中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：一次函數(shù)背景下的將軍飲馬問(wèn)題（原卷版+解析）

專一次函數(shù)背景下的

將軍飲馬問(wèn)題

模型介紹

口方法點(diǎn)撥

一、求線段之和的最小值

1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使PA+PB最小;

(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：

?'?

BB

(2)點(diǎn)A、B在直線同側(cè):

*

B

A、A'是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。

2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：

(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):

(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):

(4)、臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周

長(zhǎng)最短.

變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.

O

例題精講

【例矩形0ABe在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,4),。是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在上，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)￡的坐標(biāo)為.

A變式訓(xùn)練

【變17].已知菱形。4BC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A(5,0),。8=4病，點(diǎn)尸是對(duì)角

【變1-2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABC。的頂點(diǎn)3在原點(diǎn)，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)。的坐標(biāo)

為（6,4）,E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P、。為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2,要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為.

【例2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,3）,點(diǎn)2坐標(biāo)為（4,1）,點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在

y軸上，則以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)的最小值是.

A變式訓(xùn)練

【變27].如圖所示，已知點(diǎn)C（l,0）,直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，D,E分別是線

段A8,上的動(dòng)點(diǎn)，則△CDE的周長(zhǎng)的最小值是（）

C.4&+4D.12

【變2-2].如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y更在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過(guò)A

點(diǎn)作無(wú)軸的垂線，垂足為已知的面積為1.如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)

8與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在x軸上求一點(diǎn)尸,使研+P8最小.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)C(-2,0)是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E,F

分別為直線y=x+4和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)、E,E的坐標(biāo)分別為(

B.E(-2,2),F(0,2)

D.E(-2,2),F(0,2)

3

2.如圖所示，直線y=x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C是02的中點(diǎn)，D,￡分別是直線AB和y

軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△CZJE周長(zhǎng)的最小值是

4.如圖所示，已知點(diǎn)C(l,0),直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，D,E分別是AB,OA上

的動(dòng)點(diǎn)，則△CDE周長(zhǎng)的最小值是.

5.如圖，在中，ZOBA=90°,A(4,4),點(diǎn)C在邊A8上，且空_=上，點(diǎn)。為。8的中點(diǎn)，

CB3

點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在OA上移動(dòng)時(shí)，使四邊形PD8C周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,)

6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y='x+8分別交x軸，y軸于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C為。8的中點(diǎn)，點(diǎn)。在

第二象限，且四邊形AOCD為矩形.動(dòng)點(diǎn)尸為C。上一點(diǎn)，PHLOA,垂足為H,點(diǎn)。是點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)A

的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)BP+/W+8Q值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

7.如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C在小正方形的頂點(diǎn)上.

(1)在圖中畫出與△A3C關(guān)于直線/成軸對(duì)稱的△ABC；

(2)在直線/上找一點(diǎn)P,使出+尸8的長(zhǎng)最短.

8.如圖，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,4),8(-2,-2),C(3,0),點(diǎn)尸在線段AC上移動(dòng).當(dāng)

點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,也)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趛軸上找點(diǎn)。使△PQC周長(zhǎng)最小.

9.如圖，直線/1的解析表達(dá)式為y=-3x+3,且/i與x軸交于點(diǎn)。，直線/2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B,直線人、力交于

點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)求直線/2的解析表達(dá)式；

(3)在無(wú)軸上求作一點(diǎn)使8M+CM的和最小，直接寫出M的坐標(biāo).

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2尤+10與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,與直線交于

點(diǎn)A,點(diǎn)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)m).

(1)若MA+MB的值最小，求機(jī)的值；

(2)若直線AM將△AC。分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)求出機(jī)的值，并說(shuō)明理由.

11.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1,4)和(3,0),點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、

B、C三點(diǎn)不在同一條直線上.

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求△ABC的周長(zhǎng)的最小值；

(3)若。(3,4),連接AD、CD,是否存在點(diǎn)C,使得△AC。的面積與6?若存在，求出點(diǎn)C,若不

存在，說(shuō)明理由.

12.如圖，一次函數(shù)y=-|x+2的圖象分別與尤軸、y軸交于A、B,以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰

RtAABC,使/BAC=90°.

(1)分別求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

(2)在無(wú)軸上求一點(diǎn)P,使它到8、C兩點(diǎn)的距離之和最小.

13.如圖，一次函數(shù)〉=區(qū)+6的圖象與無(wú)軸，y軸分別交于點(diǎn)A(4,0),B(0,2).

(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為A8的中點(diǎn)，OC=L點(diǎn)尸為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，求尸C+P。的最小值，并求出此

時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(用兩種不同的方法求解).

14.已知一次函數(shù)y=fcv+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,-1)和點(diǎn)3(1,-3).求:

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求直線AB與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(3)請(qǐng)?jiān)趚軸上找到一點(diǎn)P,使得弘+PB最小，并求出尸的坐標(biāo).

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A在x軸上，AB=AC,ZBAC=90°,且A

(2,0)、B(3,3),BC交y軸于

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)連接AM,求的面積；

(3)在無(wú)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，求此時(shí)P的坐標(biāo).

備用圖

16.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=fcc+8分別交無(wú)軸，y軸于A、8兩點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)（6,

0）,點(diǎn)C在直線AB上，橫坐標(biāo)為3,點(diǎn)。是無(wú)軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。，以C￡）為直角邊在右

側(cè)構(gòu)造一個(gè)等腰Rtz^CDE,且/。￡=90°.

（1）求直線AB的解析式以及C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為m,試用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2,連接OC,OE,請(qǐng)直接寫出使得AOCE周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo).

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a,0),ABM軸，且AB=10,點(diǎn)C(0,b)，a,b滿足b=，a-25

+V25-a+15.點(diǎn)P(t,0)是線段AO上一點(diǎn)(不包含A,。).

(1)當(dāng)f=5時(shí)，求尸8：PC的值；

(2)當(dāng)尸C+PB最小時(shí)，求t的值；

(3)請(qǐng)根據(jù)以上的啟發(fā)，解決如下問(wèn)題：正數(shù)〃z，〃滿足小+"=10,且正數(shù)+9+?/+25,則

正數(shù)P的最小值=.

Bj5|模型介紹

口方法點(diǎn)撥

一、求線段之和的最小值

1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使PA+PB最小;

(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：

(2)點(diǎn)A、B在直線同側(cè):

A、A'是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。

2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè):

A

A

m

(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):

(4)、臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的

四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.

變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最

0

例題精講

【例1】.矩形0A8C在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（3,4）,D是

OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A8上，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3,&）

3-

解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)"，連接C8與的交點(diǎn)為E,此時(shí)△CDE的

周長(zhǎng)最小.

；D（旦，0）,A（3,0）,

2

：.H（20）,

2

直線CH解析式為尸-柒+4,

；.x=3時(shí)，j=—,

-3

二點(diǎn)E坐標(biāo)（3,—）,

3

故答案為：（3,A）.

3

A變式訓(xùn)練

【變17].已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A(5,0),OB=4疾,

點(diǎn)尸是對(duì)角線02上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。(0,1),當(dāng)CP+DP最短時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

解：如圖，連接AC交于K,作KHJ_OA于凡

:四邊形ABC。是菱形，

：.ACLOB,A、C關(guān)于對(duì)角線。8對(duì)稱,

：.PC=PA,

：.PC+PD^PA+PD,

...當(dāng)Q、P、A共線時(shí)，PC+尸。的值最小,

在Rt/XOAK中，，：OK=2疵,0A=5,

22

；?AK=VOA-OK=遙，

'：KH±0A,

=2,°^=V0K2-KH2=4-

：.K(4,2),

直線OK的解析式為y=/x，

直線AD的解析式為尸--1x+l,

'-JP.

X=

zT

由，解得，匚，

ly=7b

.?.08與AD的交點(diǎn)P華,

最短時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（衛(wèi)，），、

，當(dāng)點(diǎn)P與P'重合時(shí),CP+ZJP

7

【變1-2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A8CD的頂點(diǎn)8在原點(diǎn)，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸

上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（6,4）,E為CZ）的中點(diǎn)，點(diǎn)P、。為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2,

要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)應(yīng)為（足，0）

3

點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)R連接交于Q,

此時(shí)MQ+EQ最小,

,；PQ=2,DE—CE—2,AE=J$2+22=2V10，

要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，只要AP+E。最小就行,

即AP+EQ=MQ+EQ,過(guò)M作MNLBC于N,

設(shè)CQ=x,貝!INQ=6-2-x=4-x,

「△MN0s△FC°,

.?M?N--=N-Q--

CFCQ

<MN=AB=4,CF=CE=2,CQ=x,QN=4-尤,

?.?—4=-4---x,

2x

解得：x=4,

3

：.BP^6-2-9=旦，

33

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（出■,0）.

3

故答案為：（反，0）.

3

【例2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,3）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,1）,點(diǎn)C在

x軸上，點(diǎn)。在y軸上，則以A、8、C、。為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)的最小值是_、/]§土歷_.

解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A',點(diǎn)B關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱點(diǎn)8,，連接A'B'交

x軸于C,交y軸于。，連接A。，CD,BC,AB,四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小.

由作圖可知：AD=DA',BC=CB',A'(-1,3),B'(4,-1)

四邊形A8CQ的周長(zhǎng)=AB+BC+C￡>+AO

=AB+B'C+CD+DA'

=AB+A'B'

=VS2+22+

=+V4i，

故答案為“13+V41-

A變式訓(xùn)練

【變2-1].如圖所示，已知點(diǎn)C（l,0）,直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),

D,￡分別是線段AB,上的動(dòng)點(diǎn)，則△CDE的周長(zhǎng)的最小值是（）

C.4&+4D.12

解：作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C,作點(diǎn)C關(guān)于y=-x+7的對(duì)稱點(diǎn)C,連接CC',則4

CDE的周長(zhǎng)的最小值為CC的長(zhǎng)；

VC(1,0),

：.C(-1,0),

設(shè)CCm,"),則有

n=-m+l+7；-^―=1,

22IR-1

??根=7,〃=6,

：.C'(7,6),

故選：B.

正比例函數(shù)」的圖象與反比例函數(shù)(左)在第一象限的圖象

[變2-2].如圖,vvv*W0

'2**'X

交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作無(wú)軸的垂線，垂足為已知△OAM的面積為1.如果B為反比例

函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合)，且8點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在x軸上求一

解：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(。，b),則b」二,

a

??ab=k.

viab=1,

:.k=2,

...反比例函數(shù)的解析式為了上.

根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示:

聯(lián)立得，

Y=1

解得,

為（2,1）,

設(shè)A點(diǎn)關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-1）.

令直線BC的解析式為y=mx+n

■:B為（1,2）,

將8和C的坐標(biāo)代入得：12m書

lm+n:

解得：（m3

ln=5

:.BC的解析式為y=-3x+5,

當(dāng)y=0時(shí),,

點(diǎn)為（且，0）.

3

故答案為：（§,0）.

3

1.如圖，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)C（-2,0）是無(wú)軸上

一點(diǎn)，點(diǎn)、E,尸分別為直線>=尤+4和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CEP周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E,F

的坐標(biāo)分別為（）

C.E(一且,W),F(0,2)D.￡(-2,2),F(0,2)

2233

解：作C(-2,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G(2,0),作C(2,0)關(guān)于直線y=x+4的對(duì)稱

點(diǎn)。，連接AO,連接。G交AB于E,交y軸于凡如圖：

Z.CE+CF+EF=DE+GF+EF=DG,此時(shí)△CEF周長(zhǎng)最小,

由y=x+4得A(-4,0),B(0,4),

：.OA=OB,ZVIOB是等腰直角三角形，

：.ZBAC=45°,

VC>。關(guān)于AB對(duì)稱，

：.ZDAB=ZBAC=45°,

：.ZDAC^9Q°,

VC(-2,0),

.,.AC^OA-OC=2=A￡>,

：.D(-4,2),

由。(-4,2),G(2,0)可得直線￡>G解析式為y=-

在>=-工x+2中，令x=0得y=2,

33-3

：.F(0,—),

3

,5

x-3

由得，

3

y=I

：.E(-反，旦),

22

的坐標(biāo)為(-c，3),尸的坐標(biāo)為(0,—

223

故選：C.

2.如圖所示，直線y=x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，D,E分

別是直線AB和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△CDE周長(zhǎng)的最小值是2^-10.

解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于A3的對(duì)稱點(diǎn)尸，關(guān)于4。的對(duì)稱點(diǎn)G,連接。尸，EG,

.直線y=x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，

AA(0,4),B(-4,0),C(-2,0),

.?.20=4,0G=2,BG=6,OA=OB,

：.ZABC=45°,

...△BCF是等腰直角三角形，

：.BF=BC=2,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得￡>B=Z)C,EC=EG,

當(dāng)點(diǎn)凡D,E,G在同一直線上時(shí)，△COE的周長(zhǎng)=CO+OE+CE=OF+￡>E+EG=FG,

此時(shí)△￡>￡(:周長(zhǎng)最小，

?/RtABFG中，F(xiàn)G=^Bp2+BG2=2y5，

周長(zhǎng)的最小值是2丁元.

故答案為：2r.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+3&的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)

2,點(diǎn)尸在線段上，PCrr軸于點(diǎn)C,則△「(%)周長(zhǎng)的最小值為3+3芯.

解：設(shè)點(diǎn)P(，W,m+3&),則PC=〃?+36，0C=-m,

△PCO周長(zhǎng)=0P+0C+PC=0P+，〃+3&-m=3近+PO,

即△PCO周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，只需要。尸最小即可，

故點(diǎn)。作ODLAP,當(dāng)點(diǎn)。、尸重合時(shí)，OP(。。)最小,

△AOB為等腰直角三角形，則BOD也為等腰三角形，

設(shè)：OD=a,則。O=8O=a,

由勾股定理得：2a2=(35/2)2，解得：a=3=OD=OP,

故△產(chǎn)(％)周長(zhǎng)的最小值=3&+尸。=3+3如，

故答案為：3+3近.

4.如圖所示，已知點(diǎn)C(l,0),直線y=-x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A,8兩點(diǎn)，D,E分

別是AB,0A上的動(dòng)點(diǎn)，則△CDE周長(zhǎng)的最小值是10.

解：如圖，點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C'(-1,0),點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C〃，

,/直線AB的解析式為y=-x+7,

直線CC"的解析式為y=x-1,

由［y=-x+7解得，

ly=x-l

直線AB與直線CC”的交點(diǎn)坐標(biāo)為K(4,3),

：K是CC"中點(diǎn)，

可得C"(7,6).

連接C'C"與AO交于點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)。，此時(shí)周長(zhǎng)最小，

△DEC的周長(zhǎng)=￡>E+EC+C￡)=EC'+ED+DC"=C'C"=^g2+g2=io.

故答案為10.

螞」點(diǎn)。

5.,A(4,4),點(diǎn)C在邊AB上，且.

CB3

為08的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊。4上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在。1上移動(dòng)時(shí)，使四邊形尸。BC周長(zhǎng)

最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(旦，區(qū))

3一3一

ZOBA=90°,A(4,4),

：.AB=OB=4,ZAOB=45°,

?.?螞=工，點(diǎn)。為。8的中點(diǎn),

CB3

：.BC=3,OD=BD=2,

：.D(2,0),C(4,3),

作D關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)E,連接EC交OA于P,

則此時(shí)，四邊形PO2C周長(zhǎng)最小，E(0,2),

?.?直線0A的解析式為y=x,

設(shè)直線EC的解析式為y=kx+b,

b=2

4k+b=3

解得：，4,

b=2

直線EC的解析式為y=^x+2,

/8

y=xx=y

解＜1得，，o，

卜？+2y4

o

:.p,旦）,

33

故答案為：（旦，1）.

33

6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=4x+8分別交無(wú)軸，y軸于A,2兩點(diǎn)，點(diǎn)、C為0B

3

的中點(diǎn)，點(diǎn)。在第二象限，且四邊形49C。為矩形.動(dòng)點(diǎn)尸為CD上一點(diǎn)，PH±OA,

垂足為H,點(diǎn)。是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)BP+PH+HQ值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

4,4）.

解：BP+PH+H。有最小值，

理由是：：直線y=^x+8分別交x軸，y軸于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn),

3

.?.08=8,OA=6,OC=4,

連接P8,CH,HQ,則四邊形PHCB是平行四邊形，如圖，

?.?四邊形PHCB是平行四邊形,

：.PB=CH,

：.BP+PH+HQ=CH+HQ+4,

;BP+P/Z+H。有最小值，即CH+HQ+4有最小值，

，只需CH+HQ最小即可，

:兩點(diǎn)之間線段最短，

當(dāng)點(diǎn)C,H,。在同一直線上時(shí)，CH+H。的值最小，

過(guò)點(diǎn)。作QMLy軸，垂足為M,

,/點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，

0A是的中位線，

：.QM=2OA=12,0M=0B=8,

：.Q(-12,-8),

設(shè)直線CQ的關(guān)系式為：y=kx+b,

將C(0,4)和。(-12,-8)分別代入上式得：

(b=4

1-12k+b=_8

解得：產(chǎn)4.

lk=l

直線C。的關(guān)系式為：y=x+4,

令y=0得：x—-4,

：.H(-4,0),

軸，

：.P(-4,4),

故答案為：(-4,4).

7.如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C在小正方形

的頂點(diǎn)上.

(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線/成軸對(duì)稱的△A8C；

(2)在直線/上找一點(diǎn)P,使叢+PB的長(zhǎng)最短.

解：(1)如圖,B'C即為所求.

8.如圖，己知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,4),2(-2,-2),C(3,0),點(diǎn)P在

線段AC上移動(dòng).當(dāng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,m)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趛軸上找點(diǎn)。使△PQC周長(zhǎng)最小.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

b=4,解得，

3k+b=0b=4

直線AC的解析式為y=--|x+4；

:點(diǎn)尸在線段AC上移動(dòng)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為（1,m）,

'.m—-Ax1+4=—,

33

：.P（1,—

3

作尸點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)p,連接PC交y軸于。，此時(shí)PQ+QC=PC,根據(jù)兩點(diǎn)

之間線段最短，。就是使△PQC周長(zhǎng)最小的點(diǎn)；

貝I]P'(-1,1),

3

設(shè)直線P'C的解析式為

_8.2

F4n一不，解得.m，,

3m+n=0n=2

，直線PC的解析式為尸-尹2,

二。點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）.

9.如圖，直線/1的解析表達(dá)式為y=-3尤+3,且與無(wú)軸交于點(diǎn)D,直線h經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B,

直線/1、/2交于點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求直線/2的解析表達(dá)式；

（3）在x軸上求作一點(diǎn)使8M+CM的和最小，直接寫出M的坐標(biāo).

解：(1)?.?直線的解析表達(dá)式為y=-3x+3,且/i與x軸交于點(diǎn)。,

當(dāng)y=0時(shí)，x=l,

：.D(1,0).

2

3k+b==

(2)設(shè)直線/2的解析式為y=fcv+b,則有，

4k+b=0

解得，

2尤-8

33

17

V----------

y=-3x+311

(3)如圖,由，解得，

28，18

噌密

直線BC'的解析式為y=-工2無(wú)+至,

1212

：.M（組0）.

19

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2X+10與無(wú)軸交于點(diǎn)2,與y軸交于點(diǎn)C,與

直線y=￡x交于點(diǎn)A,點(diǎn)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M(0,m).

(1)若MA+MB的值最小，求m的值；

(2)若直線AM將△ACO分割成兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)求出機(jī)的值，并說(shuō)明理由.

解：(1)直線y=-2x+10與x軸交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,

：.B(5,0),C(0,10),

y=-2x+10

解，1得，

一

AA(4,2),

點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(-4,2),

如圖1,連接A'B,交y軸的交點(diǎn)為

此時(shí)MA=M4',MA+MB=MA'+MB=A'B,K4+M8的值最小，

設(shè)直線A'8的解析式為y=fcv+b,

把A'(-4,2),B(5,0)代入得，

解得％=-2,6=獨(dú)，

99

...直線A'8的解析式為y=-Zx+獨(dú)，

99

把M(0,m)代入得，機(jī)=」與；

9

(2)如圖2,VA(4,2),B(5,0),C(0,10),

.?.OA2=42+22=20,AC2=(4-0)2+(2-10)2=80,OC2=102=100,

.?.OA2+AC2=OC2,

...△OAC是以O(shè)C為斜邊的直角三角形，

若M點(diǎn)是OC的中點(diǎn)，則AM=<OC,此時(shí)直線AM將△ACO分割成兩個(gè)等腰三角形,

2

：.M(0,5),

??"1=5.

11.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（3,0）,點(diǎn)C是y軸上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、8、C三點(diǎn)不在同一條直線上.

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求△ABC的周長(zhǎng)的最小值；

（3）若。（3,4）,連接AD、CD,是否存在點(diǎn)C,使得△ACZ）的面積與6?若存在，

求出點(diǎn)C,若不存在，說(shuō)明理由.

解：（1）作AO_LOB于。，如圖1所示:

圖1

則,。。=1,4。=4,。2=3,

，8￡)=3-1=2,

??AB—422+42=2V5?

要使△ABC的周長(zhǎng)最小，A3一定，

則AC+BC最小，

作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A',連接8A'交y軸于點(diǎn)C,

點(diǎn)C即為使AC+BC最小的點(diǎn)，

作A'ELc軸于E.

由對(duì)稱的性質(zhì)得：AC=A'C,

則AC+BC=A'B,A'E=4,OE=1,

：.BE=4,

由勾股定理得：A'B==4近,

.,.△ABC的周長(zhǎng)的最小值為2遙+4圾.

由題意：yX2X|m-4|=6,

解得加=10或-2,

J滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,10）或（0,-2）.

如圖，一次函數(shù)了=的圖象分別與軸、軸交于、B,

12.4^+2XyA以線段AB為邊在第一

象限內(nèi)作等腰Rt^ABC,使/54C=90°.

（1）分別求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

（2）在x軸上求一點(diǎn)尸，使它到3、C兩點(diǎn)的距離之和最小.

解：（1）作CD_L尤軸,

'：ZOAB+ZCAD=90°,ZCAD+ZACD=90°,

：.ZOAB^ZACD,

在△AB。和△CAO中，

.?.△ABO絲△CW(AA5)

：.AD=OB,CD=OA,

?”-_|x+2與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,

：.A(3,0),B(0,2),

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(5,3)；

￡

則E點(diǎn)坐標(biāo)為(5,-3),將(0,2)(5,-3),代入y=or+c中，

f5a+c=-3

jc=2，

解得：

1c=2

直線BE解析式為y=-x+2,

設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(尤，0),

則(x,0)位于直線8E上，

二點(diǎn)尸坐標(biāo)為(2,0).

13.如圖，一次函數(shù)了=依+人的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A(4,0),B(0,2).

(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為A3的中點(diǎn)，OC=1,點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，求PC+PO的最

小值，并求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)(用兩種不同的方法求解).

解：(1)設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為y=fcc+6,

將A(4,0)B(0,2)代入得4k+b,

I2=b

解得：2,

b=2

所以一次函數(shù)表達(dá)式為＞=--1x+2；

(2)法1：過(guò)點(diǎn)。作交04于點(diǎn)E,

VA(4,0),B(0,2),

，。4=4,02=2,

又：。為A3中點(diǎn)，DE//OB,

:.DE為L(zhǎng)BOA的中位線，

：.DE^—OB^1,0￡=工04=2,

22

：.D(2,1),

作點(diǎn)。關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接C交y軸于點(diǎn)P,即為所求,

：.D'(-2,1),

"：ZD'=/尸'CO,ZD'HP'=/POC,

；.△?HP's?OC,

.D'H_HP'—

??--------;--乙,

OCOP'

：.OP'=」，

3

??P坐標(biāo)為(0,—最小值為J(1+2)2+12=710;

3

法2：求點(diǎn)的坐標(biāo)部分同方法一，也可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接可得，

設(shè)直線CD'的表達(dá)式為y=mx+n,

把。'(-2,1),C(1,0)代入得：

I0=m+n

1

m="y

解得：[]

n=~3

當(dāng)x=0時(shí)，y=—,

3

14.已知一次函數(shù)y=fcx+Z?的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,-1)和點(diǎn)3(1,-3).求:

(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求直線A8與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(3)請(qǐng)?jiān)趚軸上找到一點(diǎn)P,使得出+PB最小，并求出P的坐標(biāo).

解：(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為丁=履+。，

把A(-l,-1)5(1,-3)代入得：-k+b=-1,k+b=-3,

解得：k=-1,b=-2,

，一次函數(shù)表達(dá)式為：y=-x-2；

(2)設(shè)直線與x軸交于C,與y軸交于Q,

把y=0代入y=-X-2,

解得x=-2,

???0C=2,

把x=0代入y=-x-2,

解得：y--2,

：.0D=2,

/.SACOD=-xOCXOD=Ax2X2=2；

22

(3)作A與4關(guān)于X軸對(duì)稱，連接A1B交X軸于P,則P即為所求,

由對(duì)稱知：4(-1,1),

設(shè)直線45解析式為y=〃x+c,得-〃+c=l,a+c=-3,

解得：a=-2,c=-1,

??y=-2x-1,

令y=0得-2x-1=0,

解得：X=-—,

2

:.p(-A,o).

2

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A在x軸上，AB=AC,Z

BAC=90°,且A(2,0)、B(3,3),BC交y軸于M,

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)連接AM,求△AM2的面積；

(3)在無(wú)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，求此時(shí)尸的坐標(biāo).

備用圖

解：(1)如圖1,作CO_Lx軸于。，BE_Lx軸于E,

：.ZCAD-^ZDCA=90°,

VZBAC=90°,

：.ZCAD+ZBAE=90°,

：.ZBAE=ZACDf

在△CDA和AAEB中，

.,.△CDA^AAEB(A4S),

:.CD=AE,AD=BE,

\'A(2,0)、B(3,3),

：.OA=2,OE=BE=3,

：.CD=AE=1,OD=AD-04=1,

；.C的坐標(biāo)是(-1,1)；

(2)如圖2,作笈ELt軸于作

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3),C點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,1),

.J3k+b=3,

l-k+b=l)

[k=l

2

解得，，Q，

b=>2r

直線BC的解析式為尸產(chǎn)|,

當(dāng)尤=0時(shí)，y=3,

-2

2

：.^AMB的面積=梯形MOEB的面積-△AOM的面積-4AEB的面積

=Ax(3+3)義3-2義2義旦-工義1X3

22222

V

(3)如圖3,作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(0,-S),連接BAT,交x軸于點(diǎn)尸，此時(shí)

2

PB+PM的值最小，

設(shè)直線BM'的解析式為y=iwc+nf

3m+n=3

則