北京中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：四邊形 專項練習(xí)（含答案）

專題18四邊形2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練（北京專用）

一'單選題

1.（2021八上?豐臺期末）下列圖形中，內(nèi)角和等于外角和的是（）

2.（2022八下?北京市期中）如圖，RtAABC中，NABC=90。，點O是斜邊AC的中

點，AC=10,貝|OB=（）

A.5B.6C.8D.10

3.（2021八上?燕山期末）若一個多邊形的內(nèi)角和為1080。，則這個多邊形的邊數(shù)為

（）

A.5B.6C.7D.8

4.（2022八下?房山期中）如圖，矩形力BCD的對角線AC、BD相交于點。，A。=3,

乙4OB=60°,貝IJAD的長為（）

A.6B.3遮C.3V2D.3而

5.（2022八下?北京市期中）如圖，回ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是

BC的中點，CD=8,則OE=（）

6.（2022八下?海淀期中）如圖，CD是AABC的中線，E,F分別是AC,DC的中點,

EF=1,則BD的長為（)

A

D.4

7.（2021九上?石景山期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，若四邊形ABCO是菱

形，貝吐。的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

8.（2022八下?北京市期中）有下列四個條件：①對角線互相平分的四邊形；②對角線

互相垂直的四邊形；③對角線相等的平行四邊形；④有一個角是直角的平行四邊形，

其中能作為矩形的判定條件的是（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

9.（2021九上?朝陽期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O0,若“=130。，則ZBOD的

度數(shù)為（）

A.50°B.100°C.130°D.150°

10.（2022?通州模擬）如圖，已知Nl+42+43=240。，那么N4的度數(shù)為（）

A.60°B.120°C.130°D.150°

二、填空題

11.（2022八下?海淀期中）兩直角邊分別為6和8的直角三角形，斜邊上的中線的長

是.

12.（2022八下?大興期中）如圖，在團(tuán)ABCD中，AD=10,AB=7,AE平分/BAD交

13.（2022八下?大興期中）如圖，點C為線段AB延長線上一點，正方形AEFG和正方

形BCDE的面積分別為8和4,貝UAEDF的面積為.

14.（2022八下?北京市期中）如圖，點E在正方形ABCD中，aBEC是等邊三角形,

則ZEAD=°,

15.（2022八下?房山期中）如圖1,菱形紙片ABCD的面積為30cm2,對角線/C的長

為6cm,將這個菱形紙片沿對角線剪開，得到四個全等的直角三角形，將這四個直角

三角形按圖2所示的方法拼成正方形.則大正方形中空白小正方形的邊長是

cm.

16.（2021九上凍城期末）斛是中國古代的一種量器.據(jù)《漢書.律歷志》記載：“斛

底，方而圜（huan）其外，旁有虎（tiao）焉”.意思是說：“斛的底面為：正方形外接

一個圓，此圓外是一個同心圓如圖所示，

問題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“座旁”為兩寸五分

（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的邊長為—

尺.

17.（2022八下?房山期中）在圈ABCD中，ZA：ZB=2：3,則NC的度數(shù)

為°.

18.（2022八下?房山期中）在平面直角坐標(biāo)系中，忸A(yù)BCD的頂點4、B、。的坐標(biāo)分別

是（0,0）,（5,0）,（2,3）,則頂點C的坐標(biāo)是.

19.（2022八下?房山期中）在四邊形中，對角線4C,8。交于點。.現(xiàn)存在以下四

個條件：①ABIICD；@AO=OC；③AB=AD；④AC平分4MB.從中選取三個

條件，可以判定四邊形ABC。為菱形.則可以選擇的條件序號是

（寫出所有可能的情況）.

20.（2021九上凍城期末）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,F分別是邊

DC,CB上的動點，且始終滿足DE=CF,AE,DF交于點P,則NAPD的度數(shù)

為;連接CP,線段CP長的最小值為.

三'綜合題

21.（2022八下?大興期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD=CD,BDLAC于點O,點

E是DB延長線上一點，OE=OD,BFLAE于點F.

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

（2）若AB平分NEAC,OB=3,BE=5,求EF和AD的長.

22.（2022八下?房山期中）如圖1,在正方形ZBCD中，點E為4。邊上一點，連接

BE.點M在CD邊上運動.

圖4

(1)當(dāng)點M和點C重合時(如圖2),過點C做BE的垂線，垂足為點P,交直線4B于

點N.請直接寫出MN與BE的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)點M在CD邊上運動時，過點M做BE的垂線，垂足為點P,交直線AB于點N

(如圖3),(1)中的結(jié)論依舊成立嗎？請證明；

(3)如圖4,當(dāng)點必在。0邊上運動時，N為直線ZB上一點，若MN=BE,請問

是否始終能證明MN1BE?請你說明理由.

23.(2022八下海淀期中)如圖，在平行四邊形ABC。中，AC1AD,作NEC4=

^ACD,CE交AB于點O,交DA的延長線于點E,連接BE.

(1)求證：四邊形ACBE是矩形；

(2)連接OD.若AB=4,^ACD=60°,求OD的長.

24.(2022八下?大興期中)已知四邊形ABCD是正方形，點E為射線AC上一動點

(點E不與A,C重合)，連接DE,過點E作EFLDE,交射線BC于點F,過點D,

F分別作DE,EF的垂線，兩垂線交于點G,連接CG.

備用圖

(1)如圖，當(dāng)點E在對角線AC上時，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：四邊形DEFG

是正方形;

(2)在(1)的條件下，猜想：CE,CG和AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)當(dāng)點E在對角線AC的延長線上時，直接用等式表示CE,CG和AC的數(shù)量

關(guān)系.

25.(2022八下?大興期中)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段AB和圖形M,給出如下

的定義：若圖形M是以AB.為對角線的平行四邊形，則稱圖形M是線段AB的“關(guān)聯(lián)

平行四邊形''.點A(8,a),點B(2,b),

9

8

7

6

5

4

3

2

-8-7-6-5-4-3-2-10.123456789101112

(1)當(dāng)a=8,b=-2時，若四邊形AOBC是線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”，則點

C的坐標(biāo)是；

(2)若四邊形AOBC是線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”，求對角線0C的最小值；

(3)若線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形"AOBC是正方形，直接寫出點C的坐標(biāo).

26.(2022八下?北京市期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，CELAD于點E,延長

DA至點F,使得EF=DA,連接BF,CF.

(1)求證：四邊形BCEF是矩形;

(2)若AB=3,CF=4,DF=5,求EF的長.

27.(2022八下?北京市期中)我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做完美四

邊形.

(1)在以下四種四邊形中,一定是完美四邊形的是(請?zhí)钚蛱?;

圖3

(2)如圖1,菱形ABCD中,ZA=60°,E,F分別是AB,BC上的點，且AE=

BF,求證：四邊形DEBF是完美四邊形;

(3)完美四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=180°,連接AC.

①如圖2,求證：CA平分NDCB；

②如圖3,當(dāng)NBAD=90。時，直接用等式表示出線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)

系.

28.(2022九下?北京市開學(xué)考)在正方形ABCD中，點P是邊BC上一動點(不包含端

點)，線段AP的垂直平分線與AB、AP、BD、CD分別交于點M、E、F、N.

(1)過點B作BG||MN交DC于G,求證：ABGC絲AAPB；

(2)若AB=9,BP=3,求線段MN的長度；

(3)請你用等式表示線段ME,EF和FN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

29.(2022八下?大興期中)如圖，菱形ABCD對角線AC,BD相交于點O,點E是

AD的中點，過點A作對角線AC的垂線，與OE的延長線交于點F,連接FD.

(1)求證：四邊形AODF是矩形;

(2)若AD=10,ZABC=60°,求OF和0A的長.

30.(2021九上?昌平期末)如圖，。。是AABC的外接圓，AB是。O的直徑，AB±

CD于點E,P是AB延長線上一點，且NBCP=/BCD

(1)求證：CP是。O的切線；

(2)連接DO并延長，交AC于點F,交。。于點G,連接GC若。O的半徑為

5,OE=3,求GC和OF的長

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)n邊形的內(nèi)角和等于外角和

（n-2）xl80°=360°

解得：n=4

故答案為：B

【分析】設(shè)n邊形的內(nèi)角和等于外角和，根據(jù)題意列出方程（n-2）、180。=360。求解

即可。

2.【答案】A

【解析】【解答】解：RtAABC中，NABC=90。，點O是斜邊AC的中點，AC=10,

則OB=|AC=5,

故答案為：A.

【分析】利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得OB=/AC=5。

3.【答案】D

【解析】【解答】設(shè)多邊形邊數(shù)有x條，由題意得：

180°（x-2）=1080°

解得：x=8

故答案為8

所以選D

【分析】先求出180。（x—2尸1080。,再求解即可。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，

.?.BD=AC=2AO=6（矩形對角線相等），

，AO=OB=3（矩形對角線互相平分），

VZAOB=60°,

AAOB是等邊三角形，

AB=OA=3,

在RtAABD中，

AD=yjBD2-AB2=V62-32=3后

故答案為：B.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得A0=0B=3,從而求出AAOB是等邊三角形，可得AB

=OA=3,根據(jù)勾股定理求出AD即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】由題意可知：CD=AB=8,

???0,E分別為4C,BC的中點，

1

0E=24B=4.

故答案為：B.

【分析】利用三角形中位線的性質(zhì)可得0E=\AB=4o

6.【答案】B

【解析】【解答】解：???點E、F分別是AC、DC的中點，

.-.EFMAACD的中位線，

：.AD=2EF=2,

VCD^AABC的中線，

/.BD=AD=2

故答案為：B.

【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)可得AD=2EF=2,再利用中線的性質(zhì)可得BD=AD=2o

7.【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)NADC=a,ZABC=p;

?.?四邊形ABCO是菱形，

二/ABC=NAOC=僅

ZADC=1p；

???四邊形4BCD為圓的內(nèi)接四邊形，

.?,a+p=180°,

(a+0=180°

1?，

a=2p

解得:p=120°,a=60°,貝U/ADC=60。，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NABC=NAOC=0,再利用圓周角的性質(zhì)可得/

1（a+p=180°

ADC=lp,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得1。，再求出0=120。，a=60°,即

z（a=

可得到答案。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本條件不合題意；

②對角線互相垂直的四邊形不一定互相平分，不一定是平行四邊形，故本條件不合題

思；

③對角線相等的平行四邊形是矩形，故本條件符合題意；

④有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故本條件符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)矩形的判定方法逐項判斷即可。

9.【答案】B

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

.\ZA+ZDCB=180°,

,/ZDCB=130°,

.*.ZA=50°,

由圓周角定理得，ZBO￡）=2ZA=100°,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得NA+NDCB=18O。，從而求出NA=5O。，由圓周角定

理得ZBOD=2NA,據(jù)此即得結(jié)論.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：..21+/2+43+44=360。，

zl+z2+Z3=240°

，Z4=120°

故答案為：B.

【分析】根據(jù)多邊形的外角和可得N1+42+43+N4=360°,再結(jié)合41+42+

Z3=240?？傻?4=120。。

11.【答案】5

【解析】【解答】解：???直角三角形兩條直角邊分別是6、8,

.?.斜邊長為,62+82=V36+64=V100=10，

.??斜邊上的中線長為10=5.

故答案為：5.

【分析】先利用勾股定理求出斜邊的長，再利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得答

案。

12.【答案】3

【解析】【解答】解：???AE平分NBAD交BC邊于點E,

AZBAE=ZEAD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

???AD〃BC,AD=BC=10,

???NDAE=NAEB,

AZBAE=ZAEB,

JAB=BE=7,

???EC=BC-BE=10-7=3,

故答案為：3.

【分析】由角平分線的定義可得NBAE=NEAD,由平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃:BC,

AD=BC=10,利用平行線的性質(zhì)可得NDAE=NAEB,從而得出NBAE=NAEB,利用

等角對等邊可得AB=BE=7,根據(jù)EC=BC-BE即可求解.

13.【答案】2

【解析】【解答】解：如圖所示，連接正方形BCDE的對角線CE,BD,且CE交BD

于點O,

AZBEC=45°,CE±BD,

?；正方形AEFG和正方形BCDE的面積分別為8和4,

/.正方形AEFG的邊長為通=2vL正方形BCDE的邊長為V5=2,

，EF=AE=2伍BE=CD=BC=2,

,/點C是線段AB延長線上一點，

二NABE=90°,

.*.AB=7xF2-BF2=2,

/.RtAABE是等腰直角三角形，

，/AEB=45°,

,/ZAEF+ZAEB+ZBEC=180°,

...點F、E、C在同一直線上，

VCE±BD,

：.OD=^BD=+CD2=1722+22=仿

[1

,"SREDF='EF,OD=2x2A/2^XA/2^—2,

故答案為：2.

【分析】連接正方形BCDE的對角線CE,BD,且CE交BD于點O,由正方形的性質(zhì)

可得NBEC=45。，CE1BD,根據(jù)正方形的面積可求出EF=AE=2VI,BE=CD=BC=2,

在R3ABE中，利用勾股定理求出AB=2,即得RtAABE是等腰直角三角形，從而得

出點F、E、C在同一直線上，由正方形的性質(zhì)及勾股定理可求出OD=±BD=V^,根據(jù)

三角形的面積公式即可求解.

14.【答案】15

【解析】【解答】解：:E為正方形ABCD內(nèi)一點，且AEBC是等邊三角形，

/.ZABC=ZBAD=90°,ZEBC=60°,BC=BE=AB,

，ZABE=ZABC-ZEBC=30°,

VBA=BE,

/.ZEAB=ZAEB=|x(180°-30°)=75°,

.?.ZEAD=90°-75o=15°,

故答案為：15.

【分析】先求出/ABE=30。，再利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求出N

EAB=75°,再利用/￡人口=90。-75。=15。計算即可。

15.【答案】2

【解析】【解答】解：如圖，設(shè)AC與BD交于點0,

在菱形ABCD中，AC±BD,AO=OC,OB=OD,

,菱形紙片ABC。的面積為30cni2,對角線4c的長為6cm,

1

：^AC-BD=30,OA=3cm,

:?BD=10cm,

OB=5cm,

大正方形中空白小正方形的邊長等于OB-OA=2cm.

故答案為：2

【分析】設(shè)AC與BD交于點O,由菱形的性質(zhì)可得ACLBD,AO=OC,OB=OD,根

據(jù)菱形ABCD的面積=30,可求出BD,即得OB的長，由于大正方形中空

白小正方形的邊長等于OB-OA,據(jù)此計算即可.

16.【答案】V2

【解析】【解答】解：如圖，

?.?四邊形CDEF為正方形，

：.ZD=90°,CD=DE,

；.CE是直徑，ZECD=45°,

根據(jù)題意得：AB=2.5,CE=2.5-0.25X2=2,

：.CE2=CD2+DE2=2CD2，

/.CD=y[2,

即此斛底面的正方形的邊長為魚尺.

故答案為：V2

【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)確定三角形CDE為等腰直角三角形，CE為直徑，根據(jù)題意

求出正方形外接圓的直徑CE,求出CD,即可得解。

17.【答案】72

【解析】【解答】解：四邊形ABCD為平行四邊形，

/.AD/7BC,ZA=ZC,

.\ZA+ZB=180°,

VZA：ZB=2：3,

/?ZA=2^x180°=72°,

.?.ZC=ZA=72°,

故答案為：72°.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃:BC,ZA=ZC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NA+

ZB=180°,由NA：ZB=2：3,可求出NADE度數(shù)，即得NC.

18.【答案】(7,3)

【解析】【解答】如圖，?.FABCD的頂點A(0,0),B(5,0),D(2,3),

，AB=CD=5,C點縱坐標(biāo)與D點縱坐標(biāo)相同,

頂點C的坐標(biāo)是;(7,3).

故答案為：(7,3).

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD=5,AB〃CD,即得C點與D點縱坐標(biāo)

相同，繼而得解.

19.【答案】①②③，①②④，①③④，②③④

【解析】【解答】解：可以選擇的條件序號有:

情況一：①②③，理由如下，

'：AB||CD,

：.AOAB=乙OCD,

XVOX=OC,AAOB=ACOD,

：.△AOBCOD(ASA)

：.AB=CD,

...四邊形ABCD為平行四邊形，

'：AB=AD,

...四邊形ABCD為菱形；

情況二z①②④，理由如下，

'：AB||CD,

：.^OAB=乙OCD,

又：(M=OC,^AOB=^COD,

：.AAOBdCOD(ASA)

：.AB=CD,

...四邊形ABCD為平行四邊形，

：AC平分WAB,

/.Z-OAB=Z-OAD,

：.^OAD=乙OCD,

：.AD=CD,

???四邊形ABCD為菱形；

情況三：①③④，理由如下，

\*AB||CD,

：.^OAB=乙OCD,

?NC平分NZMB,

/.Z.OAB=Z.OAD,

：./.OAD=AOCD,

：.AD=CD,

5L'：AB=AD,

：.AB=CD,

四邊形ABCD為平行四邊形，

\'AB=AD,

...四邊形ABCD為菱形；

情況四：②③④，理由如下，

'：AC^^￡.DAB,

Z.OAB=Z.OAD,

又???43=AD,0A=0A,

J.LAOB=^AOD(SAS)

：.0B=OD,

VOA=OC,

...四邊形ABCD為平行四邊形，

'：AB=AD,

四邊形ABCD為菱形.

故答案為：①②③，①②④，①③④，②③④.

【分析】共有四種組合①②③，①②④，①③④，②③④.根據(jù)平行線的性

質(zhì)、角平分線的定義、三角形全等的判定與性質(zhì)、菱形的判定分別證明即可.

20.【答案】90°；V5-1

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

??.AD=CD,NADE=NBCD=90。，

AD=CD

在^ADE和ADCF中，\z_ADE=乙BCD=90°,

DE=CF

.'.△ADE^ADCF(SAS)

???NDAE=NCDF,

ZCDF+ZADF=ZADC=90°,

.?.ZADF+ZDAE=90°,

/.ZAPD=90°,

由于點P在運動中保持/APD=90。，

.??點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，

取AD的中點Q,連接QC,此時CP的長度最小,

則DQ=1AD=|x2=l,

在RSCQD中，根據(jù)勾股定理得，CQ=JCD2+QD2=722+I2=V5,

所以，CP=CO-QP=V5-1.

故答案為：90°；V5-l.

【分析】根據(jù)邊角邊證明AADE/ADCF,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出NDAE=

ZCDF,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得點P到AD的中點的距離

不變，再根據(jù)兩點之間線段最短，取AD的中點Q,連接QC,此時CP的長度最小，

再根據(jù)勾股定理列式求出CQ,再求解即可。

21.【答案】(1)證明：?.?BD1AC,

：.^AOD=乙COD=90°,

在Rt△A。。和RtAC。。中，

(DA=DC

I。。=OD'

：.RtAAOD三Rt4COD(HL),

/.AO=CO,

又：OE=OD,

...四邊形AECD為菱形.

(2)解：；AB平分NE4C,

/.BF=BO=3,

在山△BEP中，由勾股定理可得，

EF=VBF2-BF2=V52-32=4，

在RtAABF^Rt△ABO中，

(AB=AB

iBF=BO'

：.RtAABFRtAABO(HL),

；.AO=AF,

設(shè)AO=AF=x,AE=4+x,

在RtAAOE中，由勾股定理可得，

AE2=OE2+OA2,

得(％+4)2=82+x2,

解得％=6,

.?.AE=4+6=10,

即AD=10,

AEF和AD的長分別為4和10.

【解析】【分析】(1)根據(jù)HL證明RtAOAD也R3COD,可得AO=CO,結(jié)合

OE=OD,可證四邊形AECD為平行四邊形，由BD_LAC即證四邊形AECD為菱形；

(2)由角平分線的性質(zhì)可得BF=BO=3,由勾股定理求出EF=4,根據(jù)HL證明

RtAABF^RtAABO,可得AO=AF,設(shè)AO=AF=x,可得AE=4+x,在Rt^AOE中，由

勾股定理可建立關(guān)于x方程并解之即可.

22.【答案】(1)相等

(2)解：成立，證明如下：

如圖，過點4作1BE于點G,

■:MN1BE,

：.AF||MN,

又,/四邊形4BCD是正方形，

.'.AB//CD,

，四邊形4FMN是平行四邊形，

：.AF=MN,

?.?正方形ABC。，

：.AADF=/.BAE=90°,AD=BA,

：.Z.DAF+乙FAB=90°,乙FAB+^ABE=90°,

J.^DAF=乙ABE,

在△4DF與ABAE中,

Z-DAF=乙ABE

AD=BA,

./-ADF=乙BAE

△ADF=△BAE(ASA),

：.BE=AF,

：.BE=MN.

(3)不一定，理由如下：

如圖，以點M為圓心，以線段BE的長為半徑作弧，與直線交于點N及點N,

連接MN、MN',MN交BE于點、0,MN'交BE于點、G,過點4作AHIIMN交BE于點/,

：.MN=MN',

;MN=BE,

:.MN'=MN=BE,

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.AB//CD,AD=BA,^ADH=Z.BAE=90°,

二四邊形AHMN是平行四邊形，

：.AH=MN,

：.AH=BE,

在Rt△ADH與Rt△BAE中

(AH=BE

\AD=BA'

：.RtAADH=RtABAE(HL),

：.^DAH=Z.ABE,

?；4DAH+NHAB=90°,

J./-HABZ.ABE=90°,

，乙AJB=90°,

：.AH1BE,

：.MN1BE,

J.^GOM=90°,

：.^MGO<90°,

???MN，與BE不垂直，彳且MN'=MN=BE,

綜上所述：若MN=BE,MN與BE不一定始終垂直.

【解析】【解答】(1)解：,??四邊形4BCD是正方形，

J.Z-BAE=乙CBN=90°,AB=BC,

：.^LABE+^CBP=90°,

VCN1BE,

:?乙BCN+乙CBP=90°,

C.^ABE=乙BCN,

在△■￡1和△BCN中

^BAE=乙CBN

AB=BC

^ABE=乙BCN

：.AABE=J^BCN(ASA)

：.BE=CN,

??,點M和點。重合，

：.BE=CN=MN.

故答案為：相等

【分析】(1)MN=BE.根據(jù)ASA證明△ABE^ZvBCN,可得BE=CN=MN；

(2)成立.理由：過點力作力F13E于點G,可證四邊形4FMN是平行四邊形，可得

AF=MN,

根據(jù)ASA證明AADF^4BAE,可得BE=AF,即得結(jié)論；

(3)不一定，理由：如圖，以點M為圓心，以線段BE的長為半徑作弧，與直線AB交

于點N及點N,，連接MN、MN',MN交BE于點。，MN咬BE于點G,過點2作||

MN交BE于點J,可得MN'=MN=BE,再證四邊形AHMN是平行四邊形，可得

AH=MN=BE,根據(jù)HL證明Rt△ADH三Rt△BAE,可得ND4H=乙ABE,從而求出

/.A]B=90°,即得AHLBE,由MNLBE,可得NGOM=90。，即得4MG。＜90。，繼

而得出MN'與BE不垂直，但MN'=MN=BE,據(jù)此判斷即可.

23.【答案】(1)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD/7BC,AD=BC,

VAC±AD,

?.ZEAC=ZDAC=90°,

VZECA=ZACD,

ZAEC=ZADC,

ACE=CD,

；.AE=AD=BC,

VAE/7BC,

二四邊形ACBE是平行四邊形，

VZEAC=90°,

.??四邊形ACBE為矩形；

(2)解：如圖，過點。作OFLDE于F,

Ey--------f-------.......................-

由(1)可知，四邊形ACBE為矩形,

二對角線AB與CE相等且互相平分，AO^AB=2,

，OA=OC,

,/NACD=NACO=60°,

AAAOC為等邊三角形,

JZOAC=60°,

???NEAC=90。，

JZFAO=90°-60°=30°,

在RtAAFO中，

OF=;力。=1,AF=V3,

在RtAAEB中，BE=^AB=2，

AD=AE=742-22=2V3-

.,.DF=AF+AD=V3+2V3=3舊，

22

/.OD=7DF+OF=2V7-

【解析】【分析】(1)先證明四邊形ACBE是平行四邊形，再結(jié)合NEAC=90?？傻盟倪?/p>

形ACBE為矩形；

(2)過點O作OFLDE于F,先求出NFAO=9(T-6(F=30。，再利用含30。角的直角三

角形的性質(zhì)可得4F=百，BE=^AB=2,再利用線段的和差求出DF的長，最后利

用勾股定理求出OD的長即可。

24.【答案】(1)解：過點E作EMLBC,垂足為M,作ENLCD,垂足N,

?.,四邊形ABCD為正方形，

AZBCD=90°,且NECN=45°

???NEMC=NENC=NBCD=90。，NE=NC,

J四邊形EMCN是正方形，

.'EM=EN,

VEF±DE,DG±DE,FG±EF,

J四邊形DEFG為矩形，

VZDEN+ZNEF=90°,ZMEF+ZNEF=90°,

JNDEN=NMEF,

又?:NDNE=NFME=90。，

在ADEN和21FEM中，

NDNE=乙FME

EN=EM,

/DEN=乙FEM

：.ADEN^AFEM,

JED=EF,

???四邊形DEFG是正方形；

(2)CE+CG=AC,

證明：???四邊形DEFG是正方形,

???DE=DG,NEDC+CDG=90。，

???四邊形ABCD是正方形，

???AD=DC,NADE+NEDO90。,

.\NADE=NCDG,

在4ADE和4CDG中，

AD=CD

Z-ADE=乙CDG,

.DE=DG

AADE^ACDG,

JAE=CG,

JCE+CG=CE+AE=AC；

(3)CG=AC+CE,

如圖：

?.?四邊形ABCD為正方形，四邊形DEFG為正方形，

，AD=CD,ZADC=90°,ED=GD,且NGDE=90。，

，ZADE=ZADC+ZCDE=ZGDE+ZCDE=ZGDC,

在AADE和ACDG中，

AD=CD

Z-ADE=4CDG,

LDE=DG

：.AADE^ACDG,

???AE=CG=AC+CE；

【解析】【分析】(1)過點E作EMLBC,垂足為M,作ENLCD,垂足N,先證四邊

形DEFG為矩形，再證明△DEN^AFEM(ASA),可得DE=EF,根據(jù)正方的判定定

理即證；

(2)CE+CG=AC,證明：根據(jù)SAS證明AADE絲Z\CDG,可得AE=CG,從而得出

CE+CG=CE+AE

=AC；

(3)CG=AC+CE,理由：根據(jù)SAS證明AADE會ACDG,可得AE=CG,繼而得

解.

25.【答案】(1)(10,6)

(2)解：如圖所示，連接OC,

設(shè)點C(x,y),A(8,a),B(2,b),

四邊形AOBC是線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”,

???AO〃BC,AO=BC,

得出:"建口,

解得：〔占工

/.C(10,a+b),

OC=J102+(a+b)2,

當(dāng)a+b=0時，

OC最小為10；

(3)解：如圖所示，當(dāng)點B在x軸上方，點A在x軸下方時，過點A作AH，x軸,

過點B作BGJ_x軸，

.,.ZAHO=ZBGO=90°,

四邊形OACB為正方形，

.?.OA=OB,ZAOB=90°,

.\ZAOH+ZBOG=90°,

VZAOH+ZOAH=90°,

，ZOAH=ZBOG,

/.AAOH=ABOG,

，AH=OG=2,OH=BG=8,

/.A(8,2),B(2,-8),

由(2)可得:C(10,-6)；

如圖所示，當(dāng)點B，在x軸下方，點A，在x軸上方時,

同理可得：A，(8,-2),B,(2,8),

由(2)可得：C(10,6)；

綜上可得：點C的坐標(biāo)為(10,-6)或(10,6).

【解析】【解答】(1)解：如圖所示，設(shè)點C(x,y),

???四邊形AOBC是線段AB的“關(guān)聯(lián)平行四邊形”，

/.AO/7BC,AO=BC,

in(8—0=x—2

后出：(8_0=y+2，

解得：

AC(10,6)；

故答案為：(10,6)；

【分析】(1)由A、B坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，可求出點C坐

標(biāo)；

(2)如圖所示，連接0C,先用含ab的式子表示出平行四邊形對角線交點的坐標(biāo)，

利用勾股定理求出OC,根據(jù)偶次幕的非負(fù)性即可求出OC最小值；

(3)分兩種情況：如圖所示，當(dāng)點B在x軸上方，點A在x軸下方時，過點A作

AH_Lx軸，過點B作BG_Lx軸，證明AAOHwABOG,可得AH=OG=2,OH=BG=8,

即得A(8,2),B(2,-8),由(2)可得C(10,-6)；如圖所示，當(dāng)點B，在x軸下

方，點A，在x軸上方時，同理可求出結(jié)論.

26.【答案】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD/7BC,AD=BC,

VEF=DA,

/.EF=BC,EF〃BC,

...四邊形BCEF是平行四邊形，

XVCE1AD,

.-.ZCEF=90o,

二平行四邊形BCEF是矩形；

(2)解：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.CD=AB=3,

VCF=4,DF=5,

/.CD2+CF2=DF2,

.?.△CDF是直角三角形，ZDCF=90°,

.二△CDF的面積=?FxCE=*CFxCD,

.rP_4x3_12

=T-.

由(1)得：EF=BC,四邊形BCEF是矩形，

二/FBC=90。，BF=CE考，

/.BC=VCF2-BF2=等，

.?.EF專.

【解析】【分析】(1)先證明四邊形BCEF是平行四邊形，再結(jié)合NCEF=90。，可得平

行四邊形BCEF是矩形；

(2)先利用勾股定理的逆定理證明ACDF是直角三角形，ZDCF=90°,再利用等面積

法可得CE=等二學(xué)，最后利用勾股定理求出BC的長即可得到EF的長。

27.【答案】(1)④

(2)證明：如圖，連接BD,

B

???四邊形ABCD為菱形，

???AB=AD,AD||BC.

VZA=60°,

.二△ABD是等邊三角形，ZABC=120°,

???AD=BD.

VBD平分NABC,

AZDBC=60°=ZA.

?「AE=BF,

AAADE^ABDF(SAS),

???DE=DF,NAED=NBFD.

VZAED+ZDEB=180°,

AZBFD+ZDEB=180°,

??.四邊形DEBF是完美四邊形；

VZABC+ZD=180°,ZABC+ZABE=180°,

???NABE=ND.

又：AB=AD,

.,.△ADC也△ABE（SAS）,

，NACD=/E,AC=AE,

AZACE=ZE,

.\ZACD=ZACE,

/.即CA平分NDCB.

（2）VAADCABE

/.ZDAC=ZBAE,BE=CD,

，ZDAC+ZCAB=ZBAE+ZCAB,即NDAC=/CAE=90。，

???△C4E為等腰直角三角形，

CE=也AC,即BC+BE=s[2AC,

:.BC+CD=y[2AC.

【解析】【解答]解：（1）平行四邊形鄰邊不相等，故①不是完美四邊形；菱形對角不

互補(bǔ)，故②不是完美四邊形；矩形鄰邊不相等，故③不是完美四邊形；正方形鄰邊相

等，且對角互補(bǔ)，故④是完美四邊形.

故答案為：④；

【分析】（1）根據(jù)“完美四邊形”的定義判斷即可；

（2）連接BD,先利用“SAS”證明AADETaBDF可得DE=DF,ZAED=ZBFD,再

結(jié)合/AED+NDEB=180。，可得NBFD+NDEB=180。，從而得解；

（3）①延長CB至點E,使BE=CD,先利用“SAS”證明AADC/^ABE可得/ACD

=NE,AC=AE,再結(jié)合/ACE=NE,可得NACD=NACE,從而可得CA平分N

DCB；

②先證明△C4E為等腰直角三角形，可得CE=V^4C,即BC+BE=V^4C,即可得

到BC+CD=夜AC。

28.【答案】（1）證明：如圖，過點B作BG〃MN交DC于G,

，BG_LAP,

AZCBG+ZBPA=90°,

四邊形ABCD是正方形，

.,.AB=BC,ZABC=ZBCG=90°,

???NCBG+NCGB=90。，

???NCGB=NBPA,

(^CGB=^BPA

在^BGC與^APB中，zBCG=乙ABC,

.BC=AB

：.ABGC^AAPB(AAS),

(2)解：VABGC^AAPB,

???BG=AP,

???四邊形ABCD是正方形，

???AB〃C