2023年高考數(shù)學二輪復習教案：集合

解密01講：集合

【考點解密】

1.集合與元素

⑴集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于,用符號且或生表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

非負整數(shù)集

集合正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

(或自然數(shù)集)

符號NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本關系

(1)子集：一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合8中的元素，就稱集合A為集合8的

子集，記作或82A.

(2)真子集：如果集合AU8,但存在元素且依A,就稱集合A是集合B的真子集，記作AB或

(3)相等：若AUB,且3GA,則A=8.

(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運算

表示

文字語言集合語言圖形語言記法

運

所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的｛小

并集

元素組成的集合或正團03

所有屬于集合A旦屬于集合B的{x\x^A,

交集

元素組成的集合且九￡5})3

全集U中不屬于集合A的所有元

{x\x^U,

補集素組成的集合稱為集合A相對于

且通4}:CD

全集U的補集

【方法技巧】

集合基本運算的方法技巧:

(1)當集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算，也可借助Venn圖運算；

(2)當集合是用不等式表示時，可運用數(shù)軸求解.對于端點處的取舍，可以單獨檢驗.

集合常與不等式，基本函數(shù)結合，常見邏輯用語常與立體幾何，三角函數(shù)，數(shù)列，線性規(guī)劃等結合.

【核心題型】

題型一：元素與集合

1.(2022?安徽省舒城中學三模(理))已知集合=其中i為虛數(shù)單位，則下列元素屬于集合M

的是()

A.(l-i)(l+i)B.W

C(I)?

【答案】B

【分析】計算出集合M，在利用復數(shù)的四則運算化簡各選項中的復數(shù)，即可得出合適的選項.

【詳解】當％CN時，i妹=1，iM=i，[妹+2=12=一1，i伙+3=j3=_i，則般

1-i(1-i)2-2i

(l-i)(l+i)=l+l=2gAf

171—(1+1)(1_0一y

(1-i)2=-2igM,

1-i(l-i)(l+i)22

故選：B.

2.(2022?海南.模擬預測)已知集合4={尤產(chǎn)41},集合八{x|xeZ且x+leA},則3=()

A.{-1,0,1}B.{-2,-l,0}C.{-2,-l,0,l}D.{-2,-1,0,1,2)

【答案】B

【分析】先求出集合A={x|"#x1},再根據(jù)集合8中x+leA和尤eZ,即可求出結果.

【詳解】因為集合人={尤k*1},所以4={尤卜1#尤1),

在集合3中，由％+1￡A,得—LVx+101,BP-2<x<0,

又所以％=-2,-1,0,即5={-2,-1,0}.

故選：B.

3.(2022?全國?高三專題練習(理))已知集合人={1,〃},B={x|log2x<l},且AcB有2個子集,則實數(shù)。的取值

范圍為()

A.(3,0]B.(0,l)U(l,2]C.[2,+e)D.(e,0]U[2*)

【答案】D

【分析】解對數(shù)不等式可求得集合8,由子集個數(shù)可確定AcB中元素僅有1個，從而得到。任3,由此得到。的范

圍.

【詳解】由題意得：B={x|log2x<l}=(0,2),

,.?anB有2個子集，.1Ans中的元素個數(shù)為1個；

,.11e(AQB),/.ag(AP|B),即ae8,:.a<0^,a>2,

即實數(shù)。的取值范圍為(f,0]U[2,+a>).

故選：D.

題型二：集合中元素的特性

4.（2023?全國?高三專題練習）設集合4={-2,-1,1,2,3},B={y|y=log2|x|,xeA},則集合8元素的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)集合2的描述，結合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)列舉出元素即可.

【詳解】當x=±2時，y=l；

當尤=±1時，y=0；

當x=3時，y=log23.

故集合B共有3個元素.

故選：B.

5.（2021?全國?高三專題練習（文））已知集合M=詞加=/+卉+?+罟，x、y、z為非零實數(shù)},則〃的

[閔3忖⑸z|

子集個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】D

【分析】分x,y,z都是正數(shù)，x,y,z都是負數(shù)，x,y,z中有一個是正數(shù)，另兩個是負數(shù)，尤,y*中有兩個是正數(shù)，另

一個是負數(shù)四種情況分別得出機的值，從而求得集合M的元素的個數(shù)，由此可得出集合M的子集的個數(shù).

【詳解】因為集合機=吉+占+?+產(chǎn)pX、y、z為非零實數(shù)},

LW1^1lzlM

所以當％y,z都是正數(shù)時，機=4；

當羽都是負數(shù)時，m=-4；

當無，y，z中有一個是正數(shù)，另兩個是負數(shù)時，根=o,

當羽y,z中有兩個是正數(shù)，另一個是負數(shù)時，m=0,

所以集合M中的元素是3個，所以M的子集個數(shù)是8,

故選：D.

6.（2022?河南鄭州.高三階段練習（理））定義集合運算：A^B=[z\z=xy,x^A,y^B\,設4={1,2},B={1,2,3）,

則集合A*3的所有元素之和為（）

A.16B.18C.14D.8

【答案】A

【分析】由題設，列舉法寫出集合4*3,根據(jù)所得集合，加總所有元素即可.

【詳解】由題設知：A*3={1,2,3,4,6},

*,*所有兀素N和1+2+3+4+6=16.

故選：A.

題型三：集合的表示方法

7.(2022?陜西?交大附中模擬)已知N*表示正整數(shù)集合，若集合A={(x,y)|x2+y2421,xeN*,yeN*},則A中元素

的個數(shù)為()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【分析】根據(jù)集合描述的幾何意義，列舉出第一象限內(nèi)符合要求的點坐標，即可知元素的個數(shù).

【詳解】由題設」={(x,y)10VAW值,xeN*,yeN*},又"ie(4,5),

由“2+42=:任＞歷，則(4,4)eA,

由J42+32=衣〉血，貝U(4,3),(3,4)e4，

由心+2?=而＜向，貝U(4,2),(2,4)e4，

同理，(4,1),(1,4),(3,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,3),(2,2),(2,1),(2,1),(1,1)均屬于集合A,

所以第一象限中有13個點屬于集合A

故選：D

8.(2023?全國?高三專題練習)已知集合4=[(彳,W+則A中元素的個數(shù)為O

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【分析】由橢圓的性質(zhì)得-再列舉出集合的元素即得解.

【詳解】解：由橢圓的性質(zhì)得-2V尤V2,-忘

又xeZ,yeZ,

所以集合&={(_2,0),(2,0),(T,0),(1,0),(0,1),(0,T),(0,0),-1),(1,1),(1,T}

共有n個元素.

故選：c

9.(2022?全國?高三專題練習(理))已知集合4={2,3,4,5,6},2={(x,y)|xeA,yeAy-xe4},則2中所含元素

的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)集合B的形式，逐個驗證尤,y的值，從而可求出集合B中的元素.

【詳解】y=6時，x=2,3,4,

y=5時，x=2,3,

y=4時，x=2,

y=2,3時，無滿足條件的x值；故共6個，

故選：D.

題型四：集合的基本關系

10.（2022?四川瀘州.一模）已知集合4={0,1,2},2={*力/一2》<0},則（）

A.AC3={1}B.A^BC.AUB=BD.ACB

【答案】A

【分析】求得集合8,再根據(jù)集合的運算以及包含關系，即可判斷和選擇.

【詳解】B={xeZ|x2-2x<0}={1},又4={0,1,2},

故Ac3={l},A^B,A^JB=A,B^A,故A正確，其它選項錯誤.

故選：A.

11.（2022?湖南?模擬預測）已知非空集合4=3〃》）<4},2={*"（〃彳））（0,4€：?,其中/（x）=/-3x+3,若

滿足則。的取值范圍為（）

A.[3,+oo）B.（-co,l]u[3,+oo）c.H，+<?]D.

【答案】A

【分析】可設A={x|%WxW±},根據(jù)題設條件可得小馬滿足的條件，再根據(jù)根分布可求實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】A=|x|x2-3x+3<a},

因為A非空，故可設A={x|玉VxV/}，貝!1占,三為方程》2-3》+3-4=0的兩個實數(shù)根.

設g（尤）=九2—3x+3-a,

^B=[x\xl<f（x）<x2]^{x\xi<x<x2},

A=9-4（3-6i）>0

3

因為BgA,故所以,解得a>3.

/—3。+3-a>0

故選：A.

12.（2022.青海.模擬預測（理））已知集合4={小<2"-1<7卜B={?|（n+6）（?-3）<o},貝I]（Au3）u（Ac3）=（）

A.{止6<〃<3}B.\n\n>-6^

C.{H〃WR}D.{n|2<n<3}

【答案】A

【分析】解指數(shù)不等式化簡集合4解一元二次不等式化簡集合8,再利用交集、并集的定義結合性質(zhì)求解作答.

【詳解】解不等式:3<2"-1<7,即4<2"<8,解得:2<n<3,則A={"|2<〃<3},

解不等式：3)<0,解得：-6<n<3,則2={〃|-6<〃<3},

因(AcB)uAu(AuB),所以(AuB)u(AcB)=Au3={〃|-6<〃<3}.

故選：A

題型五：集合的交并補

13.(2022.貴州貴陽?模擬預測)已知集合4=口|丁=1。82(/+苫-6)},8={幻1<苫45},則AQB=()

A.(e「3)U(2,E)B.[1,5]C.(2,5]D.(1,5]

【答案】C

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義域化簡集合A,再根據(jù)集合交集的定義求解即可.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域可得/+》_6>0=>》<-3或x>2,

所以A={x[x<-3或x>2},

所以AcB={x[2<xV5},

故選：C.

14.(2022.重慶市永川北山中學校模擬預測)設尸和。是兩個集合，定義集合尸-Q={x|xeP且x任Q},如果

2

P={x|log2x<l},e={x|x-4x+3<o},那么P_Q=()

A.{x10<x<1)B.{x|0<x<l}

C.{x|l<x<2}D.{x|2<x<3}

【答案】B

【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得P,由一元二次不等式可得。，根據(jù)題意可得出結果.

【詳解】'''P={x\log2x<1}={x10<x<2},Q={x|x?-4x+3<0}={x[l<x<3},

Z.P-e={^|O<x<l}.

故選：B.

15.(2023?全國?高三專題練習)已知有限集X,Y,定義集合X-y={RxwX,且x拓打，|X|表示集合X中的元

素個數(shù).若X={1,23,4},F={3,4,5},則|(X—F)5y-X)|=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】利用新定義及并集運算，即可得到結果.

【詳解】VX={1,2,3,4},7={3,4,5)

x-y={i,2},y_x={5},

（x-n^（r-x）={1,2,5},

.?.l（x-y）u（y-x）i=3,

故選：A

題型六：Venn圖

16.（2022.吉林?長春吉大附中實驗學校模擬預測）某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是15,12,9.

若這三天中只有一天開車上班的職工人數(shù)是20,則這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為韋恩圖，結合題意設出未知量，列出方程，求出答案.

作出韋恩圖,如圖,

a+b+c+x=15

/?+d+e+x=12a-\-2b+2c+d+2e+f+3x=36

由題意得￡，則有

c+e+/+x=9Oa+d+f=20

a+d+f=20

所以2/?+2c+2e+3x=16,即20+c+e）+3x=16,

因此要讓X最大，則20+c+e）需要最小，

若2S+c+e）=0,則x=g不滿足題意，

若2（/2+c+e）=2,則x=￡不滿足題意，

若2（b+c+e）=4,貝隈=4滿足題意，

所以這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是4,

故選:B.

17.（2007.全國.高考真題（理））如圖，/是全集，M、P、S是/的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（）

A.（Mnnn^B.（MPIP）USC.（wnp）nsD.

【答案】c

【分析】根據(jù)Venn圖表示的集合運算作答.

【詳解】陰影部分在集合M,P的公共部分，但不在集合S內(nèi)，表示為（MCP）CM,

故選：C.

18.（2023?全國?高三專題練習）《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著，成于公元1世紀左右.該書內(nèi)容十分豐

富，全書總結了戰(zhàn)國、秦漢時期的數(shù)學成就.某數(shù)學興趣小組在研究《九章算術》時，結合創(chuàng)新，給出下面問題：

現(xiàn)有100人參加有獎問答，一共5道題，其中91人答對第一題，87人答對第二題，81人答對第三題，78人答對第

四題，88人答對第五題，其中答對三道題以上（包括三道題）的人可以獲得獎品，則獲得獎品的人數(shù)至少為（）

A.70B.75C.80D.85

【答案】B

【分析】由題意求出回答錯誤的題共有9+13+19+22+12=75道.而答錯3道題及以上的人沒有獎品，所以最多

會有75+3=25人沒有獎品，由此可求得答案.

【詳解】解：由題意知，一共回答了500道題，其中回答錯誤的題共有9+13+19+22+12=75道.

由于答對3道題以上（包括3道題）的人可以獲得獎品，即答錯3道題及以上的人沒有獎品，

故最多會有75+3=25人沒有獎品，故獲得獎品的人數(shù)至少為75.

故選：B.

題型七：集合新定義

19.（2022?四川?模擬預測（理））設S,T是R的兩個非空子集，如果存在一個從S到T的函數(shù)y=/（x）滿足：（/）

r={/（x）|xeS};（〃）對任意占,”S,當占時，恒有■/■㈤<“％），那么稱這兩個集合“保序同構”，以下集合

對不是“保序同構”的是（）

A.A=N*,B=NB.A={x|-l<x<3）,8={x|x=-8或0〈尤〈10}

C.A=1x|0<x<,B=RD.A=Z,B=Q

【答案】D

【分析】利用題目給出的“保序同構”的概念，對每一個選項中給出的兩個集合，利用所學知識，找出能夠使兩個

集合滿足題目所給出的條件的函數(shù)，即B是函數(shù)的值域，且函數(shù)為定義域上的增函數(shù).排除掉是“保序同構”的，

即可得到要選擇的答案.

【詳解】解：對于A=N*,B=N,存在函數(shù)/'（x）=x-l,xeN*,滿足：（州={/（x）|xeA}；5）對任意4，x2&A,

當為<%時，恒有/（再）</（%），所以選項A是“保序同構”；

-8,x=-1

對于A={x|-啜/3},3={x|x=-8或0<%,10},存在函數(shù)“元）=55,,滿足：

-XH—,-1<X,,3

⑴B="（x）|xeA}；（萬）對任意▲，X2GA,當再<當時，恒有/（占）</（馬），所以選項B是"保序同構"；

jr

對于A={x[O<x<l},3=R,存在函數(shù)/（尤）=tan（%x-萬），滿足：（i）B=[f（x）|xeA}；

5）對任意巧，x2eA,當王<々時，恒有/（占）</（%）,所以選項C是“保序同構”；

對于選項D,A=Z,B=Q,不存在函數(shù)/（X）,不是“保序同構”，所以選項D不是“保序同構”.

故選：D.

20.（2022?浙江省杭州學軍中學模擬預測）設A是任意一個〃元實數(shù)集合，令集合3={"v|",veA,"Wv},記集合2

中的元素個數(shù)為忸則（）

A.若77=6,則IBImax+|BLin=24B.若見=7,則181mto=9

C.若〃=8,則一二<2|81rahiD.若〃=9,則12kB=9

【答案】B

【分析】利用[8'=^排除選項D；利用151m/2〃-4排除選項AC；舉例驗證選項B正確.

【詳解】當集合A中的元素兩兩互質(zhì)時，|8|max=C.

所以對于選項D,當〃=9時，|BU=C^=36^9,故選項D錯誤.

當心6時，若4={0,1,。,〃,心..4-2},其中<|B|=l+（2n-5）=2n-4,故四42〃-4.

對于選項A,|8'=或=15,131mhi<8,故|2'+四疝言23/24.故選項A錯誤.

對于選項C,|8息=亡=28,|2京412,則181n1ax>2|81mto.故選項C錯誤.

對于選項B,181mhi=942x7-4=10,判斷正確

（事實上，當〃=7時，要使|8|最小，0wA,leA—leA,記A={0,1,—1,。,—。，瓦―Z?},其中a,6>。，當6=/時，

有⑻1nto=9.）

故選：B

21.（2023?全國?高三專題練習）設集合X={%,4,/M/UN*,定義：集合丫={《+%/%嗎eX,i,jeN*"wj},集

合5=卜川為"￥//?,集合7=9區(qū)〉€匕無力，，分別用|S|,|T|表示集合S,T中元素的個數(shù)，則下列結

論可能成立的是（）

A.|S|=6B.|S|=16C.|T|=9D.|T|=16

【答案】D

【分析】對A、B：不妨設14%<的<。3<%，可得。1+。2<%+。3<4+。4<42+4<“3+%，根據(jù)集合￥的定義可

得￥中至少有以上5個元素，不妨設無1=41+外,%=4]+4，X3=。1+%，尤4=。2+%，%=“3+。4，則集合S中至少

有7個元素，排除選項A,若1+。”電+。3,則集合y中至多有6個元素，所以|S|a=C；=15<16,排除選項B；

對C：對ViHj,玉片勺，則?與殳一定成對出現(xiàn)，根據(jù)集合T的定義可判斷選項C；對D：取乂={1,3,5,7},則

Xj七

Y={4,6,8,10,12），根據(jù)集合T的定義可判斷選項D.

【詳解】解：不妨設1W%<%</<。4，則6+為的值為。1+。2，。1+。3，。1+。4，。2+。3，。2+〃4，。3+。4，

顯然，4+%<6+〃3<。1+。4<%+。4<。3+。4，所以集合丫中至少有以上5個元素，

不妨設項=。[+。2，％2=Q[+。3，=a\+〃4，兀4=%+。4，兀5=%+。4，

XX

則顯然再馬<玉毛<14<%%<x/5<x3x5<x4x5,則集合S中至少有7個元素,

所以|S|=6不可能，故排除A選項;

其次，若。|+%工。2+。3,則集合丫中至多有6個元素，則1slm^=建=15<16,故排除B項；

f121233445555631

對于集合T,取乂={1,3,5,7},則丫={4,6,8,10,12},此時7="二,十不一小丁不久?下不不不彳鄉(xiāng)，|T|=16,

〔35235453643252J

故D項正確；

對于C選項而言，71手j，x、手飛,則與父一定成對出現(xiàn)，土'T〕<°，所以1乃一定是偶數(shù)，故C項

錯誤.

故選：D.

題型八：集合的綜合問題

22.（2022?貴州貴陽?模擬預測（理））已知/（尤）=卜+。|+|2尤—5|.

（1）當。=2時，求/。）>9的解集；

⑵若/（x）<2x的解集包含[3,5],求a的取值范圍.

【答案】（l）{x[x<-2或v>4}.

⑵[-8,0].

【分析】（1）通過討論尤的范圍解不等式.

（2）結合/（x）<2x的解集包含[3,5]來化簡不等式，進而解出不等式，再利用解集包含⑶5]求出。的取值范圍.

—3%+3,%<—2,

【詳解】（1）當。=2時，/?=—x+7,—一,

2

cC5

3x—3,x>一,

2

當xV—2時，不等式為一3%+3>9,解得2,故xv—2；

當一時，不等式為T+7>9,解得尤<一2,無解；

當x>|■時，不等式為3%-3>9,解得了>4,故x>4,

綜上所述，不等式的解集為2或x〉4}.

故答案為：{%|x<-2或x>4}.

(2)

/(%)<2x的解集包含[3,5],即||+12%-51W2%在[3,5]上成立，

即|%+〃|+2%—5?2%的解集包含[3,5],即|%+〃|十,解得一5——a,

f-5—aW3,

由已知可得y解得0》心-8,

所以。的取值范圍為18,0].

故答案為：[-8,0].

23.(2022?吉林?長春吉大附中實驗學校模擬預測)已知函數(shù)=%：(.：)的定義域為集合A,關于元的不等式

yJ2x+4

ar-2a+l<0(a^0)的解集為8.

(1)當。=1時，求(4A)U3;

(2)若是xeaA的充分條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴*4口8={中41或X23}.

(2)[T，0)U(0,：

【分析】⑴由題知A={x|—2<尤<3},B={x|x<l),再根據(jù)集合運算求解即可；

(2)由題知3項aA,再分a>0時8=《|苫42-：}和〃<0時8=1|苫22-：:兩種情況討論求解即可.

(1)

解：要使函數(shù)粵=)有意義,貝一：>1，解得-2〈尤<3,

j2x+4[2x+4>0

所以A={x|-2<x<3},所以0A={x|xV—2或xN3},

當a=1時，8={x|尤W1},

所以低A)uB={x|xVl或xN3}.

(2)

解：由⑴得A={尤|-2<x<3},弁4={x|x4-2或xW3}

因為是的充分條件，則臺口旗人，

①當a>0時，B=jx|x<2--l￡^A,則2-—2,所以0<aV!；

IaJa4

②當。<0時，B=L|X>2--L^A,貝。2-^23,所以—l<a<0；

Iaja

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是［T，O)U(。,；.

24.(2022?全國?高三專題練習)設函數(shù)/(x)=x2+R+q(p,qeR),定義集合0={x|“f。))=x,xeR},集合

^=UI/(/W)=0,xeR).

(1)若P=4=0，寫出相應的集合0和鳥;

⑵若集合0={0},求出所有滿足條件的p，q；

(3)若集合弓只含有一個元素，求證：pN0,qNG.

【答案】⑴0={0,1},4={0}

(2)p=l,q=0

(3)證明見解析

【分析】(1)由無4=尤、/=。解得x,可得外，Ef.

22

(2)由/(/(元))-x=0得Y+(p+l)x+p+q+l=0^lx+(p-l)x+q=0,然后由A；=(p+1)-4(/2+t/+l),

2

A2=(p-1)-4?>A1；方程/(7(x))-x=0只有一個實數(shù)解0,得&=0八<0,轉(zhuǎn)化為無2+(p-i)x+g=o有唯一實

數(shù)解0,可得答案；

(3)由條件，/"(切=。有唯一解，得/。)=0有解，分/(無)=0有唯一解/、/(x)=0有兩個解4馬(再<馬)，結

合的圖像和實數(shù)解的個數(shù)可得答案.

4

【詳解】⑴/(x)=Y,/(/(x))=x,由/=x解得x=0或x=l,由無4=o解得了=0,所以O/={0,1},Ef={0}.

(2)由/(/(%))一x=/(/(%))-/(%)+/(x)-x=f\x)+pf(x)-x2-px+f(x)-x=

(7(x)+x+p+l)(/(x)-%)=(%2+(/>+l)x+p+q+l)(x2+(p-l)x+q)=0,

得Y+(p+l)x+p+q+l=0或/+(2-1)工+4=0,

22

A=(p+l)2-4(p+q+l)=(p-l)2-4q-4,A2=(p-1)-4^=(p-I)-4<y>A1,而方程/(/(x))-*=0只有一個實

數(shù)解0,所以4=0,%<0,

即只需一+(P.l)x+q=0有唯一實數(shù)解0,所以p=Lq=0.

(3)由條件，〃/(切=。有唯一解，所以/(無)=0有解，

①若/(x)=。有唯一解％,則/(尤)=5-%)2,且有唯一解，結合/(X)圖像可知無0=。，所以/(x)=Y,所

以p=q=O.②若f（x）=O有兩個解石，尤2（王〈尤2），

則”x）=（x-項）（了-/），且兩個方程“x）=X[,總共只有一個解，結合/⑺圖像可知/（x）=》2有唯一解,

所以尤2<。，王<。，所以4=網(wǎng)3>0,且Ax）的對稱軸x=—^<0,所以p>。，所以p>0,q>0.

綜上，p>0,q>0.

【點睛】本題主題考查了二次函數(shù)與二次方程之間的關系的相互轉(zhuǎn)換，方程根與系數(shù)的應用，考查了系數(shù)對新定義

的理解能力及計算能力.

【高考必刷】

一、單選題

3

25.（2022.河北.模擬預測（理））已知集合4={尤eZ|—eZ},B={xeZ|x2-%-6<0},則（）

1-x

A.{2}B.{-2,0,2}

C.{-2,-1,0,1,2,3,4}D.{-3,-2,0,2,4}

【答案】C

【分析】先求出集合A,B,再根據(jù)并集的定義求解即可.

3

【詳解】A={.reZ|—eZ}={-2,0,2,4},

1-x

2

JB={xeZ|x-^-6<0}={xeZ|-2<^<3}={-2,-l,0,l,2,3},

/.AuB={-2,-1,0,1,2,3,4},

故選：C.

26.（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第二中學校模擬預測（理））已知集合4=卜€(wěn)2k2+2》—34。},B=U|x>-l},則

集合AcB的元素個數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意結合一元二次不等式求集合A,再利用集合的交集運算求解.

【詳解1VA=（xeZ|x2+2x-3W0}={尤eZ|-3<x<l}={-3,-2,-1,0,1},

???AnB={-l,O,l},即集合的元素個數(shù)為3.

故選：C.

27.（2022.廣東韶關.一模）設全集。={-2,-1,0,L2},集合A={-2,1},B={x|x2-3x+2=0）,則句（AuB）=（）

A.{0,2}B.{-1,0}C.{1,2}D.{150}

【答案】B

【分析】先化簡集合8,再由并集與補集的定義求解即可

【詳解】由題意，8={小2-3無+2=0}={1,2},

又4={-2/},

所以AuB={-2,l,2},

又U={-2,J,0,l,2}

所以品（AU3）={-1,O},

故選：B.

28.（2022?吉林長春?模擬預測）已知全集為R,集合4={-2,0,6,8},B={x|x2-4x-12>o},則Venn圖中陰影部

分所表示的集合為（）

A.{-2}B.{6}C.{-2,6,8}D.{-2,0,6}

【答案】D

【分析】先確定集合B中的元素，然后根據(jù)Venn圖表示的集合進行計算.

【詳解[8={尤卜2_4尤一12>。}={犬|無<-2或x>6},\B={x\-2<x<6],

Venn圖中陰影部分所表示的集合為4口&2）={-2,0,6}.

故選：D.

29.（2022.四川資陽.一模（理））已知全集。={-2,—1,0,1,2,3,4},M={1,2,3},2V={xeZ|^2<4）,則電（“1?=

（）

A.{-2}B.{4}C.{-2,1}D.{-2,4}

【答案】D

【分析】計算N={-l,0,l},MU7V={-1,0,1,2,3）,再計算補集得到答案.

【詳解】7V={xez|?<4}={-l,0,l},故MuN={-1,0,123},故e（"凹）={-2,4}.

故選：D

二、多選題

30.（2023?全國?高三專題練習）圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）

A.Bn（AuC）B.^Bn（AuC）

C.Bn^（AUC）D.（AnB）o（BnC）

【答案】AD

【分析】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素x,分析x與集合A、B、C的關系，即可得出結論.

【詳解】在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個元素無，則無或xeBAC，

故陰影部分所表示的集合為Bc（AuC）或（ACB）5BCC）.

故選：AD.

31.（2023?全國?高三專題練習）已知集合A,8均為R的子集，若Ac3=0,貝U（）

A.A=6RBB.二A18

C.AuB=RD.淄A)5RB)=R

【答案】AD

【分析】根據(jù)集合圖逐一判斷即可得到答案

【詳解】如圖所示

根據(jù)圖像可得4故A正確；由于,故B錯誤；AUBuR，故C錯誤

故選：AD

32.（2022?湖南?模擬預測）如果一個無限集中的元素可以按照某種規(guī)律排成一個序列（或者說，可以對這個集合的

元素標號表示為如出，/，%???氏），則稱其為可列集.下列集合屬于可列集的有（）

A.N

B.Z

C.Q

D.R

【答案】ABC

【分析】根據(jù)自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)的性質(zhì)，結合題中定義逐一判斷即可.

【詳解】令4=0,q=1,…，%="（〃-N）即可表示所有自然數(shù),故集合N可標號表示為旬,％,%，多，&…%，故N為

可列集，同理，Z為可列集，

對于Q,整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，由于其區(qū)間（—,+?）可由可列個［”,"+D5eZ）區(qū)間組成，故可只討論區(qū)間［0,1）

內(nèi)的情況.

112q

令4=0,當分母為1時，分子只有一種取值，故記作％1=1,同理。21=7，%=￡，。32=￡”,■，apq=~■：

233p

綜上，集合Q可標號表示為小，。21，%，/2”-，apq,故。為可列集，

有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，所以實數(shù)不是可列集，

故選：ABC

33.(2022?全國?高三專題練習)已知集合石是由平面向量組成的集合,若對任意￡,康氏/《0,1),均有應+(1-/€后,

則稱集合￡是“凸”的，則下列集合中是“凸”的有().

A.{(x,y)|yNe?B.{(x,y)|yN.lnx}

C.{(尤,y)|x+2y-120}D.1(x,j)|x2+y2<1^

【答案】ACD

【分析】作出各個選項表示的平面區(qū)域，根據(jù)給定集合E是“凸”的意義判斷作答.

【詳解】設函=@,OB=bOC=ta+(l-t)b,則C為線段A8上一點，

因此一個集合E是“凸”的就是E表示的平面區(qū)域上任意兩點的連線上的點仍在該區(qū)域內(nèi)，

四個選項所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示：

AB

CD

觀察選項A,B,C,D所對圖形知，B不符合題意，ACD符合題意.

故選：ACD

【點睛】思路點睛：涉及符合某個條件的點構成的平面區(qū)域問題，理解不等式變?yōu)閷仁綍r的曲線方程的意義，

再作出方程表示的曲線，作圖時一定要分清虛實線、準確確定區(qū)域.

34.(2022.江蘇.常州市平陵高級中學高三開學考試)設國表示不大于x的最大整數(shù)，已知集合知=國-2<區(qū)<2},

N={x|d-5x<0},則()

A.[lg200]=2B.Mr>N=[x\0<x<'2]

C.[lg2-lg3+lg5]=lD.MuN={x|-14x<5}

【答案】ABD

【分析】由對數(shù)運算可知2<lg200<3,lg2-Ig3+lg5=l-lg3e(0,l),由[x]的定義可知AC正誤；解不等式求得

集合M,N,由交集和并集定義可知BD正誤.

【詳解】對于A,100<200<1000,.-.2<lg200<3,[lg200]=2,A正確；

對于C,「IgZ—Ig3+lg5=(lg2+lg5)-lg3=l-lg3e(O,l),lg3+lg5]=0,C錯誤；

對于BD,'：M=|x|-2<[x]<21=1x|-l<x<21,N={x|0<尤<5},

.,.McN={x[0<x<2},MuN={x|—14尤<5},BD正確.

故選：ABD.

三、填空題

35.（2007?湖北?高考真題（理））設A、8為兩個集合.下列四個命題：

①A不包含于8O對任意xeA,有了任8；

②A不包含于BoAc3=0；

③A不包含于803不包含于A；

④A不包含于80存在xeA,使得尤任8.

其中真命題的序號是.（把符合要求的命題序號都填上）

【答案】④

【分析】根據(jù)集合之間的關系，對每個選項進行逐一分析，即可判斷.

【詳解】對①：取4={1,2},3={2,3},滿足A不包含于B,但存在2eA,有2eB,故①錯;

對②：取4={1,2},3={2,3},滿足A不包含于8,但Ac3={2},故②錯;

對③：取4={1,2},3={1},滿足A不包含于B,但8包含于A,故③錯;

對④：A不包含于8O存在xeA,使得彳e3正確，故④正確;

故答案為：④.

36.（2022?陜西?大荔縣教學研究室一模）設三元集合卜,：」:={/,。+仇。},貝1]產(chǎn)2+產(chǎn)2=

【答案】1

【分析】根據(jù)集合相等求得G人,由此求得/期+/儂.

【詳解】依題意={/,a+仇。},awO,

嘰0

a

所以a2=1,所以6=0,a=-l

aw1

此時兩個集合都是{-1,0,1},符合題意.

所以42022+62022=（-1）2022+o=i.

故答案為：1

37.（2020.江蘇省天一中學一模）設集合4={x|0<x<2},8={x[-l<x<l},則4口3=

【答案】（0,1）

【分析】根據(jù)集合交集的概念與運算，即可求解.

【詳解】由題意，集合A={x[0<x<2},8={x[-L<x<l},

根據(jù)集合交集的概念與運算，可得An8={x|0<x<l}=（0,l）.

故答案為：（0,1）.

11

38.(2022?全國?高三專題練習)己知集合A=s,s+：UUJ+H，其中1史A且s+-</,函數(shù)/(x)=—r；,且對任意aeA,

6J6x-1

都有/(?)eA,貝〃的值是.

［答案】或3.

2

【分析】先判斷區(qū)間上J+1］與x=l的關系可得，>1,再分析s+［<l時定義域與值域的關系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可

6

確定定義域與值域的區(qū)間端點的不等式，進而求得S和t即可.最后分析當S>1時，

〃x)el+Ll+工U1+—1,1+—1,從而確定定義域與值域的關系，列不等式求解即可

''tt-105s-1

L」s—

L6」

【詳解】先判斷區(qū)間L，+l］與無=1的關系，因為1”,故，+1<1或/>1.因為當，+1<1,即，<0時，由題意，當

時，—>0gA,故不成立；故f>l.

t-\

再分析區(qū)間s,s+：與X=1的關系，因為1史A,故5+,<1或S>1.

一6」o

1

S+一

r11

①當s+:<1,即s<二時，因為/(%)