廣東省東莞市五校2024-2025學年高一上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市五校2024-2025學年高一上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合，則集合A的子集個數(shù)為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】由題意，，則子集個數(shù)為.故選：D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】C【解析】由題知，則同號，當時，有，當時，有，故能推出，當成立時，又，對不等式兩邊同時乘以可得，故“”是“”的充分必要條件.故選：C.3.下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的是（）①，；②，；③，；④，．A.①② B.②③ C.③ D.③④【答案】C【解析】對于①中，函數(shù)與，則兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù)；對于②中，函數(shù)，與的對應關(guān)系不同，所以不是同一函數(shù)；對于③中，函數(shù)，與，可得兩函數(shù)的的定義域相同，對應關(guān)系也相同，所以是同一函數(shù)；對于④中，函數(shù)，與，可得兩函數(shù)的的定義域不同，所以不是同一函數(shù)．綜上，是同一函數(shù)的只有③．故選：C．4.學校舉行運動會時，高一（1）班共有28名學生參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，只參加一項比賽的有（）人．A.3 B.9 C.19 D.14【答案】C【解析】設(shè)只參加田徑的人數(shù)為，同時參加田徑和球類比賽的人數(shù)為，只參加球類的人數(shù)為，則由韋恩圖得：，解得，所以只參加一項比賽的有人.故選：C．5.下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若,，則【答案】D【解析】對于A，若，當時，則，故A錯誤；對于B，若，滿足，但，故B錯誤；對于C，因，，由，可得，故C錯誤；對于D，由，得，因，則，故D正確．故選：D．6.已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]【答案】D【解析】由函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)可得，解得.故選：D.7.已知關(guān)于x的方程，下列結(jié)論錯誤的是（）A.方程無實數(shù)根必要條件是B.方程有一正一負根的充要條件是C.方程有兩正實數(shù)根的充要條件是D.方程有實數(shù)根的充要條件是或【答案】D【解析】A選項，方程無實數(shù)根的充要條件是，解得，，故必要條件是，故A正確；B選項，方程有一正一負根的充要條件是，解得，B正確；C選項，方程有兩正實數(shù)根的充要條件是，解得，C正確；D選項，方程有實數(shù)根的充要條件是，解得，D錯誤.故選：D．8.若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.或C. D.或【答案】B【解析】由兩個正實數(shù)滿足，得，則，當且僅當，即時取等號，又由不等式有解，可得，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為或.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知均為實數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若則B若則C.若，則D.若，則【答案】AD【解析】若，則，又，則，A選項正確；若，滿足，但，不成立，B選項錯誤；若，，滿足，但，不成立，C選項錯誤；，則，又，∴，即，D選項正確.故選：AD.10.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一個元素，則C.關(guān)于的不等式的解集，則不等式的解集為D.“”是“”的充分不必要條件【答案】CD【解析】對A：命題“”的否定是“，使得”，故A錯誤；對B：當時，集合中也只有一個元素，故B錯誤；對C：因為關(guān)于的不等式的解集為，故，不妨設(shè)a=-1，則由韋達定理可得，，所以不等式，故C正確；對D：由“，”可得“”，但“”，比如時，“，”就不成立，故D成立.故選：CD.11.設(shè)矩形的周長為定值，把沿向折疊，折過去后交于點P，如圖，則下列說法正確的是（）A.矩形的面積有最大值 B.的周長為定值C.的面積有最大值 D.線段有最小值【答案】BCD【解析】對于選項A：設(shè)，則，因為，所以．矩形的面積，因為，所以無最大值．故A錯；對于選項B：根據(jù)圖形折疊可知與全等，所以周長為．故B正確；對于選項C：設(shè)，則，有，即，得，，當時，取最大值．故C正確；對于選項D：因為，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當，當時函數(shù)有最小值，無最大值．故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域為.13.若，則=____________【答案】【解析】由題設(shè)，根據(jù)集合元素的互異性，所以=.14.若函數(shù)y=fx在區(qū)間上同時滿足：①在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，②當，函數(shù)的值域為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間，若函數(shù)存在“保值”區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍______________________．【答案】【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則，由，即函數(shù)在有兩個不等的實數(shù)根；設(shè)，所以，解得．若，則，由，兩式相減可得，所以，從而，即，同理可得，設(shè)，所以，解得．綜上可得，實數(shù)的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合.（1）求（2）；（3）若，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）因為，所以，.（2）由（1）知，所以，由，得，所以.（3）由，可得，又，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．16.已知命題：“，”為假命題，設(shè)實數(shù)的所有取值構(gòu)成的集合為.（1）求集合；（2）設(shè)集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為命題為假命題，故關(guān)于的一元二次方程無解，即，解得，故集合.（2）由是的必要不充分條件，可知，當時，既，解得，此時滿足，當時，如圖所示，故且等號不同時成立，解得，綜上所述，的取值范圍是.17.某學校欲在廣場旁的一塊矩形空地上進行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.（1）若矩形草坪長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；（2）若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.解：（1）設(shè)草坪的寬為x米，長為y米，由面積均為200平方米，得，因為矩形草坪的長比寬至少多10米，所以，又，所以，解得，所以寬的最大值為10米.（2）記整個綠化面積為S平方米，由題意得，，當且僅當米時，等號成立，所以整個綠化面積的最小值為平方米.18.函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當時，函數(shù)的解析式為.（1）求的值；（2）用定義證明在上是減函數(shù)；（3）當時，求函數(shù)的解析式.解：（1）因為時，函數(shù)的式為，所以，因為為上的奇函數(shù)，所以.（2）證明：設(shè)，則，所以，因為時，，則，所以，所以在上是減函數(shù).（3）當時，，則，所以.19.若函數(shù)在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”．（1）函數(shù)①；②；③，其中函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”；（填序號）（2）已知函數(shù)．①函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值；②當時，函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，請直接寫出的值；（3）已知函數(shù)，若函數(shù)是在（為整數(shù)）上的“美好函數(shù)”，且存在整數(shù)，使得，求的值．解：（1）對于①，當時，，當時，，∴，符合題意；對于②，當時，，當時，，∴，不符合題意；對于③，當時，，當時，，∴，不符合題意.故答案為：①.（2）①二次函數(shù)對稱軸為直線，當時，，當時，，當時，則當時，隨的增大而增大，，，當時，