河南省2025屆高三年級上冊聯(lián)考（二）數(shù)學試題（含解析）

2024-2025年度河南省高三年級聯(lián)考(二)

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內容：集合與常用邏輯用語，函數(shù)與導數(shù)，三角函數(shù)，平面向量，數(shù)列，不

等式.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合/=｛刈2-司<1｝,B=^x\a<x<a+3^.,若/U3=<x<5｝,貝>Ja=()

A.OB.lC.2D.3

2.已知符號)(表示不平行，向量G=(—1,—2),B=(%〃，+7).設命題)：V加e(0,+oo),5)(3,則()

A.—^p:3me(0,+oo),a//b,且r?為真命題

B.”：V掰e(0,+co),allb,且r?為真命題

C.^p:3me(0,+co),allb,且r?為假命題

D.—tp-.\/me(0,+co),allb,且r?為假命題

3.若。>他|>0,則下列結論一定成立的是()

A.ab〉ubB.—5>—；—C.<b，D.a—c>c—b

ab~a~b

4.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且星=加4，則“加=7”是“｛4｝的公比為2”的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知函數(shù)/(x)=|log3x|,若6>。>0,且a,6是/(x)的圖像與直線y=加(加〉0)的兩個交點對應的

橫坐標，則4a+6的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

6.三角板主要用于幾何圖形的繪制和角度的測量，在數(shù)學、工程制圖等領域被廣泛應用.如圖，這是由兩塊

直角三角板拼出的一個幾何圖形，其中|方|=|正|,|麗|=|元麗?瑟=0.連接4D,若

AD=xAB+yAC,則()

A.a>0B.Z)+c>0C.c>0D.b-c=-16a

8.已知/是函數(shù)/(x)=xe*+3圖象上的一點，點5在直線/:x—y—3=0上，則|45|的最小值是()

A."—ZB.3C,2V2D.3V2

2e

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設數(shù)列｛4｝,｛，｝的前〃項和分別為S“，Tn,且a=3%,則下列結論不正確的是()

A.若｛4｝是遞增數(shù)列，則｛S,,｝是遞增數(shù)列

B.若｛%｝是遞減數(shù)列，則｛Sn｝是遞減數(shù)列

C.若｛%｝是遞增數(shù)列，貝匹北｝是遞增數(shù)列

D.若｛%｝是遞減數(shù)列，貝1]｛1｝是遞減數(shù)列

10.已知/(3x+l)為奇函數(shù)，/(3)=1,且對任意xeR,都有/(x+2)=/(4—x),貝U必有()

A./(H)=-1B"23)=0

C./(7)=-lD./(5)=0

11.已知函數(shù)/(x)=sinx+sin3x,則()

A./(x)的圖象關于點(兀,0)中心對稱

B./(x)的圖象關于直線x=￡71對稱

873873

C./(x)的值域為

D./（x）在上單調遞增

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在△48C中，角4B,C的對邊分別是a,b,C,且a=l,b=3,cosC=-,則△48C外接圓的

3

面積是.

13.已知某種污染物的濃度C（單位：摩爾/升）與時間，（單位：天）的關系滿足指數(shù)模型。=孰「（1）,

其中孰是初始濃度（即方=1時該污染物的濃度），上是常數(shù).第2天（即方=2）測得該污染物的濃度為5摩

爾/升，第4天測得該污染物的濃度為15摩爾/升，若第〃天測得該污染物的濃度變?yōu)?7孰，則

n=.

14.1796年，年僅19歲的高斯發(fā)現(xiàn)了正十七邊形的尺規(guī)作圖法.要用尺規(guī)作出正十七邊形，就要將圓十七等

分.高斯墓碑上刻著如圖所示的圖案.設將圓十七等分后每等份圓弧所對的圓心角為a,則

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

人4

在△4SC中，角4,B,C的對邊分別是a,b,c,cosA=—,2acosC=3ccosA.

5

（1）求sinC的值；

（2）若Q=3,求△45。的周長.

16.（15分）

已知函數(shù)f（x）=Asin（（7>x+^）+b（A>0,G>0,0<0<兀）的部分圖象如圖所示.

⑴求/(X)的解析式;

(2)求/(x)的零點;

TT7兀

(3)將/(x)圖象上的所有點向右平移A個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在0,二上的值

域.

17.(15分)

已知函數(shù)/(%)=惡，且/(log63)+/(log612)=2.

<1)求a的值；

(2)求不等式2/(/+30_1〉o的解集.

18.(17分)

已知函數(shù)f(x)=(ax+2)ln(x+1)-x2-2x.

(1)當a=0時，求/(x)的單調區(qū)間與極值；

(2)當xNO時，/(x)V0恒成立，求a的取值范圍.

19.(17分)

設數(shù)列｛2｝的前〃項和為8,若對任意的〃eN+，者B有邑“=左S"(左為非零常數(shù))，則稱數(shù)列｛2｝為“和

等比數(shù)列”，其中左為和公比.

(1)若％=2〃-3,判斷｛4｝是否為“和等比數(shù)列”.

(2)已知也｝是首項為1,公差不為。的等差數(shù)列，且抄/是“和等比數(shù)列"，g=金，數(shù)列｛或｝的前〃

項和為5?

①求上｝的和公比；

②求空;

3〃+4

③若不等式5-注?>(-iym-2對任意的〃eN+恒成立，求m的取值范圍.

2024-2025年度河南省高三年級聯(lián)考(二)

數(shù)學參考答案

Q>]

1.C由題意可得/=｛x[l<x<3｝.因為ZUB=｛x[l<x<5｝,所以｛-],解得a=2.

a+3=5

2.AG(0,+OO),allb,當一(加+7)=-2冽，即加=7時，allb,所以為真命題.

3.B當Q=3,6=-2時，c^b--18,ab2=12,此時/〃〈。/，則A錯誤.

因為。〉他|〉0,所以。>6,且aZ?wO,所以1T>0,所以‘Y〉」-,則B正確.

當a=2,6=—1時，a3=8,Z?3=-l,此時。3〉尸,則c錯誤.

當a=2,b=l,c=3時，a—c=—l,c—b=2,此時a—c<c—6,則D錯誤.

4.A設｛a“｝的公比為q,則S3=/+%+%=(1+q+/)%=加%.

因為%70,所以1+q+/=〃？.

由加=7,得l+q+/=7,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.

由q=2,得加=7,貝ij“加=7”是“{4}的公比為2”的必要不充分條件.

5.B由題意可得0<a<1<6,b=—,則4a+b24,當且僅當4a=6=2時，等號成立.故4a+6的最

a

小值為4.

6.A如圖，以Z為原點，AB,式的方向分別為x,夕軸的正方向，建立直角坐標系，設45=1,則2(0,0),

5(1,0),C(0,l),故方=(1,0),4=(0,1).

作。尸，/3,交N8的延長線于點設|萬|=1,貝力麗|=|麗|=1,

所以。(2,1),所以詬=(2,1).因為力=xl拓+y4，所以x=2j=l,則x—y=l.

7.B因為xe[0,8],所以四x—二e.當xe[0,l)時，sin|-x--|<0；當xe(l,7)時,

6666166/

.|7171|八_crrt_L.(兀兀)八m、r.(兀71|/7

sinI——I>0；當xw(z7,8]時，sin(不x—J<0.因為sin|zx——+bx+c)20對x￡[0,8]恒

1+7=--,

成立，所以1,7是ad+bx+c=o的兩根，且。<0,則<a故6=-8?！?,C=7(2<0,

1x7=-

a

b—c——15Q,b+c=—a>0.

8.D由題意可得/'(x)=(x+l)e'^g(x)=/'(x),則g'(x)=(x+2)ex,當x<—1時，/(x)<0,當

x>—1時，g'(x)>0,/'(x)單調遞增.因為/'(0)=l,所以/'(x)=(x+l)e、=l,得x=0,此時2(0,3),

故M0mm=3=3E-

9.ABD當%=〃-7時，｛4｝是遞增數(shù)列，此時代｝不是遞增數(shù)列，則A錯誤.當4=-〃+12時，｛an｝

是遞減數(shù)列，此時｛S,｝不是遞減數(shù)列，則B錯誤.由｛an｝是遞增數(shù)列，得也｝是遞增數(shù)列，且包〉0,則｛方｝

是遞增數(shù)列，故C正確.由｛4｝是遞減數(shù)列，得也｝是遞減數(shù)列，且〃〉0,貝嗎?；｝是遞增數(shù)列，故D錯

誤.

10.CD由/(3x+l)為奇函數(shù)，可得/(—3x+l)=—/(3x+l),則/(x)的圖象關于點(1,0)對稱.又

/(x+2)=/(4-x),所以/(x)的圖象關于直線x=3對稱，則/(x)是以8為周期的周期函數(shù)，所以

/(7)=—〃3)=—1,/(5)=/(1)=0./(11)=/(3)=1,/(23)=/(7)=-1,故選CD.

11.ACD因為/(兀+x)+/(兀一x)=sin(兀+x)+sin3(兀+x)+sin(兀一x)+sin3(兀一x)=0，所以/(%)的

圖象關于點(兀,0)中心對稱，則A正確.

由題意可得f(x)=sinx+sin3x=2sin2xcosx，則

f\—+x=2sin—+2xcos—+x=2cos2xcos—+x

[4J[2[414

，所以/：+x卜/，所以/(X)

jr)

的圖象不關于直線x=十對稱，則B錯誤.由題意可得/(x)=2sin2xcosx=4sinx-4sin3x.設

r=sinxe[-l,l],則y=g?)=—4〃+由，故g'?)=—12/+4=—4(3——1).由g”)〉0,得

由g'?)<0得TV/<--二或行-</<1,則g(f)在T,上單調遞

(n

減，在--，口上單調遞增.因為g(-l)=g(l)=0,

、33,

7

g(7)e-乎,不，即/(x)的值域是—舒，舒，則C正確.當xe曰,彳時，/=sinxe

jr371x/37137711

因為/=sinx在上單調遞減，且g?）在,1上單調遞減，所以/（X）在1,y上單調遞增,

32,4

則D正確.

Qjr

12.—由余弦定理可得，=a2+b2-2abcosC=1+9-2xlx3x—=8,則c=2亞.因為cosC,

433

所以sinC=R2,則△ZBC外接圓的半徑R=「qQTT,

J=±,故△48。外接圓的面積為兀R?=3

32sinC24

Cek=5iQ

13.7由題意可得＜左_；5則，"=3,解得左=券n?因為孰小小二？？。。，即C0e2=27品，所

—(?-i)In3

以e2=27,所以手(〃—I)=ln27=31n3,解得〃=7.

14.15由題可知。="，則1+tan?收=l+tan2@=1

2kit

17217cos——

17

則之162162kit金(2hr(2kii

=2ZcosIT>+cos---=-16+〉cos----.

、，2ka￡17

k=\1+tan——k=\17

2

1616

2析兀

由2sin^?>cos-=---ssin必如…哈，

17￡17k=\1717

16kqr

得>35至二-1,故原式=16—1=15.

h17

4

15.解：(1)因為cosZ=—,且0<4<兀，

5

H^j2?cosC=3ccos24,所以2sin4cosC=3sinCcosZ,

34

所以2x—cosC=3x—sinC,即cosC=2sinC.

55

因為side+cos2c=1,所以sin2c=L

5

因為0＜。＜兀，所以sinC=4^

5

34"9/s

(2)由(1)可知sin4=—,cosA=—,sinC=——,cosC=-----

5555

則sinB=sin(Z+C)=sinZcosC+cosZsinC=3x型+3x@=^

55555

由正弦定理可得,b

sinZsin5sinC

則6=asinB=26,。=竺史0=石，故△ZBC的周長為a+b+c=3+36.

sinAsinA

16.解：(1)由圖可知Z=3—(—1)=2,]=3+(T)=],

22

/(x)的最小正周期7=2(24一三]=兀.因為7=包，且①>0,所以①=2.

[1212)\co\

因為/(x)的圖象經(jīng)過點Ijl",所以/Wsin，x]+W+1=3,

即sin1[+9)=l,所以[+°=2E+m(keZ),即0=2E+；(keZ).

因為0<°<兀，所以°.故/(x)=2sin^2x+yj+l.

(2)令/(x)=0,得sin[2x+；]=-g,則2x+；=2左兀一巳(左wZ)或2x+；=2左兀一?(左wZ),

解得工二左兀一；"或左兀一^"(左EZ),故/(x)的零點為左兀一;或E-胃■(kEZ).

(3)由題意可得g(x)=2sin2|X-—|+-+1=2sin|2x+-|+1.

H14.八7兀此：]、[。兀兀4兀

因為0,—,所以2XH—€—,—.

112」6163J

當2x+[=W，即x=[時，g(x)取得最大值g[[]=3；

當2x+[=g,即x=^|時，g(x)取得最小值g[^|]=l—

故g(x)在0,^上的值域為[1-百,3].

皿/八E、r"、1X3"LL…、[X32r9。3。

17.解：(1)因為/(x)=—，所以/(2-工)=^~^=—：---=-----

3、+332一、+339+93尤+3

1x3”3a

則/(x)+/(2—x)=+-------=a.

3、+33"+3

又Iog63+log612=log636=2,所以/(1。863)+/(108612)=。，從而a=2.

0xz2%zz

(2)由(1)可知/(x)=§±=2—Jr1]，顯然/(x)在R上單調遞增.

因為/(0)=g,所以由2/，+3,_1〉0,可得/12+3》)〉/(0),

則x2+3%>0,角軍得x<—3或x>0,

故不等式2/(X2+3X)-1>0的解集為(-oo,-3)U(0,+oo).

18.解：(1)當a=0時，f(x)=21n(x+1)-x2-2x,其定義域為(-1,+co),

則f'(x)=-2x-2=*—2x=fl+2).

')x+1x+1x+1

當xe(—1,0)時，/'(x)>0,/(x)的單調遞增區(qū)間為>1,0),

當xe(0,+oo)時，f'(x)<Q,/(x)的單調遞減區(qū)間為(0,+oo),

故/(x)的極大值為/(0)=0,無極小值.

、2—a

(2)設，=x+l,G[1,+OO),g(，)=(a，+2-a)ln/-f+l,，￡工+8),貝(Jg")=aln，+------2t+a.

、門7/、，/、Q2―a八—2,2+成+a—2

設〃?)=g?)，則力⑺=-----3~-2=-------3-------.

trr

設加(/)=—2〃+s+a—2,則函數(shù)加⑷的圖象關于直線/=q對稱.

4

①當a<2時，加(/)在工+co)上單調遞減.

因為m(V)=2a-4<Q,所以加(7)=-2t2+at+a-2<0在［1,+co)上恒成立，即/(7)<0在工+co)上恒成

立，則〃⑺在［1,+8)上單調遞減，即g'?)在工+oo)上單調遞減，

所以g'(/)Wg'(l)=0,所以g(。在［1,+8)上單調遞減，則g(/)Vg(l)=0,即/(x)W0在［0,+oo)上恒成

立，故a<2符合題意.

②當a>2時，加⑷在［1,+00)上單調遞減或在［l,+oo)上先增后減，

因為加(1)=2?！?〉0,所以存在/0〉1,使得加?o)=O.

當時，>0,即/?)〉0,所以g'(。在(1,辦)上單調遞增.

因為g，⑴=0,所以g'(/)〉0在(1,%)上恒成立，所以g⑶在(1,0)上單調遞增，則g(%)>g⑴=0,故

a>2不符合題意.

綜上，a的取值范圍為（-oo,2].

19.解：⑴因為%=2〃一3,所以%+!=2〃一1,所以a,+i—%=2.

因為q=-1,所以｛%｝是首項為-1,公差為2的等差數(shù)列,

S_4n2-4〃_4〃-4

貝2〃，所以$2"=4"—4〃，所以2n

2

Snn-2nn-2

4〃一4

因為