函數(shù)模型及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第07講函數(shù)模型及其應(yīng)用

（3類核心考點精講精練）

12.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用

2023年新I卷，第10題,5分對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他函數(shù)知識點考查，需要掌握函數(shù)的圖

象與性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5分

【備考策略】1.會選擇合適的函數(shù)類型來模擬實際問題的變化規(guī)律.

2.會比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、基函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異

3.了解函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模

型）的廣泛應(yīng)用

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容通?？疾榻o定實際問題選擇用合適的函數(shù)解析式來模擬或求對應(yīng)的實際應(yīng)用值，是

新高考復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容

知識點1三種常見函數(shù)模型的性質(zhì)

’-、々n，n上知識點2常見函數(shù)模型

/核心知識點

型及其恒）71-----------------------知識點3解函數(shù)模型問題的步驟

考點1指數(shù)函數(shù)模型

-、二q考點2對數(shù)函數(shù)模型

核心考點

考點3建立擬合函數(shù)模型解決實際問題

知識講解

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)y=axy=log/y=xn

性質(zhì)、

(?>1)(?>1)(〃>0)

在(0,+°°)_b

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨X的增大逐漸表隨n值變化而各有

圖象的變化

與1，軸平行現(xiàn)為與X軸平行不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b{a,b為常數(shù)，qWO)

二次函數(shù)模型fix)=ax2-\~bx~\-c(a,b,c為常數(shù)，oWO)

k

反比例函數(shù)模型4)=-+/左，b為常數(shù)且左WO)

指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax-\-c(a,b,c為常數(shù)，Q>0且QWI,6W0)

對數(shù)函數(shù)模型/(x)=blog/+c(a,b,c為常數(shù)，〃>0且aWl,bWO)

a

幕函數(shù)模型J(x)=ax+b(afb,a為常數(shù)，a#0,aWO)

3.解函數(shù)模型問題的步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模

型.

(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

以上過程用框圖表示如下：

建立函數(shù)模型

--一抽象、轉(zhuǎn)化

答數(shù)學(xué)推演

---------還原-----------

實際結(jié)果卜----------------數(shù)學(xué)結(jié)果

考點一、指數(shù)函數(shù)模型

典例引領(lǐng)

L(山東?高考真題)基本再生數(shù)Ro與世代間隔7■是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者

傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型:

/?)=e”描述累計感染病例數(shù)/(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,T近似滿足R0=l+”.有

學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的

時間約為(ln2=0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得=設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間

為％天，根據(jù)/8?+4)=218，，解得小即可得結(jié)果.

［詳解］因為&=3.28,T=6,4=1+憶,所以r=^49R^—1=0.38,所以/?)=e"=

6

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為「天，

則0。陷，+4)=2e03S,,所以e°購=2,所以0.3甑=In2,

b,、，In20.69,門-r-

所以％=---?----~1.8

10.380.38

故選：B.

【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用

/⑺表示從f=0開始，晶體管數(shù)量隨時間f變化的函數(shù)，/(0)=1000,若，是以年為單位，則/⑺的解析式

為()

A.7(0=1000+^^?B./(0=1000x2f

C./(f)=1000x21D.f(t)=1000+2'

【答案】C

【分析】根據(jù)題意晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，也就是晶體管數(shù)量每兩年增加一倍，可得/(，)為指數(shù)型函數(shù),

即可判斷.

【詳解】晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，也就是晶體管數(shù)量每兩年增加一倍，

根據(jù)時間，以年為單位，以及/(。)=1000，得/?)=1000x25.

故選：C.

3.(2024高三下?全國?專題練習(xí))小微企業(yè)是推進(jìn)創(chuàng)業(yè)富民、恢復(fù)市場活力、引領(lǐng)科技創(chuàng)新的主力軍，一直

以來，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實際還款比例尸

-0.968+Ax

與小微企業(yè)的年收入X(單位：萬元)的關(guān)系為「=裊；域M逅R).已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時,

其實際還款比例為50%,若銀行希望實際還款比例為40%,則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù):

ln3?1.0986,In2?0.6931）（）

A.46.49萬元B.53.56萬元C.64.43萬元D.71.12萬元

【答案】A

—0.968+Ax

【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計算函數(shù)尸=2^堿說伍eR）中參數(shù)上的值，然后計算還款比例為40%時的

值即可.

-0.968+80左

【詳解】由題意知50%=。煩+吶，化簡得片庫8+8。斤=1,

]+g―U.yoo+oUK

故-0.968+80左=0,得左=0.0121.

-0.968+0.012U0

0968+00121x

則當(dāng)尸=40%時，40%=0968+0。，,化簡得e--=-，

]+g-u.yoo+u.uizix3

兩邊同時取對數(shù)，W-0.968+0.0121x=ln2-ln3*-0.4055,得x：?46.49,

故當(dāng)實際還款比例為40%時，小微企業(yè)的年收入約為46.49萬元.

故選：A

即時檢測

1.（2024?湖南益陽?三模）二手汽車價位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計算車價位，即按照同

款新車裸車價格，第一年汽車貶值20%,從第二年開始每年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5

年的二手車，價格不超過8萬元.根據(jù)年限折舊法，設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價位是“（機(jī)?N）

萬，則加=（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，列出不等式，解之并取近似值，即得加的值.

4

【詳解】依題意，m（l-20%）（l-10%）<8,解得和《八。8=空等,

0.8x0.96561

貝加415.24,又加EN,則加=15.

故選：C.

2.（2024?廣東茂名?一模）G。切"加曲線用于預(yù)測生長曲線的回歸預(yù)測，常見的應(yīng)用有：代謝預(yù)測，腫瘤生

長預(yù)測，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測，工業(yè)產(chǎn)品的市場預(yù)測等，其公式為：/（x）=Z底（其中

k>Q,b>°,。為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長情況，發(fā)現(xiàn)a=e.

若x=l表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計明年（x=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么b的值為（e為自然數(shù)對

數(shù)的底數(shù)）（）

A.B.C.75-1D.V5+1

22

【答案】A

【分析】由。=6,得到/（x）=he〃，分別代入x=l、x=2,得到/⑴和〃2）的值，進(jìn)而得到

k/,

%=門2-=e,求解即可.

【詳解】由。=6,得到/（x）=h/，

，當(dāng)x=l時，/（l）=he"'；

當(dāng)x=2時,f（2）=keb.

依題意，明年（》=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，得：鼻=「'=e,

keb

yy——=1,B|JZ>2+-1=0,解得6=—1-#.

b2b2

,?,V5-1

?：b>0,:.b=-----.

2

故選：A.

3.（2024?四川德陽?三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合.已知某類

果蔬的保鮮時間M單位：小時）與儲藏溫度M單位：°C）滿足函數(shù)關(guān)系.y=eax+b（a,b.為常數(shù)），若該果蔬在

7冤的保鮮時間為288小時，在21K的保鮮時間為32小時，且該果蔬所需物流時間為4天，則物流過程中

果蔬的儲藏溫度（假設(shè)物流過程中恒溫）最高不能超過（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型建立方程組，再列出不等式即可求解.

Cla+b_^oo]]

【詳解】依題意，e2i型：32，貝1k""=§，即/"=§，顯然。<0，

設(shè)物流過程中果蔬的儲藏溫度為t℃,于是>96=3.e21a+6=e*"=e14a+i,

解得at+62144+6,因此tV14,

所以物流過程中果蔬的儲藏溫度最高不能超過14℃.

故選：A

考點二、對數(shù)函數(shù)模型

■典例引領(lǐng)

1.（2024?湖南長沙?三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級最早是由查爾斯?

里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為M=1朋-1乜，其中M表示某地地震的里氏震級，A

表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，4表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中,

某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002,則該地這次地震

的里氏震級約為（）（參考數(shù)據(jù)：吆2合0.3）

A.6.3級B.6.4級C.7.4級D.7.6級

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，得到N=lg5000-lg0.002,結(jié)合對數(shù)的運算法則，即可求解.

【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002,

0（）

可得M=lg5000-lg0.002=lg12|_lg2=4-lg2-（lg2-3）=7-21g2*6.4.

故選：B.

2.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測）青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常

用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)乙和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)「滿足￡=5+lg%.已

知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和5.0,記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為

匕匕，則?的值所在區(qū)間是（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，建立方程，結(jié)合對數(shù)運算求解即得.

【詳解】依題意，+怨，兩式相減得°6=恒匕7匕=3%

[4.5=5+lg?匕

解得*10"=布，所以&Ue（3,3.5）.

故選：D

3.（2023?全國?高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓

級4=20xlg旦，其中常數(shù)p°（A>0）是聽覺下限閾值，〃是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為口,2,2,則（）.

A.P\NPzB.22〉10〃3

C.P3=lOOpoD.Pl4100夕2

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可知與460,90],4e[50,60],4=40,結(jié)合對數(shù)運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知：Lpie[60,90],L?[50,60],4=40,

對于選項A：可得人-4=20xlgA_20xlg^=20xlgA）

PoPoPi

因為則4「4=20xlg△Z0,Bplg^>0,

PlPl

所以a且0e>0,可得PTP?,故A正確；

Pl

對于選項B：可得4-%=20*lg￡^-20xlg2=20xlg￡\

PoPoPi

因為4=4一40210,貝l）2°xlg及210,gplg^>1,

P3P32

所以旦2而且為2>0,可得02血以，

〃3

當(dāng)且僅當(dāng)4z=5°時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為乙/=20xlga=40,即1g匹=2,

PoPo

可得乙=100,即p3=100。。，故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：Lpt-Lp2=20xlgA；

Pl

且4-4490-50=40,貝|20xlg且W40,

12Pl

即1g且W2,可得包4100,且0,%>0,所以04100小，故D正確；

PlP1

故選：ACD.

即時便測

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測）物理學(xué)家本?福特提出的定律：在6進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以〃開頭的數(shù)出現(xiàn)的

概率為匕（〃）=log〃山，應(yīng)用此定律可以檢測某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯誤.根據(jù)此定律,

n

在十進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（）倍（參考

數(shù)據(jù)：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

【答案】c

【分析】根據(jù)題意，分別求得根⑴=lg2,分（9）=1-21g3,結(jié)合對數(shù)的運算法則，即可求解.

【詳解】由題意，以"開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為85）=iog%四，

n

可得/（1）=lg2,4（9）=lg^=lgl0-lg9=l-21g3,

故選：C.

2.（2024?江西?二模）核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴(kuò)增進(jìn)程

中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實時監(jiān)測，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時期，熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閥初始數(shù)值時，DNA

的數(shù)量X,與擴(kuò)增次數(shù)〃滿足lg1g（1+。）+lgX。，其中X。為DNA的初始數(shù)量，。為擴(kuò)增效率.已知某

被測標(biāo)本DNA擴(kuò)增16次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?0000倍，則擴(kuò)增效率P約為（）

（參考數(shù)據(jù)：10°2521.778,1（）425a0,562）

A.22.2%B.43.8%C.56.2%D.77.8%

【答案】D

【分析】由題意七=10000天，代入關(guān)系式，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系計算可得.

【詳解】由題意知，聯(lián)10000%）=16愴（1+2）+1%，

4

BPIglO+lgX0=161g（l+0+1%,即4=161g（l+p）,

所以lg（l+p）=；=0.25,貝lj1+p=10""=1.778,解得pa0.778=77.8%.

故選：D.

3.Q024?四川?模擬預(yù)測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現(xiàn)時速350km

自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小.如果用聲強(qiáng)/（單位：W/n?）表示聲音在傳播途

徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級工（單位：dB）與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為（=4坨（。/）,其中4為基

準(zhǔn)聲強(qiáng)級，。為常數(shù)，當(dāng)聲強(qiáng)/=此時，聲強(qiáng)級A=20dB.下表為不同列車聲源在距離20m處的聲強(qiáng)級：

a

聲源與聲源的距離（單位：m）聲強(qiáng)級范圍

內(nèi)燃列車20[50,80]

電力列車20[20,50]

高速列車20{1。}

設(shè)在離內(nèi)燃列車、電力列車、高速列車20m處測得的實際聲強(qiáng)分別為人,A/，則下列結(jié)論正確的是（）

A.4=30B.Z]>/2c.Z2>10/3D./1<100/2

【答案】B

【分析】根據(jù)聲強(qiáng)、聲強(qiáng)級之間的關(guān)系確定基準(zhǔn)聲強(qiáng)級4,即可判斷A；計算可得0/2大小關(guān)系,

即可判斷B,D；計算可得4/大小關(guān)系，即可判斷.

【詳解】對于A：因為聲強(qiáng)/=一時，聲強(qiáng)級Z=20dB,

a

所以￡=4炫丘-7]=20,解得4=20,故A錯誤；

對于B：因為2=20[lg(M)-lg(a/2)]=201g?N0,

t

所以721,即L24，故B正確;

A

對于c：4-A=20[lgH)-lgH)]=201g^>20-10=10,

I1i

所以十即/>|Q2y,故C不正確;

132-3

對于D,32=2Q[lg(fl/1)-lg(?Z2)]=201g^<80-20=60,

A

k

所以7W103,g|Hi<iooo/2,故D不正確.

A

故選：B.

考點三、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題

典例引領(lǐng)

1.（全國?高考真題）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國

航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊

聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星"鵲橋"，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點的軌道運行

4點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為地月距離為凡右點

到月球的距離為7?，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：

----T+T=(R+r)T.

(7?+r)2r2R3

3a3+3a4+

則的近似值為

因此在近似計算中：、:a3a3,r

(1+。)

必

B.I------KR

2M

電

D.A------K

3M

【分析】本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立"的方程，解方程、近似計算.題

目所處位置應(yīng)是“解答題"，但由于題干較長，易使考生"望而生畏"，注重了閱讀理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運

算求解能力的考查.

【詳解】由a=?，^r=aR

R

MM、跖

因為2

(2)2+請=(i瑞

MM,..、M,

所以+^^=(l+a)T

/?2(l+a)2a-R2R2

a'+3a4+3<z3

即-2-=6z2[(l+a)-(l+a產(chǎn)-3a3,

M(l+?)2

【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是復(fù)雜式

子的變形出錯.

2.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)人工智能^ArtificialIntelligence},英文縮寫為//.它是研究、開發(fā)用于模擬、

延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的技術(shù)科學(xué).人工智能研究的一個主要目標(biāo)是使

機(jī)器能夠勝任一些通常需要人類智能才能完成的復(fù)雜工作.在疫情期間利用機(jī)器人配送、機(jī)器人測控體溫等

都是人工智能的實際運用.某研究人工智能的新興科技公司第一年年初有資金5000萬元，并將其全部投入生

產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%,預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，

每年年底各項人員工資、稅務(wù)等支出合計1500萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第〃年年底企業(yè)

除去各項支出資金后的剩余資金為對萬元，第機(jī)(meN*)年年底企業(yè)的剩余資金超過21000萬元，則整數(shù)小

的最小值為.(lg2?0.3010;lg3?0.4771)

【答案】6

a

【分析】由題意中的遞推，得證數(shù)列｛。.-3000｝是以3000為首項，；為公比的等比數(shù)列，求出通項后解不

等式勺＞21000即可.

【詳解】由題意得，%=5000(1+50%)-1500=7500-1500=6000,an+l=(1+50%)-1500=--1500.

3

即4+1—3000=3(%—3000),4+「3000a(%-3。。。)二3,

2%-3000%-30002

n-\

a3

數(shù)列｛?！?3000｝是以3000為首項，5為公比的等比數(shù)列，即-3000=3000x

4=3000x(|]+3000>21000,

,,,lg6Ig2+lg30.3010+0.47710.7781，

m-l>log.6==————x---------------------=---------?4.42

1Ig3-lg20.4771-0.30100.1761m>6,

g2

所以加的最小值為6.

故答案為：6.

即時

1.(2024?重慶?二模)英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯(1883-1946)研究了國民收入支配與國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間的關(guān)系,

強(qiáng)調(diào)政府對市場經(jīng)濟(jì)的干預(yù)，并形成了現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個重要學(xué)派一凱恩斯學(xué)派.機(jī)恩斯抽象出三個核

心要素：國民收入y,國民消費c和國民投資/,假設(shè)國民收入不是用于消費就是用于投資，就有：

L=a+qy.其中常數(shù)旬表示房租、水電等固定消費，為國民"邊際消費傾向".則l)

A.若固定/且/20,則國民收入越高，"邊際消費傾向“越大

B.若固定y且丫則"邊際消費傾向"越大，國民投資越高

C.若。=］，則收入增長量是投資增長量的5倍

D.若。=-］4，則收入增長量是投資增長量的21

【答案】AC

【分析】利用已知可得。=1-亥盧，可判斷A；由/=丫-八。-4，可判斷B；若。=^,可得￥=54+5/，

由導(dǎo)數(shù)的意義可判斷C；同理可判斷D.

Y=C+I

【詳解】由題意可得固定/且/20,又kV，所以￥=/+?￥+/,

［C=aQ+aY

所以。=1-f,由于為,/為定值，所以可得y增大時（國民收入越高），

。增大（"邊際消費傾向"越大），故A正確；

由上可得/=/-八4-&,%/為定值，故。增大，/減?。ㄍ顿Y越?。?，故B錯誤；

4

若。=5，由丫=旬+。丫+/,可得丫=54+5/，

由導(dǎo)數(shù)的定義可得A當(dāng)y=5,所以可得收入增長量是投資增長量的5倍，故C正確；

同C項討論可得若〃=-4],可得9y=5%+5],因此收入增長量是投資增長量的15倍，故D錯誤.

故選：AC.

2.（2024?北京朝陽?二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^pCSv2,其中。是

空氣密度，S是該飛行器的迎風(fēng)面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)（其大小取決

于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率尸=戶.當(dāng)。,5不變，v比原來提高

10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則尸比原來提高不超過30%

B.若C不變，則尸比原來提高超過40%

C.為使尸不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

【答案】C

I2P

【分析】由題意可得尸=C=/,結(jié)合選項，依次判斷即可.

I12P

【詳解】由題意，f=~pCSv2,P=Jv,所以夕=22CSv=。=兩7，

A：當(dāng)「上，。不變，V比原來提高10%時，

則耳=；pCS（l+10%）3v3=1pC5（l.l）3v3=1.33-|pCSv3,

所以尸比原來提高超過30%,故A錯誤；

B：由選項A的分析知，4=1.33.

所以尸比原來提高不超過40%,故B錯誤；

2P2P2P

C：當(dāng)P不變，V比原來提高10%時，G=E=I3V=a75.市，

所以C比原來降低不超過30%,故C正確；

D：由選項C的分析知，C比原來降低不超過30%,故D錯誤.

故選：C

IN.好題沖關(guān)

，基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測）研究表明，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級初之間的

關(guān)系為12=4.8+1.5".2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發(fā)生了里氏5.7級地震，所釋放的能量

記為4,2024年1月13日在湯加群島發(fā)生了里氏5.2級地震，所釋放的能量記為則比值察的整數(shù)部分

E1

為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】由對數(shù)運算性質(zhì)可得坨魯，進(jìn)而可得答，結(jié)合5’<1000<6,可得結(jié)果.

七2E2

E

【詳解】由已知得1%=4.8+L5x5.7,l班2=4.8+L5X5.2,所以丹65><0.5=0.75,

所以旦=10°75=101=班麗，

因為5,<1000<63所以5<正麗<6,

所以察=加麗45,6）.

故選：B.

2.（2024?北京昌平,二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，某種

綠茶用90T的水泡制，再等到茶水溫度降至60冤時飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20K室溫下，茶水溫度從

90。（2開始，經(jīng)過/min后的溫度為胃C,可選擇函數(shù)了=60x0.9,+20“20）來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化

的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（）

（參考數(shù)據(jù)：但2。0.30,lg3ao.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

【答案】B

2

【分析】令60x09+20=60,則09=§,兩邊同時取對將lg2a0.30,lg3。0.48代入即可得出答案.

【詳解】由題可知，函數(shù)>=60x09+20（/20）,

2

令60x09+20=60,貝1」09=晨

29

兩邊同時取對可得：lg0.9'=lg],即小布,（21g3-l）=lg2-lg3,

Ig2-lg30.30-0.480.18一

即"-------b--------------=------=4.5mm.

21g3-l2x0.48-10.04

故選：B.

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）若一段河流的蓄水量為v立方米，每天水流量為《立方米，每天往這段河流

排水廠立方米的污水，則，天后河水的污染指數(shù)加（。=：+」（加。為初始值，OTo>°）.現(xiàn)有一條被

污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當(dāng)前的污染指數(shù)為初始值，若從現(xiàn)在開始停止排污水，要

使河水的污染指數(shù)下降到初始值的;，需要的天數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：ln7,1.95）（）

A.98B.105C.117D.130

【答案】C

1I

【分析】由已知化簡函數(shù)式得加⑺=m°e「蘇，再利用約》天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的]，可得方

程加2表'=；%,然后兩邊取對數(shù)得=ln1,最后利用已知的對數(shù)值可計算得到結(jié)果.

【詳解】由題意可知：r=0,y=60,所以機(jī)=me

ko

1-L1

設(shè)約/天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的,，即機(jī)聲6。t="人,

所以磊/=lngn/=601n7w60xl.95=117,

故選：C.

4.（2024?四川涼山?三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物含量了（單位:

mg/L）與過濾時間，小時的關(guān)系為〉=y°e-"（%,。均為正的常數(shù)）.已知前5小時過濾掉了10%污染物，

那么當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過（）（最終結(jié)果精確到lh,參考數(shù)據(jù)：皎2。0.301,lg3?0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

【答案】D

【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數(shù)。，即可解出.

【詳解】??,廢氣中污染物含量丁與過濾時間t小時的關(guān)系為y=，

令t=0,得廢氣中初始污染物含量為y=%,

又???前5小時過濾掉了10%污染物，

,_9_112

.?.（1-10%）為=鄧口，則lnw_,

Cl———

55

.,.當(dāng)污染物過濾掉50%時，（1-50%）為二%e%,

_2_ln2_51n2_51g2_51g2

則ml,/二一丁一廷一康一E~33h

99

.??當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過33-5=28h.

故選：D.

5.（2024?江西?模擬預(yù)測）酒駕最新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：100ml血液中酒精含量達(dá)到20mg的駕駛員即為酒后駕車，達(dá)

到80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為1.2mg/ml,從此刻起停止飲酒，血

液中酒精含量會以每小時25%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：

lg2ao.301,lg3a0.477）（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數(shù)求出答案.

【詳解】由1.2（1-25%）'<0.2.即<：,兩邊取對數(shù)可得，

，工^^J2+lg33=6.224,

[3Ig3-lg421g2-lg30.125

4

故至少經(jīng)過7個小時才能駕駛.

故選：B

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）某農(nóng)業(yè)研究所對玉米幼穗的葉齡指數(shù)火與可見葉片數(shù)x進(jìn)行分析研究，其關(guān)系可

以用函數(shù)尺=15產(chǎn)為常數(shù)）表示.若玉米幼穗在伸長期可見葉片為7片，葉齡指數(shù)為30,則當(dāng)玉米幼

穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時，可見葉片數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：In2ao.7,ln5.5”1.7）

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】利用函數(shù)R=15e",由題意已知x=7,R=30,求出待定系數(shù)。合0.1,再用尺=82.5,去求解

x?17,當(dāng)然這里面有取自然對數(shù)及取值計算.

【詳解】由題意知30=15e7",.*"=2,則等式兩邊同時取自然對數(shù)得7a=ln230.7,0.1,

7?=15eou.82.5=15e01x,eou=5.5,O.lx=ln5.5?1.7,x?17,

故選：C.

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五

分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)上和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)「滿足乙=5+1g%.已知小

明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9,記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為匕，匕，

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出釬河，根據(jù)2.5屋98<100<3=243得至U河42.5,3）.

【詳解】依題意+空，兩式相減可得，04=lg%-lgk1g叁，

[4.5=5+lg匕匕

^^=10°-4=V100,而2.5~98<100<35=243,故e（2.5,3）.

故選：C.

8.（2024?江蘇?模擬預(yù)測）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解,

例如，地震時釋放的能量￡（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+L5W.2OO8年5月12

日我國汶川發(fā)生里氏8.0級地震，它所釋放出來的能量是2024年4月3日我國臺灣發(fā)生里氏7.0級地震的

（）倍

A.1B.C.IO15D.1048

【答案】C

【分析】由題意分別求得震級"=8.0和M=7.0時的釋放的能量，進(jìn)而求得兩次地震釋放的能量比.

【詳解】設(shè)里氏震級M=8.0時釋放的能量為6,里氏震級M=7.0時釋放的能量為當(dāng)，

貝！|坨4=4.8+1.5x8=16.8,lg￡2=4.8+1.5x7=15.3,

153

所以&=1038,E2=10-,

所以且=1（）683=1015,

E1

即2008年5月12日汶川地震釋放出的能量是2024年4月3日我國臺灣發(fā)生的地震釋放的能量的103倍，

故選：C.

9.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測）從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量。

（單位：L）與速度v（單位：km/h）（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（）

A.Q=0.5'+aB.Q=av+b

32

C.Q^av+bv+cvD.Q=kiog,av+b

【答案】C

【分析】作出散點圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.

【詳解】作出散點圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域為［0,120］；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位

增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點.

A選項：函數(shù)。=05+。在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯誤；

B選項：函數(shù)0=如+6的單位增長率恒定不變，故B錯誤；

C選項：0=?3+加2+”滿足上述三點，故C正確；

D選項：函數(shù)。=8og/+6在v=0處無意義，D錯誤.

故選:C

~O20406080160120140160X

10.（2024?寧夏銀川?一模）鋰電池在存放過程中會發(fā)生自放電現(xiàn)象，其電容量損失量隨時間的變化規(guī)律為

Q=ktp,其中。（單位mAh）為電池容量損失量，0是時間/的指數(shù)項，反映了時間趨勢由反應(yīng)級數(shù)決定,

左是方程剩余項未知參數(shù)的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態(tài)"等自放電影響因素有關(guān).以某種品牌鋰

電池為研究對象，經(jīng)實驗采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后獲得。=06,相關(guān)統(tǒng)計學(xué)參數(shù)斤＞0.995,且預(yù)測值與實際值

誤差很小.在研究M對。的影響時，其他參量可通過控制視為常數(shù)，電池自放電容量損失量隨時間的變化

規(guī)律為。=n'=e⑷的〃，經(jīng)實驗采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后獲得4=2.228,8=1.3,相關(guān)統(tǒng)計學(xué)參數(shù)々=0.999,

且預(yù)測值與實際值誤差很小.若該品牌電池初始荷電狀態(tài)為80%,存放16天后，電容量損失量約為（）

（參考數(shù)據(jù)為：e322工25.08,e3232?25.33,e3-265?26.26,e3628?37.64）

A.100.32B.101.32C.105.04D.150.56

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，得到0=/228心?產(chǎn)，將M=80%=0.8,"16,結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)加以計算，即可

得到存放16天后電容量損失量近似值.

【詳解】根據(jù)題意，可得p=0.5,/=2.228,8=1.3,