2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：指對同構(gòu)問題 講義

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)指對同構(gòu)問題講義

指對同構(gòu)

-.指對同構(gòu)的原理

先取指數(shù)再取對數(shù)：x—/―lnex;

先取對數(shù)再取指數(shù)：x-Inxfelnx(x>0).

指對互化，再結(jié)合經(jīng)典導(dǎo)數(shù)構(gòu)造類型，就是所謂的指對同構(gòu)，其本質(zhì)就是導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的一種類型.

二.指對同構(gòu)的類型

(1)朗博同構(gòu)：f(t)=e'-t-\>0,令f=x+alnx,得到x"二常"111*2x+aInx+1,上面的才可以

隨意換元，但是有些不一定能取等比如f=x-21nx,lnx<」x這個就取不了等，書寫過程一定要按照

2

構(gòu)造函數(shù)的形式，穩(wěn)拿滿分.常見的類型：

xex=ex+inx>x+lnx+l

—=e*-R*>x—Inx+1

X

x

=二/-3fx—31nx+l

<x

aex=ex+lna>x+\na+l

—=ex-ta,,>x-lna+l

a

x2ex=ex+2inx>x+21nx+l

(2)同形構(gòu)造：主要是六大同構(gòu)函數(shù)引發(fā)的構(gòu)造問題，注意指對分離，一邊對數(shù)一邊指數(shù)，

一邊含參一邊不含，常見的處理方法，兩邊同時加減工,Q,等等，再結(jié)合單調(diào)性和定義域基

本都可以解決了.

exxInxx

xe;xlnx;—;----

xexInx

xx

x+e,x+lnx,e-x9x-Inx

qeY(lnb)*.........f(x)=xex

積型：aea<b\nb<a+\na<ln/)+ln(in/?)---/(x)=x+lnx

ea\nea<b\nb./(x)=xInx

ainb/W=7

eab

商型:—W-----vtz-Ina<ln/>-(x)=x-Inx

aIn6

............./W=iZ7

ea±a>elnb±lnZ?---/(x)=ex±x

和差型：e°±aN6±lnb<

ea±lnefl>/?±In/????/(x)=x±Inx

⑶差一同構(gòu)：最明顯的一種構(gòu)造形式，包含e，,ln(x+l),也是由朗博函數(shù)引發(fā)的構(gòu)造類型,

由兩大指對跨階不等式構(gòu)成:

f(x)=ex-x-llf/(x)V(ln(x+l))>0

/(x)=eA-x-l,(0,+co)f<

/(ln(x+1))=x-In(x+1)[/(x)-/(ln(x+1))>0

—In(x+1)>1=>eA-ln(x+m')>2—m

=><

ex+ln(x+1)>2x+1

(4)反函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造:

①若/(x)+x單調(diào)，則〃X)Z/T(x)恒成立等價于"x)2x恒成立;

?I/(x)=j/

②〃%)=/T(X)的解可以等價于/(X)=X的解與仁的解的并集

l/(y);

③反函數(shù)和關(guān)于歹二X對稱的函數(shù)的交點(diǎn)

/W與/T(X)關(guān)于V=X又寸稱，若g(x)=gT(x),貝I/(x)=g(x)的解X］和(x)=g(x)的解々關(guān)于〉=%

—%TYI

對稱，此時<,g(X)=冽-％時，陽+工2=加為定值；②g(X)=一時，演%2=加為定值.

@y=ax與y=log；的交點(diǎn)的個數(shù)判定

0<a<j時，3個交點(diǎn)

(34°<1時，1個交點(diǎn)

l<a<e；時，2個交點(diǎn)

°=’時，1個交點(diǎn)

0>《時，0個交點(diǎn)

討論y=與y=log：圖像交點(diǎn)的個數(shù)(標(biāo)答需要零點(diǎn)找點(diǎn)處理).

InV

ax=log：=^>ax=---=>ax]na=Inx=>axlnax=xlnx

—\na

構(gòu)造g⑺=Hn，=>g=g(x)

Inx

當(dāng)。>1時，必有優(yōu)=、=>In。"=lnx=>xln6z=lnx=>Ina=---

x

11

0<Intz<—l<a<ee,兩個交點(diǎn)

e

11-

e

]na=—=>a=e9一^交點(diǎn)

e

11―

\na>—=>a>ee,零個交點(diǎn)

e

當(dāng)0<Q<1時，由圖像可知優(yōu)二工相等時必有一個交點(diǎn)，若存在另外的交點(diǎn)則有ax=%戶=，2(。>4)，

2n

得：a=九。"=t2=^>t2\na=ln^,^\na=\nt2n\na=<*<―)<_g,

%+，22dtit21印2

可得：0<a<(工],t[t2<也<一.

\e)ee

mnm

下面證明：txt2<,txInZj=Z2In=>—==—(0<m<1)=>InfzJ=*

et2InZjm1—m

./xInmi/、l+冽1/八r\-I

In(t)=----=>In(AL)=-----In^(0<m<l)<-2=>tt<—.

2\-m\-m12e

當(dāng)4=馬時，此時就是優(yōu)=X

綜上：時，3個交點(diǎn)；|-j4a<1時，1個交點(diǎn).

⑸函數(shù)保值性定理

a2+|b|+c>0

因?yàn)锧2>of\b\>0,這時C叫做余量，所以當(dāng)C>

0時，此式子恒成立，當(dāng)cVO時找矛盾點(diǎn)或者

矛盾區(qū)間.

g(x)+ax>0應(yīng)(%)>。，在x=久0處取等

①當(dāng)。之0時，式子恒成立；

②當(dāng)a<0時，在％=%。處與已知矛盾.

2)矛盾區(qū)間(同端點(diǎn)效應(yīng))

/i(x)=g(%)+ax,有/i(0)=g(0)+0=0

此時當(dāng)a<0,時無法判斷g(口與ax大小關(guān)

系，所以無法用矛盾點(diǎn)證明矛盾.

分析l(x)=g，(x)+a

h(0)<0,左(%。)>0,3(%)單調(diào)遞增

存在％1E(0,XQ),XG(0,%D使h(%)<0

力(%)在(0,%1)上單調(diào)遞減,/i(0)=0

<h(0)=0,與已知矛盾.

下面給出兩個例題矛盾點(diǎn)和矛盾區(qū)間的書寫過程，小題不需要，大題一定要注意過程的滿分性.

已知/(%)=xex—ax—\nx>l,xG(0,+8)恒成立，求a的范圍.

解：/W=xex—ax-\nx>1,ex+lnx-(%+In%)-1+(1-a)x>0

1n

h(x+In%)>0(考試時需自行證明),當(dāng)/+lnx0=O(xo>0)時/+瓶—(x。+lnx0)-1=0.

①當(dāng)a41時式子恒成立;

②當(dāng)a>1時，必存在一個/且/+lnxo=0(%>0)使/產(chǎn)1n與一(％+lnXo)-1+(1-Q)/<0與已知矛盾.

綜上：a<1.

已知e"+(x+l)ln(x+1)>6zx2+(q+l)x+l在時恒成立，求a的取值范圍.

解：+(x+l)ln(x+1)>(ax+l)(x+1),->+1-In(x+1),ex~^x+^>x-ln(x+l)+l+(a-l)x,

構(gòu)造〃(x)=/皿川)-x+ln(x+1)-1+(l-a=g(x-In(x+1))+(l-q,,g(x-ln(x+1))>0(自證)，

①當(dāng)a<l時式子恒成立；

②當(dāng)時，h(x)=g(x-In(x+1))+(1-(2)x,=g，(x)+1—〃，1(0)=1-Q<0,單調(diào)遞增,

在xw(0,+oo)上，必存在一個王使〃'(芭)=0,則〃(x)在(0,占)單調(diào)遞減，力(西)〈〃⑼=0,矛盾.

綜上：a<1.

⑹同形異構(gòu)(多條切線放縮結(jié)合保號性，技巧性太強(qiáng)僅供了解)

已知函數(shù)/(%)=%—(a+1)ln%,aER,當(dāng)a=2e時，+TH+/(%)20恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍

解：原式等價于a+m%_(2e+1)Inx+%+zn20,即

e[e%+in*-i—(x+In%—1)—1]+(e+l)x—(e+l)lnx—(e+l)+e+l+m>0,

即eh(x+In%—1)+(e+l)/i(lnx)+e+l+m>0,

因?yàn)閑/i(x+Inx—1)>0(x0=1時取等)，且(e+l)/i(lnx)>0(%0=1時取等)(考試時需自行證明)

故需滿足e+l+mNO即m>—e—1,

當(dāng)e+1+zn<0時，則e/i(x0+lnx0—1)+(e+l)/i(ln%0)+e+l+m<0,與已知矛盾

綜上：nr之一e—1.

三.指對同構(gòu)的處理技巧(指對分離，系數(shù)上頭，朗博加減，定義取等)

①：指數(shù)對數(shù)分離兩邊，/系數(shù)上頭

②：先朗博后加減乘除

③：注意定義域，驗(yàn)證取等條件

典例精講

例1(2017沈陽市一模)當(dāng)x>0時，證明(/-1)111(》+1)>/恒成立.

【參考答案】

【解法1】指對同構(gòu)皿x+,構(gòu)造g(x)jMx+l)單調(diào)遞減,因?yàn)椋毫?lt;/一1,

xex-\ex-]x

所以：g(x)>g(e*-l),原不等式得證.

【解法2】利用飄帶函數(shù)x>l,lnx>空二Dnln(x+l)>2L(x>0),要證原式成立，可證：

x+lX+1

121

2?2]—X+X+1

ln(x+l)>^—,即證：^>^-^ex>-x2+x+l(x>0),利用指數(shù)找基友^~-——<1,可證.

e1x+1e12e

a

例2(2021-T8大聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=ae*+ln---------2(a>0),若/(x)〉0恒成立，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

【參考答案】

【解法1】朗博同構(gòu)+同形構(gòu)造ae'+ln/--2>0,a/>ln葉2+2

x+2a

xx+jna

ae+Ina>In(x+2)+2,e+%+lna>ln(x+2)+(x+2)

令g(x)=e，+x,,「g(x)單調(diào)遞增,「.g(x+Ina)〉g[ln(x+2)],x+Ina〉ln(x+2),Ina〉In

x+2x+2

a>----=e2-----,a>e

exex+2

【解法2】朗博同構(gòu)+切線放縮

f(x)=aex+In―^--2=d111。+Ina-ln(x+2)-22x+lna+l+lna-ln(x+2)-2

=x-ln(x+2)+21nq-1>x-(x+2-1)+2lna-1=21ntz-2>0,:.a>e

【解法3】反函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造：aex+\n——一2>0,a/-2>ln正2，令y=ln衛(wèi)2

x+2aa

x=ln空y+2=aex,y=aex-2,a/-2與互為反函數(shù)，利用反函數(shù)性質(zhì)秒殺可得:

aa

x_x+22x+2

ae-2>xfa>----=e---x-+2-,a>e.

xxx+x+

【解法4】同形構(gòu)造Qe*+ln-----2>0,ae>In“>+2,ae>In(^)?>—In(^)

x+2aaaa

222

e(x+2)//(x+Z)皿e?(x+2)+x+2>e(x+2)^e(x+2)，令8卜)=合...g(x)單調(diào)遞增,

aaaa

/、「/(x+2)e2(x+2)/(x+2)

.\g(x+2)>gIn—-----x+2>In-----,a>------,:.a>e.

aex+2

例3(2020-新高考山東卷)已知函數(shù)〃x)=ae*T-lnx+lna

⑴當(dāng)“=e時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

⑵若/(x)Nl,求a的取值范圍.

【參考答案】

【解法1)朗博同構(gòu)+同形構(gòu)造*hl“T-lnx+lnaNl="+In"T+x+lna-lNx+lnx=lnx+eIn*

x+\na-l>Inx=>]na>]nx-x+l=>?>1.

【解法2】同形構(gòu)造q/T-Inx+lnq-120,

即ae->lnf—x/>—Inf—=Inf竺］x>Inf—tz>1;

\a)a\a)\ci)\a)e*

【解法3】隱零點(diǎn)代換(略).

【解法4】反函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造：—>ln—,只需：—>x,即可.

eaeex

【解法5】異形構(gòu)造：變形為：a(ex~'-x)+—-1-ln—+|6Z--|x>0,只需。一420=>421

形如：tzf(x)>0+g(x)>0+/z(tz)x>0,只需〃(q)20處理即可，/(%)20,g(x)20在x=1時滿足取等，

也可：a(ex~x-x)+(x-lnx-l)+(d；-l)x+ln?>0,結(jié)合保號性和切線放縮(需要證明)，就可以快速湊

出結(jié)果，技巧性太強(qiáng)，書寫過程需要證明，最后可能會丟失一部分分?jǐn)?shù)，在此僅僅是為大家提供一種思

路和方法.

例4(百時教育高中數(shù)學(xué)組原創(chuàng)題)對任意實(shí)數(shù)x>0,不等式2碇2，-111》+山。^0恒成立，則。的取值范

圍為__________

【參考答案】

1yy|

【解法1】反函數(shù)性質(zhì)同構(gòu)ae2x>一ln—=>ae”>x^a>-^-=>a>一

2aelx2e

2x12x、X1X2x、X、X、1

eIne>—In—=>e>—=>~ci>——

aaae2e

【解法2】同形構(gòu)造2旄2,2土In土

aaXIn—xx1

2xe2x>ln—ea=>2x>ln—=>d!>—：—^>a>——

aae2e

【解法3】朗博構(gòu)造+同形構(gòu)造

2xin2a+2xb2x

2ae>In2x-In2a=>e+In2tz+2x>In2x+2x=e+In2x=>1112a+2x>ln2x

=>In2Q2In2x_2x=>In2。2-1nQ2—

2e

【解法4】朗博同構(gòu)

2ae2x>\n2x-\n2a^ein2a+2x-\n2a-2x-l>\n2x-2x-21n2a-l^0>\n2x-2x-2\n2a-l

2In2tz>In2x-2x-1=>2In>-2=>?>—

2e

【解法5】同形構(gòu)造

2xe2>—In—=>2x+In2x>In-I-InIn—\=>2x>In—=>e>—=>a>—a>—

aaa\)aae必

【解法6】異形構(gòu)造

e2x+ln2a-2x-ln2a-l+2x-ln2x-1+21n2a+2>0,只需21n2a+220na22

2e

不建議使用異構(gòu)的方法，對于保號性以及涉及的切線都需要證明，配湊的過程技巧性太強(qiáng)，為了構(gòu)而構(gòu),

背離了，我們研究導(dǎo)數(shù)同構(gòu)的初衷，這點(diǎn)必須認(rèn)清.

例5(27中學(xué)期中考試)設(shè)實(shí)數(shù)2>0,若對任意的xe(0,+oo),關(guān)于x的不等式加八-Inx20恒成立,

則2的最小值為.

【參考答案】

【解法1】反函數(shù)性質(zhì)同構(gòu)2Lnx,只需才2x即可，得到叱叱，

Axe

【解法2】同形構(gòu)造4e"之,令g(x)=xe",.g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增,

#g(2x)>g(lnx),得到42生二，.\2>—.

xe

例6(2021?名校調(diào)研)已知函數(shù)/(%)="'-"，若x20時，/(-x)+ln(x+l)>l,求實(shí)數(shù)〃的取值

范圍______________.

【參考答案】

【差一，同構(gòu)】/(-x)+In(x+1)>1,得到屋+辦+ln(x+1)之1,變形得到:+In(%+1)>-ax+1,差一

-In(x+1)>1=>-ln(x+m)>2-m

同構(gòu)v，只需—ax+1W2x+1=>Q之一2.

+ln(x+l)>2x+l

例7(試題來源于網(wǎng)絡(luò))關(guān)于x的不等式e"2eln(ex+q)+q恒成立，則Q的最大值為

【參考答案】

【解法1】反函數(shù)性質(zhì)同構(gòu)----->ln(ex+,只需-----即可，得到<0.

【解法2】同形構(gòu)造e"〉eln(ex+a)+Q=>e"+ex2eln(ex+a)+ex+a,構(gòu)造g(x)=e“+ex,單調(diào)遞增,

g(x)>g(ln(ex+a)),只需x'ln(ex+a),得至L4e*-ex,a<0.

例8已知/(x)=xe?*-3e的零點(diǎn)為X],g(x)=xlnx+x-6的零點(diǎn)x?，則不％=.

【參考答案】

313

2Xi2x-1

【解法1】反函數(shù)性質(zhì)同構(gòu)xxe-=0=>e'=一lnx2+x2-6=0=>—Inex2=一，反函數(shù)圖像性質(zhì)

再2x2

3

可知關(guān)于y=x對稱，得至4—=x=>XjX=3.

xP-22

xi再一

2xi

【解法2】同形構(gòu)造再/再-1-3;；%2(in%+1)=3=>石/1-1-1-%2Qn/+1)=>2x{e=ex2lnex2,g(。=td,

vxnx

可得g(2xj=g(lnex2)，2玉=In/，~2(l2+1)=3,得到;％.2芯=3=>再工2=3.

2

例9(2020全國模擬)若實(shí)數(shù)a,6滿足21僦+山(26)2三+46-2,貝!J().

A.a+Z?=y1~2,H—B.a-2b=y[2~-C.a2+b2>3D.a2-46<1

44

【參考答案】

2______2

【解法1】同構(gòu)變形結(jié)合均值111(2/6)+22J+46oln亞商+12二+2b,由均值

24

?2

^-+2b>2.=2b

?-2b=J2a%,由Inf+l<t,三2a2b>InQ2a?b)+1;但且僅當(dāng)\4時,

$2a2b=1

J2/6wln(J2a26)+IN—+26WJ2a2]中所有等號都成立,.-.J,,即選A.

4b=-

[4

【解法2】同構(gòu)變形結(jié)合凹凸反轉(zhuǎn)

22

lnx<x-l=>ln—<--l=>lnx<—+ln2-l=>lntz2<--Fln2-l=>lntz2-—<In2-1,此時。=血.

22222

Inx<x-1In4/J<-1=>In+In2<-1=>4/?-In-2>In2-1,此時6=」.

4

22]

21ntz+ln（2/>）>^-+46-2=>ln?2-^->4/?-In26-2,若不等式成立，必須相等，a=V2,/）=—.

22

【解法3】雙元同構(gòu)變形為：ln'-、+l+ln4b-46+120,構(gòu)造g（。=In,7+1W0,當(dāng)且僅當(dāng)，=1時

a=V?

取等，得到g與+g（46）V0,.?.^?=1,46=1,1,即選A.

b=—

4

27

【解法4】主元法（g（a）,g（6）皆可）g（a）=21na+ln26-■-46+220,g，（a）=——a=0,a=V2,

g（應(yīng)）=ln2+ln26-l-46+2=ln46—46+1N0,g（。=Inf-/+140,當(dāng)且僅當(dāng)，=1時取等，得46=1.

變式集力II

1.（2018年沈陽市一模）已知函數(shù)/（x）=a\nx-2x,若不等式/（%+1）>ax-2e”在x￡（0,+oo）上恒成

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<2B.（7>2C.a<0D.O<a<2

X（yX

2.（同澤12月考試題）當(dāng)0時，----2〃ln（x+l）恒成立，則〃的取值范圍是.

x+1

3.（同澤12月考試題）當(dāng)x>0時，xe"-1一1一〃21nx恒成立，則a的取值范圍是.

4.（2019省實(shí)驗(yàn)月考）Vx>0,x—++l恒成立，則6的取值范圍是.

5.（2020武漢市二模）不等式/"—Qinx^x+l對任意x￡（l,+oo）恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

為.

6.（2020清華大學(xué)學(xué)業(yè)能力測試）已知不等式x+alnx+在xe（l,+⑹恒成立，則a的最小值

為.

7.（2020鄭州市一模）已知函數(shù)/（X）=x-lnx-J,若/（x）+]x+,｝工-bx21恒成立，求6的取值范

圍為?

8.（2020九師聯(lián)盟三月模考）已知函數(shù)/（%）=￡一"一"（〃￡&）,若ln[e（x+l）]22-/（-x）在x￡[0,+co）

上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

9.（2020王后雄線上考試）任意x〉0,e2,-a-巫恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍是.

XX

10.（2021遼寧協(xié)作體高三模擬）

⑴已知函數(shù)/(x)=ax+l+lnx.對于任意x>0,不等式W工8恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

為.

⑵已知函數(shù)/(x)=Inx,g(x)=ex不等式〃z[g，"(x)+l]>2(x+—)/(x)對于x>0恒成立，求實(shí)數(shù)加的取

X

值范圍為.

11.(2021三校三模理科12)若對任意實(shí)數(shù)xe(0,+8),不等式Ze?，-aln“-alnxNO恒成立，則實(shí)數(shù)a

的最大值為.

bx

12,(2020沈陽第三次模擬)已知函數(shù)/(%)=一在、=2處取得極值—.

ax2

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若不等式x2/(x)Nb+inx+l在xe(O,+a))時恒成立,求人的取值范圍.

13.(2021衡水中學(xué)衛(wèi)冕考試?yán)?1)已知函數(shù)〃x)=lnx-e'+(e"-l)x+a(aeR).

(1)當(dāng)a=0時，證明不等式/(x)+2<0；

⑵若不等式/(x)40恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

14.(2021高考沖刺模擬)已知函數(shù)/(x)=x-alnx,g(x)=工■一e+l,qER.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若g(x)2/(x)恒成立，求1的值或者取值范圍.

15.(2021?廣州調(diào)研)已知函數(shù)/(x)=axex-ax-\(a^R^.

⑴當(dāng)“=1時，求函數(shù)/(x)在處的切線方程；

⑵若時，/(x)Nlnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.(2021?哈爾濱師范大學(xué)附中?？?已知函數(shù)/(%)=111(%-1)+4%2+%+1名(%)=(%_])/+4%2.

⑴當(dāng)Q20,討論g(x)零點(diǎn)的個數(shù)；

⑵證明：/(x)<g(x).

17.(2021,山東名校開學(xué)?？?已知函數(shù)/(x)=/+xlna(q>0),xG(0,1).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若/(x)2a/lnx對任意、￡(0,1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1.【參考答案】A.oln(x+1)-2(x+1)>QX-2e\g(x)=QX;g(in(x+1))>g[2In僅+1)要

求g(x)="-2e”單調(diào)遞減，ci-2ex<0tz<2.

a<\.xe，2(x+l)ln(x+l),g(x)=xe，遞增，g(x)2g(ln(x+l))n―(；："]))212a.

2.【參考答案】

3.【參考答案】Q40.ex+lnx-x-lnx-l>0>a,簡單朗博同構(gòu)處理即可.

x+]nx

4.【參考答案】b<2.e-x-lnx-l>2x>bx^b<2f簡單朗博同構(gòu)處理即可.

5.【參考答案】(-OO-3].ex-3hlx-(x-31nx)-l>0>(?+3)lnx=>a<-3.

6.【參考答案】一e.Inx-VN-x-""構(gòu)造g(%)=Inx-x,(0,l)單調(diào)遞增，g(力Ng"],

0<e-x<l,O<xfl<1,>e~xa>---na>-e.

Inx

XX

7.【參考答案】b<2.x-\nx--\-xex----fcx>1=>ex+hlx-(x+lnx)-l+(2-/?)x>0=>/><2.

8.【參考答案】[—2,+co).1+In(x+1)22—e'—ox=>e"+In(x+1)22x+12—QX+1=>—aV2,

aN—2.

9.【參考答案】(-oo,2].e2i+hlx-2x-