河北省五校2025屆高三年級(jí)上冊(cè)第一次聯(lián)合測評(píng)數(shù)學(xué)試題及答案

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三第一次聯(lián)合測評(píng)

高三數(shù)學(xué)試卷

本試卷5頁滿分150分，考試用時(shí)120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

2

A=<xlog2—<2>,B=^x\x-x-2<0^

1.已知[％J,J"&力16=（）

",1]「c1'f

A.《x-lKx〈一>B.<x-2<x<—>CRD.<xx>—>

4j144

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法，結(jié)合集合補(bǔ)集和交集的定義進(jìn)行求解即可.

11/卜。

[詳解]由log2—<2nlog2—log2\n

XX\卜14

2

所以A=<xlog?L<2>=<xx>—>,B=[x\x-x-2<0}={%|-1<%<2},

、xJI4j（

所以=<x—>,

故選：A

2.已知數(shù)列{%},4—2,且4+1=]（〃21），則%024=（）

V-an

A.-1B.2D.

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)遞推公式，可得數(shù)列｛即｝是周期為3的數(shù)列，從而可解.

1/，、

【詳解】根據(jù)題意，4+i=^——

1一4

1———

111—4+1

貝U4+3=；=1

1-4+21_____L-4+1

1一q+11—a”

所以數(shù)列｛&J是周期為3的數(shù)列，

則〃2024=^3x674+2=%=1~2=

故選：A

3.已知向量a=（4,3,—2）,/?=（2,1,1）,則Q在向量b上的投影向量為（）

333333

A.B.C.D.（4,2,2）

4,2,2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算可得答案.

【詳解】向量a在向量匕上的投影向量為

rrr、ba-b{4X2+3X1-1-（2,1,1）=|（2,1,1）=3,33）

a\-cos（a,b）--^7=r、?b252J-

bId-

故選：A.

1124

4.已知.aa—7,?e（O,7i）,則cos2a=（

sincos——

22

17177979

A.——B.C.----D.

8181128128

【答案】B

【解析】

【分析】先對(duì)式子進(jìn)行化簡求出sina,再根據(jù)二倍角公式即可求解.

1124

??-----------P

【詳解】?.aa7,

sincos——

22

a.a

cos——I-sin

即——工224

.aa7

sin——cos——

22

a.a

cos—+sin—c/

r??24

即1.1

—sincr

2

/、2

a.a\

cos—+sm—2

12

即22

sin。

7

Qn1+sina144

即---z-=——

sin2a49

BP144sin2tz-49sina-49=0>

即（16sina+7）（9sina-7）=0,

又.?e（0,7i）,

77

解得：sin?=-,sina=----（舍）,

916

17

cos2?=l-2sin2a=l-2x

81

故選：B.

5.據(jù)史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍制成，如圖所示，據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算

籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng).即在算籌計(jì)數(shù)法中,

表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如，”表示62,=1表

示26,現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方式任意表示兩位數(shù)（算籌不剩余且個(gè)位不為0）,則這個(gè)兩位數(shù)不小于50

的概率為（）

縱式:iiiiiiiiiiiiTnii

橫式：——=1Xi=

123456789

1123

A.-B.-C.一D.-

3235

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)6根算籌，分為五類情況：5+1,4+2,3+3,2+4,1+5,逐一分類求解滿足要求的兩位數(shù),

即可求解概率.

【詳解】根據(jù)題意可知：一共6根算籌，十位和個(gè)位上可用的算籌可以分為5+1,4+2,3+3,2+4,1+5—

共五類情況;

第一類：5+1,即十位用5根算籌,個(gè)位用1根算籌，那十位可能是5或者9,個(gè)位為1,則兩位數(shù)為51

或者91；

第二類：4+2,即十位用4根算籌,個(gè)位用2根算籌，那十位可能是4或者8,個(gè)位可能為2或者6,故

兩位數(shù)可能42,46,82,86；

第三類：3+3,即十位用3根算籌,個(gè)位用3根算籌，那么十位可能是3或者7,個(gè)位可能為3或者7,

故兩位數(shù)可能是33,37,73,77；

第四類：2+4,即十位用2根算籌,個(gè)位用4根算籌，那么十位為2或6,個(gè)位可能為4或者8,則該兩

位數(shù)為24或者28或者64或者68,

第五類：1+5,即十位用1根算籌,個(gè)位用5根算籌，那十位是1,個(gè)位為5或者9,則兩位數(shù)為15或者

19；

綜上可知：用6根算籌組成的滿足題意的所有的兩位數(shù)有：15,19,24,28,33,37,42,46,51,64,

68,73,77,82,86,91共計(jì)16個(gè)，則不小于50的有：51,64,68,73,77,82,86,91共計(jì)8個(gè),

Q1

故概率為--二一

162

故選：B.

12

6.若log4X+log4y=2,則一+一的最小值為（）

xy

A.我11

B.-D.-

2842

【答案】A

【解析】

122

【分析】首先過呢?fù)?jù)條件化簡得到孫=16,法一，根據(jù)基本不等式—22、一，即可求解；法二，

xyyxy

12y2

根據(jù)條件等式，變形得一+—=%+一,再利用基本不等式，即可求解.

xyIoy

【詳解】log4x+log4y=2,x>0,y>0,log4(xy)=2,xy=16,

法一：/+2"因=2日=也,當(dāng)且僅當(dāng)工=2時(shí)，上式等號(hào)成立，

xyyxyV162xy

又移=16,可得x=20,y=40時(shí)，工+工的最小值為也.

%y2

故選：A.

法二：.?.工+2=工+2?也，當(dāng)且僅當(dāng)高=2時(shí)，上式等號(hào)成立，

xyy216y

又移=16,可得x=20,y=4應(yīng)時(shí)，工+工的最小值為色.

'xy2

故選：A.

7.已知拋物線必=4>,P為直線y=-l上一點(diǎn)，過尸作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A3,則R4.P3

的值為()

A.0B.1C.-2D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)4%,?),3(々,?)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得直線與直線PB的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)尸的坐

標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)P在直線y=-1上，得浩=-1,即%4=-4,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡叢.依后即可得

4

解.

【詳解】設(shè)4和1),3(々,])，由尸；必求導(dǎo)得/=gx,

22

則直線E4方程為y=](x—%)+于，即y=—于，

.2

同理可得直線尸3的方程為y=,

聯(lián)立直線始與直線網(wǎng)的方程可得P(號(hào)，竽,

由點(diǎn)尸在直線尸1上，得竽——

故選：A.

4/、

8.已知函數(shù)/(x)=x+—+31n%在xe(a,2—3a)內(nèi)有最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

X

A.a>1B.—<a<1

3

C.0Va<—D.0<a<—

32

【答案】C

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極小值點(diǎn)，從而得到關(guān)于的不等式

組，求解即可.

4

【詳解】函數(shù)/(x)=x+—+31nx的定義域?yàn)?0,+co),

x

.\!43x+3x—4(x+4)(x-l)

r(x)=i-—+-=——.

XXX

令/'(x)=0,可得x=l或x=-4(舍),

當(dāng)0<%<1時(shí)，f(x)<0,當(dāng)1>1時(shí)，f'(x)>0,

所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+S)上單調(diào)遞增,

所以/(X)在X=1處取得極小值，即最小值,

又因?yàn)楹?(X)在xe(a,2—3a)內(nèi)有最小值，故04。<1<2—3。，解得0<a<g,

所以。的取值范圍是［0,；).

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

9.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=后-1，則下列說法正確的是()

A.z的虛部為i

B.|z-2i|=|z|

C.若復(fù)數(shù)Z-Z2滿足㈤=閆=0,且Z1—Z2=Z,則|Z1+Z21=2月

D,若復(fù)數(shù)Z3滿足|z-Z3|<8,則Z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積為2兀

【答案】BD

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的計(jì)算先化簡出復(fù)數(shù)Z的值，判斷A選項(xiàng)；利用模長公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的模長，判斷BC

選項(xiàng)；復(fù)數(shù)模長的幾何意義點(diǎn)到點(diǎn)的距離，從而得出|z-Z3歸0表示一個(gè)圓，計(jì)算出圓的面積判斷D選項(xiàng).

【詳解】2=在士=6+i，虛部1,選項(xiàng)A不正確；

i

|z—=—i|=2,忖=|』+i|=2,.,.選項(xiàng)B正確；

Z［=z,貝！J,—z21=忖=2,設(shè)4=%+W，Z1=&+d'［，?也也eR,

則B+Z2I+|zj-Z2|=(。1+。2)+(4+，2)+(%—。2)+(4—a)=2(|zJ+|z2|j,

.小+Z21=2,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

?.1Z-Z3|WJ5,Z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，半徑廠=、反的圓，

Z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積為2兀，選項(xiàng)D正確.

故選：BD

10.設(shè)“X),g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，且“可為單調(diào)函數(shù)，/(1)>1,若對(duì)任意xeR有

/(g(x)-x)=a(a為常數(shù))，g(/(x+2))+g(/(x))=2x+2,則()

A.g⑵=0B."3)<3

C.—x為周期函數(shù)D.￡/(4左)=2〃(〃+l)

k=\

【答案】BCD

【解析】

【分析】運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法得到g(2)=0,判斷A；運(yùn)用賦值，結(jié)合/⑴>1,得到〃3)<3

判斷B；設(shè)〃(x)=/(x)—x,由己知推得/z(x+4)=/z(x)即從尤)為周期函數(shù)，判斷C；根據(jù)題意推得

｛/(44)｝為等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求和即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,在/'(g(x)—x)=a中，且〃x),g(x),都是定義在R上的奇函數(shù)，

令x=0得a=/(g(0))=/(0)=0,貝i|/(g(x)—%)=0,又/(九)為單調(diào)函數(shù)，則有g(shù)(x)—x=0,

即g(尤)=x,所以/(x+2)+/(x)=2x+2,所以g(2)=2,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由/(3)+/。)=4,且/⑴>1得/(3)=4—/。)<3,所以B正確；

對(duì)于C,設(shè)/z(x)=〃x)-x,則由〃x+2)+〃x)=2x+2,

可得/z(x+2)+/z(x)=0,所以/z(x+4)+〃(x+2)=0,所以/z(x+4)=〃(x),

即/z(x)=/(x)-x為周期函數(shù)，所以C正確；

對(duì)于D,由/z(%+4)=/z(x),得/(x+4)-x-4=/(x)-x,

即〃％+4)-〃%)=4,所以｛"4后)｝為等差數(shù)列，且〃4)_〃0)=4,即/(4)=4,

故/(4左)=4+4(左一1)=4左，從而乞/(4左)=4x—----=2n2+In=In(n+1).

k=l2

所以D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解￡“44)=2〃(〃+1)的關(guān)鍵是由Mx+4)=/z(x)得/(x+4)—/(x)=4,進(jìn)

k=T

而得到/(4左)是首項(xiàng)/(4)和公差均為4的等差數(shù)列從而再利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可計(jì)算得解.

11.在棱長為1的正方體A3C0—4片￡2中，尸為棱8月上一點(diǎn)，且B/=2PB,。為正方形5與

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列說法中正確的是()

A.若RQ〃平面APD,則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條長為冥2的線段

3

B.存在點(diǎn)Q,使得2。，平面4尸。

c.三棱錐Q-4陽的最大體積為得

D.若以。=亞，且2。與平面4尸。所成的角為。，則sin。的最大值為身

233

【答案】ACD

【解析】

【分析】在4G,CC]取點(diǎn)E,F,使得C[E=2B[E，GF=2CF,證得平面DEF//平面4PD,進(jìn)而得

到AQ//平面4尸。，可判定A正確；以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向

量加=(3,-2,3)，根據(jù)〃。=幾根，得出矛盾，可判定B不正確；利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算及三角形的面

積公式，求得54尸0=芳,在求得點(diǎn)。到平面的最大距離dmax=]無，結(jié)合體積公式，可判定C

正確；根據(jù)題意，求得點(diǎn)點(diǎn)。的軌跡，結(jié)合線面角的公式，求得時(shí)，取得最大值，進(jìn)而可判定

D正確.

【詳解】對(duì)于A中，如圖所示，分別在4G，CC]取點(diǎn)及/，使得ClE=2BlE,ClF=2CF,

可得EF//B]C,因?yàn)?。//用。，所以￡尸//4。，

因?yàn)锳Du平面APO,石尸.平面AP。，所以跳V/平面AP。，

又由AF//AP,且A]Pu平面APD,平面AP。，所以。3//平面APD，

又因?yàn)?且E￡D|Fu平面DE尸，所以平面。￡尸//平面，

且平面DEFc平面BCQBi=EF,

若〃。//平面4P。，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為線段石尸，且EF=也,所以A正確；

3

對(duì)于B中，以A為原點(diǎn)，以。14,2￡，2。所在的直線分別為蒼y*軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

22

可得A(1,O,。),0(。,0,1),P(1,1,-)，則A。=(-10,1),A.P=(0,1,-),

設(shè)。(％1,z)(0<X<1,O<Z<1),可得〃Q=(x,l,z),

m-A。=-a+c=0

設(shè)m=(〃,z?,c)是平面a?。的一個(gè)法向量，貝卜2，

m.AP-b+—c=0

取。=3,可得z=3,Z?=-2,所以根=(3,—2,3),

若。。，平面4尸。，則RQ〃相，所以存在丸eR,使得RQ=ybn,

3

則％=z=—耳e[0,1],所以不存在點(diǎn)。，使得2Q，平面A?。，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，由A0=(—1,O,1)，AP=(O，1，|)，可得|M=&，|M|=W，ApaP=g，

2/oo

則。0$4。，4尸二乙=，所以sinAD，AP="，

，26V26

所以s4PO=-AID-AIPsinZDAiP=-xy/2x—x^=—,

2]23V266

要使得三棱錐Q-4尸。的體積最大，只需點(diǎn)。到平面4尸。的距離最大，

仄。?加|1

由AQ=(X—u,z),可得點(diǎn)。到平面4尸。的距離d=^^^=」|3(%+2)—5|，

\m\V2211

75

因?yàn)镺?XK1,O<Z<1,所以當(dāng)4+Z=0時(shí)，即點(diǎn)。與點(diǎn)4重合時(shí)，可得4nax=『，

722

所以三棱錐。一4尸。的最大體積為4如?盤='叵?二=9，所以c正確；

3"叵36應(yīng)18

對(duì)于D中，在正方體中，可得2G，平面BCG4,且￡Qu平面BCGg,

所以￡>C1，CXQ,則GQ=5?！?=與,

所以點(diǎn)。的軌跡是以G為圓心，以日為半徑的圓弧，其圓心角為:，

則G0=(x,0,z),所以，4==與,即x2+d=g,

又由AQ=(x,i,z),設(shè)2。與平面4尸。所成的角，,

/一\\mDxQ|3(x+z)-2|A/2|3(X+Z)-2|

所以sin。=cos(私=^-|----

'/HAGV22-7%2+1+Z2722x73

因?yàn)閒+z2=g,可得(X+Z)2<2(X2+Z2),當(dāng)且僅當(dāng)x=z時(shí)，等號(hào)成立,

所以x+zWl,即x=z=；時(shí)，2。與平面AP。所成的角最大值，

sin。的最大值為右方=在D正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題與存在性問題的策略：

1、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)

點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

2、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、

性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；

3、對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有

解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在，同時(shí)，用已知向量來表示未知

向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問題的關(guān)鍵.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

5

12.若(3x—I)，=4++<J2X~+,?,+c?5%,則％+2a、+3a3+4a4+5a5—.

【答案】240

【解析】

【分析】先對(duì)二項(xiàng)式兩邊求導(dǎo)數(shù)，然后利用賦值法可求結(jié)果.

2345

【詳解】設(shè)“X)=a0+a^x+a2x+a3x+a4x+a5x，

234

則/'(x)=5(3x-1)4x3=%+2a2x+3a3x+4^4x+5a5x.

令x=l得：q+22+3/+4%+5%=5x24x3=240.

故答案為：240

22

13.已知點(diǎn)P是雙曲線C：^—l(a>0,b>0)左支上一點(diǎn)耳，鳥是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，且

「耳，尸￡,「鳥與兩條漸近線相交于兩點(diǎn)(如圖)，點(diǎn)N恰好平分線段PB，則雙曲線的離心率是

【答案】75

【解析】

【分析】利用三角形中位線定理、銳角三角函數(shù)的正弦與余弦的定義，結(jié)合已知，可以求出。力的雙曲，進(jìn)

而求得雙曲線的離心率.

【詳解】因?yàn)镹是P外中點(diǎn)，即QV是..尸耳工的中位線，

b

則tan/PF]F?=tanZNOF=-,

2a

ha

可得sinNP^B二—，cosNP￡B=—,

cc

又因?yàn)閨耳司=2c,則附=2a,附|=?,關(guān)系

則歸閭-盧凡=2b—2a—2a=>b—2a,

所以雙曲線的離心率是e=9=+=6

故答案為：y/5.

14.若函數(shù)/(1)=sin6x+cos6x+^^sin4x-機(jī)在[。,會(huì)上有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是.

【答案】—)

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)求出m的范圍.

【詳解】令函數(shù)g(x)=sin6x+cos6x+—sin4x=(sin2x+cos2x)3-3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)

8

V3一

H---sin4x

8

26.4[3.2cA/3..13l-cos4xA/3..

=1-3smxcosx-\---sm4x=1——sm2xd-----sm4x=1--------------1----sm4x

848428

.71.7Cr7C4jt

由九￡[0,：]，4x+—G[—,——],

4333

當(dāng)+即xe［0,芻］時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，函數(shù)值從1增大到山@,

332248

當(dāng)4x+工e［工出］,BPxe［—函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，函數(shù)值從土迪減小到。，

32324484

7T

由/(x)=0,得g(x)=〃z,函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，即直線y=m與函數(shù)y=g(x)在［0,—］上的圖象有兩

4

個(gè)交點(diǎn)，

則百,所以加的取值范圍是工9±|，1).

故答案為：［1,5+2^)

8

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，根據(jù)給定的自變量取值區(qū)間求出相位

的范圍，再利用正(余)函數(shù)性質(zhì)求解即得.

15.數(shù)列｛。“｝滿足：q=l,a“+i=2a〃+l；設(shè)6“=。”+1

(1)證明｛%｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛?！埃那啊?xiàng)和S“.

【答案】(1)證明見解析，a?=2n-l

,+l

(2)Sn=2'-n-2

【解析】

【分析】(1)由已知可得%+i+l=2(4+l),即2M=22，結(jié)合等比數(shù)列定義即可證明結(jié)論，利用等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式即可求得答案；

(2)利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，即可求得答案.

【小問1詳解】

由題意知q+i=2%+1,則a.+1=2(4+1),

即bn+l=2bn,又q=1,則4=q+1=2,

故｛%｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

故2=2",即冊(cè)+1=2",:.%=2"-1；

【小問2詳解】

由于故S=2+22++2"-n=2^-2-n=2n+1-n-2-

n1-2

16.2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在法國巴黎正式開幕.人們?cè)谟^看奧運(yùn)比賽的同時(shí)，開

始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長情況，隨機(jī)從抽取200人進(jìn)行

調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

周平均鍛煉時(shí)長

年齡合計(jì)

周平均鍛煉時(shí)間少于4小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)

50歲以下4060100

50歲以上(含50)2575100

合計(jì)65135200

(1)試根據(jù)。=0.05的％2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析周平均鍛煉時(shí)長是否與年齡有關(guān)？(力2精確到0.001)；

(2)現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于4小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取5人做進(jìn)一步訪

談，再從這5人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于4小時(shí)的人數(shù)為X,求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

n{ad-bcf

參考公式及數(shù)據(jù)：%2=，其中“=a+〃+c+d.

(a+》)(c+d)(a+c)0+d)

9

【答案】（1）有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，-

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二聯(lián)表中數(shù)據(jù)，求解卡方，即可與臨界值比較作答,

（2）根據(jù)抽樣比可得抽取的5人中，周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)的有2人，不少于4小時(shí)的有3人，即可

利用超幾何分布的概率公式求解.

【小問1詳解】

零假設(shè)8°：周平均鍛煉時(shí)長與年齡無關(guān)聯(lián).

由”列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得力、端篙篇誓。5.128,

2

/.xx5.128>x005=3.841.

根據(jù)小概率值。=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立,

即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.

所以50歲以下和50歲以上（含50）周平均鍛煉時(shí)長有差異.

【小問2詳解】

抽取的5人中，周平均鍛煉時(shí)長少于4小時(shí)的有5義他=2人，不少于4小時(shí)的有5x%=3人,

100100

所以X所有可能的取值為1,2,3,

所以尸(x=l)=罟尸§(X=2)=C罟2cl=|3,尸(X=3)=罟c3C°/1

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X123

331

P

10510

XA23X19

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(x)=l+2X+

105105

17.如圖，在四棱錐P—A5CD中，上4,平面尸3與底面A3CD所成角為45。，四邊形

ABCD是梯形，AD_LAB,BC//AD,AD=2,PA=BC=1.

(1)證明：平面K4CL平面尸CD；

(2)若點(diǎn)T是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是PT的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸到平面的距離.

(3)點(diǎn)T是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，PT上是否存在一點(diǎn)M,使平面若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo),

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)證明過程見解析

e3屈

13

【解析】

【分析】(1)先證明B4LCD,繼而證明OCLAC,即可證明DC，平面上4C,從而根據(jù)面面垂直的

判定定理證明結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面ABAf的法向量，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求

得答案.

(3)設(shè)AT=XAC+(1—X)A￡),PM=/LIPT,進(jìn)而表示出PT=(42—4―1),

A3=(l,0,0),AM=(M，24—?,1—〃)，由題意列出關(guān)于幾,〃方程組求解即可.

【小問1詳解】

由上4_1_平面ABCD，A3u平面ABCD，CDu平面ABCD,

得PA±CD,PB與底面ABCD所成角ZPBA=45°.

所以三角形Q45為等腰直角三角形，AB=AP=1.

又由四邊形ABCD是直角梯形，BC//AD,可知

所以VA3C為等腰直角三角形，而3C=1,故AC=0.

在直角梯形ABC。中，過C作CELAO,垂足為E,則四邊形ABCE為正方形，

可知AE=3C=CE=1.

所以DE=1，在等腰直角三角形COE中，CD=V2.

則有=2+2=4=47)2,所以O(shè)C，AC.

又因?yàn)镵4LOC,PAAC=A,E4u平面0AC，ACu平面。AC.

所以。C,平面B4c.因?yàn)镺Cu平面PCD,所以平面E4CL平面PCD.

【小問2詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,ARAP所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則4(0,0,0),P(0,0,l),5(1,0,0),￡>(0,2,0),C(l,l,0).

因?yàn)門是。的中點(diǎn)，點(diǎn)〃是PT的中點(diǎn)，所以T—。，明―

設(shè)平面ABM的法向量為〃=(%,%z),A3=(1,0,0),AM=

%=0

n-AB-0

則J，得3131c

n-AM=0-x+-y+-z=0

11442

取y=4,則z=—6，得平面ABM的一個(gè)法向量為〃=(O,4,—6),

IAP-ZZI663岳

而AP=(0,0,l)，所以點(diǎn)P到平面ABM的距離為

\n\J16+36-2后一13

【小問3詳解】

設(shè)AT=2AC+(1-2)AD=(A,2,0)+(0,2-22,0)=(2,2-2,0),注意到4(0,0,0),

所以T(42—40),

所以PT=(42—4-L),

設(shè)PM=fjPT="(彳,2—X,—1)=(〃彳,2〃一^^,一〃)，注意到P(0,0,1),

所以Af(M，2〃-，

因?yàn)?(0,0,0),B(l,0,0),所以AB=(l,0,0),AM=(〃42〃一一4),

若PT,平面ABM，

PTAB=A=0卜=0

則當(dāng)且僅當(dāng)《一.,,即當(dāng)且僅當(dāng)＜1,

PT-AM=juA2+jU(2-Ay+ju-l=0=g

此時(shí)M,河，

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)『0重合，此時(shí)存在■!，[],使PT,平面5W.

PTAB=0

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問的關(guān)鍵在于知道若平面ABW,則當(dāng)且僅當(dāng)《.，從而只需

PTAM=0

引入兩個(gè)參數(shù)，分別表示出PT,AB,AAf,由此即可順利得解.

18.己知橢圓C：1+/=l(a〉6〉0)的右焦點(diǎn)為b(1,0),離心率為弓，直線/經(jīng)過點(diǎn)斤，且與。相交

于A,B兩點(diǎn)、,記/的傾斜角為

(1)求C的方程；

(2)求弦AB的長(用a表示)；

7T

(3)若直線"N也經(jīng)過點(diǎn)尸，且傾斜角比/的傾斜角大一，求四邊形4WBN面積的最小值.

4

【答案】(1)土+/=1

2?

(2)答案見解析(3)

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件，直接求出即可求解;

⑵分a和aw],當(dāng)a=|■時(shí)，直接求出|4國=拒，當(dāng)時(shí)，設(shè)出直線/的方程為

y=k(x-1),聯(lián)立橢圓方程，利用弦長公式，即可求解;

TTTTTT

(3)根據(jù)題設(shè)，先求出a=—和a=—時(shí)，四邊形的面積，再求出—時(shí),

244

2V2[tan2(cr+-)+l]

\MN\=-------------4——,從而得出

l+2tan2(cr+^)

2V2[tan2(cr+-)+l]

1jr_V|2技ta/a+l)

S=^\MN\-\AB\sin-=x------------------4——，再通過化簡，得到

4l+2tan2a

1+2tan2(cr+~)

872

S=,令y=(3-cos2<z)(3+sin2a),通過求出V的最大值，即可解決問題.

(3-cos2a)(3+sin2①

【小問1詳解】

由題知C=l,又￡=正，得至1」。=后，所以/=°2一°2=2-1=1,

a2

2

故橢圓c的方程為L+V=1.

2-

【小問2詳解】

設(shè)4(七,%),3(々,當(dāng))，因?yàn)橹本€/經(jīng)過點(diǎn)尸，且傾斜角為a,

X_2_1廠

7T+y

當(dāng)儀=—時(shí)，直線/：%=1,由1~2,解得x=l,y=±—,止匕時(shí)=

2x=l2

7T

當(dāng)aw—,設(shè)直線/的方程為丁=左(％—1),其中左二tana,

2

y=k(x-l)

由<尤2.,消y得到(1+2產(chǎn))/一4女2%+2左2—2=0,

—+y2=l

12'

又△=16左4—4(1+2左2)(2左2—2)=8比2+8,所以

《8(1+/)_2亞(E+1)即

2\AB\=2@tan2a+l)

IAB|=y/l+k|%2—無11=J1+t2X

1+2421+2公1+2tan2cif

綜上，當(dāng)&=二時(shí)，邳=J5；當(dāng)aw4時(shí)，劇=冥辿烏山.

211211l+2tan2a

【小問3詳解】

直線MN也經(jīng)過點(diǎn)尸，且傾斜角比/的傾斜角大三，所以ce0,孚］,

4_4)

2亞tai?：+1)

472

當(dāng)&=?時(shí)，易知|肱玨=夜，|AB|=----，此時(shí)四邊形AMBN面積為

l+2tan2—3

4

s=M陰叫小后手條孚

當(dāng)0工色時(shí)，可設(shè)MN:y=左i(x-l),其中匕=tan(a+二),

4-4

2V2[tan2(?+-)+l]

同理可得\MN\=--------------——,

l+2tan2(cr+^)

2亞tan?T+