廣西南寧市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級上冊月考（一）數(shù)學(xué)試卷【含解析】

南寧三中2024~2025學(xué)年度上學(xué)期高一月考（一）

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合拉=3一2<、<2},集合N={T0,1,2},貝/皿=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{x|-l<x<2}D,^x|-l<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的定義直接求解即可.

【詳解】因為M={H—2<X<2},N={-l,0,l,2},

所以McN={—1,0』},故A正確.

故選：A

2.如果則正確的是（）

A.若a>b,則，<一B.若a>b,貝

ab

C.若a>b,c>d,則a+c>6+dD.若a>b,d>d,則

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可逐一求解.

【詳解】對于A:取a=2,b=—1則工〉工，故A錯，

ab

對于B:若c=0,則4o2=加2,故B錯誤，

對于C:由同號可加性可知：a>b,c>d,貝Ia+c>6+d,故C正確，

對于D:若a=2/=l,c=-2,d=-3,則ac=-4,bd=-3,ac<bd,故D錯誤.

故選：C

3.設(shè)命題甲為“0<x<3"，命題乙為“年一1|<2"，那么甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】首先解絕對值不等式得到命題乙，再根據(jù)充分條件、必要條件判斷即可；

【詳解】解：因為,一1|<2,所以—2<x—1<2,解得—l<x<3,

命題乙為“上一1|<2"，即命題乙：—l<x<3

因為命題甲為"0<x<3"

二甲n乙，乙推不出甲，

故甲是乙的充分不必要條件.

故選：A.

4.已知實數(shù)x,了滿足一l<x<4,2<y<3,則2=》一_};的取值范圍是（）

A.{z|-3<z<1}B.{z|-4<z<2}C.{z|-3<z<2}D.[z\-4<z<-3}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】由題意得一3<一了<一2,則一4<x—y<2,

所以{z|-4<z<2}.

故選：B

5.若不等式X?+ax+b>0的解集是{x|x<-3或%>2},則°,6的值為（）

A.a=l,b=6B.a=-1,b=6

C.6z—1?b——6D.a——1,b=-6

【答案】C

【解析】

【分析】-3,2是方程必+"+6=0的兩個根，由韋達定理得到答案.

2

【詳解】由題意得-3,2是方程x+ax+b^0的兩個根,

故一3+2=_a,-3x2=6,解得a=1,6=-6.

故選：C

6.二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖象如圖所示，反比例函數(shù)y=?與正比例函數(shù)y=（b+c）x在同一坐標(biāo)系

【答案】B

【解析】

【分析】

由二次函數(shù)圖象可知4>0,c<0,再根據(jù)對稱軸和x=l時的值，可得b+c〈O,從而可判斷.

【詳解】由二次函數(shù)圖象可知Q>0,c<0,

由對稱軸x------->0,可知6<0,

2a

當(dāng)x=l時，a+b+c<Of即Z?+c<0,

所以正比例函數(shù)〉=（b+c）x經(jīng)過二四象限，且經(jīng)過原點，

反比例函數(shù)了=區(qū)圖象經(jīng)過一三象限，

故選：B.

7.在R上定義運算：。十b=（〃+l）b.已知10爛2時，存在x使不等式（冽一%）十（加+x）<4成立，則實數(shù)加的

取值范圍為（）

A.{m\—2<m<2}B.{m\—l<m<2}

C.{m\—3<m<2}D.{m\l<m<2}

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)定義求出（加一x）十（加+x）=/—N+m+x,將不等式分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為最大值使不等式成

立，根據(jù)二次函數(shù)求出最大值后，解一元二次不等式即可得解.

【詳解】依題意得(加一X)十(加+x)=("Z—x+l)("z+x)=%2—x2+"z+x,

因為1三區(qū)2時,存在x使不等式(心一x)十(7〃+X)<4成立，

所以存在l<x<2,使不等式m2+m<x2—x+4成立，

22—

即當(dāng)13爛2時，m+m<(xx+4)max.

因為1W爛2,所以當(dāng)x=2時，x2—x+4取最大值6,

所以加2+加<6,解得一3<%<2.

故選：C.

【點睛】本題考查了對新定義的理解能力，考查了不等式能成立問題，考查了二次函數(shù)求最值，考查了一

元二次不等式的解法，屬于中檔題.

8.若“必-3x-4〉0”是“/-3◎-的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是

A.一3尚

B.-2,t

4

C.-3]U[1，+°°)D.—co,-2]U[->+℃>

【答案】D

【解析】

【分析】將必-3x-4>0的解集記為A,V-3"-10/的解集記為8,由題意可知3是A的真子

集，由子集的定義求解即可.

【詳解】將——3x—4〉0的解集記為A,工2-3"-10/>0的解集記為瓦

由題意一一3》一4〉0是Y一3辦-10/>。的必要不充分條件可知8是A的真子集.

X2-3X-4>0,解得4={xh>4或x<—1},

x?-3辦-10/>o,則(x-5a)(x+2a)>0,

(1)當(dāng)a20時，8={x|x<-2a或x>5a},

5a>44

則c,(等號不能同時成立)，解得—.

~2a<-15

(2)當(dāng)a<0時，8={》|》<5?；蚬?gt;一2研，

—2ct>4

則u,（等號不能同時成立），解得a4—2.

5a<-1

4

由（1）（2）可得?；騛W—2.

故選：D.

【點睛】將兩個不等式之間的必要不充分性轉(zhuǎn)化為其解集之間的包含關(guān)系是本題解題的關(guān)鍵，解題過程中

注意分類討論思想的運用.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的有（）

A.XwN是xe的必要不充分條件

B.“?！?力〉1”是“仍>1”成立的充分條件

C.若夕：加eN,“2〉2",則—i/j:eN,?2<2"

D.x,y為無理數(shù)是X+N為無理數(shù)的既不充分也不必要條件

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷ABD,根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題的否定判斷

C.

【詳解】對于A,若xwN,則xeNuB,但由xeNuB不能推出xeN,

所以xe/是xeNuB的充分不必要條件，故A錯誤；

對于B,?！?力〉1時，ab>l一定成立，

所以?！?力〉1是ab>l成立的充分條件，故B正確；

對于C,命題夕：〉2",則「夕：\/〃€電/42",故C正確；

對于D,當(dāng)x=0,y=—正時，x+y=Q,

當(dāng)x=2,y=?時，x+N為無理數(shù)，

所以x，V為無理數(shù)是x+N為無理數(shù)的既不充分也不必要條件，故D正確.

故選：BCD.

10.已知a,6均為正實數(shù)，且a+6=l,則（）

A.ab的最大值為了B.—I—的最小值為2

4ab

2D2r21

C./+2〃的最小值為§M+占的最小值為I

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用基本不等式即可解得；

對于B,—+—="+—=—+——1結(jié)合a+3=1代換即可用基本不等式解決;

ababab

對于C,消元變?yōu)榻o定范圍內(nèi)二次函數(shù)最值問題；

上+—=2-2）結(jié)合代換即可用基本不等式解決.

對于D,（"++伍+a+2+b+l=4

a+2b+\a+2b+1

【詳解】對于A,

因為a,6均為正實數(shù),且a+6=1,

a+b)21

所以abW

~4

當(dāng)且僅當(dāng)Q=b=，時,

等號成立，故A正確;

2

對于B,

621—a21

--1—=----1—=--1--1

ababa1

2

a+"T=3+?+1

b算-

>3+2^---1=2+2^2,

當(dāng)且僅當(dāng)？="即1力=2—近時，等號成立，故B錯誤;

ab

對于C,

a2+262=(l-Z))2+2Z>2=362-26+l=3^-1^+g,

122

當(dāng)6=3，。=］時，/+2〃的最小值為§,故C正確；

對于D,

a2b1_(a+2-2)2(6+1-1)2

Q+2b+1Q+2b+1

4i

=(a+2)-4+------+(6+1)—2+——

V7Q+2V7b+1

=?+」一+「

a+2b+\

2+b+l)-2

』5+3+52

4Q+2b+1

/5+2HM.￡12_2=1(

4Va+2b+\4

當(dāng)且僅當(dāng)4("D=g即a=21=」時,等號成立，故D正確.

a+2b+\33

故選：ACD.

11.已知關(guān)于x的不等式組aV—丁―3x+44b,下列說法正確的是（）

4

A.當(dāng)a<l<b時，不等式組的解集是0

B.當(dāng)a=l,6=4時，不等式組的解集是｛x|04xV4｝

C.如果不等式組的解集是｛x|aVx<b｝,貝同-。=4

D.如果不等式組的解集是｛x|a<x<6｝,則a=g

【答案】BC

【解析】

3,

【分析】因為二次函數(shù)y=—/一3》+4最小值為1,由一元二次不等的求法可判斷A錯誤;當(dāng)a=1,b=4

4

時，可解出不等式組的解集，判斷B錯誤；當(dāng)不等式組。41――3x+4<b的解集是｛x[a<x<6｝時，

—3x+41,即a4l,再由因此x=a,x=b時，二次函數(shù)y=（——3x+4的值都等于b,可

解出b的值，從而求出a的值，可判斷C正確，D錯誤.

【詳解】因為二次函數(shù)y=/x2—3x+4最小值為1,又。<1<6,

由一元二次不等的求法可知不等式組a<-x2-3x+4</7解集不是0,故A錯誤；

4

3,

當(dāng)a=l時，不等式aV：x2—3x+4即為J—4》+420,解集為R，

4

3

當(dāng)6=4時，不等式:一一3》+4<6即為——4x<0,解集為|x[0<x<4],

4

所以不等式組的解集是｛x|0Wx<4｝,故B正確；

當(dāng)不等式組aw1/—3x+4<b的解集是｛x[a<x<6｝時,

2

Q?1-x-3x+4j,即QW1,

I4/min

3、

因此x=Q,x=b時，二次函數(shù)夕二^%—3x+4的值都等于6,

34

所以:"—36+4=6,解得6=_或6=4,

43

434

當(dāng)6=一時，由一a?—3Q+4=6=—,

343

42

解得或。=g,不滿足不符合題意；

3,,

當(dāng)6=4時，由一/一3。+4=Z)=4,解得a=0或a=4,

4

因為a=0滿足所以a=0,此時6-。=4一0=4,

所以C正確，D錯誤.

故選：BC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.命題，以21,/一1<0"的否定是.

【答案】3x0>l,x^-l>0

【解析】

【分析】由命題否定的定義即可求解.

【詳解】由命題否定的定義，可知命題“Vx21,x2—1<0”的否定是“3/21,另一120”.

故答案為：3x0>1,XQ-l>0.

13.函數(shù)y=(x+5)(x+2)a〉—1)的最小值為.

x+1

【答案】9

【解析】

【分析】由題意得x+l>0,原函數(shù)表達式可化為關(guān)于x+1的表達式，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為可利用基本不等

式求最值的問題，即可得答案.

【詳解】因為x>—l,則x+l>0,

所以x~+7x+10(x+1)"+5(x+1)+4

'x+1x+1

44

=(x+l)+——+5>2.(x+1)------+5=9,

x+1\x+1

4

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=——即X=1時等號成立，

x+1

...已知函數(shù)的最小值為9.

故答案為：9.

【點睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，難點在于將原函數(shù)的表達式中的分子按照分母的形式進行

配湊，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式求最值的問題.

14.設(shè)方>0,且jm+b=2,則q的最小值為___________.

b

【答案】26-4##-4+26

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.

【詳解】因為而1+6=2,所以。=(2—6)2—1=/—46+3,

所以*=6+3—422。^—4=2百—4,當(dāng)且僅當(dāng)a=6—46)=G時取等號.

故答案為：2G-4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(1)已知x>0,y>0,且2x+3歹=6,求孫的最大值；

19

(2)已知1>0/>0,—+—=1,求x+歹的最小值.

xy

【答案】|；16.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件，直接利用基本不等式，即可求得結(jié)果；

(2)根據(jù)已知條件，利用基本不等式中“1”的妙用，即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)因為x〉0,y〉0,則2x+3y=622而3，則孫三之，

3

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y,且2x+3y=6,即x=萬j=1時取得等號.

故9的最大值為|.

19

(2)因為x>0,y>0,?—=1,

^y

故x+y=(x+y)—+—=10+—+—>10+2J—x^-=16,

\xy)yxyyx

9xv19

當(dāng)且僅當(dāng)一=」，且一+—=1,即x=4,y=12時取得等號.

yxxy

故x+y的最小值為16.

16.設(shè)集合尸={x卜2<x<3},。={x[3a<xVa+1}.

(1)若。w0且。仁尸，求。的取值范圍;

(2)若尸no=0,求a的取值范圍.

【答案】(1)|

L32；

(2)(-00,-3]U；，+0°]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)。W0且?？谑?，列不等式組求a的取值范圍;

(2)分0=0和。70兩種情形進行討論，根據(jù)尸「0=0,列不等式組求。的取值范圍.

【小問1詳解】

3。2—2

21

因為。之尸，且所以。+1<3,解得，——<a<-

32f

3。<a+1

綜上所述，a的取值范圍為一二二].

L32；

【小問2詳解】

由題意，需分為0=0和。H0兩種情形進行討論：

當(dāng)0=0時，3a>a+l,解得，?>-,滿足題意；

2

a+1V—23ct23

當(dāng)。*0時，因為尸口。=0,所以7,，解得aW—3,或〈，無解;

3a<a+1\3a<a+l

綜上所述，。的取值范圍為(一嗎—3]u

17.解關(guān)于x的不等式ax?-(a+4)x+4＞0(oeR).

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】對于一元二次不等式?2一伍+4)》+420,當(dāng)。=0時，不等式變?yōu)橐淮尾坏仁剑划?dāng)時，

可根據(jù)二次函數(shù)＞=辦2一僅+4卜；+4的圖像性質(zhì)求解.先將二次函數(shù)因式分解，再分情況討論a的取值范

圍來求解不等式.

【詳解】(1)當(dāng)a=0時，此時不等式化為—4x+420,移項可得—4x2—4,兩邊同時除以—4,根據(jù)不等

式兩邊同時除以一個負數(shù)，不等號方向改變，得到xWl.

(2)當(dāng)awO時，將a/—(a+4)x+4因式分解，得到(ax—4)(x—1)?0.

4

(i)當(dāng)。＜0時，二次函數(shù)歹=("—4)('—1)開口向下，方程(av—4)(x—1)=0的兩個根為1=1和1=—,

a

44

且一vl.不等式的解為一WxVl.

aa

4

(ii)當(dāng)。＞0時，二次函數(shù)＞=(QX—4)(x—1)開口向上，方程(QX—4)(x—1)=0的兩個根為1=1和%=—.

a

4

當(dāng)一二1,即。=4時，不等式化為(4x—4)(x—1)20,即(％—1)2?0,此時XER.

a

44

當(dāng)一〉1,即0VQ＜4時，不等式的解為xWl或％＞一.

aa

44

當(dāng)一＜1,即。＞4時，不等式的解為XV—或

aa

綜上所得，

當(dāng)。=0時，不等式的解為｛x|x〈l｝；

4

當(dāng)。＜0時，不等式的解為—VxVl｝；

a

4

當(dāng)0＜。＜4時，不等式的解為或｝；

a

當(dāng)。二4時，xGR；

4

當(dāng)Q＞4時，不等式的解為｛x|xV—或％21｝.

a

18.某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價為

x元，朱古力蜂果蛋糕單位為p元，現(xiàn)有兩種購買方案：

方案一：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為。個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為6個，花費記為月；

方案二：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為6個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為。個，花費記為S2.

(其中y>x>4,b>a>4)

(1)試問哪種購買方案花費更少？請說明理由；

(2)若a,b,x,y同時滿足關(guān)系y=2x-2j/Z,b=2a+—d_,求這兩種購買方案花費的差值S最

a-4

小值(注：差值5=花費較大值-花費較小值).

【答案】(1)采用方案二；理由見解析

(2)24

【解析】

【分析】(1)列出兩種方案的總費用的表達式，作差比較，即可求解；

(2)根據(jù)題意，得到邑-E=(x-2j^M>(a+'一)，利用換元法和基本不等式，即可求解.

。一4

【小問1詳解】

解：方案一的總費用為百=ax+勿(元)；

方案二的總費用為S2=云+4(元)，

由S2-S{=bx+ay-{ax+by}=a(y-x)+b(x-y)=(y~-b),

因為V>x>4]>Q>4,可得)；一%>0,4-6<0,所以(y<0,

即S?-S]<0,所以S2<S],所以采用方案二，花費更少

【小問2詳解】

解：由(1)可知S]_§2=(y—x)(6_Q)=(x_~1---,

令，=y/x-4，則x=r+4，

所以x—2'+4=?—iy+323,當(dāng)，=1時，即x=5時，等號成立，

又因為。>4,可得。一4>0,

44I4~~

所以Q+——=(a-4)+——+4>2J(a-4)x——+4=8,

a-4a-4\a-4

4

當(dāng)且僅當(dāng)a—4=——時，即。=6/=14時，等號成立，

a-4

所以差S的最小值為3x8=24,當(dāng)且僅當(dāng)》=5,歹=8,。=61=14時，等號成立，

所以兩種方案花費的差值S最小為24元.

19.對于一個函數(shù)給出如下定義：對于函數(shù)若當(dāng)函數(shù)值>滿足機且滿足

n-m=k(b-a),則稱此函數(shù)為“左屬和合函數(shù)”.例如：正比例函數(shù)y=-2x,當(dāng)l