函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易混易錯(cuò)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

(2)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)——2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易混易錯(cuò)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一'選擇題

1.設(shè)a=Iog2().3,6=log[0.4,C=0.4°3,則a,b,c的大小關(guān)系為().

2

A.a<b<cB.c>a>bC.b<c<aD,a<c<b

e%x<0

2.已知函數(shù)/(%)=|'—'g(%)=/(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范

Inx,x>0,

圍是()

A.[-l,0)B.[0,+oo)C.[-l,+oo)D.[l,+oo)

3.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,且/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，貝1]()

A./MVOB./(-l)=0C./(2)=0DJ(4)=。

4.函數(shù)/(x)=-必+金―尸卜inx在區(qū)間[-2.8,2.8]的圖象大致為()

5.已知定義在R上的函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),且滿足/(%)-/(x)>0,則不等式

e4f(3x-4)>e2V(%)的解集為()

A.(2,+oo)B.(e,+oo)C.(-co,e)D.(-oo,2)

6.已知函數(shù)/(%)=加-2x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)X1,x2,且不等式

/(玉)+/(%2)<%+*2+，恒成立，則實(shí)數(shù)f的范圍是()

A.[-1,HH?)B.[-5,+OO)C.[2-2In2,+oo)D.[l-ln2,+<?)

二、多項(xiàng)選擇題

7.中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩

個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美.

定義：圓。的圓心在原點(diǎn)，若函數(shù)的圖象將圓。的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分，則

這個(gè)函數(shù)稱為圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”.下列說法正確的有()

A.對(duì)于圓。，其“太極函數(shù)”只有1個(gè)

2

B.函數(shù)y(x)=*：尤，*"°，是圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”

—x-%,x<0

C.函數(shù)y(x)=V-3x是圓。的“太極函數(shù)”

D.函數(shù)/(x)=ln卜層1+X)是圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”

三、填空題

8.函數(shù)/(x)=xlnx-"2+x(aeR)的圖像在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)

坐標(biāo)為.

4尤尤<］

9.已知〃>0,且awl,函數(shù)/(九)='一'若函數(shù)/(%)在［0,2］上的最大值比最

-x+a,x>l.

小值大3,則。的值為.

2

四、解答題

10.已知函數(shù)/(x)=(x-l)2|x-a|.

(1)若a=0,討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若a?0,求/(x)在［2,3］上的最小值8(”)，并判斷方程g(a)=的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù).

參考答案

1.答案：D

解析：因?yàn)镮og2().3<log21=0,所以。<0,因?yàn)?/p>

logj0.4=-log,0.4=log2—>log22=1,所以Z?〉l.

I2

因?yàn)?<0.4°3<0.4°=1,所以0<c<l,所以a<c<7.

2.答案：C

解析：???函數(shù)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，.?.函數(shù)y=/(x)的圖象與y=-x-a的圖象有2個(gè)交

點(diǎn).如圖，平移直線,=—%,可以看出當(dāng)且僅當(dāng)-aWl即1時(shí)，直線y=—x—a與

y=/(%)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).故選C.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(-x+2),則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于

直線％=2對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)/(2x+l)是奇函數(shù)，所以/(-2x+l)=-/(2%+1),則

/(—2x+l)+/(2x+l)=0,即/(x)+/(2-x)=0,所以41)=0,且函數(shù)/(x)的圖象關(guān)

于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱.又于(X)=/(4—x)=-f[2—(4—x)]=-f(x-2),則f(x+2)=-f(x),所

以/(x+4)=—/(x+2)=f(x),所以/⑴=/(l+4)=/(5)=0.又函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直

線光=2對(duì)稱，所以/(5)=/(4—5)=/(—1)=0,故選B.

4.答案：B

解析：由題知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

/(-%)=-(-%)2+(e-*-e，sin(-x)=-x2+(eT-e-xbinx=/(%),所以函數(shù)/(x)為偶函

數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除A,C；

y(l)=-1+1e—|sinl>—1+1e—|sin—=-1H--------->0,排除D.故選B.

ke/\e/622e

5.答案：A

解析：令g(x)=/<2,則g，(x)J00-"x)>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

ee*

由e4/(3x—4)〉e2"(x),得"可丁)>華,即g(3x—4)>g(x)，

ee

又g(x)在R上單調(diào)遞增，所以3x-4>x,解得x>2,

即不等式e4f(3x-4)>e2V(x)的解集為(2,+s).故選A.

6.答案：B

解析：尸⑺=2。/—2》+1.〉0),

X

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ov2-2x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)』,々，

所以方程2加—2x+l=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，

A=4—8a>0

于是有西+%2=一〉0,彳導(dǎo)0<Q<一.

a2

xx=—>0

,1}2o2a

因?yàn)椴坏仁?(%)+"%)<%+%2+〃恒成立，所以/(石)++/)〈/恒成立?

/(x1)+/(x2)-xl—x2二端一2石+lnx+渥-2X2+lnx2—%-x2

=a(項(xiàng)+々)2—2%]%2—3(%+%2)+ln(%％2)

:----1一In2〃，

a

設(shè)〃⑷=---1-ln2a\G<tz<—\"(a)=]；>0,故介⑷在。<a<，上單調(diào)遞

CLI2)d2

土的

故Ma)<?[=-5,所以摩-5.因此實(shí)數(shù)/的取值范圍是[-5,+8).故選：B

7.答案：BD

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，圓。的“太極函數(shù)”不止1個(gè)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=<Xj3X一0，當(dāng)X〉0時(shí)，/(-x)=-X2+%=-/(%),當(dāng)尤<0

—x—x,x<0,

時(shí)，f(-x)-x~+x--/(%),

故/(x)為奇函數(shù)，畫出函數(shù)/(X)的簡(jiǎn)圖如圖所示，可知函數(shù)/(X)為圓。的一個(gè)“太

極函數(shù)”，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(-X)=-x3+3x=-/(x),也是奇函數(shù)，畫出函數(shù)

/(x)的簡(jiǎn)圖如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)圖象與圓。只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，/(幻為圓。的一

個(gè)“太極函數(shù)”，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)镽,

/(-x)=In(Vx2+1-x)=In,—---=-+1+x)=-/(x),故為奇函數(shù)，

''Jf+1+x')

y=lnx,y=\/x2+1,y=x在(0,+oo)上均單調(diào)遞增，所以/(九)=ln(J尤?+1+無)在R

上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)/(x)的簡(jiǎn)圖如圖所示，可知函數(shù)/(x)=ln卜m+x)是圓。

的一個(gè)“太極函數(shù)”，故D正確.

故選BD.

解析：由題意，知/⑴=lxlnl-axF+i=i—。，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1—a).又

廣(x)=Inx+1-2依+1,所以函數(shù)/(x)的圖像在點(diǎn)(1,7(1))處的切線的斜率為

/⑴=lnl+l-2axi+1=2-2a,所以函數(shù)/(x)的圖像在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為

_［J

y_(1—a)=(2—2a)(x—1),即a(l—2x)+2x—1—y=0.令＜ri2x=0解得＜2所以

,⑶―1—y=0,卜=0.

切線恒過定點(diǎn)

9.答案：!或Z

22

解析：易知當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)/⑴在［0,2］上單調(diào)遞減，

=/(0)=1-/(》)皿=/(2)=?！?，

.?.1-(?-2)=|,解得a=g.

當(dāng)a＞l時(shí)，/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，在(1,2］上單調(diào)遞減，

二/(x)max=/(I)=。?又/(。)=1，/(2)=a—2，

.?.當(dāng)a-221,即a?3時(shí)，/(%焉=/(0)=1,

a—1=—,解得a=Z.

22

當(dāng)l＜a＜3時(shí)，/⑴而"/⑵:”？，

S］、7

=5無解.綜上，a=——.

10.答案：⑴/(X)在(-8,0)和D上單調(diào)遞減，在［o,j和(L+O))上單調(diào)遞增

(2)方程g(a)=gq3只有i個(gè)實(shí)數(shù)根

解析：⑴若a=0,則/(x)=(x-l)2|x|.

當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)=(x-l)2x=x3-2x2+x,

貝IJ尸(x)=3——4x+1=(x—1)(3%-1),

所以當(dāng)時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)和xe(l,+8)時(shí)，f'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增.

當(dāng)％<0時(shí)，/(x)=-(x-l)2x=-x3+2%之-x,

貝I］/⑴=-3x2+4%一1=—(九一1)(3元-1)<0,所以/(%)在(-oo,0)上單調(diào)遞減.

綜上，/⑴在(-8,0)和gl］上單調(diào)遞減，在和(1,5上單調(diào)遞增.

(2)由2JW3得(I->0,

若2WaW3,則當(dāng)2GW3時(shí)，/(》濡=/⑷=g(a)=0.

若0Wa<2,則當(dāng)2WxW3時(shí)，/(x)=(x-1)2(%-?),

f\x)=2(x-l)(x-a)+(x-Ip=(x-l)(3x-2?-l)>0,

所以/(x)在［2,3］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)2W九W3時(shí)，/(x)mta=/(2)=g(a)=2—a.

若a>3,貝！I當(dāng)2WxW3時(shí),f{x}=(%-l)2(a-x),

f'(x)=2(x-l)(a-x)-(x-l)2=(x-l)(2?+l-3x),

當(dāng)3<a<4時(shí)，貝ijZ<^^<3,

33

當(dāng)手，/⑴單調(diào)遞增，當(dāng)日等h］時(shí)，小)<。一⑴

單調(diào)遞減，

/(2)=a—2，/⑶=4a—12,/⑶一/⑵=3a—10,

當(dāng)3<a<，時(shí)，/⑶</(2)，g(a)=/(3)=4a—12，

當(dāng)時(shí)，/⑶2/(2)，g(a)=〃2)=a—2,

當(dāng)a?4時(shí)，2a+l—3x20