矩形的折疊問題-2023年中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識點(diǎn)專練

第16講矩形的折疊問題（解析）

利用對稱的性質(zhì)，結(jié)合方程思想求值）

矩形折疊

結(jié)合相似或者三角函數(shù)求值

?題型一：利用對稱的性質(zhì)，結(jié)合方程思想求值

Q例題精講：

【例1】如圖，一張寬為3,長為4的矩形紙片4BCD,先沿對角線8。對折，點(diǎn)C落在C'的位置，交2。于

G,再折疊一次，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，得折痕EN,EN交AD于M,那么ME=.

【對稱性質(zhì)】

①線段相等：CD二C'D=AB,BC=BC',EA=EDNA=ND^AM=DM;

②角相等：/C'BD=NCBD,NC'DB=NCDB;

③全等三角形：△CBD94CBD,AABG=△CDG

④垂直平分：BD垂直平分CC',NE垂直平分AD;

【答案】"

【分析】由折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)，證得△BGD是等腰三角形，那么在RtAABG中，利用勾股定理，借

助于方程即可求得4G的長，又由AABGmAC'DG,得到=-1BG,由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得ME的

長.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：乙GBD=Z.CBD,AM=DM=^AD,^EMA=上EMD=90°,

,??四邊形ABC。是矩形，

ADWBC,AO=8C=4,Z.BAD=90°,

Z.ADB=Z-CBD,

Z.GBD=Z.ADB,

BG=DG,

設(shè)4G=x,那么BG=DG=4—x,

???在RtA/lBG中，AB2+AG2=BG2,

???32+x2=(4-%)2,

???x=-,即力G=

88

在△486和4C'GD中，

2BAG=4DOG

/.AGB=/.C'GD

、AB=CD

:.&ABG三AC'DG(AAS),

???乙EDM=Z.ABG,

.EM_AG_7

"MD~AB~24

又MD=2,

7

??.EM=—,

12

故答案為：f

【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵

是留意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.

國真題演練：

1.[2022?遼寧營口?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形力BCD中，點(diǎn)M在4B邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使

點(diǎn)2落在邊上的點(diǎn)E處，連接EC,過點(diǎn)B作BF1EC,垂足為R假設(shè)CD=1,CF=2,那么線段4E的

長為（）

A.V5-2B.V3-1C.-D.-

32

【答案】A

【分析】先證明△BFC^^CDE,可得DE=CF=2,再用勾股定理求得CE=V^,從而可得AD=BC=V5,最

終求得AE的長.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，

；.BC=AD,/ABC=ND=90。，AD//BC,

；./DEC=/FCB,

,:BF1EC,

：.ZBFC=ZCDE,

?.,把ABCM沿直線CM折疊，使點(diǎn)B落在2D邊上的點(diǎn)E處，

；.BC=EC,

在ABFC與4CDE中，

'/.DEC=乙FCB

/.BFC=乙CDE

.BC=EC

：.ABFC^ACDE〔AAS）,

；.DE=CF=2,

CE=y/CD2+DE2=Vl2+22=V5,

/.AD=BC=CE=V5,

.\AE=ADDE=V5-2,

應(yīng)選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決此題的

關(guān)鍵是嫻熟把握矩形中的折疊問題.

2.（2022?山東濟(jì)寧.?？级＃┤鐖D，矩形。力BC中，。4=4,4B=3,點(diǎn)。在邊BC上，且CD=3D8,點(diǎn)E是

邊02上一點(diǎn)，連接。E,將四邊形沿DE折疊，假設(shè)點(diǎn)A的對稱點(diǎn)4恰好落在邊。C上，那么。E的長為

B'

【答案】|

【分析】連接4D,AD,依據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=。4=4,0C=4B=3,NC=NB=。=90°,求得CD=3,

BD=1,依據(jù)折疊的性質(zhì)得到4。=AD,A'E=AE,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4c=BD=1,依據(jù)勾股

定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接AD,AD,

,??四邊形04BC是矩形，

BC=OA=4,OC=AB=3,NC=NB=N。=90°,

???CD=3DB,

CD=3,BD=1,

CD=AB,

,??將四邊形4BDE沿DE折疊，點(diǎn)4的對稱點(diǎn)4恰好落在邊OC上，

A'D=AD,A'E=AE,

在Rt△4?！?與區(qū)1△084中，

(CD=AB

lA'D=AD'

ARt△4'CD三Rt△DBA(HL),

A'C=BD=1,

A'O=2,

???A'O2+OE2A'E2,

：.22+OE2=(4-OF)2,

??.OE=

2

故答案為：|.

B'

【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換（折疊問題〕，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出幫助線是

解題的關(guān)鍵.

3.[2022?河南鄭州?鄭州外國語中學(xué)?？寄M猜測〕如圖,在長方形紙條4BCD中，點(diǎn)G在邊8c上,BG=2CG,

將該紙條沿著過點(diǎn)G的直線翻折后，點(diǎn)C、。分別落在邊BC下方的點(diǎn)E、F處，且點(diǎn)E、F、8在同一條直

線上，折痕與邊4。交于點(diǎn)X,HF與BG交于點(diǎn)M.設(shè)力B=t,那么△GHM的周長為〔用含f的代數(shù)

【答案】2gt

【分析】過點(diǎn)M作MN1GE,連接BF,利用矩形和折疊的性質(zhì)，推出△HMG為等邊三角形，求出MG,即

可得解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)M作MN1GE,連接BF；

?..點(diǎn)E、F、B在同一條直線上，

二點(diǎn)尸在BE上，

:將長方形紙條4BCD沿HG翻折,

."E=ND=90°,GE=GC,乙MHG=LDHG；

9：BG=2CG,

：.BG=2GE,

GE1

?,?cos乙B廠1G7E———,

BG2

?"BGE=60°；

???四邊形/BCD是矩形，

：.MH||GE,AH||MGfCD=AB=t.

:.乙HMG=乙BGE=60°,^AHM=乙HMG=60°；

：.^MHG=18°—°=60°，

2

???△”MG為等邊三角形；

VZ.MFE=乙FEN=乙ENM=90°,

???四邊形MNE尸為矩形，

：.MN=FE=CD=t；

VAMGN=60°,

.?.MG=MN+siMMGN/3

；.△GHM的周長=3x^t=2V3t；

故答案為：2Wt.

【點(diǎn)睛】此題考查矩形的折疊問題，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì).嫻熟把握矩形的性質(zhì)和折

疊的性質(zhì)，證明AUMG為等邊三角形，是解決此題的關(guān)鍵.

4.（2022?山東泰安??？级＃┰诰匦?8co中，48=4,2E=2,點(diǎn)G、F、H、￡是分另U邊48、BC、DC、AD

上的點(diǎn)，分別沿HE,GF折疊矩形恰好使DE、BF都與EF重合，那么4。=.

【答案】7

【分析】設(shè)DE=x,依據(jù)折疊的性質(zhì)得出BF=EF=DE=x.過E作EM1BC于M,那么EM=AB=4,

MF=x-2.在RtAEMF中依據(jù)勾股定理得出EM?+M/2=￡■產(chǎn)，即4?+（x-2尸=產(chǎn)，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)。E=乃

:分另！1沿HE,GF折疊矩形恰好使￡>￡、8F都與EF重合,

:,BF=EF=DE=x.

過E作EM_LBC于M,那么四邊形ABME是矩形，

"：AB=4,AE=2,

：.EM==4,=AE=2,MF=BF—BM=x—2,

在Rt△EMF中，Z.EMF=90°,

：.EM2+MF2=EF2,即42+（久一2）2=/,

解得x=5,

那么DE=5,

：.AD=AE+DE=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的外形和大小不變，

位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.也考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵.

5.[2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABC。沿CE折疊，使點(diǎn)8落在邊A。上的點(diǎn)尸處.假

設(shè)點(diǎn)E在邊A8上，AB=3,BC=5,那么AE=.

【答案】拂《

【分析】由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5,BE=EF,由矩形性質(zhì)有CD=AB=3,BC=AD=5,勾股定理求得DF,

AF.設(shè)BE=EF=x,那么AE=ABBE,在直角三角形AEF中，依據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5,BE=EF,

由矩形性質(zhì)有CD=AB=3,BC=AD=5,

VZD=90°,

：.DF=VCF2-CD2=4,

所以力尸=AD-DF=5-4=1,

所以BE=EF=x,那么AE=ABBE=3x,在直角三角形AEF中：

AE2+AF2=EF2,

(3—x)2+I2=%2,

解得"I，

：.AE=3--=-,

33

故答案為：號

【點(diǎn)睛】此題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運(yùn)用勾股定理建立方

程求解是關(guān)鍵.

6.12022?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題〕如圖，在矩形紙片ABC。中，點(diǎn)E在邊上，將ACDE沿翻折得

到小FDE,點(diǎn)尸落在AE上.假設(shè)CE=3cm,AF=2EF,那么4B=cm.

【答案】3V5

【分析】由將4CDE沿DE翻折得到點(diǎn)F落在AE上，可得EF=CE=3cm,CD=DF,/DEC=NDEF,

由矩形的性質(zhì)得NDFE=/C=90o=/DFA,從而得AF=6cm,AD=AE=9cm,進(jìn)而由勾股定理既可以求解。

【詳解】解：：將4CDE沿DE翻折得到△FDE,點(diǎn)F落在AE上，CE=3cm,四邊形ABCD是矩形，

；.EF=CE=3cm,CD=DF,NDEC=/DEF,ZDFE=ZC=90°=ZDFA,

VAF=2EF,

AF=6cm,

/.AE=AF+EF=6+3=9(cm),

???四邊形ABCD是矩形，

AAB=CD=DF,AD||BC,

???NADE=NDEONDEF,

AD=AE=9cm,

,/在RtAADF中，AF2+DF2=AD2

???62+DF2=92,

.".DF=3V5(cm),

AB=DF=3V5(cm),

故答案為：3縣.

【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理及軸對稱，嫻熟把握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.[2022?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題)如圖，對折矩形紙片2BCD,使得力。與BC重合，得到折痕EF,把紙片

展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)4落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)以得到折痕BM.連接MF,假設(shè)

MF1BM,AB=6cm,那么4D的長是cm.

【答案】5V3

【分析】依據(jù)直角三角形的中線定理，先證明四邊形40AM是平行四邊形，再證明AAOM是等邊三角形,

分別依據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)求出AM和DM,從而得到答案.

【詳解】解：如以下圖所示，設(shè)4E交BM于點(diǎn)0,連接A0,

:點(diǎn)E是中點(diǎn)，

...在RtAABM和RtAH'BM中，AO=0M=OB,0A'=OB=0M,

：.^OAE=AOBE.^OBA'=AOA'B,

■:上OBE=^OBA',

J./-OAE=^OA'B,

"：AOAE+AAOE=90°,AOA'B+AOA'M=90°,

：.Z.AOE=/.OA'M,

：.AO//A'M,

AMI10A'

四邊形4O4'M是平行四邊形，

：.AM=OA'

：.AM=AO=OM,

...△40M是等邊三角形，

：.^AMO=/LOMA'=60°

tanzXMO=tan60°=—

AM

：.AM=2V3,

VMF1BM,Z.OMA'=60°,

：./-A'MF=30",

J.A.DMF=180°-150°=30°,

1

U：DF=-AB=3,

2

：.AD=AM+MD=5V3,

故答案為：5V3.

【點(diǎn)睛】此題考查矩形的折疊、直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明AZOM是等邊三角形

以及嫻熟把握直角三角形中的三角函數(shù).

8.12022.山東濰坊.中考真題〕小瑩依據(jù)如下圖的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)覺折痕AB，與A4紙的長邊

AB恰好重合，那么A4紙的長AB與寬AD的比值為.

DB'CB'C

【答案】V2

【分析】判定△AB，D是等腰直角三角形，即可得出AB，=&AD,再依據(jù)AB，=AB,再計(jì)算即可得到結(jié)論.

【詳解】解：：四邊形ABCD是矩形，

ZD=ZB=ZDAB=90°,

由操作一可知：NDAB，=ND，AB，=45。，ZAD,B,=ZD=90°,AD=AD,,

△ABD，是等腰直角三角形，

.?.AD=AD'=B'D',

由勾股定理得AB'=V2AD,

又由操作二可知：ABr=AB,

/.V2AD=AB,

s,

AD

：.M紙的長AB與寬AD的比值為近.

故答案為：V2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及折疊變換的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問解

決問題.

9.（2022.遼寧錦州?中考真題）如圖，四邊形A8CD為矩形，AB=&,AD=3,點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，將△DCE

沿DE翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作DE的平行線交AD于點(diǎn)G,交直線BC于點(diǎn)H.假設(shè)點(diǎn)G是邊力D

【答案】手或彳

【分析】過點(diǎn)E作EM1GH于點(diǎn)M,依據(jù)題意可得四邊形HEDG是平行四邊形，證明HE=FE,等面積法求

得ME,勾股定理求得HM,可得HF的長，進(jìn)而即可求解.

【詳解】①如圖，過點(diǎn)E作EM1GH于點(diǎn)M,

VDE//GH,AD//BC

???四邊形HEDG是平行四邊形

1

??.HE=GD=-AD=1

二折疊

???乙FED=Z-CED

???Z.MED=90°

即4FEM+乙FED=90°

???(CED+乙HEM=90°

???乙HEM=Z.FEM

???乙EMF=乙EMH=90。，ME=ME

??.△HEM=AFEM

??.HM=MF,EF=HE=1

.?.EF=EC=1

???四邊形4BCD是矩形

???ZC=90°,DC=AB=V2

Rt△EDC中，DE=y/DC2+EC2=J(V2)2+l2=V3

???GH=DE=^3

???ME1HG,HG//DE

11

S^DEF=qMEXDE=SADEC=qDCXEC

DCxECV2X1_V6

???ME

~DE-

HM=y/HE2-ME2=Jl—(宵=彳

RtAHME中,

L2LW

：.FG=HG-HF=HG-2HM=V3--V3=—

EC=EF=HE=2,

???DE=J22+(V2)2=V6,

DCxECV2x22V3

ME=————=——=——

DE^/63

Rt△HME中，HM=yjHE2-ME2=J22-(攀)=等

45/6J—V6

???FG=HF-HG=2HM-HG=---V6=—

33

故答案為：?或苧

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，折疊，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，把握以上學(xué)問，留意分類

爭論是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，假設(shè)8c=9,CD=3,那么陰影

局部的面積為

【答案】7.5

【分析】利用矩形與軸對稱的性質(zhì)先證明FB=FD,再利用勾股定理求解FB=5,再利用三角形的面積公式

可得答案.

【詳解】解：???把一張矩形紙片沿對角線折疊，BC=9,CD=3,

.?.AD=BC=9fAD//BC,AB=CD=3fZ-A=9Y/EBD=乙CBD,

???Z.ADB=Z-CBD,

Z-FDB=Z.FBD,

??.FB=FD,

??.AF=AD-FD=9-FB,

???FB2=32+(9-FB)2,

解得：FB=FD=5,

11

???S陰影=3嚴(yán)。xAB=-x5x3=7.5.

故答案為：7.5

【點(diǎn)睛】此題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，證明F8=FD是解此題的關(guān)鍵.

11.(2022?吉林長春?模擬猜測)【推理】

如圖1,在邊長為10的正方形4BCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連結(jié)

BE,CF,延長CF交4。于點(diǎn)G,BE與CG交于點(diǎn)M.

(1)求證：CE=DG.

【運(yùn)用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長BF交4D于點(diǎn)”.假設(shè)CE=6,求線段。H的長.

【拓展】

(3)如圖3,在【推理】條件下，連結(jié)AM.那么線段AM的最小值為.

【答案】(1)見解析

⑵弓

(3)5痛-5

【分析】m利用ASA證明△BCE三/XCDG,得CE=DG；

(2)連接HE,利用等角對等邊證明HG=HF,設(shè)DH=x,那么GH=HF=6—x,由勾股定理得，(6-x)2+

62=X2+42,解方程即可；

[3)取BC的中點(diǎn)0,連接。M,A0,利用勾股定理求出4。，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得M。的長，再

利用三角形三邊關(guān)系可得答案.

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCD是正方形，

：.^ADC=ABCD=90°,DC=BC,

：.^DCG+Z.BCM=90°,

?.?正方形4BCD沿BE折疊，

Z.Z.BCM=90°,

：.^CBM+ABCM=90°,

:.乙CBM=Z.DCG,

：.ABCE=ACOG(ASA),

ACE=DG；

(2)解：連接HE,

正方形4BCD沿BE折疊，

/.Z.BCF=乙BFC,EF=CE=6,

'：AD//BC,

:.乙HGF=乙BCF,

■:乙BFC=4HFC,

J.A.HGF=NHFG,

：.HG=HF,

設(shè)D”=%,那么G”=HF=6-x,

由勾股定理得，（6-X）2+62=/+42,

解得x=y,

：.DH=—14

3

[3)解：取8c的中點(diǎn)。，連接。M,A0,

那么B。=5,AO=5V5,

WBMC=90°,。為BC的中點(diǎn),

：.MO=-BC=5,

2

"JAM>AO-OM,

.?.AM的最小值為2。-OM=5V5-5,

故答案為：5V5-5.

【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，三角形三邊關(guān)系等學(xué)問，運(yùn)用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵.

12.[2022?河南鄭州?鄭州外國語中學(xué)校考模擬猜測)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形O4BC的對角線4C=12,

/-ACO=30°

⑴求3、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)把矩形沿直線OE對折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，DE與4C相交于點(diǎn)R求四邊形ADCE的面積；

(3)假設(shè)點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以O(shè)、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？假設(shè)存在,

請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.

【答案】⑴B(6舊,6),C(6V3,0)；

⑵S四邊形4DCE=248

⑶N(3V3,—3),(V3,3),(3,3次)，(-3,—3g)

【分析】(1)含30。角直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得4。、OC的長度，那么可得B、C的坐標(biāo)；

(2)由折疊性質(zhì)得4D=CD,AF=CF,可證明△AEF三△CDF,那么AE=CD,由矩形可知，四邊形2DCE

是平行四邊形；設(shè)CD=x=AD,那么。。=6次一乃在RtAA。。中，由勾股定理建立方程可求得x的值,

從而可求得結(jié)果；

(3)分三種狀況考慮：以。凡FM為邊；FM為邊,。f為對角線；假設(shè)。尸為邊，F(xiàn)M為對角線；分別利用菱

形的性質(zhì)及相關(guān)學(xué)問即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo).

【詳解】(1)???^ACO=30°,AO1CO,AC=12

AO=6

由勾股定理得：OC=6百

.,.B(6V3,6),C(6V3,0)；

(2)由折疊的性質(zhì)得：AD=CD,AF=CF

???四邊形。ABC是矩形

：.AB//OC

???Z.EAF=乙DCF

Z.AFE=Z.CFD

AFE=△CFD

??.AE=CD

???AE//CD

.??四邊形4DCE是平行四邊形

設(shè)CD=x=4D,那么。。=6百一x

?.,在RtAA。。中，AD2=AO2+OD2

：.x2=36+(6A/3-X)2

解得：x=4V3

S四邊形4DCE=X=248

[3)假設(shè)以。F,FM為邊，如圖

?-?F(3V3,3)

由(1)知，。。=6百—4百=2g

."(2百，0)

設(shè)直線OE的解析式為y=kx+b

把點(diǎn)。與點(diǎn)尸的坐標(biāo)分別代入得：［2^fe+b=0

解得：?=聲

直線DE解析式y(tǒng)=V3%-6

四邊形ONMF是菱形

：.OF=ON,ON//DE

.???？傻慕馕鍪窖?E萬

設(shè)N(a,V3a)

：.a2+(V3a)2=(3V3)2+32

解得：a=±3

；.N(3,3V3),(-3,-3>/3)

四邊形4DCE是平行四邊形，AD=CD

四邊形4DCE是菱形

：.AD=CD=4V3

/.Z.DXC=/.DCA=30°

：.^OAD=30°

/./.OAD=皿IC,AD=AD,4AOD=/.AFD=90°

：.^AOD^LAFD

.?.4。=AF,OD=FD

.?.4。是。尸的垂直平分線

四邊形ONFM是菱形

.?.ND是。F的垂直平分線

；.M與D重合，即M(2次，0)

設(shè)N(b,c)

：。產(chǎn)與DN相互平分

.b+2y/30+3A/30+3c+0

??—,1—

2222

b=V3,c=3

.\N(V3,3)

假設(shè)。F為邊，F(xiàn)M為對角線

如圖

直線DE解析式y(tǒng)=V3%-6

二直線與y軸的交點(diǎn)為（0,-6）

VF(3V3,3),0(0,0)

/.OF=6

???四邊形。FNM是菱形，OF=6

???OM=OF=6

AM是直線y=百萬-6與y軸的交點(diǎn)

四邊形OFNM是菱形，。尸=6

J.FN//OM,FN=6,且尸(38，3)

：.N(3＞/3,-3)

綜上所述N(3V3,-3),(V3,3),(3,3b)，(-3,-3V3)

【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平

分線的判定等學(xué)問，涉及分類爭論思想，敏捷運(yùn)用這些學(xué)問是解題的關(guān)鍵.

13.12022.湖北荊門?統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形ABC。中，42=8,BC=x[0＜尤＜8),將AACB沿AC對

折到△ACE的位置，AE和CD交于點(diǎn)F.

(1)求證：△CEF^AADF；

⑵求tan/ZMF的值(用含x的式子表示).

【答案】(1)證明見解析

(2)tanZDAF=^^

【分析】[1)依據(jù)矩形的性質(zhì)得到NB=ND=90。，BC=AD,依據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC=CE,ZE=ZB=

90°,等量代換得到NE=ND=90。，AD=CE,依據(jù)AAS證明三角形全等即可；

[2)設(shè)DF=a,那么CF=8-a,依據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF=CF=8-a,在RtAADF中，依

據(jù)勾股定理表示出DF的長，依據(jù)正切的定義即可得出答案.

【詳解】11)證明：?.?四邊形ABCD是矩形，

.*.NB=ND=90。，BC=AD,

依據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC=CE,ZE=ZB=90°,

/.ZE=ZD=90°,AD=CE,

在ACEF與4ADF中，

Z.CFE=2LAFD

ND=4E=90°,

、AD=CE

?.ACEF^AADF(AAS)；

(2)解：設(shè)DF=a,那么CF=8-a,

?.?四邊形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,AD=BC=x,

/.ZDCA=ZBAC,

依據(jù)折疊的性質(zhì)得：ZEAC=ZBAC,

/DCA=/EAC,

；.AF=CF=8-a,

在RtAADF中，

：AD2+DF2=AF2,

x2+a2=(8-a)2,

【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），依據(jù)

矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出AF=CF是解題的關(guān)鍵.

14.（2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為矩形AB=2y/2,BC=4,點(diǎn)E在8c上,CE=AE,

將小ABC沿AC翻折到△AFC,連接EF.

⑴求的長；

⑵求sin/CEP的值.

【答案】⑴g

（2）^734

【分析】（1）先由RtANBE可求得2E的長度，再由角度關(guān)系可得NR4E=90。，即可求得EF的長;

(2)過F作FM1CE于M,利用勾股定理列方程，即可求出EM的長度，同時(shí)求出FM的長度，得出答案.

【詳解】(1)設(shè)=那么EC=4-x,

*.AE=EC=4—x,

在RtA/BE中，AB2+BE2=AE2,

：.(2V2)2+x2=(4-x)2,

.*.%=1,

：.BE=1,AE=CE=3,

U：AE=EC,

/.Zl=Z2,

■:乙ABC=90°,

AZ.CAB=90°-Z2,

：.^CAB=90°-^1,

由折疊可知AR4c三ABAC,

：.^FAC=^CAB=90°-zl,4F=4B=2上,

."R4C+N1=90°,

：.Z.FAE=90°,

(2V2)2+32=V17.

/FME=NFMC=90°,

設(shè)EM=a，那么EC=3a,

在RtAFME中，F(xiàn)M2=FE2-EM2,

在RtAFMC中，F(xiàn)M2=FC2-MC2,

：.FE2-EM2=FC2-MC2,

(V17)2-a2=42-(3-a)2,

?5

??CL——

3

.?.EM=|

2

：.FM=J(V17)-(j)2=鴻,

勾股定理，矩形的性質(zhì)，通過添加幫助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)

鍵.

15.12022?河南?統(tǒng)考中考真題)綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊"為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

(1)操作推斷

操作一：對折矩形紙片ABCZ),使與重合，得到折痕EF,把紙片展平;

操作二：在上選一點(diǎn)P,沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM,BM.

依據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在￡尸上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30。的角:

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，連續(xù)探究，過程如下:

將正方形紙片ABC。依據(jù)［1)中的方式操作，并延長交C。于點(diǎn)。連接8。.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在斯上時(shí)，NMBQ=°,NCBQ=°；

②轉(zhuǎn)變點(diǎn)P在A。上的位置〔點(diǎn)P不與點(diǎn)A,。重合)，如圖3,推斷與NCB。的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

(3)拓展應(yīng)用

在［2)的探究中，正方形紙片ABC。的邊長為8cm,當(dāng)FQ=lcin時(shí)，直接寫出AP的長.

【答案】或4aBp或4P8M或NM8C

⑵①15,15；②乙MBQ=LCBQ,理由見解析

(3)4P=*m或IIcm

【分析】⑴依據(jù)折疊的性質(zhì)，得BE=|BM,結(jié)合矩形的性質(zhì)得NBME=30°,進(jìn)而可得乙4BP=乙PBM=

乙MBC=30°；

(2)依據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RtABQMwRtABQC(HL),即可求解；

［3)由〔2〕可得QM=QC,分兩種狀況：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí),設(shè)力P=PM=x,

分別表示出PD,DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

⑴

解:■：AE=BE=^AB,AB=BM

1

BE=-BM

2

RE1

???乙BEM

=90°,sinZBME=—BM=-2

???乙BME=30°

???乙MBE=60°

???"BP=乙PBM

??.Z.ABP=乙PBM=Z.MBC=30°

12)

??,四邊形ABCD是正方形

AAB=BC,NA=NABC=NC=90。

由折疊性質(zhì)得：AB=BM,ZPMB=ZBMQ=ZA=90°

，BM=BC

①???BM=BC,BQ=BQ

；.RtABQM=RtAFQC(HL)

.-.4MBQ=Z.CBQ

???LMBC=30°

???乙MBQ=乙CBQ=15°

②???BM=BC,BQ=BQ

???RtASQMaRtABQC(HL)

.-.乙MBQ=4CBQ

⑶

當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，如圖，

圖3

FQ=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

QC=CD-DF-FQ=8-4-1=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)

由［2)可知，QM=QC

設(shè)4P=PM=x,PD=8-x,

PD2+DQ2=PQ2,

即(8-X)2+52=0+3)2

解得：％=工

?.AP——cm；

li

當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，如圖,

APD

FQ=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

???QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，QM=QC

設(shè)/尸=PM=x,PD=8-x,

??.PD2+DQ2=PQ2,

即(8—％)2+32=(%+5)2

解得：久=得

24

：.AP=—cm.

13

【點(diǎn)睛】此題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，把握相關(guān)學(xué)問并敏捷應(yīng)用

是解題的關(guān)鍵.

?題型二：結(jié)合相像或者三角函數(shù)求值

IB例題精講：

【例2】1.如圖，點(diǎn)E是矩形4BCD中CD邊上一點(diǎn)，△8金沿85折疊得到對應(yīng)的48尸瓦且點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)尸

落在力。上.假設(shè)tanNDFE=*BC=3,那么CE=.

AFD

E

B

【一線三等角】當(dāng)折疊的頂點(diǎn)落在邊上時(shí)，會消失一線三等角的相像。

【答案】2

【分析】依據(jù)三角函數(shù)設(shè)DE=5x,那么DF=12x,依次求出岳尸、。石、。。、48,結(jié)合折疊證443尸?"DFE,

依據(jù)相像三角形的性質(zhì)求出4F,以及BC=3解方程，即可求出.

【詳解】依題意:

CLLDE5

tanZ.PFE=—=一

DF12

設(shè)DE=5%,那么DF=12%,

???EF=yjDE2+DF2=V(5%)2+(12x)2=13x,

由折疊可知:

CE=EF=13%,

AB=CD=CE+DE=13%+5%=18%,

由矩形翻折可知:

Z.BFE=z90°

???乙DFE+Z.AFB=490。，

???Z-A=z90°

???4ABF+Z.AFB=490。，

???Z-ABF=乙DFE,

ABF~&乙DFE,

tAF_AB

,?DE~DF'

a即r-tA一F=——18X，

5x12x

解得：4F=等，

???BC=3,

???BC=AD=AF+DF=12x+—x=3,

2

解得X=M

2

CE=13%=13X—=2,

13

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理以及相像三角形的判定和性質(zhì)；依據(jù)翻折證明三角

形相像、利用三角函數(shù)構(gòu)建線段相等是解題的關(guān)鍵.

國真題演練：

16.（2022?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考中考真題）矩形紙片2BCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接4E,將△4BE沿4E折疊得到

AAFE,連接CF.假設(shè)48=4,BC=6,那么CF的長是1）

A.3B.—C.-D.—

525

【答案】D

【分析】連接BF交AE于點(diǎn)G,依據(jù)對稱的性質(zhì)，可得AE垂直平分BF,BE=FE,BG=FG=”F,依據(jù)E

為BC中點(diǎn)，可證BE=CE=EF,通過等邊對等角可證明NBFC=90。，利用勾股定理求出AE,再利用三角函

數(shù)〔或相像）求出BF,那么依據(jù)FC=7BC2-/2計(jì)算即可.

【詳解】連接BF,與AE相交于點(diǎn)G,如圖，

?.,將△4BE沿4E折疊得至!]△AFE

?.△ABE^^4FE關(guān)于AE對稱

，AE垂直平分BF,BE=FE,BG=FG=jfiF

?.?點(diǎn)E是BC中點(diǎn)

.".BE=CE=DF=|BC=3

：.AE=7AB2+BE?=V42+32=5

,BEAB3X412

??DG=-------=-----

AE55

1724

：.BF=2BG=2X—=—

25

VBE=CE=DF

AZEBF=ZEFB,NEFONECF

???ZBFC=ZEFB+ZEFC=—=90°

2

AFC=VBC2-BF2=小62一傳了=/

應(yīng)選D

【點(diǎn)睛】此題考查了折疊對稱的性質(zhì)，嫻熟運(yùn)用對稱性質(zhì)證明相關(guān)線段相等是解題的關(guān)鍵.

17.〔2022?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）如圖，8。是矩形48CD的對角線，AB=6,8c=8,點(diǎn)E,F分別在邊

AD,BC上，連結(jié)BE,DF.將△ABE沿BE翻折，將△OCT沿。尸翻折，假設(shè)翻折后，點(diǎn)A,C分別落在

對角線上的點(diǎn)G,H處,連結(jié)G?那么以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔）

A.8。=10B.HG=2C.EG||FHD.GF±BC

【答案】D

【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理即可推斷A,依據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得HD,BG,進(jìn)而推斷B,依據(jù)

折疊的性質(zhì)可得NEGB=NFHD=90。，進(jìn)而推斷C選項(xiàng)，依據(jù)勾股定理求得CF的長，依據(jù)平行線線段成比

例，可推斷D選項(xiàng)

【詳解】〈BD是矩形ABCD的對角線，AB=6,BC=8,

??.BC=AD=8fAB=CD=6

BD=yjBC2+CD2=10

故A選項(xiàng)正確，

???將△ABE沿BE翻折，將ADCF沿DF翻折，

.?.BG=AB=6,DH=CD=6

??.DG=4,BH=BD—HD=4

HG=10-BH-DG=10-4-4=2

故B選項(xiàng)正確，

???EG1BDfHF1DB,

???EG〃HF,

故C正確

設(shè)AE=a,那么EG=a,

ED=AD-AE=8—a,

???Z.EDG=Z-ADB

???tanZ.EDG=tanZ-ADB

ni-|EGAB63

'DG~AD~8~4

a3

A4=4

??.ZE=3,同理可得CF=3

假設(shè)FG〃CD

那么竺=也

BFBG

,,CF_3GD_4_2

?B尸—5，BG-6-3’

CF,GD

--W--9

BFBG

?,?FG不平行CD,

即GF不垂直BC,

故D不正確.

應(yīng)選D

【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，把握以上學(xué)問是解題的

關(guān)鍵.

18.〔2022?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形4BCD的4B邊上，將A/IDE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落

在BC邊上的點(diǎn)尸處，假設(shè)CD=3BF,BE=4,那么2D的長為（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】C

【分析】依據(jù)折疊的性質(zhì)可得ZE=EF,4D=FD,設(shè)BE=x,那么CD=3%,那么AE=-BE=CD-

BE=3x-4,在Rt△BEF中勾股定理建列方程，求得x,進(jìn)而求得CD,依據(jù)NBEF=乙DFC,可得tan/8￡T=

tanzDFC,即里=電，求得FC=12,在RtAFCD中，勾股定理即可求解.

BEFC

【詳解】解：:四邊形是矩形，

：.AB=CD,=Z.C=90°,

???將△40E沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，

??.FD=AD,EF=AE/EFD=AA=90°,

???CD=3BF,BE=4,

設(shè)BF=x,那么CD=3x,AE=AB-BE=CD-BE=3x-4,

在RtZkBEF中8尸+B產(chǎn)=EF2f

即42+/=（3%—4）2,

解得％=3,

BF=3,CD=9,

???Z.EFD=Z.A=90°,=cC=90°,

??.Z.BEF=90°-乙BFE=乙DFC,

???tanZ-BEF=tanzPFC,

J..BF_=CD,

BEFC

?.??3_9，

4FC

FC=12,

在Rt△FCD中，F(xiàn)D=VFC2+CD2=15,

???AD=FD=15.

應(yīng)選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，正切的定義，勾股定理，把握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的

關(guān)鍵.

19.12022?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片48CD,點(diǎn)E為2。中點(diǎn)，點(diǎn)尸在BC上，把該紙片

沿EF折疊，點(diǎn)A,8的對應(yīng)點(diǎn)分別為4,B',AE與BC相交于點(diǎn)G,B0的延長線過點(diǎn)C.假設(shè)差=；那

GC3

NCBo4V10c20n8

A.2V2B.-----C.—D.-

573

【答案】A

【分析】令BF=2x,CG=3x,FG=y,易證△CG4CFB’,得出=坐，進(jìn)而得出y=3x,那么AE=4x,

CFBF

AD=8x,過點(diǎn)E作EHLBC于點(diǎn)H,依據(jù)勾股定理得出EH=2&x,最終求出華的值.