2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表

一.選擇題(共8小題)

TTT—

1.(2024?湖南開學(xué))已知空間向量a=Q,1,2),6=(4,2,4),若則x=()

A.1B.-|C.D.3

2.(2024春?湘西州期末)已知A(-2,1,3),B(1,-1,4),則6=()

A.(3,0,1)B.(-1,-2,1)C.(-1,0,7)D.(3,-2,1)

3.(2024春?長(zhǎng)春期末)已知向量p在基底｛a,b,c｝下的坐標(biāo)是(2,3,-1),貝Up在基底｛a,a+b,b+c]

下的坐標(biāo)為()

A.(-2,4,-1)B.(2,5,2)C.(2,5,-1)D.(-2,4,1)

TTTTTT

4.(2024春?鎮(zhèn)江期末)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(4,5,入)，如果a,b,c三

個(gè)向量不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的一組基底，則實(shí)數(shù)人為()

A.0B.9C.5D.3

5.(2024春?濰坊期末)如圖，已知A,B,C三點(diǎn)不共線，O為平面A5C外任意一點(diǎn)，且平面A5C中的

—>—>—>—>—>—>—>—>

小方格均為邊長(zhǎng)為1的正方形，<OA,AB>=<OA,AC>=60°,\OA\=2,若4P=24B+AC,則

—?

\OP\=()

A.V15B.15C.2V3D.12

TTTTTT.

6.(2023秋?安順期末)p：a,b,c是三個(gè)不共面的單位向量，q：{a,b,c}可為空間的一個(gè)基底，則p

是9的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

―?-7

7.（2023秋?安順期末）如圖，空間四邊形048c中，點(diǎn)M是的中點(diǎn),點(diǎn)N在BC上，設(shè)MN=xQ4+

—>—>

yOB+zOC,則x+y+z=()

O

8.（2024春?永昌縣校級(jí)期末）已知｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基底，/n=2Q+3b—c,n=x（a—h）+y（Jj—

—-~?1?-?-?

c）+4（a+c）,右m||荏，貝Ux+y=（）

A.0B.-6C.6D.5

二.多選題（共4小題）

—>―?

（多選）9.（2024?渾南區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn)，若力B=（—2,1,4）,4P=（1,

—>

-2,1）,AC=（4,2,0）,貝!]（）

A.APLABB.AP±BPC.BC=V53D.AP±BC

（多選）10.（2024春?大荔縣期末）給出下列命題，其中正確的有（）

A.空間任意三個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底

TTTT

B.已知向量a||6,則a、6與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底

C.對(duì)空間任一向量5，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使得B=x嗟+yb+z*

D.如果26是兩個(gè)單位向量，則向=\b\

（多選）H.（2023秋?南寧期末）在正方體ABC￡>-ALBICI￡>I中，能作為空間的一個(gè)基底的一組向量有

（）

A.AA±,AB,ACB.BA,BC,BD

C.ACr,BD[,CB]D.ADr,BAr,AC

TTT

(多選)12.(2023秋?黔東南州期末)已知｛%b,c｝是空間的一個(gè)單位正父基底，則()

A.\a+b\=V2\c\

T—TTTT

B.｛a—b,b+c,a+c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底

—>->—>—>

C.(Q+b)?(a+c)=1

TTTTTT.

D.[a-b,b+c,a-c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底

三.填空題(共4小題)

13.(2023秋?江西期末)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,E是棱尸。上一點(diǎn),且DE=翱,

BE=xBA+yBC+zBP,貝！Jx+y+z=?

14.(2024秋?三元區(qū)校級(jí)月考)已知向量之=(2,3,-2)/=(2,—m,一1),且則m=.

—>—>—>

15.(2024春?泗洪縣期中)已知A(2,1,3),8(-4,2,尤)，C(1,-%,2),若向量。4+OC與。B垂

直(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則x等于.

—>—>—>—>—>—>

16.(2024春?寧德期末)四棱錐P-A8CD的底面是平行四邊形，且PE=2EC,若。E=xAB++zAP,

則xyz=.

四.解答題(共4小題)

17.(2024?渾南區(qū)校級(jí)開學(xué))已知空間中三點(diǎn)A(2,0,-2),8(1,-1,-2),C(3,0,-4),設(shè)2=族，

—?—>

b=AC.

->T—

(1)已知(a+kb)lb,求左的值；

(2)若?=6,且求c的坐標(biāo).

.TTTT_>T

18.(2024?福建開學(xué))已知點(diǎn)P(-2,0,2),Q(-1,1,2),R(-3,0,4),設(shè)a=PQ,b=PR,c=QR.

T—T

(1)若實(shí)數(shù)4使ka+b與c垂直，求左值.

TT

(2)求a在b上的投影向量.

19.(2024春?廣陵區(qū)校級(jí)期中)已知空間三點(diǎn)A(0,-2,3)、8(-2,-1,6)、C(1,1,5).

_>—?_>___)

(1)若向量zn與AB平行，且17nl求TH的坐標(biāo)；

(2)求以C8、CA為鄰邊的平行四邊形的面積.

20.(2023秋?開州區(qū)校級(jí)月考)已知向量2=(1,1,0),7=(-1,0,2).

TTTT、

(1)若(a+kb)//(a+b),求實(shí)數(shù)匕

TTT-、^

(2)若向量一。一kb與Q+b所成角為鈍角，求頭數(shù)人的范圍.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示(2024年9

月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

->TTT

1.(2024?湖南開學(xué))已知空間向量a=(%,1,2),6=(4,2,4),若a16,貝U尤=()

A.1B.-|C.D.3

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

TTTTK

【解答】解：因?yàn)閍=(久，L2),6=(4,2,4),且a16,所以4x+2+8=0,解得久=一本

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

—>

2.(2024春?湘西州期末)已知A(-2,1,3),B(1,-1,4),則力B=()

A.(3,0,1)B.(-1,-2,1)C.(-1,0,7)D.(3,-2,1)

【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【解答】解：由題意可得4B=(1,-1,4)一(一2,1,3)=(3,—2,1).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2024春?長(zhǎng)春期末)已知向量j在基底{乙b,d下的坐標(biāo)是(2,3,-1),則3在基底加a+b,b+c}

下的坐標(biāo)為()

A.(-2,4,-1)B.(2,5,2)C.(2,5,-1)D.(-2,4,1)

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示.

【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】由題意知3=2^+3b-六設(shè)3在基底｛Za+b,b+U｝下的坐標(biāo)為(％,y,z),根據(jù)空間向

量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量基本定理列方程組即可求解.

【解答】解：由題意知p=2。+3b—c,設(shè)p在基底｛a,a+b,b+c｝下的坐標(biāo)為(x,y,z),

—>—>—>~-?—>—>~—>

所以p=xa+y(a+b)+z(b+c)=(%+y)a+(y+z)b+zc,

'%+y=2(x=—2

所以y+z=3,解得y=4,

、z=—1vz=—1

TTTTTT

所以p在基底｛a,a+b,6+c｝下的坐標(biāo)為(-2,4,-1).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量基本定理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

TTTTTT

4.(2024春?鎮(zhèn)江期末)已知a=(2,-1,3),/?=(-1,4,-2),c=(4,5,A),如果a,b,c三

個(gè)向量不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的一組基底，則實(shí)數(shù)人為()

A.0B.9C.5D.3

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；空間向量的共線與共面.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的基本定理，即可求解.

T-

【解答】解：=(2,-L3),b=(-1,4,-2),

，a與力不平行，

T—T

Va,b,c三個(gè)向量不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的一組基底，

_一^2x—y=4(x=3

存在實(shí)數(shù)x,y使得c=xa+yb,即,-x+4y=5,解得y=2,

3x-2y=2(4=5

故實(shí)數(shù))為5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2024春?濰坊期末)如圖，已知A,B,C三點(diǎn)不共線，。為平面48c外任意一點(diǎn)，且平面A8C中的

—>—>—>—>—>—>—>—>

小方格均為邊長(zhǎng)為1的正方形，<OA,AB>^<OA,710=60°,|。4|=2,若4P=24B+4C,則

|0P|=(

C.2V3

【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

—>—>—>—>

【分析】根據(jù)題意，得出。P=04+24B+4C,再求模長(zhǎng)即可.

—>—>—>—>—>

【解答】解：由題意知，AB>=<0A,710=60°,\0A\=2,且4P=2A8+2C,

T—>—>—>

所以O(shè)P=OA+2AB+AC,

—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

所以。尸2=。人2+4/^2+/。2+4。4?48+20Z?AC+4AB?AC=4+4+1+4X2X1Xcos600+2X2X1X

cos60°+4X1X1Xcos90°=15,

所以I法|=715.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

->TT—TT

6.（2023秋?安順期末）p：a,b,c是三個(gè)不共面的單位向量，q：（a,b,c｝可為空間的一個(gè)基底，則

是g的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；充分不必要條件的判斷.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯；邏輯推理.

【答案】A

【分析】根據(jù)基底的含義與性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件的定義，求解即可.

【解答】解：根據(jù)基底的定義可知，若看b,"是三個(gè)不共面的單位向量，則而，b,d可為空間的一

個(gè)基底，

_.TTT.TT—*

反過來，若｛%b,c｝為空間的一個(gè)基底，則a,b,c是三個(gè)不共面的向量，不一定是單位向量，

所以〃是9的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基底的含義與充分必要條件的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

—>—>

7.(2023秋?安順期末)如圖，空間四邊形。4BC中，點(diǎn)M是。4的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上,設(shè)MN=久。力+

—?—?

yOB+zOC,貝！Jx+y+z=()

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，求解即可.

【解答】解：設(shè)嬴=4成:，Xe[0,1],

則MN=ON-OM=OB+BN-OM=OB+ABC~^OA=OB+4(OC-OB)-^OA=~^OA+

—>—?

(l-QOB+AOC,

所以第=一于y=l-入，z=入，

所以久+y+z=

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2024春?永昌縣校級(jí)期末)已知｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基底，?n=2。+3b—c,n=x(a—b)+y(h—

—-~?1?-?-?

c)+4(a+c),右m||?i,貝！Jx+y=()

A.0B.-6C.6D.5

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；空間向量的共線與共面.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】首先化簡(jiǎn)向量匯再代入向量平行的坐標(biāo)表示公式，即可求解.

【解答】解：n=(%+4)a+(y-x)b+(~y+4)c,因?yàn)閙||n,所以存在實(shí)數(shù)入，使得？i=/bn,

~,TTTT—T

所以。+4)a+(y-x)b+(—y+4)c=A(2a+3b—c),

卜+4=22,(X=2,

所以—%=解得卜=0,

(_y+4=(y=6,

所以x+y=6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題(共4小題)

—>—>

(多選)9.(2024?渾南區(qū)校級(jí)開學(xué))已知點(diǎn)P是△ABC所在的平面外一點(diǎn)，若4B=(—2,1,4),AP=(1,

—>

一2,1),AC=(4,2,0),貝U()

A.AP±ABB.APLBPC.BC=V53D.APLBC

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及模的坐標(biāo)表示，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解答】解：因?yàn)橄蛄?(—2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),

對(duì)于A,由4B-aP=—2x1+1x(—2)+4x1=0,所以4B12P,BPAP±AB,選項(xiàng)A正確；

對(duì)于8,由BP=2P—2B=(3,—3,—3),可得BP?2P=3x1+(—2)x(—3)+1x(—3)=6力0,

所以而與2P不垂直，即AP與8尸不垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由8c=AC—AB=（6,1,-4）,可得|8C|=五+F+（一4尸=后,

即8C=宿，選項(xiàng)C正確；

—>—>—>—>

對(duì)于。，由4P-BC=1x6+（-2）x1+1X（-4）=0,所以4P1BC,即APJ_8C,選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

（多選）10.（2024春?大荔縣期末）給出下列命題，其中正確的有（）

A.空間任意三個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底

T—TT

B.已知向量a||6,則a、6與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底

C.對(duì)空間任一向量5，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（%,y,z）,使得％=xZ+y6+zU

D.如果6是兩個(gè)單位向量，則鬲=\b\

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；命題的真假判斷與應(yīng)用；平面向量的概念與平面向

量的模.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理.

【答案】BD

【分析】根據(jù)共線向量、空間向量的基本定理、基底、單位向量概念等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定

正確答案.

T—TTT

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)椋鸻,b,c｝是空間的一組基底，所以a,b,c為不共線的非零向量，故A錯(cuò)

誤；

T―T—T—

對(duì)于8,因?yàn)閍11b,所以a與6共線，故a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故8正確；

—>—>—>

對(duì)于C,當(dāng)｛a,b,c｝為空間的一組基底時(shí)，對(duì)于空間任一向量p,

、TTTT

則存在唯一的有序頭數(shù)組（力,y,z）,使得p=+yb+zc,故。錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若京I都是單位向量，則模長(zhǎng)都為1,故向=向，故O正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基底的定義，空間向量基本定理，命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）11.（2023秋?南寧期末）在正方體ABC。-481C1D中，能作為空間的一個(gè)基底的一組向量有

A.AAr,AB,ACB.BA,BC,BD

C.ACr,BD1,CB]D.ADr,BAr,AC

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；平面向量的基本定理；空間向量及其線性運(yùn)算.

【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】AC

【分析】根據(jù)空間中不共面的三個(gè)向量可以作為空間向量的一個(gè)基底，從而求解.

【解答】解：畫出正方體ABCD-如圖所示：

對(duì)于A：AAlfAB,前不共面，由空間向量的基本定理可知，能作為空間的一個(gè)基底，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于8：因?yàn)锽D=BA+BC,所以BA,BC,BD共面，

由空間向量的基本定理可知，不能作為空間的一個(gè)基底，故選項(xiàng)2錯(cuò)誤；

—>—>—>

對(duì)于C：4Q,BD1，CB1不共面，由空間向量的基本定理可知，能作為空間的一個(gè)基底，故選項(xiàng)C正

確；

—>—>—>—>—>—>

對(duì)于D：因?yàn)锽A】+AC=（BA+AA^+｛AB+BC）=7Ml+BC=AA1+AD=ADr,

—>―?—>

所以4必，BA1,4c共面，由空間向量的基本定理可知，不能作為空間的一個(gè)基底，故選項(xiàng)O錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

T—T

（多選）12.（2023秋?黔東南州期末）已知｛%b,c｝是空間的一個(gè)單位正交基底，則（）

A.\a+b\=V2|c|

TT—TTT.

B.｛a—b,b+c,a+c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底

—T——

C.（a++c）=1

TTTTTT.

D.｛a-b,b+c,a-c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)單位正交基底的定義判斷A;利用空間向量基本定理判斷B。；利用向量的運(yùn)算判斷C

TTTTTT

【解答】解：因?yàn)椋鸻,b,c｝是空間的一個(gè)單位正交基底，所以a,b,c均為單位向量且兩兩垂直，

所以而+=］而+62=a=企白,A正確；

—>_>T—>->T—>—>_>T—r^-r/z.

(a+/))-(a+c)=a+a?b+a?c+Z)-c=a=1,C正確；

因?yàn)閍-b+b+c=a+c,所以｛a-b,b+c,a+c｝不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，B錯(cuò)誤;

假設(shè)存在實(shí)數(shù)x,y,使得％(a-b)+y(b+c)=xa+(y—x)b+yc=a—c,

(x=lTTr-rTTT

則,一久=0,該方程組無解，所以｛a-b,b+c,a—c｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，O正確.

y--1

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單位正交基底的定義和空間向量基本定理，屬于中檔題.

三.填空題(共4小題)

7

13.(2023秋?江西期末)在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,E是棱PD上一點(diǎn)，且

—>—>—>—>4

BE=xBA+yBC+zBP,則x+y+z=-.

【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

4

【答案】--

3

【分析】由已知選取向，BC,而為基底，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算及空間向量基本定理即可求解.

【解答】解：連接如圖所示:

則

BE=BD+DE=BD+^。DP=BD+氫。BP-BD)=^。BD+^。BP=^。BA+BC)+^。BP=^。BA+

1T2

2BC+BP,

24

Z-X+y+Z-

又BE—xBA+yBC+zBP,所以％=g，丫=W，3-，3-

4

故答案是：--

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

Tt7T

14.(2024秋?三元區(qū)校級(jí)月考)已知向量a=(2,3,-2),6=(2,-m,一1),且a，6,則機(jī)=，.

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】2.

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.

T—TT

【解答】解：因?yàn)橄蛄縜=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),alb,

一TT,,

所以a-b=4—3m+2=0,解得m=2.

故答案為：2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

15.(2024春?泗洪縣期中)已知A(2,1,3),8(-4,2,x),C(1,-尤，2),若向量。4+OC與。B垂

直(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，則x等于y.

【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

10

【答案】—.

—>—>—>—>—>—>

【分析】先求出。4+0C與。B的坐標(biāo)，再利用(。4+。。)?OBuO求解即可.

【解答】解：(2,1,3),8(-4,2,尤)，C(1,-x,2),

：.OA+OC=(2,1,3)+(1,-x,2)=(3,1-%,5),OB=(-4,2,x),

—>—>—>

:向量。4+OC與。B垂直，

—>—>—?

...(。力+OC)-OB=0,

-12+2(1-x)+5x=0,

解得彳=學(xué).

故答案為：弓.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

—>—>—>—>—>—>

16.(2024春?寧德期末)四棱錐P-48C。的底面是平行四邊形，且PE=2EC,若DE=久/W++zAP,

2

貝ijxyz=一方.

【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底.

【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】—稱.

【分析】由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解.

—>—>

【解答】解：棱錐尸-ABC。的底面是平行四邊形，且PE=2EC,

則DE=￡>C+1CP=DC+!(DP-DC)=觸(7+方(￡M+4P)

==^AB-^AD+^AP,

JJ。。。J

若DE=+yAD+zZP,則x=可>=一W，z=于

故孫z=一務(wù)

故答案為：-5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題(共4小題)

17.(2024?渾南區(qū)校級(jí)開學(xué))已知空間中三點(diǎn)A(2,0,-2),B(l,-1,-2),C(3,0,-4),設(shè)3

T—>

b=AC.

TTT

(1)已知(a+kb)lb,求％的值；

(2)若|c|=6,且c=4BC,求c的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)/c=4；(2)c—(4,2,—4)或c—(—4,—2,4).

-TTT

【分析】(1)根據(jù)木件得到a=(—1，—L0),b=(1/0/—2),a+kb=(k—1,—L—2/c),

再利用向量垂直的坐標(biāo)表示，即可求解；

(2)根據(jù)條件得到1=(2九%—24),再利用d=6,即可求解.

TTTT

【解答】解：1)因?yàn)锳(2,0,-2),8(1,-1,-2),C(3,0,-4),a=,b=AC,

TTTT

所以a—(—L—1,0),b=(1,0,—2),CL+kb=(k—1,—L—2k),

TTT->T—,1

又(a+kb)1b,所以(a+kb)-h=/c—l+4fc=0,得到/c=耳.

T——.__________________

(2)因?yàn)閏=18C=(23X,-2A),又|c|=6,所以，4Q+"+4不=6,解得人=2或-2,

所以”的坐標(biāo)為”=(4,2,一4)或1=(-4,-2,4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.(2024?福建開學(xué))已知點(diǎn)P(-2,0,2),Q(-1,1,2),R(-3,0,4),設(shè)a=PQ,b=PR,c=QR.

->7T

(1)若實(shí)數(shù)4使ka+b與c垂直，求左值.

TT

(2)求a在b上的投影向量.

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出空間向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.

(2)利用投影向量的意義求解即得.

TTT

【解答】解：(1)依題意，a=(l,1,0),6=(—1,0,2),c=(—2,-1,2),

—>

ku+b=(k,kf0)+(—1,0/2)=(/c-1，k,2),

由kN+b與”垂直，得(/+h)-c=-2(k—1)—fc+2x2=0,解得k=2,

所以k=2.

T—T

(2)由(1)知，a-b=-1,\b\=V5,

T7

TTabT1Tl2

所以a在b上的投影向量為kb=0,

\b\2555

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直、向量投影等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

19.(2024春?廣陵區(qū)校級(jí)期中)已知空間三點(diǎn)A(0,-2,3)、2(-2,-1,6)、C(1,1,5).

(1)若向量m與力B平行，且|m|=V西，求ni的坐標(biāo)；

(2)求以CB、C4為鄰邊的平行四邊形的面積.

【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)(-2,1,3)或(2,-1,-3)；

(2)7V3.

———

【分析】(1)由已知可設(shè)m=其中入eR,利用向量的模長(zhǎng)公式求出入的值，即可得出向量小的坐

標(biāo)；

(2)利用空間向量的數(shù)量積可求出C的值，然后利用三角形的面積公式可求得以C3、CA為鄰邊的平

行四邊形的面積.

―>

【解答】解：(1)由已知可得AB=(—2,1,3),

T—一T

因?yàn)橄蛄縩i與48平行，設(shè)巾=4AB,其中入6R,

TT

則=|川?|AB|=舊陽=V14,解得入=±1.

TT7T

所以爪=48=(—2,1,3)或爪=-AB=(2,-1,-3).

—>—>

(2)cosC="空=,因?yàn)镺WCWn,則C=^,

\CA\-\CB\Zs

所以以CB、C4為鄰邊的平行四邊形的面積位H由sinC=(舊/x5=7遮.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

20.(2023秋?開州區(qū)校級(jí)月考)已知向量a=(l,1,0),b=(-1,0,2).

TTTT

(1)若(a+助)//(a+b),求實(shí)數(shù)公

TT->T

(2)若向量一a-kb與a+b所成角為鈍角，求實(shí)數(shù)4的范圍.

【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)k=l；

(2){初c>—}且上#1}.

【分析】(1)根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可得到答案.

->TtT

(2)根據(jù)題意得到(-a-kb)-(a+b)V0,再結(jié)合(1)的情況即可得到答案.

TTT7

【解答】解：(1)a+kb=(1,1,0)+(-fc,0,2k)=(1-fc,L2k),a+b=(0,1,2),

T—TTT—

因?yàn)?a+kb)//(a+b),所以(a+kb)="a+b),即(1-k,1,2k)=A(0,1,2),

fl-fc=0

所以1=2=：

12k=2A12=1

T—TT

(2)—CL—kb=(-1/-L0)—fc(—1,0,2)=(k—1,—1,-2k),a+b=(0,L2),

T—T-

因?yàn)橄蛄恳籥-kb與a+6所成角為鈍角，

一一7TTT1

所以(—a—kb),(a+b)VO,即-1-4ZV0,解得々>—

T—TT

當(dāng)一a—/cb與a+b平行時(shí)，由(1)知：k=l,

T—T-

所以向量-a-kb與a+6所成角為鈍角，

故實(shí)數(shù)人的范圍為法生>一［且上W1}.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.充分不必要條件的判斷

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件。必然成立，但條件。成立時(shí)，條件尸不一定成立.用符

號(hào)表示為尸0°,但QAP.這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個(gè)條件足以保證結(jié)果成立，但不是唯一條件.

【解題方法點(diǎn)撥】

要判斷一個(gè)條件是否為充分不必要條件，可以先驗(yàn)證尸今。，然后找反例驗(yàn)證。成立但尸不成立.舉反例

是關(guān)鍵步驟，找到一個(gè)。成立但尸不成立的例子即可證明P不是。的必要條件.例如，可以通過幾何圖

形性質(zhì)驗(yàn)證某些充分不必要條件.

【命題方向】

充分不必要條件的命題方向包括幾何圖形的特殊性質(zhì)、函數(shù)的特定性質(zhì)等.

已知命題p：x2-4.r+3<0,那么命題p成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.xWl

B.l<x<2

C.

D.2<x<3

解：由/-4x+3<0,解得l<x<3,

則l<x<2和2<x<3都是l<x<3的充分不必要條件.

故選：BD.

2.命題的真假判斷與應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)

合命題的真假.

注意：“非P”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非2”寫成“方程x2-2x+l=0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸?/p>

是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分.

【解題方法點(diǎn)撥】

1.判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由

真值表得出復(fù)合命題的真假.

2.判斷一個(gè)“若p則形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“oq”，則“若p

則4”為真；而要確定“若p則/為假，只需舉出一個(gè)反例說明即可.

3.判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同

真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷.

【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題

形式出現(xiàn).

3.平面向量的概念與平面向量的模

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

向量概念

既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)

量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）.在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量.

向量的幾何表示

用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.即用表

TTTT

示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如力B、BC,…字母表示，用小寫字母a、6,…表示.有向向量

的長(zhǎng)度為模，表示為|48|、|a|,單位向量表示長(zhǎng)度為一個(gè)單位的向量；長(zhǎng)度為0的向量為零向量.

向量的模

應(yīng)的大小，也就是幾的長(zhǎng)度（或稱模），記作|晶|.

零向量

―>

長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0，零向量的長(zhǎng)度為0，方向不確定.

單位向量

—>

->—AB

長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量4B（與共線的單位向量是一）.

\AB\

相等向量

長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性.

4.平面向量的基本定理

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、平面向量基本定理內(nèi)容：

如果ei、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)入1、入2,使1=

—>—>

4送1+A2e2.

2、基底：不共線的即、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底.

3、說明：

(1)基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行.

(2)由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一.

5.空間向量及其線性運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示.

2.向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模.記為|又|,而

特別地：

―>

①規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作0;

②模為1的向量叫做單位向量；

3.相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量.

4.負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量.如之的相反向量記為―-

5.平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量.

6.注意：

―>

①零向量的方向是任意的，規(guī)定0與任何向量平行；

②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1;

③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向

量；

④空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移成為共面向量；

⑤一般來說，向量不能比較大小.

1.加減法的定義：

空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法.

空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則.

OB=0A+AB=a+b

加