湖北荊州某中學2024年高二9月月考數(shù)學試題（含答案）

荊州中學2024-2025學年高二上學期9月月考

【學試卷

命題人：審題人:

時間：150分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的.

1.已知復數(shù)z滿足l+iz=z-2i,則閆=（）

A.-B.-C.巫D.V5

222

2.圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說法不正確的是（）

2014?2023年糧食年產(chǎn)量

A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15

B.這10年糧食年產(chǎn)量的平均數(shù)為31

C.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差

D.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29

年份

3.正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.20+1273B.變1C.乎D.280

4.已知忖=2同，若商與B的夾角為60。，則2,-9在B上的投影向量為（）

1-1-3-3—

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

5.向量M，瓦W是空間的一個單位正交基底，向量力在基底,，b,a下的坐標為（-1,2,3）,則萬在基底

M+B為一瓦3的坐標為（）

C.IT3

6.某商場開展20周年店慶購物抽獎活動（100%中獎），凡購物滿500元的顧客均可參加該活動，活動

方式是在電腦上設置一個包含1,2,3,4,5,6的6個數(shù)字編號的滾動盤，隨機按下啟動鍵后，滾動盤

上的數(shù)字開始滾動，當停止時滾動盤上出現(xiàn)一個數(shù)字，若該數(shù)字是大于5的數(shù)，則獲得一等獎，獎金為

150元；若該數(shù)字是小于4的奇數(shù)，則獲得二等獎，獎金為100元；若該數(shù)字出現(xiàn)其它情況，則獲得三

等獎，獎金為50元.現(xiàn)某顧客依次操作兩次，則該顧客獎金之和為200元的概率為（）

51

A.—BD.

36-42

數(shù)學試卷第1頁（共4頁）

7.在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S為AABC的面積，且4s=_優(yōu)一域］,

22

則b仁+士c的取值范圍為（）

be

C.2,-JD.[2,+8)

8.在三棱錐尸-ABC中，ACJ_平面尸A5,AB=3,AC=4,BP=e，NABP=45。，則三棱錐尸一ABC

外接球的表面積為（）

A.8兀B.16兀C.26KD.32兀

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在平面直角坐標系中，下列說法不正確的是（）

A.任意一條直線都有傾斜角和斜率B,直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大

C.若一條直線的傾斜角為。，則該直線的斜率為tanaD.與坐標軸垂直的直線的傾斜角是0?；?0。

10.一個不透明的盒子中裝有大小和質地都相同的編號分別為1,2,3,4的4個小球，從中任意摸出兩

個球.設事件4="摸出的兩個球的編號之和小于5”,事件A="摸出的兩個球的編號都大于2",事件A=

“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（）

A.事件4與事件4是互斥事件B.事件4與事件4是對立事件

c.事件A與事件4是相互獨立事件D.事件與事件4c4是互斥事件

11.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，已知乙4cB=90。,AC=BC=CG=2,E為4G的中點，過AE的截

面與棱分別交于點尸,G,則下列說法正確的是（）

A.三棱錐的體積為定值

B.線段GG長度的取值范圍是［o,g

C.當點P為SB1中點時，截面4FEG的周長為舊+3+夜

D.存在點尸，使得A/JLAE

數(shù)學試卷第2頁（共4頁）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

JT1T

12.在平行六面體ABCD-431G鼻中，ZAiAB=ZDAB=-,Z^AD=-,A8=AD="=2,則

1*1=.

13.已知A(LO,O),8(2,1,0),C(l,l,l)三點，則A到直線BC的距離為.

14.如圖，已知AABC為等邊三角形，點G是AABC的重心.過點G的直線/與線段A3交于點與線

段AC交于點E.設通=/lQ,/=〃尼，且設AADE的周長為G，

AABC的周長為02,設『=/〃，記/(7)=±T,則的值域為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.為了選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生，教育部啟動了

“強基計劃”的招生改革工作.某校強基招生面試有兩道題，兩道題都答對者才能通過強基招生面試.假設兩

題作答相互獨立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名學生通過考核進入面試環(huán)節(jié)，他們答對第一題的概率分別是

112

答對第二題的概率分別是

(1)求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生通過強基招生面試的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人通過強基招生面試的概率.

16.已知△ABC的內角A,3,C所對的邊分別為且2c-6=2asin[C

(1)求角A；

(2)若。=為邊5c上一點，AD為NR4c的平分線，且AD=1,求的面積.

17.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，平面平面ABCD,△PAO為等邊三角形，PD1AB,AD//BC,

AO=2,AB=BC=1,M為尸A的中點.

⑴證明：OM_L平面尸AB；

(2)求平面PCD與平面PAB夾角的余弦值.

數(shù)學試卷第3頁(共4頁)

18.對800名參加競賽選拔學生的成績作統(tǒng)計(滿分：100分)，將數(shù)據(jù)分成五組，從左到右依次記為[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計這800名學生成績的眾數(shù)和平均數(shù)(求平均

頻率

數(shù)時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

旃

(2)現(xiàn)從以上各組中采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取40人.若0.040

分數(shù)在區(qū)間[70,90)的學生實際成績的平均數(shù)與方差分別為78分和77手7，0.030

0.020

0.015

第三組[70,80)的學生實際成績的平均數(shù)與方差分別為72分和1,求第四0.010

0.005

組[80,90)的學生實際成績的平均數(shù)與方差.O”5060708090100成績/分

19.在空間直角坐標系。一孫z中，己知向量iZ=(a,0,c),點4(Xo，%,Zo).若直線/以日為方向向量且

經(jīng)過點凡，則直線/的標準式方程可表示為口^=匕遼=三包(。左彳0)；若平面a以日為法向量

abc

且經(jīng)過點凡，則平面a的點法式方程表示為a(x—%)+“丁—%)+c(z-Zo)=O.

x-1y-2z「

(1)已知直線/的標準式方程為一7=[五=],平面%的點法式方程可表示為43x+y-z+5=Q,

求直線I與平面火所成角的余弦值；

(2)已知平面%的點法式方程可表示為2x+3y+z-2=0,平面外一點尸(1,2,1),點尸到平面見的

距離；

(3)⑴若集合M={(x,y,z)||x|+|y|V2,|z|?l},記集合M中所有點構成的幾何體為S,求幾何體

S的體積；

(ii)若集合N={(x,y,z)||x|+|y|<2,|y|+|z|<2,|z|+|.r|<2}.記集合N中所有點構成的幾何體為T,

求幾何體T相鄰兩個面(有公共棱)所成二面角的大小.

數(shù)學試卷第4頁(共4頁)

荊州中學2023級高二上學期九月月考

數(shù)學試卷參考答案

1-8CCBBABCC9.ABC10.ACD11.AC

2V3

12.213.—14

2

15.(1)—(2)

18216

【詳解】(1)甲通過考核進入面試環(huán)節(jié)，答對第一題的概率分別是:，答對第二題的概率分別是：,

32

甲考生通過某校強基招生面試的概率為［=《x:=，.

326

乙考生通過某校強基招生面試的概率為8=^xl=l

236

...甲、乙兩位考生中有且只有一位考生通過強基招生面試的概率為:

P=lx(l--)+(l--)x-=5

666618

121

(2)丙考生通過某校強基招生面試的概率為月

...甲、乙、丙三人中至少有一人通過強基招生面試的概率為：/=1一11一!卜卜一!'11一

16.(1)A=-(2)也

32

【小問1詳解】因為2c-b=26zsinj=-J3asinC-acosC,

由正弦定理可得2sinC-sin8=6sinAsinC-sinAcosC，

且sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

即2sinC-sinAcosC-cosAsinC=V3sinAsinC-sinAcosC，

整理可得2sinC=V3sinAsinC+cosAsinC=2sinCsin^A+-^-

且Cw(O,兀)，則sinCwO,可得sin[A+t]=1,

又因為AE(0,兀)，則4<A+巴<亞，可得A+四=乙，所以人=工.

666623

數(shù)學答案第1頁(共4頁)

jr

【小問2詳解】因為AD為NB4c的平分線，則/氏4。=/。4。=7，

6

因為^ABC~5口剛。+^CAD，則

-AB-ACsinZBAC=-AB-ADsmZBAD+-AD-ACsinZCAD,

222

即—Z?cx^-=—cxlx—+—xlxZ?x—,可得b+c=-J3bc，

222222

在口R4c中，由余弦定理可得/=廿+°2—2bccosNBAC=（b+c）2-2bc-2bccosABAC,

即6=3（0c）2—20c—Oc,整理可得伍域―Z?c—2=0,解得6c=2或。c=-1（舍去），

所以AABC的面積SAABC=^bc-sinABAC=1x2x^=^.

17.(1)證明見解析⑵*

【詳解】(1)取AD的中點。，連接尸O,C。,

因為△P4O為等邊三角形，所以尸O1A。,

又因為平面PAD1平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,

所以PO_L平面ABCO,

因為ABu平面ABCD,所以A8_LP。,

又PD_LAB,PDcPO=P,PD,POu平面PAD,所以ABJ_平面PAD,

因為￡>Mu平面PAO,所以AB_LZW,

因為M是PA的中點，所以DM，PA,

因為AB,PAu平面尸AB,S.ABC\PA=A,

所以。M_L平面尸AB.

(2)因為AD=2,8C=1,由(1)知四邊形ABC。為矩形，則A8〃0C,

又AB_L平面PA。，所以CO_L平面PAO,

以。為坐標原點，分別以OCO2OP所在直線為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標系,

則尸(0,0,6),"0,--,^-,c(l,0,0),0(0,l,0),PD=(0,l,-V3),CD=(-1,1,0),

取平面PAB的法向量為DM=,設平面PCD的法向量為m=(x,y,z),

I22)

數(shù)學答案第2頁(共4頁)

m-PD=0即卜一百z=。

則令z=l,貝！Jx=y=,所以慶=1).

m-CD=Q[-x+y=0

―HIm-DAfl刀￡尸=?,所以平面PC。與平面PA8夾角的余弦值為立.

cosm,DM\=-——?L

1|則D叫V3.V777

18.(1)眾數(shù)為65；平均數(shù)為67⑵平均數(shù)為87；方差為2

【詳解】(1)解：根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)的定義，可得這800名學生成績的眾數(shù)為里空=65,

這800名學生成績的的平均數(shù)為：

x=(55x0.030+65x0.040+75x0.015+85x0.010+95x0.005)x10=67(分).

(2)解：根據(jù)題意，采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取40人，

各段抽取的人生分別為：12人，16人，6人，4人和2人，

其中分數(shù)在區(qū)間[70,90)的學生為10人，分別為…,10),

其中平均成績與方差分別為Is?,則a=78,s'=手，

設第三組學生實際成績分別為七。=1,2,…,6),其平均數(shù)和方差為京s：,則i=72,s：=l,

設第四組學生實際成績分別為％(i=1,2,3,4),其平均數(shù)和方差為,

由^_72+4'=78,可得>=87,由卡=-----{m?[^+(x—w)2]+n?+(y—w)2]},

10m+n

2771

可得==1?{6x[l+(72-78)2]+4.[《+(87-78>]},解得$=2,

56+4yy

所以第四組[80,90)的學生實際成績的平均數(shù)為87與方差為2.

19.(1)(2)巫(3)(i)16；(ii)—

1023

(1)由題可知，直線I的一個方向向量坐標為m=(1,-73,2),平面內的一個法向量為h=

設直線/與平面內所成角為A，

則有新日琳2