相交線(xiàn)與平行線(xiàn)（解析版）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練

專(zhuān)題18相交線(xiàn)與平行線(xiàn)

一、垂線(xiàn)及垂線(xiàn)段最短

【高頻考點(diǎn)精講】

1、垂線(xiàn)定義：當(dāng)兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直，其中一條直線(xiàn)叫

做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

2、垂線(xiàn)性質(zhì)：在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。

3、垂線(xiàn)段最短

（1）垂線(xiàn)段：從直線(xiàn)外一點(diǎn)引一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，這點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做垂線(xiàn)段。

（2）涉及線(xiàn)路最短問(wèn)題時(shí)，從“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”和“垂線(xiàn)段最短”中選擇方案。

【熱點(diǎn)題型精練】

1.（2022?威海中考）圖1是光的反射規(guī)律示意圖.其中，P。是入射光線(xiàn)，是反射光線(xiàn)，法線(xiàn)KOLMN,ZPOK

是入射角，ZKOQ是反射角，NKOQ=ZPOK.圖2中，光線(xiàn)自點(diǎn)尸射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）

A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)、

解：根據(jù)直線(xiàn)的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線(xiàn)OK,如下圖所示：

圖2

根據(jù)圖形可以看出是反射光線(xiàn)，

答案：B.

2.（2022?河南中考）如圖，直線(xiàn)AB,CD相交于點(diǎn)O,EOLCD,垂足為O.若Nl=54°,則N2的度數(shù)為（）

A.26°B.36°C.44°D.54°

解：VEOXCD,

：.ZCOE=90°,

VZ1+ZCOE+Z2=180°,

AZ2=180°-Z1-ZCOE=180°-54°-90°=36°.

答案：B.

3.（2022?瀘州中考）如圖，直線(xiàn)a〃b,直線(xiàn)c分別交〃，b于點(diǎn)A,。，點(diǎn)3在直線(xiàn)b上，AB±AC,若Nl=130°,

C.50°D.70°

???直線(xiàn)4〃。，

AZ1=ZDAC,

VZl=130°,

：.ZDAC=130°,

又TABJ_AC,

：.ZBAC=90°,

N2=ZDAC-ZBAC=130°-90°=40°.

答案：B.

4.（2022?張家口模擬）如圖，NO=40°,點(diǎn)。在05上，CDLOA,則N3OC=()

A.50°B.45°C.40°D.不能確定

解：延長(zhǎng)交04于點(diǎn)E,如圖,

A

CD\\E

O

則根據(jù)題意，ZBDC=ZODE=90°-40°=50°,

答案：A.

5.（2022?常州中考）如圖，斑馬線(xiàn)的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路.小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)

斑馬線(xiàn)更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A.垂線(xiàn)段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)

C.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直

D.過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行

解：小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線(xiàn)更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線(xiàn)段最短，

答案：A.

6.（2022?商丘模擬）如圖，河道/的同側(cè)有A,8兩個(gè)村莊，計(jì)劃鋪設(shè)一條管道將河水引至A,8兩地，下面的

四個(gè)方案中，管道長(zhǎng)度最短的是（）

------------------------------1

q--------BBB

">—

1

A.—4-------------1B.--------------1C----------------------1D.-----------------------1

解：四個(gè)方案中，管道長(zhǎng)度最短的是艮

答案：B.

7.（2022?保定模擬）如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)/外一點(diǎn),PQU,垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)T是直線(xiàn)/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)尸T,

貝4（）

A.PT，2PQB.PTW2PQC.PT^PQD.PTWPQ

解：點(diǎn)T是直線(xiàn)/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PT,

：.PT^PQ,

答案：C.

8.（2022?銅仁模擬）體育課上為了測(cè)量同學(xué)們的跳遠(yuǎn)成績(jī)，將尺子拉直與踏板邊沿所在直線(xiàn)垂直，量取最近的腳

印與踏板邊沿之間的距離從而得出該同學(xué)的成績(jī)，其所用的數(shù)學(xué)原理是垂線(xiàn)段最短.

解：為了測(cè)量同學(xué)們的跳遠(yuǎn)成績(jī)，將尺子拉直與踏板邊沿所在直線(xiàn)垂直，量取最近的腳印與踏板邊沿之間的距離

從而得出該同學(xué)的成績(jī)，其所用的數(shù)學(xué)原理是垂線(xiàn)段最短，

答案：垂線(xiàn)段最短.

二、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)

【高頻考點(diǎn)精講】

1、平行線(xiàn)的判定定理

定理1：兩條直線(xiàn)被第三條所截，若同位角相等，則兩條直線(xiàn)平行。（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）

定理2：兩條直線(xiàn)被第三條所截，若內(nèi)錯(cuò)角相等，則兩條直線(xiàn)平行。（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）

定理3：兩條直線(xiàn)被第三條所截，若同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，則兩條直線(xiàn)平行。（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行）

定理4：兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，則兩條直線(xiàn)平行。

定理5：在同一平面內(nèi)，若兩條直線(xiàn)同時(shí)垂直于同一條直線(xiàn)，則兩條直線(xiàn)平行。

2、平行線(xiàn)的性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，同位角相等。（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）

定理2：兩條平行線(xiàn)被地三條直線(xiàn)所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）

定理3：兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

【熱點(diǎn)題型精練】

9.（2022?鹽城中考）小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖所示，則NABC與/。EF的關(guān)系是（)

,A

A.互余B.互補(bǔ)C.同位角D.同旁?xún)?nèi)角

解：如圖,

過(guò)點(diǎn)G作GH//ED,

,JBC//ED,

J.ED//GH//BC,

ZABC=ZAGH,ZDEF=ZHGF,

'：ZHGF+ZAGH^90°,

ZABC+ZDEF^90°

.../DEB和/ABC互余,

答案：A.

10.（2022?臺(tái)州中考）如圖，已知/1=90°,為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（）

鐵軌II□□II□I□□□I

鐵軌??????177?Illir????????

1r

枕木枕木

A.N2=90°B.N3=90°C.N4=90°D.Z5=90°

解：A.由/2=90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.由N3=90°=Z1,可判定兩枕木平行，故該選項(xiàng)不符合題意;

C.VZ1=9O°,Z4=90°,

.-.Z1=Z4,

...兩條鐵軌平行，故該選項(xiàng)符合題意；

D.由/5=90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項(xiàng)不符合題意;

答案：C.

11.（2022?深圳中考）一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則N1的度數(shù)為（)

解：如圖，ZACB=45°，N尸=30°，

A

：.ZDCB=ZF=30°,

AZ1=45°-30°=15°,

答案：C.

12.（2022?濰坊中考）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面A8與CD平行，入射光線(xiàn),與出

射光線(xiàn)機(jī)平行.若入射光線(xiàn)/與鏡面A5的夾角Nl=40°10、則N6的度數(shù)為（）

A.100°40'B.99°801C.99°40'D.99°20'

解：;入射角等于反射角，Zl=40°10\

???N2=N1=4O0101,

VZl+Z2+Z5=180°,

.'.Z5=180°-40°101-40°1O'=99°40',

???入射光線(xiàn)/與出射光線(xiàn)m平行，

???N6=N5=99°40,.

答案：C.

13.（2022?長(zhǎng)沙中考）如圖，AB//CD,AE//CF,ZBAE=15°，則NOC廠(chǎng)的度數(shù)為（

BDEF

C.75D.105

'：AB//CDf

：.ZDGE=ZBAE=15°,

VAE//CF,

:?/DCF=/DGE=75°,

答案：C.

14.（2022?東營(yíng)中考）如圖，直線(xiàn)?！◤囊粋€(gè)三角板的直角頂點(diǎn)在直線(xiàn)。上，兩直角邊均與直線(xiàn)b相交，Zl=40°,

則N2=()

C.60°D.65°

解：如圖:

Zl+Z3+Z4=180°，

.*.Z3=180°-90°-40°=50°，

二直線(xiàn)

???N2=N3=50°.

答案：B.

15.(2022?南通中考)如圖，a//b,Z3=80°,Z1-Z2=20°,則N1的度數(shù)是()

1

a

b，

A.30°B.40°C.50°D.80°

解：如圖：

,:a〃b,

???N1=N4,

???N3是△ABC的一個(gè)外角，

???N3=N4+N2,

VZ3=80°,

???N1+N2=8O°,

VZ1-Z2=20°,

A2Z1+Z2-Z2=100°,

AZ1=50°,

答案：C.

16.（2022?威海中考）如圖，在方格紙中，點(diǎn)P,Q,M的坐標(biāo)分別記為（0,2）,（3,0）,（1,若MN〃PQ,

則點(diǎn)N的坐標(biāo)可能是（）

解：如圖所示,

MN//PQ,

：.N（4,2）.

答案：C.

17.（2022?宜昌中考）如圖，。島在A島的北偏東50°方向，。島在5島的北偏西35°方向，則NAC5的大小是

85°.

J.AD//CF//BE,

：.ZACF=ZDAC,/BCF=/EBC,

：.ZACB=ZACF+ZBCF=ZDAC+ZEBC,

由C島在A島的北偏東50°方向，C島在5島的北偏西35°方向，得

ZDAC=50°,ZCBE=35°.

ZACB=500+35°=85°,

答案：85°.

18.（2022?阜新中考）一副三角板如圖擺放，直線(xiàn)則Na的度數(shù)是15°

D

解：如圖:

E,

CD

由題意得：

NE尸￡)=90°,ZFDE=45°,Z￡Z)C=30°,

'：AB//CD,

：.ZAFD+ZFDC=180°,

：.Za=180°-ZEFD-ZFDE-ZEDC

=180°-90°-45°-30°

=15°,

答案：15°.

19.(2022?棗莊中考)光線(xiàn)在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射.如圖，水面

AB與水杯下沿C。平行，光線(xiàn)EF從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線(xiàn)變成點(diǎn)G在射線(xiàn)EF上，已知/"EB

=20°,ZFED=45°,則/GFH的度數(shù)為25°.

：.ZGFB=ZFED=45°.

:NHFB=20°,

：.ZGFH=ZGFB-ZHFB=45°-20°=25°.

答案：25。.

20.(2022?武漢中考)如圖，在四邊形A8C。中，AD//BC,ZB=80°.

(1)求/BAD的度數(shù)；

(2)AE平分NR4。交BC于點(diǎn)E,ZBCD=50°.求證：AE//DC.

(1)解：\'AD//BC,

.,.ZB+ZBAD=180°,

VZB=8O0,

/.ZBAD=100°；

（2）證明：：人E平分NBA。,

：.ZDAE=5Q°,

'：AD//BC,

：.ZAEB=ZDAE=50°,

VZBCD^50°,

：./AEB=ZBCD,

C.AE//DC.

三、平行線(xiàn)間的距離

【高頻考點(diǎn)精講】

1,平行線(xiàn)之間的距離：從一條平行線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫兩條平行線(xiàn)之間的距離。

2、平行線(xiàn)間的距離處處相等。

【熱點(diǎn)題型精練】

21.（2022?杭州模擬）如圖，直線(xiàn)“〃/2,其中尸在上，A、B、C、。在八上，且尸8，及，則/1與/2間的距離是

B.線(xiàn)段PB的長(zhǎng)度

C.線(xiàn)段PC的長(zhǎng)度D.線(xiàn)段PD的長(zhǎng)度

解：兩條平行線(xiàn)中，一條直線(xiàn)上的任意一個(gè)點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做這兩條平行線(xiàn)間的距離,

所以人與/2間的距離是線(xiàn)段PB的長(zhǎng)度.

答案：B.

22.（2022?廊坊模擬）如圖，直線(xiàn)AB〃CQ,P是上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P的位置變化時(shí)，三角形尸。的面積將（）

B.變小

C.不變

D.變大變小要看點(diǎn)尸向左還是向右移動(dòng)

解：設(shè)平行線(xiàn)AB、間的距離為/?,

1

則SSCD=^CD'h,

長(zhǎng)度不變，/z大小不變，

三角形的面積不變.

答案：C.

23.（2022?衡水模擬）如圖，已知直線(xiàn)a〃從點(diǎn)A、B、C在直線(xiàn)。上，點(diǎn)、E、產(chǎn)在直線(xiàn)6上，AB=EF=2,若

△CEF的面積為5,則的面積為（）

A.2B.4C.5D.

解：?.?直線(xiàn)a〃6,點(diǎn)A、B、C在直線(xiàn)a上，

.:點(diǎn)D到直線(xiàn)a的距離與點(diǎn)C到直線(xiàn)B的距離相等.

又,；AB=EF=2,

...△CEF與△AB。是等底等高的兩個(gè)三角形，

?.SAABD=SACEF=5,

答案：C.

24.（2022?銅仁模擬）設(shè)AB,CD,是同一平面內(nèi)三條互相平行的直線(xiàn),已知AB與CD的距離是12c7”,EF與

CD的距離是5cm,則AB與EF的距離等于7或17cm.

解：分兩種情況：

①當(dāng)EF在AB,C。之間時(shí)，如圖：

A----------------------B

E---------------------F

C----------------------D

'：AB與CD的距離是12cm,EF與CD的距離是5cm,