333

EF=AAB+juAD,

-=￡"J,1=8

3"3〃

故選：D.

5.（2024?內(nèi)蒙古包頭?一模）如圖，在菱形4BC。中，45=4,NABC=60°,昆尸分別為上的點(diǎn),

BE=3EA，BF=3FC-若線段E尸上存在一點(diǎn)M,使得萬方=；比+工而（xeR）,則方曲.而等于（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】以屁，而為基底可表示出兩，由三點(diǎn)共線可構(gòu)造方程求得x,將所求數(shù)量積化為

-;而-:前）（防-前），根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.

【詳解】

-----?1—?—?1—?——1—?—?2—?4x—?

:.DM=-DC+xDA=-AB+xCB=——BA-xBC=——BE——BF,

22233

:.BM=BD+1)M=BA+BC+DM=-~BE+-(\-x)BF,

,?,瓦監(jiān)/三點(diǎn)共線，Aj+1(l-x)=l,解得：x=|,.-.DM=-^BA-^BC,

-----(1--3—/--?\1-21—?—?3—*2

:.DM-CA=\--BA--BC\^BA-BCj=--BA--BABC+-BC=-8-4cos60°+12=2.

故選：A.

6.(2024?河北衡水,模擬預(yù)測)在。8C中，。是3C的中點(diǎn)，直線/分別與交于點(diǎn)M,瓦N,且

AB=^AM,AE=2ED,AC=AAN,則X=()

,8575

A.—B.—C.-D.一

5342

【答案】B

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，利用而，前表示詬，結(jié)合向量三點(diǎn)共線的定理列式運(yùn)算求解.

【詳解】由運(yùn)=2而，^AE=-AD=-(AB+AC)=-l-AM+AANj=-AM+-AN.

425

因?yàn)椤ǎ逳共線，所以§+§=1,解得％=

故選：B.

7.（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測）在中，BD=2DC，過點(diǎn)。的直線分別交直線45、力