浙江省“浙南名校聯(lián)盟”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年浙江省“浙南名校聯(lián)盟”高二上期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榧?，，所以故選：C2.直線關(guān)于y軸對稱的直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出已知直線上兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)，然后根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程即可.【詳解】直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為和0,1，因?yàn)檫@兩點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)分別為1,0和0,1，所以直線關(guān)于y軸對稱的直線方程為故選：A3.在空間直角坐標(biāo)系中，向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，然后根據(jù)投影向量公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則向量在向量上的投影向量為

.故選：D4.若α，β為兩個(gè)不同的平面，m為一條直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則α與β相交 D.若m⊥α，，則α⊥β【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行、垂直，面面平行、垂直的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】若，不一定成立，也可能相交，故AC錯(cuò)誤；若，則或，故B錯(cuò)誤；若，則必有一直線且，所以，又，所以，故D正確.故選：D5.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分離常數(shù)后直接驗(yàn)算即可.【詳解】解：因?yàn)?，則，故函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為.故選：A6.已知三條直線，，將平面分為六個(gè)部分，則滿足條件的m的值共有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.無數(shù)個(gè)【答案】C【解析】【分析】分三條直線交于一點(diǎn)或兩條平行線與第三條直線相交兩種情況討論即可求解.【詳解】因?yàn)槿龡l直線，，將平面分為六個(gè)部分，所以三條直線交于一點(diǎn)或兩條平行線與第三條直線相交，當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立可得，此時(shí)，即，當(dāng)兩條平行線與第三條直線相交時(shí)，可得或，所以或故選：C.7.已知拋物線過點(diǎn)，圓如圖，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則的最小值為（）A.4 B.5 C.6 D.9【答案】A【解析】【分析】求得物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心和半徑并利用焦半徑公式可證明，再由基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，則，則，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1,0，準(zhǔn)線方程為；圓：圓心為1,0，半徑1，故直線PQ過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線PQ的方程為，；聯(lián)立，整理可得，所以，再由焦半徑公式可得則，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為故選：A8.已知棱長為1的正方體內(nèi)接于球O，在球O與正方體之間放入一個(gè)小正方體，則小正方體的棱長的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出大正方體外接球的半徑，再根據(jù)小正方體上底面的中心、上底面的某個(gè)頂點(diǎn)和球心構(gòu)成的直角三角形即可求解.【詳解】由題，棱長為1的正方體內(nèi)接于球，令球的半徑為，則球的直徑即為正方體的體對角線，，所以，當(dāng)小正方體的下底面與正方體相接，且上底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球面上時(shí)，小正方體的棱長最大，此時(shí)小正方體的正中心與球心的連線垂直于正方體的上下底面，令小正方體的棱長為，由球心，小正方體上底面的中心，小正方體上底面的頂點(diǎn)組成的三角形為直角三角形，有，將代入，解得，故小正方體的棱長為故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，以下選項(xiàng)正確的有（）A. B.本組樣本的眾數(shù)為250C.本組樣本的第45百分位數(shù)是300 D.用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為82【答案】ACD【解析】【分析】由頻率分布直方圖中矩形面積之和為1計(jì)算可得A正確；根據(jù)眾數(shù)以及百分位數(shù)定義計(jì)算可得B錯(cuò)誤，C正確；由頻率估計(jì)對應(yīng)頻數(shù)計(jì)算可得D正確.【詳解】對于A，因?yàn)椋獾?，故A正確；對于B，樣本的眾數(shù)位于內(nèi)，但不一定是250，故B錯(cuò)誤；對于C，前2組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，故第45百分位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)其為，則，解得，故C正確；對于D，的頻率為，故用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為，故D正確.故選：ACD10.已知直線，圓，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C上一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線l恒過定點(diǎn)B.若圓C關(guān)于直線l對稱，則k=1C.若直線l與圓C相切，則D.當(dāng)k=1時(shí)，取y軸上一點(diǎn)，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，看出關(guān)于的多項(xiàng)式恒等于0即可判斷；對于B，把圓心坐標(biāo)代入已知直線即可判斷；對于C，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程即可判斷；對于D，找對稱點(diǎn)，轉(zhuǎn)換為將軍飲馬模型即可求解.【詳解】解：對于A，直線l：k，即，令，則，解得，，所以直線|恒過定點(diǎn)，故A正確;對于B，若圓C關(guān)于直線l對稱，則直線l過圓心，所以，解得，故B錯(cuò)誤;對于C，若直線與圓C相切，則圓心到直線的距離等于半徑1，即，解得，故C正確;對于D，當(dāng)k=1時(shí)，直線，點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，則有，解得，即，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，其一條漸近線為，直線l過點(diǎn)且與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，M，N分別為和的內(nèi)心，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線l斜率的取值范圍為 B.點(diǎn)M與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)都為aC.為直角三角形 D.面積的最小值為【答案】BC【解析】【分析】對于A，先得出的傾斜角的取值范圍，進(jìn)一步得斜率范圍即可判斷；對于B，由雙曲線定義即可求解；對于C，直接驗(yàn)算即可；對于D，根據(jù)三角函數(shù)、三角形面積公式驗(yàn)算即可.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的其一條漸近線為，故雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為和，作圖可知，若直線l過點(diǎn)且與雙曲線C的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線l傾斜角的取值范圍為，則直線l斜率的取值范圍為，故A錯(cuò)誤；設(shè)焦距為2c，由題可知，故，如圖，過點(diǎn)M分別作，，的垂線，垂足分別為D，E，H，易得，，，因?yàn)椋?，又，得，，所以，M點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，同理可得N點(diǎn)橫坐標(biāo)也為a，故B正確;設(shè)直線l的傾斜角為，則，所以，即是直角三角形，故C正確;易得，則，，所以，，，由對勾函數(shù)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則MN最小為2a，所以三角形的面積的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若A，B為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，，，則______.【答案】【解析】【分析】依題意可得事件與事件相互獨(dú)立，求出，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/p>

相互獨(dú)立，所以與B也相互獨(dú)立，

又，，所以，所以故答案為:13.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后在區(qū)間上單調(diào)遞減，則__________.【答案】【解析】【分析】求出平移后解析式，再由余弦函數(shù)的單調(diào)性建立不等式求解即可.【詳解】函數(shù)

)的圖象向右平移

個(gè)單位后，得到，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，又，故答案為：14.已知正四面體的邊長為2，點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AM，CN上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段EF長度的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，取定空間的基底，利用空間向量的線性運(yùn)算表示向量，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)求出最小值.【詳解】在棱長為2的正四面體中，由點(diǎn)M，N為棱BC，AD的中點(diǎn)，得，由點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AM，CN上，，令，則，所以，又，，，故，當(dāng)時(shí)，，所以線段EF長度的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：取定空間的一個(gè)基底，表示向量，再利用向量運(yùn)算求解.四、解答題：本題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)黑球(標(biāo)號(hào)為1、2和，2個(gè)白色球(標(biāo)號(hào)為4和若一次性從盒子中取出2個(gè)小球.（1）寫出試驗(yàn)的樣本空間;（2）求取出的小球恰好是1個(gè)黑球和1個(gè)白球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，直接寫出樣本空間即可；（2）根據(jù)題意，由古典概型概率公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果【小問1詳解】；【小問2詳解】設(shè)事件A為取出的小球恰好是1個(gè)黑球和1個(gè)白球，則16.已知圓心在直線上的圓C經(jīng)過兩點(diǎn)和（1）求圓C的方程;（2）設(shè)點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P滿足，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的垂直平分線方程并于直線聯(lián)立解得圓心為，求出半徑可得圓C的方程;（2）根據(jù)題意求得滿足題意的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，再由兩圓位置關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)M，N的中點(diǎn)為點(diǎn)A，則A點(diǎn)坐標(biāo)為，易知，則過A點(diǎn)且與直線MN垂直的直線方程為，解得，又圓心也在直線上，聯(lián)立，解得，即圓心為，又易知，因此圓C的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，由題可得，，，化簡得，可知點(diǎn)P軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，依題意可知圓C與圓有公共點(diǎn)，即，解得即實(shí)數(shù)a的取值范圍為17.如圖，四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為?【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知，取線段中點(diǎn)G，連結(jié)，可證得四邊形為平行四邊形，得，即可證得平面；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出一個(gè)平面的一個(gè)法向量，由，可得，設(shè)直線與平面所成角為，由，利用坐標(biāo)運(yùn)算，即可解得的值.【小問1詳解】取線段中點(diǎn)G，連結(jié)，，G分別是線段的中點(diǎn)，且，，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)直線與平面所成角為，已知，，，，則可得P0,0,1，，，，，DC=1,0,0，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z所以，則，令，則，為線段上一點(diǎn)，且，，所以，，，解得18.已知直線l是過橢圓上一點(diǎn)Px0,（1）已知橢圓C的切線l過，求切線l的方程;（2）求兩焦點(diǎn)，到直線l的距離之積;（3）若圓心在原點(diǎn)的圓與直線l也相切，且與橢圓C相交于點(diǎn)Q，若P，Q都在第一象限，求面積的最大值.【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）利用直線與橢圓相切可得判別式為0，即可得出直線方程；（2）利用點(diǎn)到直線距離求出距離，相乘化簡即可解；（3）分斜率是否存在討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，表示三角面積，換元后，利用對勾函數(shù)單調(diào)性可得出面積最大值.【小問1詳解】設(shè)，則，，可得，則l為或；【小問2詳解】證明橢圓切線方程一般形式：①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，整理得，由可得，所以由韋達(dá)定理可知，即，把代入中，得，所以，化簡得．②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過的切線方程為，滿足上式．綜上，橢圓上一點(diǎn)的切線方程為．因?yàn)闈M足，所以直線，左右焦點(diǎn)，到直線l距離分別為，，；【小問3詳解】①當(dāng)l斜率不存在時(shí)，此時(shí)不滿足題意；②當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)，，，其中直線，對于圓，其中，則，可得，，令，，因?yàn)?，所以由對勾函?shù)性質(zhì)可得，則，即面積的最大值為.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義：為，兩點(diǎn)之間的“折線距離”.（1）已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)M所圍成的圖形的面積;（2）已知Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，對于任意點(diǎn)，求證：的最小值為（