高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：集合、復(fù)數(shù)、邏輯語(yǔ)言（解析版）

專題14集合，復(fù)數(shù)，邏輯語(yǔ)言專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)系的擴(kuò)張過(guò)程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克（KraieMer,1823-1891）

說(shuō)“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足2=產(chǎn)2°（1+2，），則Z的共輾復(fù)數(shù)是

（）

A.2+zB.2-zC.l-2zD.l+2z

【答案】C

【分析】利用虛數(shù)單位的哥的運(yùn)算規(guī)律化簡(jiǎn)即得Z=l+2九然后利用共輾復(fù)數(shù)的概念判定.

【詳解】解：z2020=（z4）5°5=1,:.Z=1+2i,:.Z=l-2i,

故選：C.

2.（2022秋?浙江溫州.高一樂(lè)清市知臨中學(xué)?？计谥校┠硣?guó)近日開(kāi)展了大規(guī)模COWLM9核酸檢測(cè)，并將數(shù)

據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（）

A.無(wú)癥狀感染者B.發(fā)病者C.未感染者D.輕癥感染者

【答案】A

【分析】由5=413即可判斷S的含義.

【詳解】解：由圖可知，集合S是集合A與集合2的交集，

所以集合S表示：感染未發(fā)病者，即無(wú)癥狀感染者，

故選：A.

3.（2021秋.湖北十堰?高一校聯(lián)考期中）必修一課本有一段話：當(dāng)命題“若〃，則4”為真命題，貝『'由〃可以

推出即一旦P成立，4就成立，P是4成立的充分條件.也可以這樣說(shuō)，若4不成立，那么P一定不成立，

q對(duì)。成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說(shuō)過(guò)一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于

險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（）

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】本題可根據(jù)充分條件與必要條件的定義得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤胺怯兄菊卟荒苤烈病奔础坝兄尽辈怀闪r(shí)“能至”一定不成立，

所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件，

故選：B.

4.(2022秋.云南曲靖.高一?？计谥?杜甫在《奉贈(zèng)韋左丞丈二十二韻》中有詩(shī)句：“讀書(shū)破萬(wàn)卷，下筆如

有神.”對(duì)此詩(shī)句的理解是讀書(shū)只有讀透書(shū)，博覽群書(shū)，這樣落實(shí)到筆下，運(yùn)用起來(lái)才有可能得心應(yīng)手，如有

神助一般，由此可得，“讀書(shū)破萬(wàn)卷”是“下筆如有神”的()

A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷.

【詳解】杜甫的詩(shī)句表明書(shū)讀得越多，文章未必就寫(xiě)得越好，但不可否認(rèn)的是，一般寫(xiě)作較好的人，他的

閱讀量一定不會(huì)少，而且所涉獵的文章范疇也會(huì)比一般讀書(shū)人廣泛.

因此“讀書(shū)破萬(wàn)卷”是“下筆如有神”的必要不充分條件.

故選：C

5.(2020.陜西榆林.統(tǒng)考一模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+6i(。，6eR)對(duì)應(yīng)向量無(wú)(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，

設(shè)|反卜r,以射線OX為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為6,則2=.(85。+汴由。)，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了

棣莫弗定理：4=a(cosR+isina),z?=々(cos。+isin60,貝1|々z?=依［cos(q+a)+isin(q+幻］,由棣

莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：1r(cose+isin。)］"=r"(cos〃e+isin“e),已知2=(石+”,則口=()

A.2^3B.4C.D.16

【答案】D

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：［r(cosd+isind)］"=r"(cos〃d+isinM，直接求解即可.

【詳解】z=(J5+i)=2等+g=16^cos-^+;sin^

=16cos^4x^j+zsinf4x^j=-8+8拓i,

|Z|=^（-8）2+（873）2=16.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)

數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021春.重慶沙坪壩.高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之

一，它說(shuō)的是：任何一元〃次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式/'（X）在復(fù)數(shù)集中有〃個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）那么，（力=丁-1

在復(fù)平面內(nèi)使y（x）=o除了1和-.這兩個(gè)根外，還有一個(gè)復(fù)數(shù)根為（）

A一一烏B.」_烏1V5.

D.1

222222

【答案】B

【分析】利用方程根的意義，把-工+3i代入方程，經(jīng)化簡(jiǎn)變形即可得解.

22

【詳解】因-是方程，（力=。的根,

（161z1百1

日口（——+——0-1^（——+——0二

即2222

=（二_烏）&.'—?）」+烏

22222222

=＞（■-四）』」+四）（」一烏）=1,

222222

所以-;-#i是方程/（x）=0的根.

故選：B

7.（2021春?安徽宣城?高一校聯(lián)考期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了公式e"=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）,

它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重

要的地位.根據(jù)歐拉公式可知，e率表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)歐拉公式代入求解即可.

【詳解】解：根據(jù)歐拉公式e"=cosx+isinx,

田爭(zhēng)3兀一3兀及」及.

4=cos——+isin——=------+——i,

4422

即它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為---，

I22)

故位于第二象限.

故選：B.

8.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))“虛數(shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾(Re附⑺escartes)創(chuàng)制

的，直到19世紀(jì)虛數(shù)才真正聞人數(shù)的領(lǐng)域，虛數(shù)不能像實(shí)數(shù)一樣比較大小.己知復(fù)數(shù)z,回=1且z-(l+i)>0

(其中，是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z=()

A.V2-V2iB.V2+V2i

C.在一克I

1

22TT

【答案】c

【分析】根據(jù)條件，設(shè)z=a+6i,再列式求。1,即可得到復(fù)數(shù).

【詳解】設(shè)z=a+6i,a1+b2=1,①

(a+bi)(l+i)=(a—b)+(a+b)i>0,得a+Z>=0,.l=La—b>0②，

由①②解得：a=,b=,

22

所以2=變-正「

22

故選：C

9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))2022年1月，中科大潘建偉團(tuán)隊(duì)和南科大范靖云團(tuán)隊(duì)發(fā)表學(xué)術(shù)報(bào)告，分別獨(dú)

立通過(guò)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了虛數(shù)i在量子力學(xué)中的必要性，再次說(shuō)明了虛數(shù)i的重要性.對(duì)于方程三+1=0,它的

兩個(gè)虛數(shù)根分別為()

A1±后R-l±V3i

22

C±1+后D±1-后

'2-2~

【答案】A

【分析】根據(jù)方程根的定義進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】首先實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式方程的虛數(shù)根成對(duì)出現(xiàn)，它們互為共軌復(fù)數(shù)，因此排除CD,

A選項(xiàng)，(-3+]J+3.曲+3.(a2+(庖\]=8+3后一3后+]川

288

因此選項(xiàng)A正確，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤(因?yàn)?次方程只有3個(gè)根(包括重根)).

故選:A.

10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動(dòng)著數(shù)域的擴(kuò)展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到

分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)等等.16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時(shí)，首先引進(jìn)了i2=—l，17世

紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡兒把i稱為“虛數(shù)”，用“+歷（。、6eR）表示復(fù)數(shù)，并在直角坐標(biāo)系上建立了“復(fù)平面”.若

復(fù)數(shù)z滿足方程Z2+2Z+5=0,貝”=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

【答案】C

【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)為0列出方程組求解作答.

【詳解】設(shè)z=a+6i（a,Z?eR）,因z2+2z+5=0,貝U（。+歷了+2（。+歷）+5=0,

即（a2-Z?2+2a+5）+26（a+l）i=0,而則〈，解得、?，

2b（a+1）=0[b=±2

所以z=-l±2i.

故選：C

11.（2022.高一單元測(cè)試）中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：今有物，不知其數(shù)?三三數(shù)之,

剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二?問(wèn)：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知A=kk=3〃+2,"eN*},

2=卜|尤=5〃+3,"€N*},C=^x\x=Tn+2,n&N*^,若xeAcBcC,則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)x為

A.8B.127C.37D.23

【答案】D

【解析】將選項(xiàng)中的數(shù)字逐一代入集合A、B、C的表達(dá)式，檢驗(yàn)是否為A、B、C的元素，即可選出正確

選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?=7xl+l,則8eC,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

127=3x42+1,則127/A,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

37=3x12+1,則37e4,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

23=3x7+2,故23eA；23=5x4+3,故xeB；23=7x3+2,故xeC,則23eAcBcC,選項(xiàng)D正

確.

故選：D.

12.（2022秋?浙江溫州?高一?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑

洞”現(xiàn)象.數(shù)學(xué)黑洞：無(wú)論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去，

就像宇宙中的黑洞一樣.目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等.定

義：若一個(gè)w位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的〃次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知所有一

位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合4集合3={x|-3＜尤＜4,xeZ},則AcB的子集個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)自戀數(shù)的定義可得集合A,再根據(jù)交集的定義求出AcB,從而可得答案.

【詳解】解：依題意，A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={-2,-1,0,1,2,3）,

故AAB={1,2,3},故AcB的子集個(gè)數(shù)為8.

故選：D.

13.（2019?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來(lái)表

示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過(guò)剩近似值分別為2和@（0,b,c,deN+）,則之

aca+c

2714

是x的更為精確的不足近似值或過(guò)剩近似值.我們知道e=2.71828…，若令三＜e＜］，則第一次用“調(diào)日法”

后得4段1是e的更為精確的過(guò)剩近似值，即、27＜6＜曾41，若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么第三次用“調(diào)日法”后可

得e的近似分?jǐn)?shù)為

、109「68-19-87

A?B.—C.—D.—

4025732

【答案】C

【解析】利用“調(diào)日法”進(jìn)行計(jì)算到第三次，即可得到本題答案.

【詳解】第一次用“調(diào)日法”后得9是e的更為精確的過(guò)剩近似值，即條＜e＜2；第二次用“調(diào)日法”后得崇

是e的更為精確的過(guò)剩近似值，即第三次用“調(diào)日法”后得:是e的更為精確的不足近似值，即

1968m2濟(jì)*—19

7"＜e＜w所以答案為了.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查“調(diào)日法”，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2022.上海.高一專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書(shū)中提出了杠桿原理，

它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤(pán)物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤(pán)物品質(zhì)

量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱黃金，某顧客要購(gòu)買(mǎi)10g黃金，售貨員先將5g的

祛碼放在左盤(pán)，將黃金放于右盤(pán)使之平衡后給顧客；然后又將5g的祛碼放入右盤(pán)，將另一黃金放于左盤(pán)使

之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

【答案】A

【分析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為右臂長(zhǎng)為萬(wàn)（不妨設(shè)。>萬(wàn)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為叫，后稱得的黃金的

實(shí)際質(zhì)量為叫.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得班，牡表達(dá)式，利用作差法比較%+恤與10的大小，即可

得答案.

【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為右臂長(zhǎng)為6（不妨設(shè)。>b）,

先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為叫，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為根”

由杠桿的平衡原理：加！=ax5,am,=bx5.解得叫=色，m,=—,

ba

,5b5a

則ni叫+牡=---1------.

ab

下面比較叫+嗎與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）

因?yàn)椋ò?八）_]0總+也_]0=5（"）一,

abab

因?yàn)槿薭,所以亞二立>0,即g+也>10.

ab

所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于10g.

故選：A

15.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）三國(guó)時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如

圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（）

A.如果a>6,6>c,那么a>c

B.如果a>b>0,那么a?〉//2

C.如果。>6,c>。，那么ac>6c

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b,有當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，等號(hào)成立

【答案】D

【分析】直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,斜邊長(zhǎng)為C,則,2=/+62,利用大正方形的面積與四個(gè)直

角三角形面積和的不等關(guān)系得結(jié)論.

【詳解】直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為以斜邊長(zhǎng)為C,則02=儲(chǔ)+62,

在正方形的面積為°2,四個(gè)直角三角形的面積和為2而，因此有即/+6222詔，當(dāng)且僅當(dāng)。=6

時(shí)，中間沒(méi)有小正方形，等號(hào)成立.

故選：D.

16.（2022秋?北京豐臺(tái)?高一統(tǒng)考期末）《幾何原本》卷II的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的

重要依據(jù).通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，

點(diǎn)P在半圓。上，點(diǎn)C在直徑A8上，MOFLAB,設(shè)AC=a,BC=b,可以直接通過(guò)比較線段OP與線段

C尸的長(zhǎng)度完成的無(wú)字證明為（）

OCB

A.a2+b2>2ab(〃>0,Z?>0)

2ab

(a>0,b>0)D.-^—<4ab(a>0,b>0)

a+b

【答案】C

【分析】由圖形可知0尸=343=；（°+3，。7=3（。-6）,在口14。。尸中，由勾股定理可求。尸,結(jié)合。后。尸

即可得出.

【詳解】解：由圖形可知，。/=]AB=,OC=—(a+Z?)—i>=—(a—Z?),

在RtaocF中，由勾股定理可得,

,/CF>OF,

故選：C.

17.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）18世紀(jì)末，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，使

復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如忖=|OZ|,也即復(fù)數(shù)Z的模的幾何意義為Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離.已

知復(fù)數(shù)z滿足目=2,則|z-3-4i|的最大值為（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)幾何意義可得2（%》）的軌跡為圓/+、2=4,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)2（工川到點(diǎn)（3,4）的距離,

則所求最大值為圓心到（3,4）的距離加上半徑.

【詳解】?巾=2,；.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z（x,y）的軌跡為圓Y+y2=4；

???卜-3-倒的幾何意義為點(diǎn)2伍丫）到點(diǎn)（3,4）的距離,

22

一3一4以=7（0-3）+（0-4）+2=7.

故選：C.

18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并給出以下公式

e^^cosx+isinx,（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，xeR）,這個(gè)公式在復(fù)變論中有非常重要的

地位，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）

,,..（也V2,Y022

A.e"1-1=0B.2cosx=eu+euC.2sinx=e"-e"D.—+—i=-l

I22J

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件的公式及誘導(dǎo)公式，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算后即可求解.

【詳解】對(duì)于A,em=cos7t+isin7i=—b所以e'"=—1=-2,故A不正確；

對(duì)于B,3*=cosx+isin無(wú)，e"w=cos（-x）+isin（-x）=cosx-isinA:,

所以e*+e"=2cosx,故B正確；

對(duì)于C,3*=cosx+isin尤，e-'”=cos（-x）+isin（-x）=cosx-isinx,

所以ea-eT'=2isinx,故C不正確；

th八（五五A（無(wú)??吟（李）202271..2Q22n

對(duì)于D,-----1-----1=cos—+isin—=e4=cos----------Fisin--------

[22）^44jJ44

jrjr

=-cos——isin—=-i,故D不正確.

故選：B.

19.（2020?天津?南開(kāi)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國(guó)

數(shù)學(xué)家戴金德提出了“戴金德分割”才結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴金德分割，是

指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集/與N,且滿足MuN=Q,McN=0,M中的每一個(gè)元素都

小于N中的每一個(gè)元素，則稱（M,N）為戴金德分割.試判斷，對(duì)于任一戴金德分割下列選項(xiàng)中一

定不成立的是（）

A.沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素

B.又沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素

C.A/有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

D.M有一個(gè)最大元素，N沒(méi)有最小元素

【答案】C

【分析】本題目考察對(duì)新概念的理解，舉具體的實(shí)例證明成立即可，A,B,D都能舉出特定的例子，排除法則

說(shuō)明C選項(xiàng)錯(cuò)誤

【詳解】若河={》6。,》＜0},N={x&Q,x＞0\.則/沒(méi)有最大元素，N有一個(gè)最小元素0；故A正確;

若加=卜?°,無(wú)＜&},N=［X^Q,X＞41\.則知沒(méi)有最大元素，N也沒(méi)有最小元素；故B正確；

若M={xeQ,x4O},N={尤eQ,尤＞0}；M有一個(gè)最大元素，N沒(méi)有最小元素，故D正確；

M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素不可能，故C不正確.

故選：C

20.（2021春?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）不定方程的整數(shù)解問(wèn)題是數(shù)論中一個(gè)古老的分支，其內(nèi)容極為豐

富，西方最早研究不定方程的人是希臘數(shù)學(xué)家丟番圖.請(qǐng)研究下面一道不定方程整數(shù)解的問(wèn)題：己知

/02。+/=2%（尤€,yeZ）則該方程的整數(shù)解有（）組.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

［分析］原方程可化為所以|x區(qū)即T4x41,04y42,（x,yeZ）再列舉每種

情況即可.

【詳解】設(shè)此方程的解為有序數(shù)對(duì)a，y）,

因?yàn)閤2020+y2=2y,（x,yeZ）

所以尤2。2。+曰一1）2=1

當(dāng)爐°2°>1或(y-l)2>l時(shí)，等號(hào)是不能成立的，

所以|x區(qū)l,(y-l)241,即-LMxMl,0My=2,(x,yeZ)

(1)當(dāng)x=-l時(shí)，(,-1)2=0即y=]

(2)當(dāng)x=0時(shí)，(-)2=1即y=0或y=2

(3)當(dāng)x=l時(shí)，(y-l)2=0即y=l

綜上所述，共有四組解(-1,-1),(0,0),(0,2),(1』)

故選:D

21.(2022秋?四川成都?高一成都七中校考期中)對(duì)于直角三角形的研究，中國(guó)早在商朝時(shí)期，就有商高提

出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯才提出并證明了

勾股定理.如果一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于5,則這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值等于().

LL25

A.10A/2B.10C.5+5忘D.—

【答案】C

【分析】先由勾股定理得標(biāo)+/=25,再利用基本不等式易得(a+3七50,由此得到a+6+cW5+50，

問(wèn)題得解.

【詳解】不妨設(shè)該直角三角形的斜邊為c=5,直角邊為。切，則/+/=°2=25,

因?yàn)樗?廳+2a6V2(a~+6-)，即(°+W50,

當(dāng)且僅當(dāng)且/+匕2=25,即a=>=逑時(shí)，等號(hào)成立，

2

因?yàn)椤?gt;0,6>0,所以(7+645立，

所以該直角三角形周長(zhǎng)a+6+c45忘+<?=5+5后，即這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為5+5近.

故選：C.

22.(2017?湖北?校聯(lián)考一模)我國(guó)古代太極圖是一種優(yōu)美的對(duì)稱圖.如果一個(gè)函數(shù)的圖像能夠?qū)A的面積和

周長(zhǎng)分成兩個(gè)相等的部分，我們稱這樣的函數(shù)為圓的“太極函數(shù)”.下列命題中簿誤命題的個(gè)數(shù)是

月：對(duì)于任意一個(gè)圓其對(duì)應(yīng)的太極函數(shù)不唯一；

心：如果一個(gè)函數(shù)是兩個(gè)圓的太極函數(shù)，那么這兩個(gè)圓為同心圓；

A：圓(x-l)2+(y-l)2=4的一個(gè)太極函數(shù)為/(x)=X3-3X2+3X；

P4:圓的太極函數(shù)均是中心對(duì)稱圖形；

巴：奇函數(shù)都是太極函數(shù)；

此：偶函數(shù)不可能是太極函數(shù).

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】由定義可知過(guò)圓。的任一直線都是圓。的太極函數(shù)，故片正確；當(dāng)兩圓的圓心在同一條直線上時(shí)，

那么該直線表示的函數(shù)為太極函數(shù)，故2錯(cuò)誤；(尤)=d-3x2+3x=(x_iy+l,.?./(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)

(1,1)成中心對(duì)稱，又???圓(x-iy+(y-l)2=4關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對(duì)稱，故〃*)=三-3/+3%可以為圓

(x-iy+(y-l)2=4的一個(gè)太極函數(shù)，故A正確；太極函數(shù)的圖象一定過(guò)圓心，但不一定是中心對(duì)稱圖形,

故乙錯(cuò)誤；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其圖象可以將任意以原點(diǎn)為圓心的圓面積及周長(zhǎng)進(jìn)行平分，故奇

函數(shù)可以為太極函數(shù)，故［正確；如圖所示

偶函數(shù)可以是太極函數(shù)，故1錯(cuò)誤；則錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，故選B.

二、多選題

23.(2021春.廣東梅州?高二統(tǒng)考期末)歐拉公式*=cos尤+isinx(其中i為虛數(shù)單位，龍eR)是由瑞士

著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在

復(fù)變函數(shù)論里而占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是()

A.復(fù)數(shù)/對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限B./為純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)針的模長(zhǎng)等于JD.啟的共軌復(fù)數(shù)為L(zhǎng)-li

V3+i2e22

【答案】AC

【分析】根據(jù)歐拉公式計(jì)算出各復(fù)數(shù),再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，純虛數(shù)的概念，復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，共朝

復(fù)數(shù)的概念即可判斷各選項(xiàng)的真假.

【詳解】對(duì)A,e=cosl+isinl,因?yàn)?<l<g,所以cosl>0,sinl>0,即復(fù)數(shù)/對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(cos1,sin1)位于

第一象限，A正確；

對(duì)B,e汨=cos?+isin?=—l,*為實(shí)數(shù)，B錯(cuò)誤；

,cosx+isinx(cos尤+isin%)(百-i)Qcosx+sin%A^sinx-cosx.

對(duì)c瓦r.+i_3)5i)=4+4L

則復(fù)數(shù)三；的模長(zhǎng)為：

5/5cosx+sinx]+(Qsinx-cosx]/3cos2x+sin2x+3sin2%+cos2x1正確

[4J+14]F16—屋；

對(duì)D,e^'=cos—+isin—=—+-i,共輾復(fù)數(shù)為避^-4i,D錯(cuò)誤.

662222

故選：AC.

24.(2022春?廣東梅州?高一統(tǒng)考期末)歐拉公式e“=cosx+isinx(本題中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單

位)是由瑞士若名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常

重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)歐拉公式，則下列結(jié)論中正確的是()

A.泌+1=0

B.復(fù)數(shù)針在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.復(fù)數(shù)導(dǎo)的共輾復(fù)數(shù)為@一

e22

D.復(fù)數(shù)e&(6eR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓

【答案】ABD

【分析】由歐拉公式和特殊角的三角函數(shù)值可判斷A；由歐拉公式和三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)可判斷B；

由歐拉公式和共軌復(fù)數(shù)的概念可判斷C；由歐拉公式和復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,eE+lucosjt+isin兀+1=-1+0+1=0,A正確;

對(duì)于B,e2i=cos2+isin2,'.1cos2<0,sin2>0,

；?復(fù)數(shù)e"在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B正確；

對(duì)于C,e^=cos-+isin-=-+^i,共朝復(fù)數(shù)為工―1"C錯(cuò)誤；

332222

對(duì)于D,eie=cos6>+isin0（6>eR）,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（cos。,sin。），

又：（8$。-0）2+s山6?-0）2=1,，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓.

故選：ABD.

25.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)

抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒(méi)有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念

則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“?”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有

的。、bGG,有abGG,如果G的運(yùn)算還滿足：①V。、b、cGG,有Ca-b）-c=a-（b-c）；②^eeG,使得

VaeG,有e-a=a-e=a,③VaeG,3Z?eG,使ab=b-a=e,則稱G關(guān)于“,"構(gòu)成一個(gè)群.則下列說(shuō)法正確

的有（）

A.G={-l,0,l}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群

B.G=[X\X=Y,左GZ,際0}U{x|x=〃z,“zGZ,加加}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群

k

C.實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群

D.G={/〃+>/^九|相,九€2}關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群

【答案】CD

【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個(gè)條件逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：若6={-1,0,1},對(duì)所有的a、b&G,有。力e{l,0,—1}=G,

滿足乘法結(jié)合律，即①成立，滿足②的e為1,

但當(dāng)。=0時(shí)，不存在6eG,使得。b=b~a=e=l,即③不成立，

即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

113

對(duì)于B：因?yàn)閍=—eG,且b=3eG,但。為=—x3=—任G,

222

所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：^G=R,對(duì)所有的a、bwR,有a+beR,

滿足加法結(jié)合律，即①成立，滿足②的e為0,

VaeR,3b=-a&R,使a+b=Z?+a=0,即③成立；

即選項(xiàng)C正確;

對(duì)于D：若6={用+五相根,〃EZ},所有的a=仍+0勺、b=m2-\-y/2n2GG,

有.+/?=（州+阪）+亞（4+%）￡G,Va,Z?,c￡G,（a+b）+c=a+S+c）成立，

即①成立；當(dāng)〃=>=。時(shí)，〃+傷=0，滿足的e=0,即②成立；

X/a=m+y/2nGG，3b=-m-"teG，使a+6=b+a=0,即③成立；

即選項(xiàng)D正確.

故選：CD.

26.（2020秋?江蘇鹽城?高二江蘇省東臺(tái)中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股

十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題

的一般解法：如圖1,用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為6和4的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成

一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩

形，該矩形長(zhǎng)為a+b,寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)/由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3.設(shè)。

為斜邊8C的中點(diǎn)，作直角三角形A3C的內(nèi)接正方形對(duì)角線AE,過(guò)點(diǎn)A作A/13c于點(diǎn)/，則下列推理

正確的是（）

②由AE2AF可得

③由ADNAE可得

④由AD2AF可得。2+〃22".

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABCD

【解析】根據(jù)圖1,圖2面積相等，可求得d的表達(dá)式，可判斷A選項(xiàng)正誤，由題意可求得圖3中AD,AE,AF

的表達(dá)式，逐一分析8、C、。選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】對(duì)于①：由圖1和圖2面積相等得S=a6=（a+b）xd,所以〃=鳥(niǎo)，故①正確;

a+b

對(duì)于②：因?yàn)锳F13C,所以《xax6=1J7TFxAF,所以40=1ab-

22yla2+b2

設(shè)圖3中內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為3根據(jù)三角形相似可得"=：,解得公鳥(niǎo)，

aba+b

所以AE=6t=叵2，

a+b

因?yàn)椤?質(zhì)’所以駕二券『整理可得尸2審'故②正確;

對(duì)于③：因?yàn)镺為斜邊2C的中點(diǎn)，所以

因?yàn)锳D2AE,所以2叵L整理得

故③正確;

2a+b

對(duì)于④：因?yàn)锳D上”，所以",整理得：a2+b*2ab,故④正確;

2J/+62

故選：ABCD

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意及三角形的性質(zhì)，利用幾何法證明基本不等式，求得ARAE,的表達(dá)式，

根據(jù)圖形及題意，得到A2AE,”的大小關(guān)系，即可求得答案，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力.

27.（2022秋?黑龍江佳木斯?高一樺南縣第一中學(xué)?？计谥校稁缀卧尽肪鞨的幾何代數(shù)法（以幾何方法研

究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù).通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)

圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)。在半圓。上，點(diǎn)C在直徑上，且CDLAB.設(shè)

AC=a,CB=b,CELOD,垂足為E,則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）

A.而3B.￡±^<

a+b2一

C.2痣D.a2+b2>2y[ab

【答案】AC

【解析】直接利用射影定理和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)圖形，利用射影定理得：CD2=DE.OD,

由于：OD..CD,

所以：^-..Jab（a>0,b>0）.

由于CD?=ACCB=H,

r,p-CD2-ab

所以證=干

2

所以由于CD.DE,

整理得：4^b>—.

a+b

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：射影定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維

能力，屬于基礎(chǔ)題型.

28.（2022秋?遼寧大連?高一大連八中?？茧A段練習(xí)）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度

與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是叵［（好二1*0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.

22

此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是叵土.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比

2

例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是（）

A.168cmB.172cmC.176cmD.180cm

【答案】BC

【分析】設(shè)身高為xcm,運(yùn)用黃金分割比例，結(jié)合圖形得到對(duì)應(yīng)成比例的線段，計(jì)算可估計(jì)身高.

【詳解】設(shè)頭頂、咽喉、肚臍、足底分別為點(diǎn)A、B、C、D,假設(shè)身高為xcm,即AD=*cm,

\4

???人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是叵口，.?.四=好二

2CD22

vAC+CD=x,S.AC=^^-CD,:.^^-CD+CD=X,;.^^~CD=X,；.CD=-12—X=^^X,

222V5+12

???人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比均是好匚，，絲=必二1,二=避二1BC,

2BC22

AB+BC+CD=X,SLAB=^^-BC,CZ）=^—lx,避二■BC+BC+避二■XT,

2222

.-.BC=(V5-2)x?,AB=^BC=^(V5-2)x=^|^x,

52

AB='-3也x<26x<-------/=

27-3V5x<178.21

由題意可得,.?.169.89vxvl78.21,故BC正確.

cn=^^x>io5210x>169.89

x>—f=——

2A/5-1

故選：BC

29.（2021秋.全國(guó)?高一期末）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和

中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類(lèi)中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定

義與今天大致相同.而今我們稱三為正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，a為正數(shù)的幾何平均數(shù)，并把這兩者

結(jié)合的不等式疝4學(xué)（4>08>0）叫做基本不等式.下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（）

A.若"=4,則

B.若〃>0,b>0,貝lJ（a+2b）［：+t）最小值為4萬(wàn)

C.若￡（0,+QO）,2a+Z?=l,——F—>4

D.若實(shí)數(shù)b滿足。>0,b>Q,a+6=4,則金+互的最小值是。

o+lb+l3

【答案】CD

【分析】通過(guò)反例可知A錯(cuò)誤；根據(jù)基本不等式“1”的應(yīng)用可求得BC正誤；令。+1=加〉1,&+!=?>1,

將所求式子化為2+巨，利用基本不等式可知D正確.

mn

【詳解】對(duì)于A,若〃=一2,b=-2,則a+b=-4<4,A錯(cuò)誤;

ab

對(duì)于B,t/tz>0,Z?>0,..—>0,—>0,

ba

.?.(a+2^)f-+-^=3+-+—>3+2./--—=3+272(當(dāng)且僅當(dāng)

即“=時(shí)取等號(hào)），即

\abJba\baba

++的最小值為3+2后，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,6Z,Z?G(O,4W),.*.->0,—>0,又2a+Z?=l,

ba

11b2a..—-4(當(dāng)且僅當(dāng)2=?即b=2a=」時(shí)取等號(hào)）,

/.一+—+—+——>2+2.

lab2ab2ab2ab2

C正確;

對(duì)于D,令。+1=加>1,b+\=n>\,則加+〃=6,

2122

ab(m-1)(n-1)11411八67/*曰/口小

/.------+------=-------+--------^—=m+n+—+——4=2+—+—=2+——>2+[m+n\3(當(dāng)且僅當(dāng)

a+10+1mnmnmnmnI——I

加="=3時(shí)取等號(hào))，即上—+2—的最小值是:，D正確.

o+lb+l3

故選：CD.

30.（2022秋?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=’

作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“〈”和“〉”符號(hào)，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深

遠(yuǎn).若a,b,CGR,則下列命題正確的是（）

A.若"#0且。<》，則!B.若a>b,0<c<l,則c"<<?

ab

C.若a>b>l,C>1,則log"C<log/D.若c>0,則

【答案】BCD

【分析】利用不等式性質(zhì)結(jié)合可判斷A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷B,根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性

質(zhì)可判斷C,根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】A中，a<0<6時(shí)，貝錯(cuò)誤；

ab

B中，因?yàn)閍>b,0<c<l,所以c"<c"成立，正確；

C中，因?yàn)椤?gt;b>l,ol,所以logca>logcb>0,--------------r>0,

logra-logr/?

11

所以1-------<；------7,即log”c<log/,正確；

log,alog,b

D中，由a<6<-l,可得幺>1>。>0,又c>0,所以（幺］>W,正確.

ba）\a）

故選：BCD.

三、填空題

31.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了平方差公式，平方差公式是指兩

個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.若復(fù)數(shù)〃=5+3i,6=4+3i（i為虛數(shù)單位），則=

【答案】9+6i

【分析】先要平方差公式，再按照復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可.

【詳解】/—62=（a+3（a—6）=（5+3i+4+3i）（5+3i—4—3i）=9+6i；

故答案為：9+6i.

32.2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）毛澤東同志在《清平樂(lè)?六盤(pán)山》中的兩句詩(shī)為“不到長(zhǎng)城非好漢，屈指行

程二萬(wàn)”，假設(shè)詩(shī)句的前一句為真命題，貝『‘到長(zhǎng)城”是“好漢”的條件（填“充分不必要”