福建省泉州市安溪一中惠安一中養(yǎng)正中學(xué)實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實驗中學(xué)2024年秋季高三年期中聯(lián)考考試科目：數(shù)學(xué)滿分：150分考試時間：120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.3.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C.1 D.24.甲、乙兩校各有3名教師報名支教，現(xiàn)從這6名教師中隨機派2名教師，則被派出的2名教師來自間一所學(xué)校的概率為（）A. B. C. D.5.已知，且，則（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)是定義在上偶函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)僅有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（）.A. B. C. D.8.雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，右支上一點滿足，直線平分，過點，作直線的垂線，垂足分別為A，B，設(shè)O為坐標(biāo)原點，則的面積為（）.A. B. C.10 D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)，且，則下列關(guān)系式中一定成立的題（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（）A.若，則對任意的都有B.若的圖象關(guān)于直線對稱，則C.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是11.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.若，則的圖象在處的切線方程為B.若在上單調(diào)遞増，則的取值范圍是C.若當(dāng)時，，則的取值范圍是D.若，有唯一管點，且滿足，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的常數(shù)項為_________.13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，當(dāng)取得最小值時，則最大內(nèi)角的余弦值是_________.14.已知函數(shù)，若曲線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是_________.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點，是的延長線與CB的延長線的交點.（1）求證：平面；（2）若點在線段AP上，且點E為靠近點A的三等分點，求直線與平面所成的角的正弦值.16.（15分）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且_________.（1）求角C；（2）若AB邊上的高為1，的面積為，求的周長.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）17.（15分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，設(shè)，若既有極大值又有極小值，求的取值范圍.18.（17分）已知橢圓，A，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點和右焦點，過F作斜率不為0的直線l交橢圓C于點P，Q兩點，且，當(dāng)直線軸時，.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為，，且，求直線l的方程；（3）設(shè)直線AP交y軸于點E，若過O點作直線AP的平行線OM交橢圓C于點M，求的最小值.19.（17分）若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列：1，3，5，10，152是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）若數(shù)列是首項為2的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項公式；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項和，，，證明：.安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實驗中學(xué)2024年秋季高三年期中聯(lián)考參考答案一、單選題BCDB AADC二、多選題（9）AC （10）ACD （11）ACD三、填空題（12）105 （13） （14）8.【詳解】由雙曲線的離心率為，得，解得，令直線交的延長線交于，直線交于，則，，由PA平分，且，得，則，，，顯然A，B分別為線段，的中點，而O是的中點，于是，，，即，，所以的面積.故選：C11.【詳解】對于A選項，，，，切線方程為，即，A選項正確.對于B選項，若在上單調(diào)遞增，則對一切都有.當(dāng)時，由知滿足條件：當(dāng)時，，，不滿足條件.因此的取值范圍是，B選項錯誤.對于C選項，當(dāng)時，等價于.而（用到不等式（））.證明如下：記，則，時，，時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此對一切有，即，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合知.因此的取值范圍是，C選項正確.對于D選項，由知在上單調(diào)遞增，令得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合條件知，是的唯一零點，故，則.于是，由在上單調(diào)遞增，結(jié)合，知.這樣，由結(jié)合在上單調(diào)遞增（因為，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)）及知.由在上單調(diào)遞增，結(jié)合知，，即，又在R上單調(diào)遞增，故，D選項正確.14.【詳解】由題意可知：，因為曲線上存在點，使得，所以存在，使得成立，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，下面證明：成立，假設(shè)，則，所以不滿足，假設(shè)不成立，假設(shè)，則，所以不滿足，假設(shè)不成立，由上可知，；則原問題等價于“在上有解”，即“在上有解”，設(shè)，，所以，令，則，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以的值域為，即為，所以，四、解答題15.（1）連接交于點，連接MD，如下所示：因為是直三棱柱，故可得是矩形，故為的中點，又是的中點，所以，又，，，，即是的中點，故在中，M，D分別為，的中點，故可得，又平面，平面，故面.（2）因為是直三棱柱，故可得平面，又，平面，則，，又，故，綜上可得，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；則，，，，，，,由（1）知，故，則；則，，，.設(shè)平面的一個法向量為，故可得，即，不妨取，則.又，則點的坐標(biāo)為，則，又設(shè)直線與平面所成的角為，故可得，所以直線與平面所成的角的正弦值為.（公式?jīng)]加絕對值扣1分，結(jié)論沒寫不扣分）16.【詳解】（1）選①，因為，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，即，且，所以.選②，在中，由正弦定理得.因為，所以，化簡得.在中，由余弦定理得.又因為，所以.選③由及，有，又由正弦定理，有，有，有，有，又由，可得.（2）因為AB邊上的高為1，的面積為，所以，得，由（1）知，所以，得，由余弦定理得，即，得，所以，即，所以，所以，即的周長為.17.【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域為，，當(dāng)時，恒成立，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，,單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞堿區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）因為，所以，若既有極大值又有極小值，則至少存在兩個變號零點，即至少有兩個不同實數(shù)根，記，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在時，取得極大值，又趨近于0時，趨近于，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以，的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)，即時，有兩個變號零點，且分別為極大值點和極小值點，所以的取值范圍為.18.【詳解】（1）設(shè)橢圓右焦點，，則①，由，得②，直線軸時，P，Q兩點橫坐標(biāo)為，將代入橢圓方程中，解得，所以③，聯(lián)立①②③解得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①，顯然，直線PQ不與軸垂直，可設(shè)PQ的方程為，聯(lián)立橢圓方程，消去并整理得，又設(shè)，，顯然，所以由韋達(dá)定理得，所以，即，所以直線方程為.（3）依題意直線AP的斜率存在且不為0，設(shè)直線AP的方程為：，則直線OM的方程為.聯(lián)立直線AP與橢圓C的方程可得：，由，可得，聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程可得：，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值為.19.【詳解】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義，則，故，因為成立，成立，不成立，所以1，3，5，10，152不是“數(shù)列”.（2）由是首項為2的“數(shù)列”，則，，由是等比數(shù)列，設(shè)公比為，由，則，兩式作差可得，即，