高考數學專項復習：集合、復數、邏輯語言（解析版）

專題14集合，復數，邏輯語言專題（數學文化）

一、單選題

1.（2022?高一課時練習）數系的擴張過程以自然數為基礎，德國數學家克羅內克（KraieMer,1823-1891）

說“上帝創(chuàng)造了整數，其它一切都是人造的”設為虛數單位，復數Z滿足2=產2°（1+2，），則Z的共輾復數是

（）

A.2+zB.2-zC.l-2zD.l+2z

【答案】C

【分析】利用虛數單位的哥的運算規(guī)律化簡即得Z=l+2九然后利用共輾復數的概念判定.

【詳解】解：z2020=（z4）5°5=1,:.Z=1+2i,:.Z=l-2i,

故選：C.

2.（2022秋?浙江溫州.高一樂清市知臨中學校考期中）某國近日開展了大規(guī)模COWLM9核酸檢測，并將數

據整理如圖所示，其中集合S表示（）

A.無癥狀感染者B.發(fā)病者C.未感染者D.輕癥感染者

【答案】A

【分析】由5=413即可判斷S的含義.

【詳解】解：由圖可知，集合S是集合A與集合2的交集，

所以集合S表示：感染未發(fā)病者，即無癥狀感染者，

故選：A.

3.（2021秋.湖北十堰?高一校聯考期中）必修一課本有一段話：當命題“若〃，則4”為真命題，貝『'由〃可以

推出即一旦P成立，4就成立，P是4成立的充分條件.也可以這樣說，若4不成立，那么P一定不成立，

q對。成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于

險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數學邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（）

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】本題可根據充分條件與必要條件的定義得出結果.

【詳解】因為“非有志者不能至也”即“有志”不成立時“能至”一定不成立，

所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件，

故選：B.

4.(2022秋.云南曲靖.高一?？计谥?杜甫在《奉贈韋左丞丈二十二韻》中有詩句：“讀書破萬卷，下筆如

有神.”對此詩句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實到筆下，運用起來才有可能得心應手，如有

神助一般，由此可得，“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的()

A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據充分條件和必要條件的定義分析判斷.

【詳解】杜甫的詩句表明書讀得越多，文章未必就寫得越好，但不可否認的是，一般寫作較好的人，他的

閱讀量一定不會少，而且所涉獵的文章范疇也會比一般讀書人廣泛.

因此“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的必要不充分條件.

故選：C

5.(2020.陜西榆林.統(tǒng)考一模)在復平面內，復數z=a+6i(。，6eR)對應向量無(。為坐標原點)，

設|反卜r,以射線OX為始邊，OZ為終邊旋轉的角為6,則2=.(85。+汴由。)，法國數學家棣莫弗發(fā)現了

棣莫弗定理：4=a(cosR+isina),z?=々(cos。+isin60,貝1|々z?=依［cos(q+a)+isin(q+幻］,由棣

莫弗定理可以導出復數乘方公式：1r(cose+isin。)］"=r"(cos〃e+isin“e),已知2=(石+”,則口=()

A.2^3B.4C.D.16

【答案】D

【解析】根據復數乘方公式：［r(cosd+isind)］"=r"(cos〃d+isinM，直接求解即可.

【詳解】z=(J5+i)=2等+g=16^cos-^+;sin^

=16cos^4x^j+zsinf4x^j=-8+8拓i,

|Z|=^（-8）2+（873）2=16.

故選：D

【點睛】本題考查了復數的新定義題目、同時考查了復數模的求法，解題的關鍵是理解棣莫弗定理，將復

數化為棣莫弗定理形式，屬于基礎題.

6.（2021春.重慶沙坪壩.高三重慶一中?？茧A段練習）在代數史上，代數基本定理是數學中最重要的定理之

一，它說的是：任何一元〃次復系數多項式/'（X）在復數集中有〃個復數根（重根按重數計）那么，（力=丁-1

在復平面內使y（x）=o除了1和-.這兩個根外，還有一個復數根為（）

A一一烏B.」_烏1V5.

D.1

222222

【答案】B

【分析】利用方程根的意義，把-工+3i代入方程，經化簡變形即可得解.

22

【詳解】因-是方程，（力=。的根,

（161z1百1

日口（——+——0-1^（——+——0二

即2222

=（二_烏）&.'—?）」+烏

22222222

=＞（■-四）』」+四）（」一烏）=1,

222222

所以-;-#i是方程/（x）=0的根.

故選：B

7.（2021春?安徽宣城?高一校聯考期中）瑞士著名數學家歐拉發(fā)現了公式e"=cosx+isinx（i為虛數單位）,

它將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重

要的地位.根據歐拉公式可知，e率表示的復數在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根據歐拉公式代入求解即可.

【詳解】解：根據歐拉公式e"=cosx+isinx,

田爭3兀一3兀及」及.

4=cos——+isin——=------+——i,

4422

即它在復平面內對應的點為---，

I22)

故位于第二象限.

故選：B.

8.(2022?全國?高三專題練習)“虛數”這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾(Re附⑺escartes)創(chuàng)制

的，直到19世紀虛數才真正聞人數的領域，虛數不能像實數一樣比較大小.己知復數z,回=1且z-(l+i)>0

(其中，是虛數單位)，則復數z=()

A.V2-V2iB.V2+V2i

C.在一克I

1

22TT

【答案】c

【分析】根據條件，設z=a+6i,再列式求。1,即可得到復數.

【詳解】設z=a+6i,a1+b2=1,①

(a+bi)(l+i)=(a—b)+(a+b)i>0,得a+Z>=0,.l=La—b>0②，

由①②解得：a=,b=,

22

所以2=變-正「

22

故選：C

9.(2022?全國?高三專題練習)2022年1月，中科大潘建偉團隊和南科大范靖云團隊發(fā)表學術報告，分別獨

立通過實驗，驗證了虛數i在量子力學中的必要性，再次說明了虛數i的重要性.對于方程三+1=0,它的

兩個虛數根分別為()

A1±后R-l±V3i

22

C±1+后D±1-后

'2-2~

【答案】A

【分析】根據方程根的定義進行驗證.

【詳解】首先實系數多項式方程的虛數根成對出現，它們互為共軌復數，因此排除CD,

A選項，(-3+]J+3.曲+3.(a2+(庖\]=8+3后一3后+]川

288

因此選項A正確，則選項B錯誤(因為3次方程只有3個根(包括重根)).

故選:A.

10.（2022?全國?高三專題練習）人們對數學研究的發(fā)展一直推動著數域的擴展，從正數到負數、從整數到

分數、從有理數到實數等等.16世紀意大利數學家卡爾丹和邦貝利在解方程時，首先引進了i2=—l，17世

紀法因數學家笛卡兒把i稱為“虛數”，用“+歷（。、6eR）表示復數，并在直角坐標系上建立了“復平面”.若

復數z滿足方程Z2+2Z+5=0,貝”=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

【答案】C

【分析】設出復數z的代數形式，再利用復數為0列出方程組求解作答.

【詳解】設z=a+6i（a,Z?eR）,因z2+2z+5=0,貝U（。+歷了+2（。+歷）+5=0,

即（a2-Z?2+2a+5）+26（a+l）i=0,而則〈，解得、?，

2b（a+1）=0[b=±2

所以z=-l±2i.

故選：C

11.（2022.高一單元測試）中國古代重要的數學著作《孫子算經》下卷有題：今有物，不知其數?三三數之,

剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二?問：物幾何？現有如下表示：已知A=kk=3〃+2,"eN*},

2=卜|尤=5〃+3,"€N*},C=^x\x=Tn+2,n&N*^,若xeAcBcC,則下列選項中符合題意的整數x為

A.8B.127C.37D.23

【答案】D

【解析】將選項中的數字逐一代入集合A、B、C的表達式，檢驗是否為A、B、C的元素，即可選出正確

選項.

【詳解】因為8=7xl+l,則8eC,選項A錯誤；

127=3x42+1,則127/A,選項B錯誤；

37=3x12+1,則37e4,選項C錯誤；

23=3x7+2,故23eA；23=5x4+3,故xeB；23=7x3+2,故xeC,則23eAcBcC,選項D正

確.

故選：D.

12.（2022秋?浙江溫州?高一?？茧A段練習）在數學漫長的發(fā)展過程中，數學家發(fā)現在數學中存在著神秘的“黑

洞”現象.數學黑洞：無論怎樣設值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個值，再也跳不出去，

就像宇宙中的黑洞一樣.目前已經發(fā)現的數字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數字黑洞”等.定

義：若一個w位正整數的所有數位上數字的〃次方和等于這個數本身，則稱這個數是自戀數.已知所有一

位正整數的自戀數組成集合4集合3={x|-3＜尤＜4,xeZ},則AcB的子集個數為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【分析】根據自戀數的定義可得集合A,再根據交集的定義求出AcB,從而可得答案.

【詳解】解：依題意，A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={-2,-1,0,1,2,3）,

故AAB={1,2,3},故AcB的子集個數為8.

故選：D.

13.（2019?江西?高三校聯考階段練習）我國南北朝數學家何承天發(fā)明的“調日法”是程序化尋求精確分數來表

示數值的算法，其理論依據是：設實數x的不足近似值和過剩近似值分別為2和@（0,b,c,deN+）,則之

aca+c

2714

是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道e=2.71828…，若令三＜e＜］，則第一次用“調日法”

后得4段1是e的更為精確的過剩近似值，即、27＜6＜曾41，若每次都取最簡分數，那么第三次用“調日法”后可

得e的近似分數為

、109「68-19-87

A?B.—C.—D.—

4025732

【答案】C

【解析】利用“調日法”進行計算到第三次，即可得到本題答案.

【詳解】第一次用“調日法”后得9是e的更為精確的過剩近似值，即條＜e＜2；第二次用“調日法”后得崇

是e的更為精確的過剩近似值，即第三次用“調日法”后得:是e的更為精確的不足近似值，即

1968m2濟*—19

7"＜e＜w所以答案為了.

故選：C

【點睛】本題考查“調日法”，主要考查學生的計算能力，屬于基礎題.

14.（2022.上海.高一專題練習）古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，

它是使用天平秤物品的理論基礎，當天平平衡時，左臂長與左盤物品質量的乘積等于右臀長與右盤物品質

量的乘積，某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的

祛碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將5g的祛碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使

之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

【答案】A

【分析】設天平左臂長為右臂長為萬（不妨設。>萬），先稱得的黃金的實際質量為叫，后稱得的黃金的

實際質量為叫.根據天平平衡，列出等式，可得班，牡表達式，利用作差法比較%+恤與10的大小，即可

得答案.

【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設天平左臂長為右臂長為6（不妨設。>b）,

先稱得的黃金的實際質量為叫，后稱得的黃金的實際質量為根”

由杠桿的平衡原理：加！=ax5,am,=bx5.解得叫=色，m,=—,

ba

,5b5a

則ni叫+牡=---1------.

ab

下面比較叫+嗎與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）

因為（班+八）_]0總+也_]0=5（"）一,

abab

因為人b,所以亞二立>0,即g+也>10.

ab

所以這樣可知稱出的黃金質量大于10g.

故選：A

15.（2022?高一課時練習）三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對勾股定理的證明可用現代數學表述為如

圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（）

A.如果a>6,6>c,那么a>c

B.如果a>b>0,那么a?〉//2

C.如果。>6,c>。，那么ac>6c

D.對任意實數a和b,有當且僅當。=6時，等號成立

【答案】D

【分析】直角三角形的兩直角邊長分別為6,斜邊長為C,則,2=/+62,利用大正方形的面積與四個直

角三角形面積和的不等關系得結論.

【詳解】直角三角形的兩直角邊長分別為以斜邊長為C,則02=儲+62,

在正方形的面積為°2,四個直角三角形的面積和為2而，因此有即/+6222詔，當且僅當。=6

時，中間沒有小正方形，等號成立.

故選：D.

16.（2022秋?北京豐臺?高一統(tǒng)考期末）《幾何原本》卷II的幾何代數法成了后世西方數學家處理數學問題的

重要依據.通過這一原理，很多代數的定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明現有如圖所示圖形，

點P在半圓。上，點C在直徑A8上，MOFLAB,設AC=a,BC=b,可以直接通過比較線段OP與線段

C尸的長度完成的無字證明為（）

OCB

A.a2+b2>2ab(〃>0,Z?>0)

2ab

(a>0,b>0)D.-^—<4ab(a>0,b>0)

a+b

【答案】C

【分析】由圖形可知0尸=343=；（°+3，。7=3（。-6）,在口14。。尸中，由勾股定理可求。尸,結合。后。尸

即可得出.

【詳解】解：由圖形可知，。/=]AB=,OC=—(a+Z?)—i>=—(a—Z?),

在RtaocF中，由勾股定理可得,

,/CF>OF,

故選：C.

17.（2022?全國?高三專題練習）18世紀末，挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，使

復數及其運算具有了幾何意義，例如忖=|OZ|,也即復數Z的模的幾何意義為Z對應的點Z到原點的距離.已

知復數z滿足目=2,則|z-3-4i|的最大值為（）

A.3B.5C.7D.9

【答案】C

【分析】由復數幾何意義可得2（%》）的軌跡為圓/+、2=4,從而將問題轉化為點2（工川到點（3,4）的距離,

則所求最大值為圓心到（3,4）的距離加上半徑.

【詳解】?巾=2,；.z對應的點Z（x,y）的軌跡為圓Y+y2=4；

???卜-3-倒的幾何意義為點2伍丫）到點（3,4）的距離,

22

一3一4以=7（0-3）+（0-4）+2=7.

故選：C.

18.（2022?全國?高三專題練習）數學家歐拉發(fā)現了復指數函數和三角函數的關系，并給出以下公式

e^^cosx+isinx,（其中i是虛數單位，e是自然對數的底數，xeR）,這個公式在復變論中有非常重要的

地位，被稱為“數學中的天橋”，根據此公式，有下列四個結論，其中正確的是（）

,,..（也V2,Y022

A.e"1-1=0B.2cosx=eu+euC.2sinx=e"-e"D.—+—i=-l

I22J

【答案】B

【分析】根據已知條件的公式及誘導公式，結合復數運算法則逐項計算后即可求解.

【詳解】對于A,em=cos7t+isin7i=—b所以e'"=—1=-2,故A不正確；

對于B,3*=cosx+isin無，e"w=cos（-x）+isin（-x）=cosx-isinA:,

所以e*+e"=2cosx,故B正確；

對于C,3*=cosx+isin尤，e-'”=cos（-x）+isin（-x）=cosx-isinx,

所以ea-eT'=2isinx,故C不正確；

th八（五五A（無??吟（李）202271..2Q22n

對于D,-----1-----1=cos—+isin—=e4=cos----------Fisin--------

[22）^44jJ44

jrjr

=-cos——isin—=-i,故D不正確.

故選：B.

19.（2020?天津?南開中學?？寄M預測）由無理數引發(fā)的數學危機一直延續(xù)到19世紀，直到1872年，德國

數學家戴金德提出了“戴金德分割”才結束了持續(xù)2000多年的數學史上的第一次大危機.所謂戴金德分割，是

指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集/與N,且滿足MuN=Q,McN=0,M中的每一個元素都

小于N中的每一個元素，則稱（M,N）為戴金德分割.試判斷，對于任一戴金德分割下列選項中一

定不成立的是（）

A.沒有最大元素，N有一個最小元素

B.又沒有最大元素，N也沒有最小元素

C.A/有一個最大元素，N有一個最小元素

D.M有一個最大元素，N沒有最小元素

【答案】C

【分析】本題目考察對新概念的理解，舉具體的實例證明成立即可，A,B,D都能舉出特定的例子，排除法則

說明C選項錯誤

【詳解】若河={》6。,》＜0},N={x&Q,x＞0\.則/沒有最大元素，N有一個最小元素0；故A正確;

若加=卜?°,無＜&},N=［X^Q,X＞41\.則知沒有最大元素，N也沒有最小元素；故B正確；

若M={xeQ,x4O},N={尤eQ,尤＞0}；M有一個最大元素，N沒有最小元素，故D正確；

M有一個最大元素，N有一個最小元素不可能，故C不正確.

故選：C

20.（2021春?安徽?高三校聯考階段練習）不定方程的整數解問題是數論中一個古老的分支，其內容極為豐

富，西方最早研究不定方程的人是希臘數學家丟番圖.請研究下面一道不定方程整數解的問題：己知

/02。+/=2%（尤€,yeZ）則該方程的整數解有（）組.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

［分析］原方程可化為所以|x區(qū)即T4x41,04y42,（x,yeZ）再列舉每種

情況即可.

【詳解】設此方程的解為有序數對a，y）,

因為x2020+y2=2y,（x,yeZ）

所以尤2。2。+曰一1）2=1

當爐°2°>1或(y-l)2>l時，等號是不能成立的，

所以|x區(qū)l,(y-l)241,即-LMxMl,0My=2,(x,yeZ)

(1)當x=-l時，(,-1)2=0即y=]

(2)當x=0時，(-)2=1即y=0或y=2

(3)當x=l時，(y-l)2=0即y=l

綜上所述，共有四組解(-1,-1),(0,0),(0,2),(1』)

故選:D

21.(2022秋?四川成都?高一成都七中?？计谥?對于直角三角形的研究，中國早在商朝時期，就有商高提

出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯才提出并證明了

勾股定理.如果一個直角三角形的斜邊長等于5,則這個直角三角形周長的最大值等于().

LL25

A.10A/2B.10C.5+5忘D.—

【答案】C

【分析】先由勾股定理得標+/=25,再利用基本不等式易得(a+3七50,由此得到a+6+cW5+50，

問題得解.

【詳解】不妨設該直角三角形的斜邊為c=5,直角邊為。切，則/+/=°2=25,

因為所以+廳+2a6V2(a~+6-)，即(°+W50,

當且僅當且/+匕2=25,即a=>=逑時，等號成立，

2

因為。>0,6>0,所以(7+645立，

所以該直角三角形周長a+6+c45忘+<?=5+5后，即這個直角三角形周長的最大值為5+5近.

故選：C.

22.(2017?湖北?校聯考一模)我國古代太極圖是一種優(yōu)美的對稱圖.如果一個函數的圖像能夠將圓的面積和

周長分成兩個相等的部分，我們稱這樣的函數為圓的“太極函數”.下列命題中簿誤命題的個數是

月：對于任意一個圓其對應的太極函數不唯一；

心：如果一個函數是兩個圓的太極函數，那么這兩個圓為同心圓；

A：圓(x-l)2+(y-l)2=4的一個太極函數為/(x)=X3-3X2+3X；

P4:圓的太極函數均是中心對稱圖形；

巴：奇函數都是太極函數；

此：偶函數不可能是太極函數.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】由定義可知過圓。的任一直線都是圓。的太極函數，故片正確；當兩圓的圓心在同一條直線上時，

那么該直線表示的函數為太極函數，故2錯誤；(尤)=d-3x2+3x=(x_iy+l,.?./(X)的圖象關于點

(1,1)成中心對稱，又???圓(x-iy+(y-l)2=4關于點(1,1)成中心對稱，故〃*)=三-3/+3%可以為圓

(x-iy+(y-l)2=4的一個太極函數，故A正確；太極函數的圖象一定過圓心，但不一定是中心對稱圖形,

故乙錯誤；奇函數的圖象關于原點對稱，其圖象可以將任意以原點為圓心的圓面積及周長進行平分，故奇

函數可以為太極函數，故［正確；如圖所示

偶函數可以是太極函數，故1錯誤；則錯誤的命題有3個，故選B.

二、多選題

23.(2021春.廣東梅州?高二統(tǒng)考期末)歐拉公式*=cos尤+isinx(其中i為虛數單位，龍eR)是由瑞士

著名數學家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在

復變函數論里而占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋，依據歐拉公式，下列選項正確的是()

A.復數/對應的點位于第一象限B./為純虛數

C.復數針的模長等于JD.啟的共軌復數為L-li

V3+i2e22

【答案】AC

【分析】根據歐拉公式計算出各復數,再根據復數的幾何意義，純虛數的概念，復數模的計算公式，共朝

復數的概念即可判斷各選項的真假.

【詳解】對A,e=cosl+isinl,因為0<l<g,所以cosl>0,sinl>0,即復數/對應的點(cos1,sin1)位于

第一象限，A正確；

對B,e汨=cos?+isin?=—l,*為實數，B錯誤；

,cosx+isinx(cos尤+isin%)(百-i)Qcosx+sin%A^sinx-cosx.

對c瓦r.+i_3)5i)=4+4L

則復數三；的模長為：

5/5cosx+sinx]+(Qsinx-cosx]/3cos2x+sin2x+3sin2%+cos2x1正確

[4J+14]F16—屋；

對D,e^'=cos—+isin—=—+-i,共輾復數為避^-4i,D錯誤.

662222

故選：AC.

24.(2022春?廣東梅州?高一統(tǒng)考期末)歐拉公式e“=cosx+isinx(本題中e為自然對數的底數，i為虛數單

位)是由瑞士若名數學家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數與指數函數的關系，在復變函數論中占有非常

重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，依據歐拉公式，則下列結論中正確的是()

A.泌+1=0

B.復數針在復平面內對應的點位于第二象限

C.復數導的共輾復數為@一

e22

D.復數e&(6eR)在復平面內對應的點的軌跡是圓

【答案】ABD

【分析】由歐拉公式和特殊角的三角函數值可判斷A；由歐拉公式和三角函數在各個象限的符號可判斷B；

由歐拉公式和共軌復數的概念可判斷C；由歐拉公式和復數的幾何意義可判斷D.

【詳解】對于A,eE+lucosjt+isin兀+1=-1+0+1=0,A正確;

對于B,e2i=cos2+isin2,'.1cos2<0,sin2>0,

；?復數e"在復平面內對應的點位于第二象限，B正確；

對于C,e^=cos-+isin-=-+^i,共朝復數為工―1"C錯誤；

332222

對于D,eie=cos6>+isin0（6>eR）,在復平面內對應的點為（cos。,sin。），

又：（8$。-0）2+s山6?-0）2=1,，在復平面內對應的點的軌跡是圓.

故選：ABD.

25.（2022?高一課時練習）群論是代數學的分支學科，在抽象代數中具有重要地位，且群論的研究方法也對

抽象代數的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念

則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“?”是G上的一個代數運算，即對所有

的。、bGG,有abGG,如果G的運算還滿足：①V。、b、cGG,有Ca-b）-c=a-（b-c）；②^eeG,使得

VaeG,有e-a=a-e=a,③VaeG,3Z?eG,使ab=b-a=e,則稱G關于“,"構成一個群.則下列說法正確

的有（）

A.G={-l,0,l}關于數的乘法構成群

B.G=[X\X=Y,左GZ,際0}U{x|x=〃z,“zGZ,加加}關于數的乘法構成群

k

C.實數集關于數的加法構成群

D.G={/〃+>/^九|相,九€2}關于數的加法構成群

【答案】CD

【分析】根據群的定義需滿足的三個條件逐一判斷即可.

【詳解】對于A：若6={-1,0,1},對所有的a、b&G,有。力e{l,0,—1}=G,

滿足乘法結合律，即①成立，滿足②的e為1,

但當。=0時，不存在6eG,使得。b=b~a=e=l,即③不成立，

即選項A錯誤；

113

對于B：因為a=—eG,且b=3eG,但。為=—x3=—任G,

222

所以選項B錯誤；

對于C：^G=R,對所有的a、bwR,有a+beR,

滿足加法結合律，即①成立，滿足②的e為0,

VaeR,3b=-a&R,使a+b=Z?+a=0,即③成立；

即選項C正確;

對于D：若6={用+五相根,〃EZ},所有的a=仍+0勺、b=m2-\-y/2n2GG,

有.+/?=（州+阪）+亞（4+%）￡G,Va,Z?,c￡G,（a+b）+c=a+S+c）成立，

即①成立；當〃=>=。時，〃+傷=0，滿足的e=0,即②成立；

X/a=m+y/2nGG，3b=-m-"teG，使a+6=b+a=0,即③成立；

即選項D正確.

故選：CD.

26.（2020秋?江蘇鹽城?高二江蘇省東臺中學?？计谥校毒耪滤阈g》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股

十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題

的一般解法：如圖1,用對角線將長和寬分別為6和4的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成

一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩

形，該矩形長為a+b,寬為內接正方形的邊長/由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖3.設。

為斜邊8C的中點，作直角三角形A3C的內接正方形對角線AE,過點A作A/13c于點/，則下列推理

正確的是（）

②由AE2AF可得

③由ADNAE可得

④由AD2AF可得。2+〃22".

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABCD

【解析】根據圖1,圖2面積相等，可求得d的表達式，可判斷A選項正誤，由題意可求得圖3中AD,AE,AF

的表達式，逐一分析8、C、。選項，即可得答案.

【詳解】對于①：由圖1和圖2面積相等得S=a6=（a+b）xd,所以〃=鳥，故①正確;

a+b

對于②：因為AF13C,所以《xax6=1J7TFxAF,所以40=1ab-

22yla2+b2

設圖3中內接正方形邊長為3根據三角形相似可得"=：,解得公鳥，

aba+b

所以AE=6t=叵2，

a+b

因為〃"質’所以駕二券『整理可得尸2審'故②正確;

對于③：因為O為斜邊2C的中點，所以

因為AD2AE,所以2叵L整理得

故③正確;

2a+b

對于④：因為AD上”，所以",整理得：a2+b*2ab,故④正確;

2J/+62

故選：ABCD

【點睛】解題的關鍵是根據題意及三角形的性質，利用幾何法證明基本不等式，求得ARAE,的表達式，

根據圖形及題意，得到A2AE,”的大小關系，即可求得答案，考查分析理解，計算化簡的能力.

27.（2022秋?黑龍江佳木斯?高一樺南縣第一中學?？计谥校稁缀卧尽肪鞨的幾何代數法（以幾何方法研

究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據.通過這一原理，很多代數的公理或定理都能夠通過

圖形實現證明，也稱為無字證明.現有如圖所示圖形，點。在半圓。上，點C在直徑上，且CDLAB.設

AC=a,CB=b,CELOD,垂足為E,則該圖形可以完成的無字證明為（）

A.而3B.￡±^<

a+b2一

C.2痣D.a2+b2>2y[ab

【答案】AC

【解析】直接利用射影定理和基本不等式的應用求出結果.

【詳解】解：根據圖形，利用射影定理得：CD2=DE.OD,

由于：OD..CD,

所以：^-..Jab（a>0,b>0）.

由于CD?=ACCB=H,

r,p-CD2-ab

所以證=干

2

所以由于CD.DE,

整理得：4^b>—.

a+b

故選：AC.

【點睛】關鍵點點睛：射影定理的應用，基本不等式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維

能力，屬于基礎題型.

28.（2022秋?遼寧大連?高一大連八中?？茧A段練習）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度

與肚臍至足底的長度之比是叵［（好二1*0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.

22

此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是叵土.若某人滿足上述兩個黃金分割比

2

例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.168cmB.172cmC.176cmD.180cm

【答案】BC

【分析】設身高為xcm,運用黃金分割比例，結合圖形得到對應成比例的線段，計算可估計身高.

【詳解】設頭頂、咽喉、肚臍、足底分別為點A、B、C、D,假設身高為xcm,即AD=*cm,

\4

???人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是叵口，.?.四=好二

2CD22

vAC+CD=x,S.AC=^^-CD,:.^^-CD+CD=X,;.^^~CD=X,；.CD=-12—X=^^X,

222V5+12

???人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比均是好匚，，絲=必二1,二=避二1BC,

2BC22

AB+BC+CD=X,SLAB=^^-BC,CZ）=^—lx,避二■BC+BC+避二■XT,

2222

.-.BC=(V5-2)x?,AB=^BC=^(V5-2)x=^|^x,

52

AB='-3也x<26x<-------/=

27-3V5x<178.21

由題意可得,.?.169.89vxvl78.21,故BC正確.

cn=^^x>io5210x>169.89

x>—f=——

2A/5-1

故選：BC

29.（2021秋.全國?高一期末）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和

中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定

義與今天大致相同.而今我們稱三為正數的算術平均數，a為正數的幾何平均數，并把這兩者

結合的不等式疝4學（4>08>0）叫做基本不等式.下列與基本不等式有關的命題中正確的是（）

A.若"=4,則

B.若〃>0,b>0,貝lJ（a+2b）［：+t）最小值為4萬

C.若￡（0,+QO）,2a+Z?=l,——F—>4

D.若實數b滿足。>0,b>Q,a+6=4,則金+互的最小值是。

o+lb+l3

【答案】CD

【分析】通過反例可知A錯誤；根據基本不等式“1”的應用可求得BC正誤；令。+1=加〉1,&+!=?>1,

將所求式子化為2+巨，利用基本不等式可知D正確.

mn

【詳解】對于A,若〃=一2,b=-2,則a+b=-4<4,A錯誤;

ab

對于B,t/tz>0,Z?>0,..—>0,—>0,

ba

.?.(a+2^)f-+-^=3+-+—>3+2./--—=3+272(當且僅當

即“=時取等號），即

\abJba\baba

++的最小值為3+2后，B錯誤；

對于C,6Z,Z?G(O,4W),.*.->0,—>0,又2a+Z?=l,

ba

11b2a..—-4(當且僅當2=?即b=2a=」時取等號）,

/.一+—+—+——>2+2.

lab2ab2ab2ab2

C正確;

對于D,令。+1=加>1,b+\=n>\,則加+〃=6,

2122

ab(m-1)(n-1)11411八67/*曰/口小

/.------+------=-------+--------^—=m+n+—+——4=2+—+—=2+——>2+[m+n\3(當且僅當

a+10+1mnmnmnmnI——I

加="=3時取等號)，即上—+2—的最小值是:，D正確.

o+lb+l3

故選：CD.

30.（2022秋?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=’

作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“〈”和“〉”符號，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深

遠.若a,b,CGR,則下列命題正確的是（）

A.若"#0且。<》，則!B.若a>b,0<c<l,則c"<<?

ab

C.若a>b>l,C>1,則log"C<log/D.若c>0,則

【答案】BCD

【分析】利用不等式性質結合可判斷A,根據指數函數的性質可判斷B,根據不等式性質結合對數函數的性

質可判斷C,根據幕函數的性質可判斷D.

【詳解】A中，a<0<6時，貝錯誤；

ab

B中，因為a>b,0<c<l,所以c"<c"成立，正確；

C中，因為。>b>l,ol,所以logca>logcb>0,--------------r>0,

logra-logr/?

11

所以1-------<；------7,即log”c<log/,正確；

log,alog,b

D中，由a<6<-l,可得幺>1>。>0,又c>0,所以（幺］>W,正確.

ba）\a）

故選：BCD.

三、填空題

31.（2022?全國?高三專題練習）中國古代數學著作《九章算術》中記載了平方差公式，平方差公式是指兩

個數的和與這兩個數差的積，等于這兩個數的平方差.若復數〃=5+3i,6=4+3i（i為虛數單位），則=

【答案】9+6i

【分析】先要平方差公式，再按照復數的四則運算規(guī)則計算即可.

【詳解】/—62=（a+3（a—6）=（5+3i+4+3i）（5+3i—4—3i）=9+6i；

故答案為：9+6i.

32.2022?全國?高三專題練習）毛澤東同志在《清平樂?六盤山》中的兩句詩為“不到長城非好漢，屈指行

程二萬”，假設詩句的前一句為真命題，貝『‘到長城”是“好漢”的條件（填“充分不必要”