空間向量與立體幾何-2025高考數(shù)學一輪復習易混易錯專項復習

（7）空間向量與立體幾何——2025高考數(shù)學一輪復習易混易錯專項

復習

學校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.一個五面體ABC-DEF.已知AD〃班〃CF,且兩兩之間距離為1,AD=1,

BE=2,CF=3,則該五面體的體積為（）

2.已知空間中有兩個不重合的平面c,，和兩條不重合的直線加n,則下列說法

中正確的是（）

A.若m±a,n±）3,則

B.若oJ_〃，m±a,mLn,則〃_!_/?

C.若all/3,ml/a,nll/3,則

D.若all/3，mlIa,mlIn,則〃〃分

3.如圖，四棱錐A-6CDE是棱長均為2的正四棱錐，三棱錐A-CD廠是正四面體，

G為BE的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

B.平面ABEH平面CDF

C.FGLCDDIG,平面ACD

4.如圖，在正方體ABCD-AgGA中，。是AC中點，點P在線段AC上，若直線

0P與平面43G所成的角為，，貝1JSin。的取值范圍是（）

7273A/3正

A.B.C.

3'27至

5.已知RL△ABC中，AB=BC=6,。為AC的中點.將△ABC沿3。翻折，使點C

移動至點E,在翻折過程中，下列說法不正確的是（）

A.平面BED，平面ADE

B.三棱錐5-AZ）E的體積為定值

C.當二面角A-§￡>-石的平面角為四時，三棱錐石-ABD的體積為Y2

412

D.當二面角A-BD-石為直二面角時，三棱錐石-ABD的內(nèi)切球表面積為上28兀

3

二、多項選擇題

6.已知正方體4耳G。的棱長為%ER是棱A3上的一條線段，且EF=1,

點。是棱A2的中點，點P是棱G2上的動點，則下面結(jié)論中正確的是（）

A.PQ與ER一定不垂直B.二面角尸-EF-Q的正弦值是雪

C.Z\PEF的面積是2夜D.點尸到平面QER的距離是定值

7.如圖，在正方體ABCD-44G2中，點。在線段3G上運動，則下列判斷中正確

的是（）

A.平面PB1D1平面ACDl

B.A尸〃平面ACDt

C.異面直線4P與A2所成角的取值范圍是1o，m

D.三棱錐Dt-APC的體積不變

三、填空題

8.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A4GA中，M為棱A4的中點，AG與用。

相交于點N,P是底面ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，總有APLMN,則動點P的軌跡

的長度為__________..

M_________C

A----------------B

9.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面底面

ABCD,且B4=PB=4,則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為.

四、解答題

10.如圖所示，圓臺002的軸截面4ACC1為等腰梯形，AC=2M=24G=4,B為

底面圓周上異于A,C的點，且AB=BC,尸是線段3c的中點.

(1)求證：GP〃平面4A5.

(2)求平面AAB與平面￡C6夾角的余弦值.

參考答案

1.答案：C

解析：因為AD,BE,CR兩兩平行，且兩兩之間距離為1,則該五面體可以分成一個

側(cè)棱長為1的三棱柱和一個底面為梯形的四棱錐，其中三棱柱的體積等于棱長均為1

的直三棱柱的體積，四棱錐的高為正，底面是上底為1、下底為2、高為1的梯形，

2

故該五面體的體積V=LX1X1X1+LX3XYI=3,故選C.

223222

2.答案：A

解析：若＜z_L分，m±cz,則機〃6或mu/7,又n工B,所以機_L〃，故A正確；

若tz_L〃，mVa,則m〃夕或mu/?,又〃z_L〃，則“u/7或〃與,斜交或/_!_/?均有

可能，故B錯誤；

若&///7,mlla,則〃zu/7或〃〃/月，又nll/3,因此機和〃的位置關(guān)系可能為平行、相

交或異面，故C錯誤；

若＜/〃/7,ml/a,mlIn,則“〃萬或“u’,故D錯誤.

綜上，選A.

3.答案：D

解析：A選項：如圖，取CD的中點連接GH,FH,AG,AH,易得CDLGH,

CD±AH,CD1FH,則CD,平面AGH,CD,平面ARH,所以A,G,H,R四

點共面，由題意知AG="E=百，GH=AF=2,所以四邊形AGHR是平行四邊形，

所以GH//AF,因為BCHGH,所以BC//AF,所以A,B,C,R四點共面，故A正

確；

B選項：由選項A知AG//EH,又AGU平面FHu平面CDF,所以AG〃平面

CDF,因為CDHBE,且8后仁平面CDE,CDu平面CDF所以BE〃平面CDF又

AGu平面ABE,3Eu平面ABE,且AGD3E=G,所以平面ABE〃平面CDF故B

正確；

C選項：由選項A可得CD,平面AGHE又EGu平面AGHR,所以EGLCD,故C

正確；

D選項：假設(shè)FGL平面ACD,則FG_LAH,由選項A知四邊形AGHR是平行四邊

形，所以四邊形AGHR是菱形，與AG=6，GH=2矛盾,故D錯誤.

4.答案：A

解析：如圖，設(shè)正方體的棱長為1,4c=則4A=x祠.

4cl

以。為原點，以94,DC,所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標系.

則41,。,。)，C(O,1,O),O(|,1,0),^.A^q=AC=(-1,1,0),4?=(-2,2,0),又

A(i,o,1),則P(I—尢尢1),所以無='—尢％—川.

在正方體ABCD-ABIGA中，可知體對角線4。，平面ADG，所以力瓦=(i,i,i)是平

面43G的一個法向量，所以

sin9=卜05(OP,1=“?1.所以當」2

時，sin。取得最大值走，當;1=0或1時，sin。取得最小值也.所以

33

sin，e^-，―,故選A.

33

5.答案：B

解析：如圖：

A選項，BD工DE,BD±AD,DE^AD=D,所以平面ADE,因為5DU平

面BED,故平面.平面ADE,A正確，不符合題意.

B選項，由A知3D，平面A￡>E,但△ADE的面積不是定值，故三棱錐的體積不是定

值，B錯誤，符合題意.

7T

C選項，二面角A—BD—石的平面角為N/4DE,當NADE=一時,

4

c1111

SAABD=2X1X1=2,

三棱錐石-的體積為工xsin/ADE.lxL=立，C正確，不符合題意.

3212

D選項，當二面角A-皮）-石為直二面角時，ZADE=-,三棱錐石-ABD的表面積為

2

v_3+V3

3］一,

12

設(shè)內(nèi)切球半徑為廠，則由等體積法知/Am=^=LxS|Xr,解得「二三且，所以內(nèi)切

636

71

球表面積S2=4兀/=--，D正確.

6.答案：BCD

解析：對于A,當點P與點A重合時，PQLEF,故選項A錯誤.

對于B,由于點P是棱G2上的動點，ER是棱A3上的一條線段，所以平面PER即為

平面ABQD,,平面QEF即為平面QAB.

建立如圖所示的空間直角坐標系，則Q(2,0,4),A(4,0,0),5(4,4,0),D/0,0,4),

所以聲=(2,0,-4),方=(0,4,0),西=(T,0,4).

設(shè)平面QAB的一個法向量為〃=&,%,zj,則〈"竺°'即＜/玉)

n-AB=0,14%=0,

令4=1,則〃=(2,0,1).

設(shè)平面ABCQi的法向量為nz=(々,%*2)，

m-AD]=0,-4%+4z2-0,

則即＜

m-AB-0,4y2=0,

令Z2=1,則帆=(1,0,1).

設(shè)二面角尸-歷-。的大小為e,所以

?zuI/、?\m-n\2+13A/10,

cos0=cos〈肛n)=---------=—7=——產(chǎn)=-------,故+

\m\\n\72x7510

sin0=A/1-COS20=Jl-3A,故選項B正確.

對于C,由于平面BGu平面34C1C,所以所以

11

BC,1EF,所以BQ是△PEE的高，所以SApEF=3^EF^BCl=3xl義4e=2近,故

選項C正確.

對于D,由于G2//EE,且CQU平面QEF,EPu平面QEF,所以￡'〃平面

QEF,又點尸在G2上，所以點P到平面QER的距離是定值，故選項D正確.故選

BCD.

7.答案：ABD

解析：對于A,連接。3,如圖，因為在正方體ABCD-AgG。中，5耳，平面

ABCD,又ACu平面A3CD,所以又。5LAC,03與8月為平面。5與2

內(nèi)的兩條相交直線，所以AC,平面。§42，因為。4<=平面片A，所以

DBX1AC,同理可得。用，AD1，因為AR與AC為平面AC，內(nèi)兩條相交直線，可得

。耳，平面ACDi，又。與u平面P耳。，從而平面尸耳。，平面AC。，故A正確；

對于B,連接AB,4G，如圖，因為ACi〃AC，AGU平面AC。，ACu平面

ACD1,所以4cl〃平面AC',同理BQ〃平面AC",又4G、BC1為平面gG內(nèi)兩

條相交直線，所以平面g￡〃平面ACR,因為APu平面幽。，所以AP〃平面

ACD1,故B正確；

對于c,因為A2//3G，所以4尸與A"所成角即為4尸與3G所成的角，因為

==所以1G為等邊三角形，當P與線段BG的兩端點重合時，AP

與A2所成角取得最小值守；當P與線段5G的中點重合時，AP與AR所成角取得最

大值4,所以從尸與他所成角的范圍是邑M，故c錯誤；

2|_32_

對于D,由選項B得3G〃平面A，C，故上任意一點到平面A。。的距離均相等，

即點P到平面A"C的距離不變，不妨設(shè)為〃，則/_APC=K1一仞c=^S△犯c?心所以三

1LJ\—txrLxr-r\LJyQ/\r\LJxC.

棱錐2-APC的體積不變，故D正確.故選ABD.

8.答案：2&

解析：如圖，連接AC；,AXB,A.D,AC,BD,因為N,M分別是A41的中

點，所以“N〃AC].由正方體的性質(zhì)易知CGAC±BD,CC^AC^C,所以

80,平面ACG，所以AG同理可證AG，45.又3?？?5=3，所以AC1，平

面A3。，即肱V_L平面4友），因此當PeBD時，總有所以動點P的軌

跡是線段3D又正方體的棱長為2,所以8。=2VL

解析：設(shè)正方形A3CD的中心為。，△PA5的外心為G,取A3的中點E,連接EG,

EQ,OXC,則EG_LAB,EOX±AB,以EG,EQ為鄰邊作平行四邊形EGOq,如

圖.

因為側(cè)面上鉆，底面ABCD,GELAB,平面243。平面ABCD=AB,GEu平面

PAB,所以GEL平面A3CD,所以GE，E@.則OQ，平面A3CD,同理可知。G,平

面勿氏連接。4,OB,OC,OD,0P,則Q4=06=0。=O￡>=OP,所以。就是該四

棱錐外接球的球心.連接BG,PE,由B4=PS=4,AB=2,得PE=病,

GE2+BE2=BG2=(V15-GE)2,解得GE=千5.設(shè)該四棱錐的外接球半徑為R,在

2224Q79

Rt^OOjC中，OC=R=OO-+OlC~=GE+OlC-=^+2=^,則四棱錐P—ABCD

的外接球的表面積為4冰2=4兀義2=衛(wèi)如.

1515

10.答案：(1)證明見解析

⑵工

7

解析：(1)取A3的中點連接A",PH,如圖所示，

在等腰梯形4AC