專題05 三角函數(shù)（5大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專用）含答案及解析

專題05三角函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)一：三角函數(shù)值正負(fù)判斷不清導(dǎo)致錯(cuò)誤（任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)）1．角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長(zhǎng)公式：，扇形的面積公式：．3．任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T．三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線易錯(cuò)提醒：（1）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)賦值來(lái)求得所需的角．（2）確定的終邊位置的方法先寫出或的范圍，然后根據(jù)的可能取值確定或的終邊所在位置．（3）利用三角函數(shù)的定義，已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)可求的三角函數(shù)值；已知角的三角函數(shù)值，也可以求出角終邊的位置．（4）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.例如圖，已知兩質(zhì)點(diǎn)A，B同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，繞單位圓逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)的角速度分別為3rad/s和5rad/s，設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)這兩質(zhì)點(diǎn)間的距離為．

(1)求的解析式；(2)求這兩質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)后第n次相遇的時(shí)間（單位：s）．變式1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，.(1)求的值；(2)射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，求的值.變式2．角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，分別寫出點(diǎn)P關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，并求角，，，的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值．變式3．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，設(shè).

(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)已知當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時(shí)矩形面積的最大值是多少？1．已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．或2 D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊過(guò)點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊，且終邊過(guò)點(diǎn)，則取最小值時(shí)x的可能取值為（

）A． B． C． D．4．已知是第三象限角，則點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．已知角終邊上有一點(diǎn)，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角6．已知角，終邊上有一點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．7．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩個(gè)點(diǎn)，，且，則（

）A． B． C．或 D．或8．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B．1 C． D．9．已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則與是終邊相同的角B．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則C．若扇形的周長(zhǎng)為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限11．如圖所示，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與圓交于點(diǎn).

(1)求；(2)若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，求.易錯(cuò)點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致變形錯(cuò)誤（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式求值問(wèn)題）1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；2．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限題型1．同角三角函數(shù)關(guān)系齊次化（1）利用方程思想，對(duì)于，由公式，可以“知一求二”．對(duì)于，由下面三個(gè)關(guān)系式，可以“知一求二”．（2）的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于的齊次式，或含有及的式子求值時(shí)，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”求解．題型2．利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)及其計(jì)算（1）誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了．（2）學(xué)會(huì)誘導(dǎo)公式的逆用，如等，再如，能將中的系數(shù)由負(fù)變正，且不改變“正弦”前面的符號(hào)．（3）學(xué)會(huì)觀察兩角之間的關(guān)系，看看它們的和或差是否為的整數(shù)倍．技巧：1．利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2．“”方程思想知一求二．易錯(cuò)提醒：奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無(wú)論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可。例．已知．(1)求的值．(2)求的值．變式1．已知均為銳角，且．(1)求的值；(2)求的值．變式2．．已知，且，化簡(jiǎn)并求的值.變式3．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn).(1)求的值；(2)若銳角滿足，求的值.1．若，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊過(guò)點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．6．已知，且，則（

）A． B． C． D．7．若，且，則（

）A． B． C． D．8．已知，，則（

）A． B． C． D．9．已知，則.10．已知是第四象限角，且滿足，則．11．若，且，則．易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視三角函數(shù)圖象變換研究對(duì)象選?。ㄈ呛瘮?shù)的圖象和性質(zhì)）1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無(wú)對(duì)稱中心對(duì)稱軸方程無(wú)2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）注：正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離；3．與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A，A]．（3）最值假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，（4）對(duì)稱軸與對(duì)稱中心．假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，正、余弦曲線的對(duì)稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫⒂嘞业膶?duì)稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點(diǎn)的位置．（5）單調(diào)性．假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．結(jié)論：關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為．（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為題型1．研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個(gè)角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡(jiǎn)稱：同角同函）或，常見(jiàn)方法有：（1）用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將已給函數(shù)化成同函；（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化成同角；（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數(shù)化成同函．題型2．研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）時(shí)，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述或的形式，有時(shí)會(huì)化簡(jiǎn)為二次函數(shù)型：或，這時(shí)需要借助二次函數(shù)知識(shí)求解，但要注意的取值范圍．若將已給函數(shù)化簡(jiǎn)為更高次的函數(shù)，如，則換元后可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解．如：解析式中同時(shí)含有和，令，由關(guān)系式得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．題型3．求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過(guò)三角變換化為下列基本類型：（1），令，則；（2），引入輔助角，化為；（3），令，則；（4），令，則，所以；（5），根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．易錯(cuò)提醒：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無(wú)論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少.例．定義在上的函數(shù)滿足在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．的最小正周期為B．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．在區(qū)間上單調(diào)遞增變式1．已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．變式2．已知函數(shù)的初相為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為C．若把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則為偶函數(shù)D．若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)樽兪?．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到1．為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度2．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度3．函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．若函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是4．已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)5．已知函數(shù)，且對(duì)，都有，且把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再把圖象右移，得到函數(shù)的圖像，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上有兩個(gè)零點(diǎn)6．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（），縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)滿足，則的取值可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．已知函數(shù)，，其中，則（

）A．與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B．與的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．當(dāng)與在區(qū)間上單調(diào)性相反時(shí)，的最大值為1D．當(dāng)與在區(qū)間上單調(diào)性相同時(shí)，的最大值為8．已知函數(shù)，以下說(shuō)法中，正確的是（

）A．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像的解析式為9．已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．若在區(qū)間上的最大值是，則的最小值為D．若，則10．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．若，則是的整數(shù)倍B．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向左平移單位得到C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞增11．已知是的導(dǎo)函數(shù)（

）A．是由圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移得到的B．是由圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移得到的C．的對(duì)稱中心坐標(biāo)是D．是的一條切線方程.易錯(cuò)點(diǎn)四：求φ時(shí)忽略升降零點(diǎn)的區(qū)別（函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應(yīng)用）函數(shù)的物理意義簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，其中．在物理中，描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān)：就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開(kāi)平衡位置的最大距離；這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是，這是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間；這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式給出，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)；稱為相位；時(shí)的相位稱為初相．題型1．已知的部分圖象求的方法：（1）利用極值點(diǎn)的縱坐標(biāo)求；（2）把某點(diǎn)的坐標(biāo)代入求．題型2．已知的部分圖象求的方法：由，即可求出．常用結(jié)論：（1）相鄰兩個(gè)極大（小）值點(diǎn)之間的距離為；（2）相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為（3）極值點(diǎn)到相鄰的零點(diǎn)，自變量取值區(qū)間長(zhǎng)度為．題型3．已知的部分圖象求的方法：求的值時(shí)最好選用最值點(diǎn)求．峰點(diǎn)：；谷點(diǎn)：．也可用零點(diǎn)求，但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn)．升零點(diǎn)（圖象上升時(shí)與軸的交點(diǎn)）：；降零點(diǎn)（圖象下降時(shí)與軸的交點(diǎn)）：（以上）．易錯(cuò)提醒：求的值時(shí)若用零點(diǎn)求時(shí)一定要明確該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn).例．已知函數(shù)滿足．(1)求函數(shù)的解析式及最小正周期；(2)函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，若，求的最小值．變式1．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值，并寫出的對(duì)稱軸方程；(2)在中角的對(duì)邊分別是滿足，求函數(shù)的取值范圍．變式2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.變式3．如圖為函數(shù)的部分圖象，且，．(1)求，的值；(2)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，討論函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．1．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱C．函數(shù)在的值域?yàn)镈．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位3．函數(shù)的部分圖像如圖所示，在上的極小值和極大值分別為..，，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．的最小正周期為B．C．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在上單調(diào)遞減4．已知函數(shù)，把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則（

）A．是奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增D．不等式的解集為5．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，的值域是C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞增6．已知函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，若是偶函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．點(diǎn)是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心C．在的值域?yàn)镈．函數(shù)在上單調(diào)遞增7．已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．B．的圖象在區(qū)間上存在對(duì)稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到的圖象8．已知函數(shù)在軸上的截距為，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無(wú)極值點(diǎn)，則的取值范圍是．9．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)對(duì)稱中心，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的值可能是3；

②的最小正周期可能是；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；

④圖象的對(duì)稱軸可能是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間．11．已知函數(shù)（且）的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心的距離為．(1)求在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)，若，，求的值．12．已知函數(shù)的最小值周期為.(1)求的值與的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若且，求的值.易錯(cuò)點(diǎn)五：遺忘非特殊角其實(shí)也是一種特殊角（三角恒等變換）1．兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；2．二倍角公式①；②；③；3．降次（冪）公式4．半角公式5．輔助角公式（其中）．結(jié)論：1．兩角和與差正切公式變形；．2．降冪公式與升冪公式；．3．其他常用變式．3．拆分角問(wèn)題：①；；②；③；④；⑤．注意特殊的角也看成已知角，如．易錯(cuò)提醒：1．給角求值給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解．2．給值求值：已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：（1）先化簡(jiǎn)所求式子．（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系（從三角函數(shù)名及角入手）．（3）將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值．3．給值求角通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，有以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．（2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好．4．與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的綜合問(wèn)題（1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成或的形式．（2）利用公式求周期．（3）根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時(shí)，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值．（4）根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)或的單調(diào)區(qū)間．例．下列各式計(jì)算正確的有（

）A． B．C． D．變式1．已知，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．D．變式2．下列各式的值是方程的根的為（

）．A． B．C． D．變式3．下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（

）A． B．C． D．1．已知，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為2．已知，且，，，則（

）A．的取值范圍為 B．存在，，使得C．當(dāng)時(shí)， D．t的取值范圍為3．下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A．B．C．D．4．下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A．B．C．D．5．下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．6．已知，，，下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．C． D．7．下列化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．8．下列等式成立的有（

）A． B．C． D．9．下列計(jì)算或化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（

）A．＝2 B．若，則C．若，則＝1 D．10．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．11．下列化簡(jiǎn)正確的是（

）A．B．C．D．

專題05三角函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)一：三角函數(shù)值正負(fù)判斷不清導(dǎo)致錯(cuò)誤（任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)）1．角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長(zhǎng)公式：，扇形的面積公式：．3．任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T．三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線易錯(cuò)提醒：（1）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)賦值來(lái)求得所需的角．（2）確定的終邊位置的方法先寫出或的范圍，然后根據(jù)的可能取值確定或的終邊所在位置．（3）利用三角函數(shù)的定義，已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)可求的三角函數(shù)值；已知角的三角函數(shù)值，也可以求出角終邊的位置．（4）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.例如圖，已知兩質(zhì)點(diǎn)A，B同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，繞單位圓逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)的角速度分別為3rad/s和5rad/s，設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)這兩質(zhì)點(diǎn)間的距離為．

(1)求的解析式；(2)求這兩質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)后第n次相遇的時(shí)間（單位：s）．【詳解】（1）由質(zhì)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)的角速度分別為3rad/s和5rad/s，得時(shí)質(zhì)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，則，所以的解析式為.（2）因?yàn)閮少|(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)后每相遇一次即對(duì)應(yīng)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，因此為在區(qū)間上第n個(gè)零點(diǎn)，由，得，解得，所以兩質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)后第n次相遇的時(shí)間.變式1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，.(1)求的值；(2)射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，求的值.【詳解】（1）解：因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，所以.（2）設(shè)單位圓與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為Q，則，設(shè)，則，所以，所以.變式2．角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，分別寫出點(diǎn)P關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，并求角，，，的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值．【詳解】

點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).易知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，；角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，；角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，；角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，.變式3．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，設(shè).

(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)已知當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時(shí)矩形面積的最大值是多少？【詳解】（1）

，，.（2）由題意知，，，，所以當(dāng)，即時(shí)，面積最大，最大值為.1．已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．2 B． C．或2 D．【答案】D【分析】先確定所在的象限，再根據(jù)三角函數(shù)的定義及二倍角的正切公式求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系化弦為切即可得解.【詳解】由題意，得角是第二象限角，則，故，當(dāng)時(shí)，，為第一象限角，當(dāng)時(shí)，，為第三象限角，所以是第一象限角或第三象限角，則，又因?yàn)?，所以或（舍去），所以．故選：D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊過(guò)點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用終邊經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求出即可求解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，所以，解得，所以．故選：B3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊，且終邊過(guò)點(diǎn)，則取最小值時(shí)x的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的定義可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】∵角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，，∴，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在取最小值時(shí)．，，即，時(shí)A正確；對(duì)于B，，不符合；對(duì)于C，，不符合；對(duì)于D，，不符合；故選:A．4．已知是第三象限角，則點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)角所在象限結(jié)合二倍角正弦公式即可判斷答案.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，故，則，故在第二象限，故選：B5．已知角終邊上有一點(diǎn)，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同角的定義即可求解.【詳解】已知角終邊上有一點(diǎn)，即點(diǎn)，，為第三象限角.故選：C.6．已知角，終邊上有一點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弦切互化，結(jié)合正切和差角公式，即可得，結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】，故，．又，，故在第三象限，故，．故選:C．7．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩個(gè)點(diǎn)，，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義式可得，又結(jié)合二倍角的余弦公式及齊次式的原因可得，接方程組即可.【詳解】由已知可得，，又，，，即，聯(lián)立得，解得或，，故選：C.8．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式即可解決.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊落在直線上，所以.則.故選：B9．已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，利用三角函數(shù)定義求出的值，再利用二倍角余弦公式求解即可.【詳解】由題得，所以，所以或，所以.故選：B10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則與是終邊相同的角B．若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則C．若扇形的周長(zhǎng)為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限【答案】CD【分析】舉反例判斷A；由三角函數(shù)的定義判斷B；由弧長(zhǎng)公式判斷C；由與同號(hào)判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，但終邊不同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，得，故C正確；對(duì)于D：，即與同號(hào)，則角的終邊在第一象限或第三象限，故D正確；故選：CD11．如圖所示，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與圓交于點(diǎn).

(1)求；(2)若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，，求.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式直接得解；（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，進(jìn)而可得面積.【詳解】（1）由題知，，所以；（2）由題知，，，，且，所以，而，則，故，由正弦定理可知，整理得，解得，故，或.易錯(cuò)點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致變形錯(cuò)誤（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式求值問(wèn)題）1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；2．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限題型1．同角三角函數(shù)關(guān)系齊次化（1）利用方程思想，對(duì)于，由公式，可以“知一求二”．對(duì)于，由下面三個(gè)關(guān)系式，可以“知一求二”．（2）的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于的齊次式，或含有及的式子求值時(shí)，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”求解．題型2．利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)及其計(jì)算（1）誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了．（2）學(xué)會(huì)誘導(dǎo)公式的逆用，如等，再如，能將中的系數(shù)由負(fù)變正，且不改變“正弦”前面的符號(hào)．（3）學(xué)會(huì)觀察兩角之間的關(guān)系，看看它們的和或差是否為的整數(shù)倍．技巧：1．利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2．“”方程思想知一求二．易錯(cuò)提醒：奇變偶不變，符號(hào)看象限，說(shuō)明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無(wú)論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可。例．已知．(1)求的值．(2)求的值．【詳解】（1）；（2）.變式1．已知均為銳角，且．(1)求的值；(2)求的值．【詳解】（1），，又，，，.（2）為銳角，，．．變式2．已知，且，化簡(jiǎn)并求的值.【詳解】解：因?yàn)椋?，則，所以，，故.變式3．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn).(1)求的值；(2)若銳角滿足，求的值.【詳解】（1）由題設(shè)知：，則，又，；（2）由（1）知：，且，又為銳角，為第四象限角，所以為第四象限角或第一象限角.當(dāng)為第一象限角時(shí)，則，當(dāng)為第四象限角時(shí)，則.1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦、余弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為“齊次式”，代入即可求解.【詳解】由，則.故選：A.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所求角通過(guò)拆角、變角，利用兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，，故選：B．3．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上，終邊過(guò)點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用終邊經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求出即可求解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，所以，解得，所以．故選：B4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：根據(jù)平方關(guān)系、二倍角公式化簡(jiǎn)已知可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得所求；方法二：利用輔助角公式化簡(jiǎn)已知可得，再根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)可得所求.【詳解】方法一：，，，即，.方法二，即，，，.故選：D.5．已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩角和差的正弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，為銳角，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；所以.故選：C6．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正余弦公式求解即得.【詳解】由，得，而，則，，因此，即有，所以.故選：C7．若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先左右兩邊平方，得出，再應(yīng)用弦化切，最后結(jié)合角的范圍可得求出正切值．【詳解】∵，∴，即，∴，∴，得，∴，∴或，∵，且，∴由三角函數(shù)定義知，∴，故．故選：D.8．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先將兩邊平方，結(jié)合，得出，結(jié)合得出，再計(jì)算出，即可求出和，根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，二倍角的余弦公式和正切公式，兩角的余弦公式分別計(jì)算即可判斷各選項(xiàng)．【詳解】由得，，則，因?yàn)?，，所以，所以，由，解得，?duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，，即，解得或（舍去），故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：BC．9．已知，則.【答案】【分析】利用弦切互化和兩角和的正切公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以，即，所?故答案為：.10．已知是第四象限角，且滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)得到，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，進(jìn)而求得，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由是第四象限角，可得，則，因?yàn)?，可得，可得，又由，因?yàn)?，可得，?lián)立方程組，可得，所以.故答案為：.11．若，且，則．【答案】/【分析】結(jié)合角的范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，先求出角的正弦與余弦，再將所求式子利用二倍角公式轉(zhuǎn)化為角的正余弦，代入求值即可.【詳解】因?yàn)?，?lián)立，解得，則．故答案為：.易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視三角函數(shù)圖象變換研究對(duì)象選?。ㄈ呛瘮?shù)的圖象和性質(zhì)）1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無(wú)對(duì)稱中心對(duì)稱軸方程無(wú)2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）注：正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離；3．與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇-A，A]．（3）最值假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，（4）對(duì)稱軸與對(duì)稱中心．假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，正、余弦曲線的對(duì)稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫?、余弦的對(duì)稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點(diǎn)的位置．（5）單調(diào)性．假設(shè)．①對(duì)于，②對(duì)于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．結(jié)論：關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為；（4）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令，得；對(duì)稱中心的求取方法；令，得，即對(duì)稱中心為．（5）求函數(shù)的對(duì)稱軸的方法；令得，即對(duì)稱中心為題型1．研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個(gè)角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡(jiǎn)稱：同角同函）或，常見(jiàn)方法有：（1）用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將已給函數(shù)化成同函；（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化成同角；（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數(shù)化成同函．題型2．研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對(duì)稱性等）時(shí)，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述或的形式，有時(shí)會(huì)化簡(jiǎn)為二次函數(shù)型：或，這時(shí)需要借助二次函數(shù)知識(shí)求解，但要注意的取值范圍．若將已給函數(shù)化簡(jiǎn)為更高次的函數(shù)，如，則換元后可通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解．如：解析式中同時(shí)含有和，令，由關(guān)系式得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．題型3．求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過(guò)三角變換化為下列基本類型：（1），令，則；（2），引入輔助角，化為；（3），令，則；（4），令，則，所以；（5），根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．易錯(cuò)提醒：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無(wú)論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少.例．定義在上的函數(shù)滿足在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．的最小正周期為B．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【詳解】依題可知，于是，于是，∴，又，∴，∴，對(duì)于A，由，則的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，則，所以不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，所以不是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ABC．變式1．已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若時(shí)，方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．【詳解】因?yàn)?，將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，則，由得，可得，所以，，解得，故選：CD.變式2．已知函數(shù)的初相為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為C．若把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則為偶函數(shù)D．若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤驹斀狻坑深}意知，所以．對(duì)于選項(xiàng)A，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由，，得，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，所以為奇函數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，所以，所以，即：在區(qū)間上的值域?yàn)椋蔇項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB.變式3．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【詳解】，故A正確；函數(shù)的最小正周期為，故B正確；由，得，故C錯(cuò)誤；由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，故D錯(cuò)誤.故選：AB1．為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【分析】將函數(shù)變?yōu)榈耐瘮?shù)，然后利用函數(shù)圖象的平移變換法則即可得解.【詳解】，所以將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象.故選：D．2．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到，然后根據(jù)圖象的平移變換判斷即可.【詳解】，，，所以的圖象向右平移得到的圖象.故選：A.3．函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．若函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及對(duì)稱軸求出函數(shù)解析式，由函數(shù)的平移判斷A，根據(jù)單調(diào)性判斷B，由函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷CD.【詳解】由題意且，可得，，故當(dāng)時(shí)，，.對(duì)A，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得，故函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有最小值，則需，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由C，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則，即，故D錯(cuò)誤.故選：AB4．已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【分析】根據(jù)周期及奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以，則，把它圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，，即，，因?yàn)椋?，，所以，?duì)于A，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D，由，得，即，令，解得，又，所以或，所以函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，分別為，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．已知函數(shù)，且對(duì)，都有，且把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變），再把圖象右移，得到函數(shù)的圖像，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【分析】對(duì)于A，求導(dǎo)得，由可得關(guān)于直線對(duì)稱，從而可得，結(jié)合求得即可判斷；對(duì)于B，由題意，計(jì)算即可判斷；對(duì)于C，計(jì)算，從而可判斷；對(duì)于D，由可得，從而可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而可判斷.【詳解】對(duì)于A，，關(guān)于直線對(duì)稱，，，又當(dāng)時(shí)，，故A為正確；對(duì)于B，，由題意，當(dāng)時(shí)，，∴關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，滿足，B正確；對(duì)于C，∵為偶函數(shù)，C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則在上只有一個(gè)零點(diǎn)，D不正確.故選：AB．6．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（），縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)滿足，則的取值可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】ABC【分析】由圖象變換得到解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性，將條件轉(zhuǎn)化為在上最值的取值情況，將看作整體角，根據(jù)函數(shù)圖象得到不等關(guān)系求解即可.【詳解】由題意得，,由，得或，由已知在上有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)滿足，則在上只取得一次最大值和一次最小值，，令，則，由圖象可知，，解得，即的取值范圍是，故選：ABC．

7．已知函數(shù)，，其中，則（

）A．與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱B．與的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．當(dāng)與在區(qū)間上單調(diào)性相反時(shí)，的最大值為1D．當(dāng)與在區(qū)間上單調(diào)性相同時(shí)，的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、圖象變換逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】，所以與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；，與的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；如圖，

函數(shù)的圖像為函數(shù)的圖像向左平移得到，函數(shù)的圖像為函數(shù)的圖像向右平得到，所以與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且的每一個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一個(gè)零點(diǎn)，易知在軸右側(cè)的第一個(gè)極大值點(diǎn)為；若與在區(qū)間上單調(diào)性相反,則有，即，故C不正確；若函數(shù)在軸右側(cè)的第一個(gè)極小值點(diǎn)為上單若與在區(qū)間上單調(diào)性相同，則有，且，即，故D正確.故選：ABD.8．已知函數(shù)，以下說(shuō)法中，正確的是（

）A．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像的解析式為【答案】BCD【分析】利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?duì)于A，由，即，所以對(duì)稱中心為，令，得到一個(gè)對(duì)稱中心為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由的圖像與性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，所以D正確.故選：BCD.9．已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．若在區(qū)間上的最大值是，則的最小值為D．若，則【答案】BD【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，得，根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像性質(zhì)研究周期性、平移、值域等問(wèn)題.【詳解】，所以的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)為，是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，最大值為，所以m的最小值為，故C錯(cuò)誤；令，解得，當(dāng)時(shí)，的一個(gè)對(duì)稱中心為，故時(shí)，有，故D正確.故選：BD.10．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．若，則是的整數(shù)倍B．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向左平移單位得到C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】CD【分析】利用誘導(dǎo)公式可判斷A選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則或，可得或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向左平移個(gè)單位得到，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D對(duì).故選：CD.11．已知是的導(dǎo)函數(shù)（

）A．是由圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移得到的B．是由圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移得到的C．的對(duì)稱中心坐標(biāo)是D．是的一條切線方程.【答案】BC【分析】由三角函數(shù)的平移和伸縮變換可判斷A，B；由三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】，是由橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍，再把得到的曲線向左平移，故A錯(cuò)誤；函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得，再向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位，得，即，故B正確；因?yàn)?，令，則，則的對(duì)稱中心坐標(biāo)是，故C正確；因?yàn)?，所以，由?dǎo)數(shù)的幾何意義令，可得：，即，解得:，所以切點(diǎn)為，而不在上，故D錯(cuò)誤.故選：BC.易錯(cuò)點(diǎn)四：求φ時(shí)忽略升降零點(diǎn)的區(qū)別（函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應(yīng)用）函數(shù)的物理意義簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，其中．在物理中，描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān)：就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開(kāi)平衡位置的最大距離；這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是，這是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間；這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式給出，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)；稱為相位；時(shí)的相位稱為初相．題型1．已知的部分圖象求的方法：（1）利用極值點(diǎn)的縱坐標(biāo)求；（2）把某點(diǎn)的坐標(biāo)代入求．題型2．已知的部分圖象求的方法：由，即可求出．常用結(jié)論：（1）相鄰兩個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)之間的距離為；（2）相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為（3）極值點(diǎn)到相鄰的零點(diǎn)，自變量取值區(qū)間長(zhǎng)度為．題型3．已知的部分圖象求的方法：求的值時(shí)最好選用最值點(diǎn)求．峰點(diǎn)：；谷點(diǎn)：．也可用零點(diǎn)求，但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn)．升零點(diǎn)（圖象上升時(shí)與軸的交點(diǎn)）：；降零點(diǎn)（圖象下降時(shí)與軸的交點(diǎn)）：（以上）．易錯(cuò)提醒：求的值時(shí)若用零點(diǎn)求時(shí)一定要明確該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn).例．已知函數(shù)滿足．(1)求函數(shù)的解析式及最小正周期；(2)函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，若，求的最小值．【詳解】（1）∵，∴，而，∴，即，∴的最小正周期為：；（2）由題意，，∵，∴，∴Z，∴，∴的最小值為．變式1．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值，并寫出的對(duì)稱軸方程；(2)在中角的對(duì)邊分別是滿足，求函數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）．，．故令，解得，故對(duì)稱軸方程為：（2）由得，．，，,．，，，變式2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.【詳解】（1）設(shè)的最小正周期為，則，可得,且，解得，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，取到最大值，且，則，可得，解得，又因?yàn)?，可得，則，且的圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以.（2）令，由，可得，可知的零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且，作出在內(nèi)的圖象，不妨設(shè)，如圖所示：由圖象可知：，且關(guān)于直線對(duì)稱，所以.變式3．如圖為函數(shù)的部分圖象，且，．(1)求，的值；(2)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，討論函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】（1）根據(jù)題意得，，故，，故．將代入，得，解得，又，故．（2）依題意，．函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)時(shí)，，結(jié)合余弦函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，，，作出函數(shù)在上的大致圖象如圖所示．觀察可知，當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)．1．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題目的要求伸縮變換得到解析式，然后結(jié)合函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)以及在上單調(diào)遞減，列出不等式組，即可求得本題答案.【詳解】依題意可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谇∮?個(gè)零點(diǎn)，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上單調(diào)遞減，所以，所以，又，解得．綜上所述，，故的取值范圍是．故選：C.2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱C．函數(shù)在的值域?yàn)镈．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位【答案】ACD【分析】先由圖象信息求出表達(dá)式，從而即可判斷A；注意到是的對(duì)稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可判斷B；直接由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯膳袛郈；直接按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對(duì)比即可判斷.【詳解】如圖所示：

由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點(diǎn)為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項(xiàng)正確；由A選項(xiàng)分析可知，而是的對(duì)稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)正確；若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.3．函數(shù)的部分圖像如圖所示，在上的極小值和極大值分別為..，，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．的最小正周期為B．C．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．在上單調(diào)遞減【答案】BC【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)圖象得到振幅和周期，求出；C選項(xiàng)，根據(jù)分別為極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，由對(duì)稱性得到C正確；D選項(xiàng)，由圖象得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【詳解】A選項(xiàng)，由題圖可知，，則，故A錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，所以.又在極小值和極大值分別為，，所以，故B正確.C選項(xiàng)，因?yàn)榉謩e為極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，故點(diǎn)為函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心，故C正確.D選項(xiàng)，，從圖象可以看出函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.故選：BC.4．已知函數(shù)，把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則（

）A．是奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增D．不等式的解集為【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，由左加右減得到的解析式，從而判斷出奇偶性；B選項(xiàng)，，故B正確；C選項(xiàng)，整體法判斷函數(shù)的單調(diào)性；D選項(xiàng)，由得到，求出不等式的解集.【詳解】A選項(xiàng)，，由于的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，A正確；B選項(xiàng)，，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；C選項(xiàng)，時(shí)，，其中在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，則，則，故，D錯(cuò)誤.故選：AB5．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，的值域是C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換求出的表達(dá)式，然后依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以?/p>

由，得，，則，又，所以，

所以．

對(duì)于A：，所以不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，則，B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，D正確．故選：BD6．已知函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，若是偶函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．點(diǎn)是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心C．在的值域?yàn)镈．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)為偶函數(shù)及，得到，進(jìn)而得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，計(jì)算出，B正確；C選項(xiàng)，由得到，從而結(jié)合圖象求出值域；D選項(xiàng)，由得到，結(jié)合圖象得到答案.【詳解】由題意得，，解得，因?yàn)?，所以只有?dāng)，滿足題意，A選項(xiàng)，，故最小正周期，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故，故點(diǎn)是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，B正確；C選項(xiàng)，，則，故，C正確；D選項(xiàng)，，則，由于在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤.故選：BC7．已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．B．的圖象在區(qū)間上存在對(duì)稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到的圖象【答案】AB【分析】先由函數(shù)的最小正周期，求出；根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B,C選項(xiàng)，再由三角函數(shù)圖像平移后可判斷D選項(xiàng).【詳解】由，得，故選項(xiàng)A正確；令，，解得，，當(dāng)時(shí)，，所以是圖象的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，余弦函數(shù)在此區(qū)間不單調(diào)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；依題意平移后的解析式為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．8．已知函數(shù)在軸上的截距為，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無(wú)極值點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】先根據(jù)在軸上的截距得到方程，求出，進(jìn)而由得到，根據(jù)有零點(diǎn)，無(wú)極值點(diǎn)，得到不等式，求出答案.【詳解】由題意知，則，結(jié)合，得，所以．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無(wú)極值點(diǎn)，所以，（建立不等式時(shí)，要注意是否能取等號(hào)）,解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以不等式組無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，所以，所以不等式組無(wú)解，當(dāng)或時(shí)，不滿足條件．所以的取值范圍是．故答案為：9．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)對(duì)稱中心，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的值可能是3；

②的最小正周期可能是；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；

④圖象的對(duì)稱軸可能是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①②③【分析】由題意，結(jié)合角的范圍可得，求出的范圍可判斷①，利用三角函數(shù)的周期公式可判斷②，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷③④.【詳解】函數(shù)，，，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個(gè)對(duì)稱中心，則，，即的取值范圍是，而，故①正確；周期，由，得，，的最小正周期可能是，故②正確；，，，，又，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③正確；當(dāng)，即，又，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故④不正確.故答案為：①②③.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出，，進(jìn)而得出.根據(jù)“五點(diǎn)法”，即可求出的值；（2）先求出，根據(jù)已知得出.結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，解，即可得出答案.【詳解】（1）由圖易知，，所以，．易知，故函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．又，∴．∴．（2）由題意，易知，因?yàn)闀r(shí)，所以.解可得，，此時(shí)單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.11．已知函數(shù)（且）的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心的距離為．(1)求在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)，若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)得，再根據(jù)單調(diào)性求解即可；（2）先由平移伸縮得出，再結(jié)合二倍角余弦公式計(jì)算即得.【詳解】（1），由題意知，的最小正周期為，所以，解得，∴，令，，解得，所以在R上的單調(diào)遞增區(qū)間為（2），，得，∵，∴，∴，∴12．已知函數(shù)的最小值周期為.(1)求的值與的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若且，求的值.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求出的值，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的增區(qū)間；（2）由已知條件可得出，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用兩角和的余弦公式可求出的值.【詳解】（1）解：，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且。所以，解得，所以，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：由（1）知，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?易錯(cuò)點(diǎn)五：遺忘非特殊角其實(shí)也是一種特殊角（三角恒等變換）1．兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；2．二倍角公式①；②；③；3．降次（冪）公式4．半角公式5．輔助角公式（其中）．結(jié)論：1．兩角和與差正切公式變形；．2．降冪公式與升冪公式；．3．其他常用變式．3．拆分角問(wèn)題：①；；②；③；④；⑤．注意特殊的角也看成已知角，如．易錯(cuò)提醒：1．給角求值給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解．2．給值求值：已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：（1）先化簡(jiǎn)所求式子．（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系（從三角函數(shù)名及角入手）．（3）將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值．3．給值求角通過(guò)求角的某種三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，有以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．（2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范