2024-2025學(xué)年福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟高二上學(xué)期入學(xué)適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2024~2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2.已知，，且，則的值為（

）A.6 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】因?yàn)椋?，解得，故選：C.3.在中，三個內(nèi)角的對邊分別是，若，則（）A. B. C. D..【答案】B【解析】由，則，，即，解得.故選：B.4.已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b值分別是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D.5.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.6.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，設(shè)，則，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，無解，則不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，故B正確；對于C，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤；故選：B.7.如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底在同一平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)處測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t該鐵塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】在中，，則，，由正弦定理，可得，在中，可得.所以該鐵塔的高度約為米．故選：C.8.平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，，可得，故，又，所以，以為直徑作圓，則，，，四點(diǎn)共圓，如圖所示，故點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓瑑牲c(diǎn)），則，又表示在上的投影，由圖可知，，，故（此時點(diǎn)在劣弧的中點(diǎn)位置），即的最小值為．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（）A.平面BC.異面直線與所成角的余弦值為D.平面與平面的夾角的正切值為【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A：如圖連接交于，連接，由題意可知為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，又平面，平面，故平面，故A正確；選項(xiàng)B：由題意為等邊三角形，為的中點(diǎn)，故,又棱柱為直三棱柱，故，又，平面，平面，故平面，又平面，故，故B正確；選項(xiàng)C：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因，故A3,0,0所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則故C錯誤；選項(xiàng)D：由題意平面的一個法向量為，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，設(shè)，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，故，故D正確，故選：ABD.10.中，角所對的邊為下列敘述正確的是（）A.若，則一定是銳角三角形B.若，則一定是等邊三角形C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】對于A選項(xiàng)，在中，因?yàn)椋?，所以，即為銳角，但題中沒有告訴最大，所以不一定是銳角三角形，故A錯誤；對于B選項(xiàng)，，由正弦定理得，整理得，即一定是等邊三角形，故B正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?,π單調(diào)遞減，所以，故C正確；對于D選項(xiàng)，由，得，所以，由余弦定理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則當(dāng)，時，，即角可以大于，故D錯誤；故選：BC．11.如圖，在棱長為2正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動，則下列結(jié)論中正確的為（）A.在中點(diǎn)時，平面平面B.異面直線所成角的余弦值為C.在同一個球面上D.，則點(diǎn)軌跡長度為【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，易知，平面，在面內(nèi)，所以，面，面，，所以面，面，所以，連接，是正方形，，因面，面，所以，因?yàn)槊?，面，，所以面，因?yàn)槊?，所以，綜上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正確；對于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：記正方體的中心為點(diǎn)，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，故，所以點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，且，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】易知向量在向量上的投影向量為.13.若圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為__________【答案】【解析】設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，因此圓錐的高，所以圓錐的體積.14.榫卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為正三角形，則該木楔子的外接球的表面積為__________.【答案】【解析】如圖，分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，連接，則，故.取的中點(diǎn)，連接，又，則.由對稱性易知，過正方形的中心且垂直于平面的直線必過線段的中點(diǎn)，且所求外接球的球心在這條直線上，如圖.設(shè)球的半徑為，則，且，從而，即，當(dāng)點(diǎn)在線段內(nèi)（包括端點(diǎn)）時，有，可得，從而，即球心在線段的中點(diǎn)，其半徑.當(dāng)點(diǎn)在線段外時，，解得（舍）.故所求外接球的表面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知（1）求；（2）若是邊上一點(diǎn)，且，求的面積．解：（1）因?yàn)椋瑒t，可得，則，若，則，且B∈0,π，所以；若，則，即，且，所以，但，由正弦定理可得，不合題意；綜上所述：.（2）因?yàn)?，則，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），則，所以的面積.16.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)．（1）求證平面；（2）求二面角的大?。猓海?）因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，有題意可知，又，平面，平面，所以平面．（2）分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因平面，平面，所以，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，故，平面的一個法向量為，，設(shè)平面的法向量為，由得，令得，，則，所以，因?yàn)槎娼鞘氢g二面角，所以二面角的大小為．17.三棱臺中，，平面平面ABC，，與交于D．（1）證明：平面；（2）求異面直線與DE的距離．解：（1）三棱臺中，，則，有，得，所以，又，所以在平面內(nèi)，，有，平面平面，所以平面．（2）已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由平面ABC，得.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．則有，，因?yàn)?，所以，設(shè)向量，且滿足：，則有，令，在的投影數(shù)量為，異面直線與DE的距離.18.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn).是平面外的一點(diǎn)，且有.（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為.（i）求的面積；（ii）求三棱錐的體積.解：（1）因?yàn)镋為邊AB的中點(diǎn)，所以.又，即，即.，所以.又因?yàn)?，所以，?因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫?（2）（i）由余弦定理可得，所以，所以.（ii）由（1）可知，平面，所以即為與平面所成角.因?yàn)椋?，，所以，?設(shè)到平面的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則.因?yàn)?，又，所?19.在空間直角坐標(biāo)系中，己知向量，點(diǎn)．若直線以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為．（1）若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的單位方向向量（寫出一個即可）；（2）若三棱柱的三個側(cè)面所在平面分別記為，其中平面經(jīng)過點(diǎn)，，平面，平面，求實(shí)數(shù)m的值；（3）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積和相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大?。猓海?）記平面，的法向量為，設(shè)直線的方向向量，因?yàn)橹本€為平面和平面的交線，