浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊同步講義：垂徑定理（學(xué)生版+解析）

第12課垂徑定理

號目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握垂徑定理及其逆定理.

2.會運(yùn)用垂徑定理及其逆定理解決些簡單的幾何問題.

視知識精講

知識點(diǎn)01垂徑定理

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

2.定理的條件和結(jié)論.

條件：①直徑；②垂直于弦

結(jié)論：①平分弦；②平分弧

知識點(diǎn)02垂徑定理的逆定理

逆定理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.

逆定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦.

能力拓展

考點(diǎn)01垂徑定理及其逆定理

【典例1】如圖，在。。中，AB,AC是互相垂直且相等的兩條弦，OELAC,垂足分別為。、E.

（1）求證：四邊形ADOE是正方形；

（2）若AC=2c〃z,求。。的半徑.

B

【即學(xué)即練1］如圖，AB是。。的直徑，BC是弦,OOL8C于點(diǎn)￡,交圓于點(diǎn)。，連接AC、BD.

（1）請寫出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論；

（2）若BC=8,ED=2,求OO的半徑.

考點(diǎn)02垂徑定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例2】《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并

稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，

深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深

為1寸，鋸道48=1尺（1尺=10寸），求該圓材的直徑.

【即學(xué)即練2】如圖，一圓弧形橋拱的圓心為E,拱橋的水面跨度AB=80米，橋拱到水面的最大高度。尸

為20米.求：

（1）橋拱的半徑；

（2）現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度為一米.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，點(diǎn)A是O。上一點(diǎn)，連接。4.弦BCLOA于點(diǎn)。.若。。=2,AD=1,則BC的長為（）

A.2-75B.4c.2V3D.2V2

2.如圖，AB是OO的直徑，弦C￡）_LA3,垂足為E,若BE=CD=8,則O。的半徑的長是（

A.5B.4C.3D.2

3.如圖，。0的半徑為2,弦A5=2?,則圓心。至IJ弦A3的距離為（）

B.V2C.V3D.2

4.如圖，CD是。。的直徑，A3是弦，CQ_LA3于E，DE=2,A8=8,則AC的長為（）

B.10C.4后D.4、月

5.往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48cm,水的最大深度為16c7小則圓柱

)cm.

A.10B.14C.26D.52

6.往直徑為260n的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示.若水面寬A5=24cm,則水的最大深度

C.8cmD.10cm

7.如圖，A、3、C是O。上的點(diǎn)，0CLA8,垂足為點(diǎn)。，且。為0C的中點(diǎn)，若。4=7,則的長為

C

8.如圖，某圓弧形拱橋的跨度42=20根，拱高Cr>=57",則該拱橋的半徑為____m.

9.如圖，已知弧AB,試確定弧所在圓的圓心并補(bǔ)全這個(gè)圓.

B

10.已知：如圖，/B4c=30°,在射線AC上順次截取AD=3CMJ,DB=10cm，以。2為直徑作。。交射

線AP于E、F兩點(diǎn).

(1)求圓心。到AP的距離;

(2)求弦所的長.

11.如圖，AB為圓。直徑，尸點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接E。，作COLE。交圓。于點(diǎn)C,作

題組B能力提升練

12.已知。。的半徑為7,AB是。。的弦，點(diǎn)尸在弦A3上.若E4=4,PB=6,則OP=（）

A.-714B.4C.V23D.5

13.己知AB是O。的弦，半徑。C_L43于點(diǎn)。.若。0=OC,42=12,則O。的半徑為（）

A.4/2B.4./3C.672D.673

14.如圖，AB是。。的弦，A8長為8,P是。。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,8重合），過點(diǎn)。作。CLAP于點(diǎn)

C,OOLP8于點(diǎn)Q,則C。的長為（）

A.3B.2MC.4A/3D.4

15.已知。。的直徑CD=10,48是。O的弦，AB=8,且AB_LC。，垂足為則AC的長為（）

A.2臟B.4、后C.2遙或4而D.2我或4%

16.把一個(gè)球放在長方體收納箱中，截面如圖所示，若箱子高16cm,A8長16cm,則球的半徑為（）

A.9B.10C.11D.12

17.如圖，AB是。。的直徑，弦CD交A8于點(diǎn)尸，AP=4,BP=12,ZAPC=30°,則CD的長為

18.如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)A,B,C.

（1）用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；（保留作圖痕跡，不寫作法）

要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有4處即PN=4相時(shí)，試通過計(jì)算說明是否需要采取緊

急措施.

20.如圖，RtAABO,NO=90°,AO=J5，BO=1,以。為圓心，05為半徑的圓交A8于點(diǎn)P,求PB

題組C培優(yōu)拔尖練

21.OO的半徑為10c〃z,弦且AB=12cm,CD16cm,則AB和CO的距離為（）

A.2cmB.14cmC.2c機(jī)或14c機(jī)D.10c加或20。相

22.如圖，正方形A5CD和正方形BEFG的頂點(diǎn)分別在半圓。的直徑和圓周上，若3G=4,則半圓。的半

徑是（)

A.4+收B.9C.4A/5D.672

23.如圖，在O。中，AB,AC為弦，CD為直徑，ABLCD^-E,BFLACF,8尸與CO相交于G.

(1)求證：ED=EG；

(2)若48=8,0G=1,求。。的半徑.

24.如圖，在半徑為2的扇形048中，NAO8=90°,點(diǎn)C是第上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,8重合)，OD

LBC,OELAC,垂足分別為D,E.

(1)當(dāng)BC=2時(shí)，求線段。。的長和的度數(shù)；

(2)在△口?￡中，是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明

理由.

(3)在△DOE中，是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請指出并求其度數(shù)；如果不存在，請說明

理由.

第12課垂徑定理

號目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握垂徑定理及其逆定理.

2.會運(yùn)用垂徑定理及其逆定理解決些簡單的幾何問題.

知識精講

知識點(diǎn)01垂徑定理

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

2.定理的條件和結(jié)論.

條件：①直徑；②垂直于弦

結(jié)論：①平分弦；②平分弧

知識點(diǎn)02垂徑定理的逆定理

逆定理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.

逆定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦.

能力拓展

考點(diǎn)01~~垂徑定理及其逆定理

【典例1】如圖，在。。中，AB,AC是互相垂直且相等的兩條弦，OELAC,垂

足分別為。、E.

（1）求證：四邊形AOOE是正方形;

（2）若AC=2cm求（DO的半徑.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三個(gè)直角可得矩形，再利用垂徑定理可得一組鄰邊相等，進(jìn)而可

得結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理可得半徑.

【解析】（1）證明：:。。，人以O(shè)ELAC,

:.AD=^LAB,AE=1AC,

22

"：AB=AC,

J.AD^AE,

VZADO=ZA=ZAEO=90°,

四邊形ADOE是正方形；

?1critf

在RtZXAOE中，OA=V12+12=V2（CM1）,

答：O。的半徑是JEcw.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定，運(yùn)用垂徑定理得到AQ=AE是解題關(guān)鍵.

【即學(xué)即練1】如圖，A8是。。的直徑，8C是弦，OO?LBC于點(diǎn)E,交圓于點(diǎn)。，連接AC、

BD.

（1）請寫出五個(gè)不同類型的正確結(jié)論；

（2）若8c=8,ED=2,求。0的半徑.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂徑定理得出CE=BE,CD=BD，根據(jù)三角形的中位線求出OE

=2AC,根據(jù)圓周角定理求出/C=90°,根據(jù)平行線的判定得出AC〃。0

2

（2）根據(jù)垂徑定理求出BE=4,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于R的方程，再求出方程的解即可.

【解析】解：（1）正確的結(jié)論有：CE=BE,而=俞，OE^lAC,NC=90°,AC//

OD；

(2)-：OD±BC,。。過圓心。，BC=8,

NOE2=90°,BE=CE=4,

設(shè)。。的半徑為R,則OB=OD=R,

由勾股定理得：OB2=OE2+BE2,

即?2=(R-2)2+42,

解得：R=5,

即。。的半徑是5.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線，圓周角定理等知識點(diǎn)，能

熟記垂徑定理是解此題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)02垂徑定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用

【典例2】《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的

《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋

在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文

題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道A8=l尺(1尺=10寸),

求該圓材的直徑.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)。。的半徑為廠寸.在RtZkAC。中，AC=5,OC=r-1,OA=r,則有

戶=52+(r-1)2,解方程即可.

【解析】解：設(shè)圓心為。，過。作0CLA2于C,交O。于。，連接04如圖所示：

.,.AC=AAB=AX10=5,

22

設(shè)0。的半徑為r寸，

在Rt/XACO中，OC=r-l,OA=r,

則有，=5?+(r-1)2,

解得r=13,

???O。的直徑為26寸.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解

決問題，屬于中考?？碱}型.

【即學(xué)即練2】如圖，一圓弧形橋拱的圓心為E,拱橋的水面跨度A2=80米，橋拱到水面

的最大高度。下為20米.求：

（1）橋拱的半徑；

（2）現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度為10米.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解；

（2）由垂徑定理求出由勾股定理求出即，得出班'即可.

【解析】解：（1）如圖，設(shè)點(diǎn)E是拱橋所在的圓的圓心，作跖，于凡延長EF交

圓于點(diǎn)D,

則由垂徑定理知，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，AF=FB=AAB=40,EF=ED-FD=AE-DF,

2

由勾股定理知，4后2=4尸+￡P(guān)2=4尸+（AE-DF）2,

設(shè)圓的半徑是r,

貝U：?=402+（r-20）2,

解得：r=50；

即橋拱的半徑為50米；

（2）設(shè)水面上漲后水面跨度MN為60米，MN交ED于H,連接如圖2所示

則MH=NH=LMN=30,

2

EH=,\/502-302=40（米），

VEF=50-20=30（米）,

：.HF=EH-EF=10（米）；

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用；由垂徑定理和勾股定理求出半徑是解

決問題的關(guān)鍵.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，點(diǎn)A是。。上一點(diǎn)，連接。4.弦8CLOA于點(diǎn)。.若OD=2,AD=1,貝UBC

的長為(

A.2V5B.4C.2VSD.2A/2

【思路點(diǎn)撥】求出圓的半徑，再利用垂徑定理和勾股定理即可求出答案.

【解析】解：如圖，連接

"：AD=1,OD=2,

：.OA=A￡)+OD=3=OB,

'：BC.LOA,

：.ZODB=90°,BD=CD,

在RtZXBOD中，由勾股定理得，

80=、012_002=返,

:.BC=2BD=2瞧,

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是正確解答的前提.

2.如圖，A8是。。的直徑，弦COLA8,垂足為E,若BE=CD=8,則的半徑的長是

A.5B.4C.3D.2

【思路點(diǎn)撥】連接0C,設(shè)。。的半徑為R,則0E=8-R,根據(jù)垂徑定理得出CE=DE

=4,根據(jù)勾股定理得出OC2=CE2+OE2,代入后求出R即可.

【解析】解：連接0C,

R

圖1

設(shè)O。的半徑為R,則0E=8-R,

'：CD±AB,A2過圓心0,CD=8,

：.NOEC=90°,CE=DE=4,

由勾股定理得：。。2=(7爐+。層,

夫2=42+(8-R)2,

解得：R=5,

即O。的半徑長是5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題

的關(guān)鍵.

3.如圖，。。的半徑為2,弦AB=2?,則圓心。到弦AB的距離為（）

A.1B.A/2C.V3D.2

【思路點(diǎn)撥】過。作OC_LAB于C,連接0A,根據(jù)垂徑定理求出AC,再根據(jù)勾股定理

求出0C即可.

【解析】解：過。作OCLAB于C,連接0A,

VOCLAB,0C過圓心0,AB=243,

.?.AC=BC=?,/OCA=90。，

由勾股定理得：oc=7OA2-AC2=V22-(V3)2=L

即圓心。到弦A2的距離為1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題

的關(guān)鍵.

4.如圖，CZ)是。。的直徑，A2是弦，CD_L4B于E,DE=2,AB=8,則AC的長為()

D

A.8B.10C.4A/5D.4A/3

【思路點(diǎn)撥】連接設(shè)。。的半徑為K,則0A=凡OE=R-2,根據(jù)垂徑定理求出

AE=BE=4,根據(jù)勾股定理求出OA2=OE1+AE1,得出/?2=(R-2)2+42,求出R,再

求出CE,最后根據(jù)勾股定理求出AC即可.

;【解析】解：連接OA,設(shè)O。的半徑為R,則。4=R,OE=R-2,

D

VCDXAB,C￡)過圓心O,AB=8,

：.AE=BE=4,ZAEC=90°,

由勾股定理得：OA2=OE2+AE2,

即R2=(R-2)2+42,

解得：R=5,

即。4=OC=5,OE=5-2=3,

ACE=OC+OE=5+3=8,

?,-AC=-\/CE2+AE2==4娓'

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題

的關(guān)鍵.

5.往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48cm,水的最大深度

為16cm,則圓柱形容器的截面直徑為()an.

A

A.10B.14C.26D.52

【思路點(diǎn)撥】設(shè)半徑為rem,貝I(r-16)cm,在中，^=242+(r-16)

2,解方程可得半徑，進(jìn)而可得直徑.

【解析】解：如圖所示：

由題意得，OC_LAB于￡>,DC=l6cm,

"."AB=48cm,

BD—AAB=AX48=24(cm),

22

設(shè)半徑為rem,則0D=(r-16)cm,

在RtZ\OB￡>中，

^=242+(r-16)2,解得廠=26,

所以2r=52,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識；根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形運(yùn)用勾股定理

是解答此題的關(guān)鍵.

6.往直徑為26°加的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示.若水面寬48=24071,

則水的最大深度為()

A.4cmB.5cmC.8cmD.10cm

【思路點(diǎn)撥】連接OB,過點(diǎn)O作0C_LAB于點(diǎn)D,交。。于點(diǎn)C,先由垂徑定理求出

2。的長，再根據(jù)勾股定理求出0。的長，進(jìn)而得出。的長即可.

【解析】解：連接。2,過點(diǎn)。作0CLA2于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)C,如圖所示:

VAB=24cm,

：.BD=^AB=12(cm),

2

Q0的直徑為26cm,

：.0B=0C=13(cm),

在RtZiOBD中，OD=4OB2_BD2=4]32_]22=5(cm),

：.CD=OC-00=13-5=8(cm),

即水的最大深度為8cm,

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識；根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三

角形是解答此題的關(guān)鍵.

7.如圖，A、B、C是。。上的點(diǎn)，0CLA8,垂足為點(diǎn)D,且。為。C的中點(diǎn)，若。4=7,

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件證得△AODgZXBC。（SAS）,則BC=OA=7.

【解析】解：：0A=0C=7,且。為0c的中點(diǎn)，

：.0D=CD,

OC±AB,

：.ZODA=ZCDB=90°,AD=BD,

在△40。和△BCD中，

；.LA0D沿ABCD(SAS),

：.BC=0A=1.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知垂徑定理

內(nèi)容.

8.如圖，某圓弧形拱橋的跨度48=20加，拱高CZ)=5m,則該拱橋的半徑為12.5m.

ADB

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理的推論知，圓弧形拱橋的圓心在所在的直線上，設(shè)圓心

是O,半徑為"小連接OA.根據(jù)垂徑定理得4。=10優(yōu)，再由勾股定理求解即可.

【解析】解：根據(jù)垂徑定理的推論知，圓弧形拱橋的圓心在8所在的直線上，

設(shè)圓心是。，半徑是rm,連接。A.

根據(jù)垂徑定理，得：

2

在RtzXAOD中，根據(jù)勾股定理，得，=10,(r-5)2

解得：r=12.5,

即該拱橋的半徑為12.5m,

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定

理得出方程是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知弧試確定弧A8所在圓的圓心并補(bǔ)全這個(gè)圓.

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件找出圓的圓心，再找出半徑，最后畫出圓即可.

【解析】解：如圖所示：

E

②分別作線段AC和BC的垂直平分線取、MN,兩線交于0,連接0A,

③以。為圓心，以。4為半徑作圓即可.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，確定圓的條件等知識點(diǎn)，能找出圓的圓心是解此題的關(guān)

鍵.

10.已知：如圖，ZE4C=30°,在射線AC上順次截取A￡>=3c%,DB=10cm,以DB為

直徑作O。交射線4尸于E、尸兩點(diǎn).

(1)求圓心。到AP的距離；

(2)求弦斯的長.

【思路點(diǎn)撥】(1)過。點(diǎn)作OHLE尸于“，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)

系求出即可；

(2)連接OR如圖，根據(jù)垂徑定理得到然后利用勾股定理計(jì)算出族即可.

【解析】解：(1)過。點(diǎn)作于如圖，

VDB=10,

：.OD=5,

：.OA=AD+OD=3+5=8,

在RtZXOA"中，'：ZOAH=30°,

.,.OH=A(9A=4,

2

即圓心。到AP的距離為4cm；

(2)連接OR如圖，

"：OHLEF,

：.EH=FH,

在Rt/XOHP中，HF=A/OF2-OH2==3,

：.EF=2HF=6(cm).

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

11.如圖，A2為圓。直徑，P點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接E。，作COLE。交圓。

于點(diǎn)C,作CDLAB于點(diǎn)D,已知直徑為10,0￡=4,求OD的長度.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理得到OELAR由COLEO,得至l」OC〃AR即可得到/OAE

=ZCOD,然后通過證得△AEO之△ODC,證得CD=OE=4,然后根據(jù)勾股定理即可求

得OD.

【解析】解：點(diǎn)為中點(diǎn)，

OE±AF,

'：CO±EO,

：.OC//AF,

：.ZOAE=ZCOD,

'：CD.LAB,

：.ZAEO=ZODC,

在△AEO和△one中，

A/\AEO^/\ODC(AAS),

:.CD=OE=A,

???0C=5,

0D=Voc2-CD2==3.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，證得△AEO0△ODC得到cr>=4是解

題的關(guān)鍵.

題組B能力提升練

12.已知O。的半徑為7,42是。。的弦，點(diǎn)尸在弦AB上.若B4=4,PB=6,則。P=

（）

A.A/14B.4C.V23D.5

【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)O作OC，AB于點(diǎn)C,連接。8,根據(jù)垂徑定理可得AC=BC=5,所

以PC=PB-BC=1,根據(jù)勾股定理即可解決問題.

【解析】解：如圖，過點(diǎn)。作0CLA2于點(diǎn)C,連接。2,

：B4=4,PB=6,

：.AB=PA+PB=IO,

'：OCLAB,

：.AC=BC=5,

：.PC=PB-BC=\,

在RtZiOBC中，根據(jù)勾股定理得：

0（？=OB1-BC2=12-52=24,

在Rtz^OPC中，根據(jù)勾股定理得：

OP={0C2+PC2=也4+1=5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理.

13.已知AB是。。的弦,半徑OCLL48于點(diǎn)D.若DO=DC,AB=12,則。。的半徑為（）

A.472B.473C.642D.6A/3

【思路點(diǎn)撥】連接。4、AC,如圖，設(shè)O。的半徑為廠，利用垂徑定理得到4。=￡>2=6,

在RtaOA。中利用勾股定理得到（工廠）2+62=/，然后解方程即可.

2

【解析】解：連接。4AC,如圖，設(shè)O。的半徑為r,

OCLAB,

.,.AD—DB=—AB=-X12=6,

22

在RtZXOA。中，；OD=CD=L,OA=r,AD=6,

2

(lr)2+62=J,

2

解得〃=4我，n=-4-73(舍去)，

...(DO的半徑為4y.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也

考查了勾股定理.

14.如圖，是O。的弦，AB長為8,P是。。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），過點(diǎn)。

作OCLAP于點(diǎn)C,ODLPB于點(diǎn)D,則CD的長為（）

【思路點(diǎn)撥】由。CLAP于點(diǎn)C,ODLPB于點(diǎn)D,利用垂徑定理知C、。分別為AP、

BP的中點(diǎn)，CD是AABP的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可求出CD的長.

【解析】解：：OC_L4P,OD±PB,

J.AC^PC,BD=PD,

：.CD//AB,且C￡)=」AB,

2

：4B=8,

：.CD=1.AB=4.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，三角形中位線，掌握垂徑定理，三角形中位線，利用垂徑

定理推出C、。分別為AP、2尸的中點(diǎn)，利用△ABP的中位線性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵.

15.已知OO的直徑CD=10,A8是。。的弦，AB=8,且A8J_CQ,垂足為則AC的

長為（）

A.275B.475C.2遙或D.2百或4?

【思路點(diǎn)撥】連接04由根據(jù)垂徑定理得到AM=4,再根據(jù)勾股定理計(jì)算出

OM=3,然后分類討論：當(dāng)如圖1時(shí)，CM=8；當(dāng)如圖2時(shí)，CM=2,再利用勾股定理

分別計(jì)算即可.

【解析】解：連接。4,

,：AB1.CD,

：.AM=BM=^AB=1X8=4,

22

在Rt/XOAM中，0A=5,

°"=VOA2-AM2==3'

當(dāng)如圖1時(shí)，CM=OC+OM=5+3=S,

在Rt^ACM中，-C={AM2KM2==4泥;

當(dāng)如圖2時(shí)，CM=OC-OM=5-3=2,

在RtZXACM中，AC={AM2KM2==2心

圖1圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考

查了勾股定理.

16.把一個(gè)球放在長方體收納箱中，截面如圖所示，若箱子高16c〃z,AB長16c〃z,則球的

半徑為（）

A.9B.10C.11D.12

【思路點(diǎn)撥】首先找到球心為。，過。點(diǎn)作COLAB于交連接。2,設(shè)02=尤，則

0D^16-x,BD=8,然后在直角三角形中利用勾股定理求得。2的長即可.

【解析】解：設(shè)球心為。，過。點(diǎn)作COLAB于。，交連接08,

設(shè)OB=x,則0D=16-x,BD=AD=S,

在直角三角形ODB中，BL^+MF2=OB2,

即：(16-x)2+82=X2,

解得：尤=10.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造

直角三角形.

17.如圖，AB是。。的直徑，弦C￡>交A3于點(diǎn)P,AP=4,BP=12,ZAPC=30°,則

CD的長為

【思路點(diǎn)撥】過。作O/LCD于/,連接OD,求出半徑。。=。4=8,求出。尸，根據(jù)含

30度角的直角三角形的性質(zhì)求出。/,根據(jù)勾股定理求出皿，根據(jù)垂徑定理求出DI=CI,

再求出CD即可.

【解析】解：過。作。/_LC￡）于/,連接O。，則/。/。=/。/尸=90°,

直徑42=4+12=16,

即半徑0。=。4=8,

；.OP=OA-AP=8-4=4,

'：ZIPO=ZAPC^30°,

.\OZ=AOP==2,

2

由勾股定理得：DI=Qp2_Qj2=^g2_22=2^/15>

■：OI±CD,0/過圓心O,

：.DI=CI=2y/~L5,

即CD=r>Z+C/=4715，

故答案為：4A/15-

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能

熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵.

18.如圖所示，要把殘破的輪片復(fù)制完整，已知弧上的三點(diǎn)A,B,C.

(1)用尺規(guī)作圖法找出所在圓的圓心；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)設(shè)△ABC是等腰三角形，底邊8c=8cm,腰AB=5c%,求圓片的半徑R.

【思路點(diǎn)撥】(1)作兩弦的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心。；

(2)構(gòu)建直角△BOE,利用勾股定理列方程可得結(jié)論.

【解析】解：(1)作法：分別作和AC的垂直平分線，設(shè)交點(diǎn)為。，則。為所求圓

的圓心；

(2)連接A。、BO,A。交2C于E,

\'AB=AC,

C.AELBC,

.?.BE=JLBC=AX8=4,

22

在RtZ\ABE中，4￡=4/_/12==3,

設(shè)OO的半徑為凡在RtZkBE。中，

OB1=BE1+OE1,

即Z?2=42+(R-3)2,

R=空，

6

答：圓片的半徑R為里

6

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖等知識點(diǎn)，

要注意作圖和解題中垂徑定理的應(yīng)用.

19.如圖，在一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為60機(jī)，拱高為18山，當(dāng)洪水泛濫到跨度

只有30根時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有4%即PN=4加時(shí)，

試通過計(jì)算說明是否需要采取緊急措施.

【思路點(diǎn)撥】由垂徑定理可知A'N=B'N,利用A8=60,PM=18,可先求

得圓弧所在圓的半徑，再計(jì)算當(dāng)PN=4時(shí)A'B'的長度，與30米進(jìn)行比較大小即可.

【解析】解：設(shè)圓弧所在圓的圓心為。，連接OA、OA1,設(shè)半徑為x米，

則OA=OA'=OP,

由垂徑定理可知A'N=B'N,

：AB=60米，

.,.AM=30米，且OM=OP-PM=(x-18)米，

在RtZXAOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2,

即/=(x-18)2+302,解得尤=34,

：.ON=OP-PN=34-4=30(米),

在Rtz\A'ON中，由勾股定理可得A'N=2-0N2=342-302=16(米),

：.A'B'=32米＞30米,

不需要采取緊急措施.

p

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，利用勾股定理求得圓弧所在的半徑是解題的關(guān)

鍵，注意方程思想的應(yīng)用.

20.如圖，RtAABO,/。=90°,AO=?,BO=1,以。為圓心，02為半徑的圓交A8

于點(diǎn)P,求PB的長.

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)勾股定理求出48的長，再過點(diǎn)。作。。于點(diǎn)。，根據(jù)相似三

角形的判定定理可知再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

【解析】解：：RtZ\ABO中，NAOB=90°,A0=?,BO=1,

*e,AB=V(OA)2+BO2=V(V2)2+12=M'

過點(diǎn)。作ODLAB于點(diǎn)D,則PB=2BD,

9

SMOR=—ABOD=—OB?OA

■\[6

解得0D=￥

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形

是解答此題的關(guān)鍵.

題組C培優(yōu)拔尖練

21.0。的半徑為10c〃z,弦A2〃Cr>,且43=12。，7,。=16。，2,則48和C。的距離為（）

A.1cmB.14cmC.2cm或14c?iD.10cm或20cMi

【思路點(diǎn)撥】分兩種情況考慮：當(dāng)圓心位于AB與CD之間時(shí)，連接04,OC,如圖1所

示，過。作￡F_L42,由AB〃C。，得到￡F_LCD,利用垂徑定理得到E、尸分別為A3、

CD的中點(diǎn)，分別求出OE與OF,由OE+OF即可得到EF的長；當(dāng)圓心在A8與CQ一

側(cè)時(shí)，連接04,OC,如圖2所示，過。作EFJ_AB,由AB〃C。，得到EF_LCO,同理

求出OE與。孔由。E-0尸即可求出￡尸的長.

【解析】解：當(dāng)圓心位于A3與。之間時(shí)，連接。4,0C,如圖1所示，

過。作EF_LAB,由A8〃CO,得到EELCD,

:.E、P分別為A3、CD的中點(diǎn)，

.'.AE—6cm,CF=8cm,

在RtAAOE中，OA=1Ocm,AE=6cm,

根據(jù)勾股定理得：0E=8cs,

在RtZXCO尸中，OC=10cm,CF=8cm,

根據(jù)勾股定理得到0F=6cm,

此時(shí)A8和CD的距離￡F=8+6=14cm；

當(dāng)圓心在43與CD一側(cè)時(shí)，連接。4,0C,如圖2所示,

過。作所L4B,由AB〃C。，得到￡F_LCD,

同理求出0E=8cm,0F=6cm,

此時(shí)AB和CD的距離EF=8-6=2cm,

綜上，AB和CD的距離為2cm或14c%

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理

是解本題的關(guān)鍵.

22.如圖，正方形A8CZ）和正方形8EFG的頂點(diǎn)分別在半圓。的直徑和圓周上，若8G=4,

則半圓。的半徑是（）

A.4+75B.9C.475D.642.

【思路點(diǎn)撥】連接OC,0F,設(shè)。B=x,則AB=BC=2無，在RtZ\8C0和Rt^FE。中利

用勾股定理列出等式計(jì)算X的值，進(jìn)一步求出半徑即可.

【解析】解:連接OC,OF,

設(shè)OB=x,

?..四邊形4BCD是正方形且頂點(diǎn)。和