山東省百師聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2024—2025學(xué)年高三期中考試數(shù)學(xué)試題1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)向量，，，且，則（）A.3 B.2 C. D.4.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球體積為（）A. B. C. D.5.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若對任意的都有，則圖中的值為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)若方程恰有2個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當時，，則（）A.2 B. C.1 D.8.在平面直角坐標系內(nèi)，方程對應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的焦距為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知方程的兩個復(fù)數(shù)根為，，則下列說法正確的有（）A. B. C. D.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.當時，的極大值大于0 B.當時，無極值點C.，使在上是減函數(shù) D.，曲線的對稱中心的橫坐標為定值11.已知曲線上的動點到點的距離與其到直線的距離相等，則A.曲線的軌跡方程為B.若，為曲線上的動點，則的最小值為5C.過點，恰有2條直線與曲線有且只有一個公共點D.圓與曲線交于，兩點，與直線交于，兩點，則，，，四點圍成的四邊形的周長為12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數(shù)列的前項和，若，，則______.13.曲線在點處的切線與拋物線相切，則______.14.已知雙曲線：（，）與平行于軸的動直線交于，兩點，點在點左側(cè)，雙曲線的左焦點為，且當時，，則雙曲線的離心率是______；當直線運動時，延長至點使，連接交軸于點，則的值是______.（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足.（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍.16.（15分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，分別為，的中點，平面，且.（1）證明：平面；（2）若與平面所成的角是，求二面角的余弦值.18.（17分）如圖，已知橢圓：（）上的點到其左焦點的最大矩離和最小距離分別為和，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的方程；（3）當直線，均不與軸垂直時，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.19.（17分）若有窮數(shù)列（且）滿足（），則稱為數(shù)列.（1）判斷下列數(shù)列是否為數(shù)列，并說明理由.①1，2，4，3；②4，2，8，1.（2）已知數(shù)列中各項互不相等，令（），求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列.（3）已知數(shù)列是且個連續(xù)正整數(shù)1，2，…，的一個排列，若，求的所有取值.

2024—2025學(xué)年高三期中考試數(shù)學(xué)參考答案及評分意見1.D【解析】因為，，所以，.故選D.2.C【解析】當時，，或，，推不出；當時，必有，故“”是“”的必要不充分條件，故選C.3.A【解析】因為，，，所以；因為，所以，解得.故選A.4.B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以，則內(nèi)切球的體積.故選B.5.A【解析】由，得.的圖象上的所有點向左平移個單位長度后得的圖象，由題意知為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，得函數(shù)的圖象過點.設(shè)的最小正周期為，則，所以，故.又，，且，可得，所以，.故選A.6.C【解析】當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令，則，所以.當時，，，在上單調(diào)遞減.令，則.作出的大致圖象，如圖所示.方程恰有2個不相等的實數(shù)解，也就是的圖象與直線恰有兩個公共點.由圖易知所求的取值范圍是.故選C.7.C【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.又當時，，所以.故選C.8.C【解析】因為，將點的坐標代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關(guān)于原點對稱；將點和的坐標分別代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關(guān)于直線和對稱.設(shè)直線與橢圓交于，兩點，則解得或所以；設(shè)直線與橢圓交于，兩點，則解得或所以.由橢圓性質(zhì)可知，，，所以，，則，故焦距為.故選C.9.ACD【解析】方程的兩個復(fù)數(shù)根為，，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，A，C正確；B選項，的兩個復(fù)數(shù)根為，若，，則，B錯誤；D選項，由B選項知，或，均有，D正確.故選ACD.10.BD【解析】對于A，當時，，求導(dǎo)得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，極大值為，A錯誤；對于B，，當時，，即恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，B正確；對于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為，C錯誤；對于D，由，得曲線的對稱中心的坐標為，D正確.故選BD.11.ABD【解析】對于A，依題意，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，方程為，A正確；對于B，如圖，過點作直線的垂線，交直線于，交拋物線于.令點到直線的距離為，則，當且僅當點與點重合時取等號，因此的最小值為，B正確；對于C，顯然過點與曲線有且只有一個公共點的直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由消去得，當時，直線與拋物線僅有一個公共點，當時，由，解得，顯然直線，均與拋物線僅有一個公共點，因此過點與曲線有且只有一個公共點的直線有3條，C錯誤；對于D，直線交圓于點，，由得或從而，，所以四邊形是矩形，其周長為，D正確.故選ABD.12.8【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，即解得則，所以.故答案為8.13.1【解析】設(shè)，則，則，所以曲線在點處的切線方程為，即.由消去，得，由，得.故答案為1.14.【解析】當時，設(shè)，則，解得.又，所以，又，所以，兩邊同時除以，得，解得或（舍）.如圖，因為，所以，設(shè)，則，，，，所以，又，所以.15.解：（1）由及正弦定理得，故，所以.因為，，所以，因為，所以.（2）由（1）可知，，由余弦定理，得，又，所以.由基本不等式得：，即，所以，當且僅當時，等號成立.又，即，又，所以，所以，即周長的取值范圍是.16.（1）解：，，則.因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立.構(gòu)造函數(shù)（），則，令，解得.當時，；當時，，所以在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，也是最大值，即.所以，即的取值范圍為.（2）證明：方法一：由題意得的定義域為，當時，要證，即證，等價于證明.構(gòu)造函數(shù)（），即證.因為，令，因為函數(shù)圖象的對稱軸為直線，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使得，所以當時，；當時，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，也是最小值，即（）.又因為，得，所以（）.令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，，所以，即，所以.方法二：將看作以為變量的函數(shù)，其中，因為，所以關(guān)于單調(diào)遞減.要證當時，，即證當時，，只需證當時，.令，則，令，解得.當變化時，，的變化情況如下表：－0＋單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以.綜上，.，，即.17.（1）證明：如圖，設(shè)的中點為，連接，，則且.又且，所以，，所以四邊形為平行四邊形，則.又因為平面平面，所以平面.（2）解：如圖，取的中點，連接，取的中點，連接，，則且，又，所以.因為平面，所以平面，故與平面所成的角為，所以.所以在中，.又由菱形性質(zhì)可得，所以，所以.所以，所以，，兩兩垂直.10分以點為坐標原點，直線，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，，，，，，所以，，.由平面得平面的一個法向量為.設(shè)平面的一個法向量為，則故取，則，所以為平面的一個法向量.設(shè)二面角的平面角為，由圖可得為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.18.（1）解：由橢圓：上的點到其左焦點的最大距離和最小距離分別為和，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，得解得則，故橢圓的方程為.（2）解：設(shè)直線的方程為，，.由消去，整理得.由，得，則，.，解得或.10分當時，直線的方程為，此時直線過點；當時，直線的方程為，滿足題目條件.所以直線的方程為.（3）證明：因為直線，均不與軸垂直，所以直線：不經(jīng)過點和，則且，由（2）可知，，為定值.19.（1）解：①因為，所以數(shù)列1，2，4，3不是數(shù)列；②因為，所以數(shù)列4，2，8，1是數(shù)列.（2）證明：必要性：若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以數(shù)列是常數(shù)列.充分性：若數(shù)列是常數(shù)列，則（），即（），所以或.因為數(shù)列的各項互不相等，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.綜上可知，數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列.（3）解：當時，