2024-2025學(xué)年湖南省長沙某中學(xué)九年級(jí)（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省長沙一中芙蓉中學(xué)九年級(jí)（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列函數(shù)中，y是x的正比例函數(shù)的是（）

1

A.y=2%+1B.y=7C.y=xD.y=-

2.如圖，四邊形力BCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD=BC

3.在“我的閱讀生活”校園演講比賽中，有11名學(xué)生參加比賽，他們決賽的最終成績各不相同，其中一名

學(xué)生想知道自己能否進(jìn)入前6名，除了要了解自己的成績外，還要了解這11名學(xué)生成績的（）

A.眾數(shù)B.方差C.平均數(shù)D.中位數(shù)

4.對(duì)于二次函數(shù)y=-（x-1產(chǎn)+2的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是（）

A.對(duì)稱軸是直線久=1,最大值是2B.對(duì)稱軸是直線x=l,最小值是2

C.對(duì)稱軸是直線刀=-1,最大值是2D.對(duì)稱軸是直線％=-1,最小值是2

5.已知直線y=-3）x-3?n+1不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍是（）

1111

A.m>-B.m<-C.-<m<3D.-<m<3

6.如圖，在菱形ZBCO中，P、Q分別是A。、AC的中點(diǎn)，如果PQ=2,那么菱形ABC。的周長是（）

A.16

B.8

C.4

D.2

7.將拋物線y=-37+1向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，所得到的拋物線為（）

A.y=-3（x—2）2+4B.y=-3（x-2）2-2

C.y=-3（x+2）2+4D.y=-3（x+2）2-2

8.設(shè)方程/+x-2=0的兩個(gè)根為a,P，那么（a-2）（0-2）的值等于（）

A.-4B.0C.4D.2

9.已知二次函數(shù)y=%2-3%+/n（7n為常數(shù)）的圖象與久軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1,0）,則關(guān)于％的一元二次方程一一

3%+血=0的兩實(shí)數(shù)根是（）

A.%1=1,%2=-1B.%1=1,%2=3

C.汽1=1,%2=2D.%1=1,%2=3

10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aH0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線％=1,下列結(jié)論：

@ab<0；②力2>4ac；③a+b+c<0;④3a+c<0.其中正確的是（）

yA

A.①④

B.②④

C①②③

D.①②③④

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.已知關(guān)于久的方程工2+3x+左2=0的一個(gè)根是一1,則k=____

12.已知A。1,月）,BQ2,%）在二次函數(shù)y=x2-6x+4的圖象上,若久1V%2V3,則%____丫2（填

“>"、"=”或）.

13.經(jīng)過兩次連續(xù)降價(jià)，某藥品銷售單價(jià)由原來的50元降到32元，設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為X,根

據(jù)題意可列方程是______.

14.若函數(shù)丫=則當(dāng)函數(shù)值y=8時(shí)，自變量久的值等于一

15.如圖，直線1的解析式為y=x,點(diǎn)力的坐標(biāo)為（—2,0）,4811于點(diǎn)8,

則△2B。的面積為______.

16.如圖，點(diǎn)P是等邊三角形4BC內(nèi)一點(diǎn)，且尸4=3,PB=4,PC=5,若將△4PB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后

得到ACQB,貝ikAPB的度數(shù)_____.

---------------

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題6分)

計(jì)算：(—1)2°24+|V2-2|+(V2-73)°—0)T.

18.(本小題8分)

求解下列一元二次方程：

(I)%2—3x+1=0；

(2)/+x-12=0.

19.(本小題6分)

學(xué)校為了讓同學(xué)們走向操場、積極參加體育鍛煉，啟動(dòng)了“學(xué)生陽光體育運(yùn)動(dòng)”，張明和李亮在體育運(yùn)動(dòng)

中報(bào)名參加了百米訓(xùn)練小組.在近幾次百米訓(xùn)練中，教練對(duì)他們兩人的測試成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)和分析，請(qǐng)根

據(jù)圖表中的信息解答以下問題：

平均數(shù)中位數(shù)方差

張明13.30.004

李亮13.30.02

(1)張明第2次的成績?yōu)槊耄?/p>

(2)張明成績的平均數(shù)為；李亮成績的中位數(shù)為；

(3)現(xiàn)在從張明和李亮中選擇一名成績優(yōu)秀的去參加比賽，若你是他們的教練，應(yīng)該選擇誰？請(qǐng)說明理

由.

時(shí)間(秒)

20.(本小題7分)

□

如圖，直線白：;/1=一彳久+優(yōu)與/軸交于點(diǎn)4(0,6),直線%：y2=kx+1分別與x軸交于點(diǎn)B(-2,0),與y軸

交于點(diǎn)C.兩條直線相交于點(diǎn)。，連接4B.

(1)求兩直線交點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求△ABD的面積；

(3)根據(jù)圖象直接寫出為＞w時(shí)自變量x的取值范圍.

21.(本小題8分)

已知關(guān)于萬的一元二次方程/-4mx+3m2=0.為實(shí)數(shù))

(1)求證：無論小取何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為/、乂2(乂1>%2)，若均-%2=2,求正數(shù)Hl的值.

22.(本小題8分)

如圖，在RtAACB中，N4CB=90。，點(diǎn)￡>,E分別為ZB,AC邊上的中點(diǎn)，連接DE并延長至點(diǎn)F,使EF=

DE,連接2F,CF,CD.

(1)求證：四邊形4DCF是菱形；

(2)若BC=4,AC=2,求四邊形力DCF的周長.

23.(本小題9分)

某商店經(jīng)銷一種雙肩包，已知這種雙肩包的成本價(jià)為每個(gè)30元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種雙肩包每天的銷售量

y(單位：個(gè))與銷售單價(jià)x(單位：元)有如下關(guān)系：y=-％+60(30<60).設(shè)這種雙肩包每天的銷售利

潤為卬元.

(1)求w與x之間的函數(shù)解析式；

(2)這種雙肩包銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

(3)如果物價(jià)部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價(jià)不高于48元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售

利潤，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

24.(本小題10分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為完美點(diǎn)已知二次函數(shù)丫=。/+4%+

c(aH0).

(1)當(dāng)a=Lc=2時(shí)，請(qǐng)求出該函數(shù)的完美點(diǎn)；

(2)已知二次函數(shù)y=ax2+4x+c(a豐0)的圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)(|[),請(qǐng)求出該函數(shù);

(3)在(2)的條件下，當(dāng)04%4租時(shí)，函數(shù)y=a/+4%+c-w0)的最小值為一3,最大值為1,求m

的取值范圍.

25.(本小題10分)

如圖，拋物線丫=。/+2%+式4<0)與乂軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)8(點(diǎn)力在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)8在原點(diǎn)的右側(cè))，與y

軸交于點(diǎn)C,0B=0C=3.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)如圖1,連接BC,點(diǎn)。是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接。D,CD.0D交BC于點(diǎn)、F,當(dāng)

4COF：SACDF=

3：2時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-|),點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，連接EB,PB,PE形成的APBE中，是否存在點(diǎn)

P,使NPBE或NPE8等于2N0BE?若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2備用圖

參考答案

1.C

2.B

3.D

4.4

5.D

6.A

1.D

8.C

9.C

10.C

1l.+V-2

12.>

13.50(1-x)2=32

14.4或一77

15.1

16.150°

17.解：原式=1+2—~\/~2+1—2

=2—V-2.

18.解：(1)/-3x+l=0,

???4=(一3產(chǎn)-4xlxl=9-4=5>0,

_3±75

3+753-75

/==，"2=??；

(2)x2+x-12=0,

(%+4)(%—3)=0,

x+4=?；騲—3=0,

x1——4,x2=3.

19.解：(1)張明第2次的成績?yōu)?3.4秒；

(2)13.4；13.3秒，13.3秒；

(3)選擇張明，平均數(shù)和中位數(shù)相同，但張明成績的方差小于李亮成績的方差，所以張明成績比李亮成績

穩(wěn)定，因此選擇張明.

20.解：(1)將/(0,6)代入丫1=一；％+血得，m=6；將B(—2,0)代入丫2=攵％+1得，k*

(3

組成方程組得?y—：6,解得仁=:

故。點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)；

(2)由先+1可知，C點(diǎn)坐標(biāo)為(。,1)

11

故S"BO=S—BC+S?ACD=2X5X2+/X5X4=15；

(3)x<4.

21.(1)證明：Td=(-4m)2—4x1x3m2=4m2>0,

??.無論m取何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)解：:x2-4mx+3m2=0,即(％—m)(x—3m)=0,

解得：x=7n或久=3m,

m>0,，

???=3m,x2=m,

X]—%2=2,

???3m—m=2,

：.m=1.

22.(1)證明：?.,點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，

AE=EC.

又???EF=DE,

???四邊形ZDCF是平行四邊形.

又???點(diǎn)D、E分別是邊48、AC的中點(diǎn),

???DE是△ABC的中位線，

DE//BC.

又???乙ACB=90°,

???^AED=90°.

???AC1DF.

???四邊形ADCF是菱形.

(2)解：?.?四邊形4DCF是菱形，

CD=CF=AF=AD,

在Rt△ABC中，AB=>JAC2+BC2=V22+42=2<5,

???。是48的中點(diǎn)，

AD=^AB=75,

四邊形4DCF的周長=4<5.

23.解：(l)w=(x-30)?y=(-x+60)(x-30)=-x2+30%+60%-1800=-x2+90x-1800,

w與x之間的函數(shù)解析式w=—x2+90x—1800；

2

(2)根據(jù)題意得：w=-x+9Ox-1800=-(x-45/+225,

-1<0,

當(dāng)x=45時(shí)，w有最大值，最大值是225.

當(dāng)銷售單價(jià)定為45元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是225元.

(3)當(dāng)w=200時(shí)，一/+90%-1800=200,

解得當(dāng)=40,冷=50,

50>48,?=50不符合題意，舍去，

答：該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價(jià)應(yīng)定為40元.

24.解：(1)當(dāng)a=1,c=2時(shí)，y=x2+4x+2,

令y=x,貝!J/+3x+2=0,

解得：X1——1,尤2=-2,

該函數(shù)的完美點(diǎn)為％(—1,-1),P2(-2,-2)；

(2)令a/+4x+c=久，即a/+3x+c=0,由題意可得，圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)，:/=9—

4ac=0,貝!J4ac=9.

又方程根為久=~y-=—y-=|,

2a2a2

=.9

?*?CL-1?C=——J

4

該二次函數(shù)的解析式為y=—%2+4%—^；

93or

(3),?,y=-x2n+4x----=—x2+4%—3=—(x—2)2+1,

該二次函數(shù)圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),

與y軸交點(diǎn)為(0,-3),根據(jù)對(duì)稱規(guī)律，點(diǎn)(4,-3)也是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn).在久=2左側(cè)，y隨光的增大而

增大；在x=2右側(cè)，y隨x的增大而減??；

■.,當(dāng)OWxWzn時(shí)，函數(shù)y=+4%-3的最小值為一3,最大值為1,

2<m<4.

25.解：(1)08=。。=3,貝!J：8(3,0),(7(0,3),

把B、C坐標(biāo)代入拋物線方程，

解得拋物線方程為：y=—%2+2%+3…①；

(2)SACOF：S^CDF=3：2,

S^COF=5S&COD，即：=百孫，

設(shè)：F點(diǎn)橫坐標(biāo)為33則。點(diǎn)橫坐標(biāo)為5t,

點(diǎn)F在直線BC上，

而BC所在的直線表達(dá)式為：y=—x+3,則尸(3t,3—3t),

則：直線。F所在的直線表達(dá)式為：y=燮比=學(xué)心

則點(diǎn)。(5t,5-5t),

把D點(diǎn)坐標(biāo)代入①，解得：”插春

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4)或(2,3)；

(3)①當(dāng)NPEB=2NOBE時(shí)，

圖2

當(dāng)BP在久軸上方時(shí)，

如圖2,設(shè)BP1交y軸于點(diǎn)E',

:.乙PiBE=24OBE,■■■/.E'BO=AEBO,又NE'OB=NEB。=60。，BO=BO,

：.E'BO△絲△EBO(AAS'),

oo

EO=EO=熱二點(diǎn)E，(0《)，

直線BP1過點(diǎn)B、E',則其直線方程為：y=-^x+l：.@,

聯(lián)立①②并解得：久=T，

故點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(-3)；

當(dāng)BP在x軸下方時(shí)，

如圖2,過點(diǎn)E作EF//8E'交8P2于點(diǎn)尸，則NFEB=NEBE',

；.LE'BE=2乙OBE,乙EBPz=24OBE,:.乙FEB=KEBF,

AFE=BF,

直線EF可以看成直線BE'平移而得，其k值為-￡

則其直線表達(dá)式為：y=-|x-|,

設(shè)點(diǎn)尸⑺,—加―今，過點(diǎn)尸作FHly軸交