高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列（解析版）

專(zhuān)題07數(shù)列專(zhuān)題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨

水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和

為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問(wèn)芒種日影長(zhǎng)為（一丈=十尺=一百寸）（）.

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

【答案】B

【分析】十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛a/,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式列出方程組，求

出首項(xiàng)和公差，由此能求出芒種日影長(zhǎng).

【詳解】由題意知：

從冬至日起，依次小寒、大寒等十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛%｝,設(shè)公差為d,

???冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，

4+%+%=3“]+9d=315

9x8,解得%=135,6?=-10,

Sg=9alH———d=855

,芒種日影長(zhǎng)為&=4+114=135-11x10=25（寸）=2尺5寸.

故選：B

2.（2022秋?陜西咸陽(yáng).高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）河南洛陽(yáng)龍門(mén)石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫(kù)，現(xiàn)

為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計(jì)算，從第二層開(kāi)

始，每層浮雕像的個(gè)數(shù)依次是下層個(gè)數(shù)的2倍，且第三層與第二層浮雕像個(gè)數(shù)的差是16,則該洞窟的浮雕像

的總個(gè)數(shù)為（）

A.1016B.512C.128D.1024

【答案】A

【分析】設(shè)從上到下第"（77eN*,14"47）層的浮雕像個(gè)數(shù)為，分析可知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且公比為2,

根據(jù)已知條件求出%的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)從上到下第層的浮雕像個(gè)數(shù)為乙，

由題意可知，數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且該數(shù)列的公比為2,

由已知可得。3-。2=2%-%=16,可得%=16,故q=^=8,

因此，該洞窟的浮雕像的總個(gè)數(shù)為趾二巧=8x127=1016.

1-2

故選：A.

3.（2022秋?廣東廣州?高二華南師大附中?？茧A段練習(xí)）《萊因德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書(shū)

中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的;是較小

的兩份之和，則最小的一份為（）

A.5B.10C.15D.30

【答案】B

【分析】設(shè)五個(gè)人所分得的面包為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,（其中d>0）,則由總和為100可求

得。=20,再由較大的三份之和的;是較小的兩份之和，可得12d=3a,從而可求出d,進(jìn)而可求出a-2d

【詳解】設(shè)五個(gè)人所分得的面包為a—2d,a-d,a,a+d,a+2d,（其中d>0）,

貝lj有*（a—2d）+（a—d）+a+（a+d）+（Q+2d）=5a=100,

Q=20,

由a+a+d+a+2d—3（a—2d+a—d）,3a+3d=3（2a—3d）；

/.12d=3a,

??d=5.

J最少的一份為a-2d=20-10=10.

故選：B

4.（2022.河北邯鄲.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）位于叢臺(tái)公園內(nèi)的武靈叢臺(tái)已經(jīng)成為邯鄲這座三千年古城的地標(biāo)建筑，

叢臺(tái)上層建有據(jù)勝亭，其頂部結(jié)構(gòu)的一個(gè)側(cè)面中，自上而下第一層有2塊筒瓦，以下每一層均比上一層多2

塊筒瓦，如果側(cè)面共有11層筒瓦且頂部4個(gè)側(cè)面結(jié)構(gòu)完全相同，頂部結(jié)構(gòu)共有多少塊筒瓦？（）

A.440B.484C.528D.572

【答案】C

【分析】由題意知每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{4},由等差數(shù)列求和公式可求得每一面的筒瓦總數(shù)，由此可

得四個(gè)側(cè)面筒瓦總數(shù).

【詳解】???一個(gè)側(cè)面中，第一層筒瓦數(shù)記為2,自上而下，由于下面每一層比上一層多2塊筒瓦，

每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{%},其中4=2,d=2.

???一個(gè)側(cè)面中共有11層筒瓦，,一個(gè)側(cè)面筒瓦總數(shù)是11x2+11x（11-1）x2=132,

2

頂層四個(gè)側(cè)面筒瓦數(shù)總和為132x4=528.

故選：C.

5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖1,洛書(shū)是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國(guó)家級(jí)

非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中

的九宮格，將自然數(shù)1,2,3,“2放置在"行〃列（”i3）的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對(duì)角

線上的數(shù)字之和（簡(jiǎn)稱(chēng)“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱(chēng)為“"階幻方”.洛書(shū)就是一個(gè)3階幻方，其

“幻和”為15.則7階幻方的“幻和”為（）

?洛

坎

五

一

乾

坤

六

一

兌

一

七

震

艮

_一

八

襄

雌

四

九

中

圖1圖2

A.91B.169C.175D.180

【答案】C

【分析】根據(jù)“幻和”的定義，將自然數(shù)1至"2累加除以〃即可得結(jié)果.

1+?++49

【詳解】由題意，7階幻方各行列和，即“幻和”為^—=175.

故選：C

6.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)

等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：％=%=1，

an=+an_2(7?>3,ne).已知%+%+的+…+品是該數(shù)列的第］00項(xiàng),則優(yōu)=()

A.98B.99

C.100D.101

【答案】B

aaa

【分析】根據(jù)題意推出=%%，%?=-〃2%，L,〃/=^mm+l-mm-\，

rn

利用累加法可得E=(4向，即可求出機(jī)的值.

i=\

【詳解】由題意得，a"%%,因?yàn)?=。〃-?！ㄒ?，

得〃22=%(〃3-%)=-4%，

。3=〃3(04—)=a3a4—03a2，

L,

aaaa

m=m("m+l—"m-1)=mm+\~anflm-X，

累力口，得〃；+---ham~atnam+\，

222

因?yàn)榘褪?1上士”是該數(shù)列的第100項(xiàng)，

%

即冊(cè)+1是該數(shù)列的第100項(xiàng),所以加=99.

故選：B.

7.(2022春?河南南陽(yáng)?高二校聯(lián)考階段練習(xí))南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示

的幾何體，后人稱(chēng)之為“三角垛”.其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，則第50層

球的個(gè)數(shù)為()

嬴

A.1255B.1265

C.1275D.1285

【答案】C

【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的個(gè)數(shù)與層數(shù)的關(guān)系，得到%=%工，進(jìn)而求解結(jié)

論.

【詳解】解：設(shè)各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列{%},

由題意可矢口，41=1,%=q+2=l+2,〃3=%+3=1+2+3,…，an=an_x+n=l+2+3+...+w,

故““=1+2+3+...+〃=^^，

故選：C.

8.（2022秋?江蘇南通?高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，

亦稱(chēng)康托爾集.下圖是其構(gòu)造過(guò)程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過(guò)程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間［。,1］平均分

17

成三段，去掉中間的一段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間［0,呈和［§」］；第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分為三段，

1o1o7Q

各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：［0,g］,［,1］;如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下

的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷〃步構(gòu)造后，目202?1不屬于剩下的閉區(qū)間，則”的最小值是（）.

2022

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)三分康托集的構(gòu)造過(guò)程可知：經(jīng)歷第〃步，每個(gè)去掉的開(kāi)區(qū)間以及留下的閉區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度都

是1J,根據(jù)規(guī)律即可求出黑屬于！,進(jìn)而根據(jù)不等式可求解.

【詳解】黑2021不屬于剩下的閉區(qū)間，2黑021屬于去掉的開(kāi)區(qū)間

20222022

2「8一

經(jīng)歷第1步，剩下的最后一個(gè)區(qū)間為[§」，經(jīng)歷第2步，剩下的最后一個(gè)區(qū)間為-J,

經(jīng)歷第九步，剩下的最后一個(gè)區(qū)間為1—，去掉的最后開(kāi)區(qū)間為J2x[?』-

1201114044>3〃

由l-2x<------<1化簡(jiǎn)得解得"=7

320222022<3〃'

故選:A

9.（2022春.江蘇南通?高二統(tǒng)考期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.這種

方法是依次寫(xiě)出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個(gè)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2

后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng),剔除掉所有3的倍數(shù);接下來(lái),再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理;……，

依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到30的全部素?cái)?shù)

過(guò)程中剔除的所有數(shù)的和為（）

A.333B.335C.337D.341

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出2到30的全部整數(shù)和，再求出2到30的全部素?cái)?shù)和即可計(jì)算作答.

【詳解】2至IJ30的全部整數(shù)和H=三亞x29=464,2至U30的全部素?cái)?shù)和

邑=2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129,

所以剔除的所有數(shù)的和為464-129=335.

故選：B

10.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）談祥柏先生是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書(shū)中，

有一篇文章《五分鐘挑出埃及分?jǐn)?shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分?jǐn)?shù)（稱(chēng)為埃及分?jǐn)?shù)）.則

1111

下列埃及分?jǐn)?shù)1二、、——、L、的和（)

1x33x55x72021x2023

人2022202310112023

D-1011

'.20232022?2023

【答案】C

【分析】利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.

（）

【詳解】當(dāng)“eN*時(shí)，（2"T1（2"+1）=5\匕匚11

i11111^1111111）

1x33x55x72021x20232（3355720212023J

一1（11）1。11

512023J2023,

故選：C.

11.（2022春?四川資陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：九百九十

六斤棉，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.意為：

996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第二個(gè)開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.分

配時(shí)一定要長(zhǎng)幼分明，使孝順子女的美德外傳.據(jù)此，前五個(gè)孩子共分得的棉花斤數(shù)為（）

A.362B.430C.495D.645

【答案】C

【分析】設(shè)這八個(gè)孩子分得棉花的斤數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列伍,｝,由題設(shè)求得其首項(xiàng)與公差，即可求得結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)這八個(gè)孩子分得棉花的斤數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列｛“"｝，

由題意知：公差d=17,

8x7_

3^.%+q+...+%=8qH———x17=996,解得4=65,

5x45x4

q+a。+%+4+%=5alH-------d=5x65H-------x17=495.

故選：C.

12.（2022秋?江蘇淮安?高三?？茧A段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十

天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、

申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，

天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類(lèi)推,

排列到“癸酉”后，天干回到“甲''重新開(kāi)始，即“甲戌”，"乙亥”，之后地支回至『'子"重新開(kāi)始，即“丙子”，…，

以此類(lèi)推，2022年是壬寅年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2122年為（）

A.壬午年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年

【答案】A

【分析】將天干和地支分別看作等差數(shù)列，結(jié)合100+10=10,100+12=8…4,分別求出100年后天干為壬，

地支為午，得到答案.

【詳解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，

由于100+10=10,余數(shù)為0,故100年后天干為壬，

由于100+12=8…4,余數(shù)為4,故100年后地支為午，

綜上：100年后的2122年為壬午年.

故選：A

13.（2022秋.江蘇宿遷.高三沐陽(yáng)縣建陵高級(jí)中學(xué)校考期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法

通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所以論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并

不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對(duì)這類(lèi)高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱(chēng)為“垛

積術(shù)”，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1,5,11,21,37,61,……則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）

A.99B.131C.139D.141

【答案】D

【分析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.

【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項(xiàng)為x,根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到

的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：

y-34=12x=141

由圖可得則

x-95=yy=46

故選：D

14.（2023春?廣西柳州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責(zé)之

粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊.”羊主曰：“我羊食半馬."馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問(wèn)各出幾

何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說(shuō)：“我豬所吃的禾

苗只有羊的一半.”羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”

打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個(gè)問(wèn)題中，馬主人比豬主人多賠償了（）

斗.

【答案】B

【分析】轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行求解，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，求出馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù).

【詳解】由題意得：豬、羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)成等比數(shù)列，公比為2,

設(shè)豬的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為無(wú)，

3

貝！Ix+2尤+4x+8x=9,解得：尤=《，

故馬主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為=12,

1239

所以馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù)為

故選：B

15.（2021秋.河南商丘.高二校聯(lián)考期中）《莉拉沃蒂》是古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有下面的

表述：某王為奪得敵人的大象，第一天行軍2由旬（由旬為古印度長(zhǎng)度單位），以后每天均比前一天多行相

同的路程，七天一共行軍80由旬到達(dá)地方城市.下列說(shuō)法正確的是（）

1

A.前四天共行于由旬

B.最后三天共行53由旬

C.從第二天起，每天比前一天多行的路程為，由旬

CQ

D.第三天行了早由旬

【答案】D

【分析】由題意，每天行軍的路程｛%｝為等差數(shù)列，且%=2,邑=80,利用基本量6,d表示可得

22

d=—,依次分析，即得解

【詳解】由題意，不妨設(shè)每天行軍的路程為數(shù)列｛%｝,則%=2

又以后每天均比前一天多行相同的路程，故｛?｝構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，不妨設(shè)公差為d

七天一共行軍80由旬，即S7=80

故S7=7q+苧d=80,解得1=烏

c44x3,188人…、口

54—4qH——d—,A車(chē)日慶；

1QQ472

〃5+。6+〃7=87-84=80---=7，B錯(cuò)誤;

2222

由于“1,故從第二天起，每天比前一天多行的路程為了由旬，c錯(cuò)誤;

_.__2258-T-rZz.

%=4+2d-2+2x-^―=,DZE

故選：D

16.(2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元

代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類(lèi)數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等.某倉(cāng)庫(kù)中部分貨

物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是〃件.已

知第一層貨物單價(jià)I萬(wàn)元，從第二層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的斗.若這堆貨物總價(jià)是100-200(2]

iouoj

萬(wàn)元，則n的值為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】先依次求出各層貨物總價(jià)，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求解.

【詳解】由題意，得第一層貨物總價(jià)為1萬(wàn)元，第二層貨物總價(jià)為2x^萬(wàn)元,

第三層貨物總價(jià)為3x(/)2萬(wàn)元，……,第〃層貨物總價(jià)為萬(wàn)元.

設(shè)這堆貨物總價(jià)為＞萬(wàn)元，

則y=]+2*得+3*(奈)2+…+

99c/兀。，9、3的、〃

——y=1-2x(——)2+3x(——)3H—+nx(——),

1010101010

兩式相減，得=1+三+(1)2+良)3+...+良尸一〃x(3",

10

貝Uy=100-100x（2）“一10〃.（蔣）”=100—（100+10H）X（蔣）”，

90

4y=100-（100+10n）x（—）"=100-200x（—）",

得”=10.

故選：B.

17.（2021秋.吉林松原?高二長(zhǎng)嶺縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再

加上1；若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2,反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1-4-2-1.這

就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱(chēng)“角谷猜想”等）.如取正整數(shù)機(jī)=6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出

6—3—10—5—16—8—4—2—1,共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱(chēng)為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)

系如下：已知數(shù)列｛%｝滿足：％=根（機(jī)為正整數(shù)），an+i=＜或，當(dāng)為為偶數(shù)時(shí)，則當(dāng)機(jī)=42時(shí)，則使%=1

3a“+l，當(dāng)為為奇數(shù)時(shí)

需要的雹程步數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】直接利用遞推關(guān)系逐步計(jì)算可得4,=1使得需要多少步雹程.

【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)相=42,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出42T21—64—32—16—8—4—2—1,

所以共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1,故使%=1需要的雹程步數(shù)為8.

故選：B

18.（2022.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的

歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列｛4｝滿足4=1,出=1,

a“=qT+4“_2（〃N3,wwN*）.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1,記前w

項(xiàng)所占的格子的面積之和為S",每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為%,則其中不正確結(jié)論

的是（）

+Cln=""+2T

c.%+/+%+…+%“T=%“TD.4(C?-cn_x)=7Tan_2-an+l(n>3)

【答案】C

【分析】A選項(xiàng)由前(〃+l)項(xiàng)所占格子組成長(zhǎng)為%+。用，寬為。用的矩形即可判斷；B選項(xiàng)由

an=%+a7(〃?3,"eN*)結(jié)合累加法即可判斷；

C選項(xiàng)通過(guò)特殊值檢驗(yàn)即可；D選項(xiàng)表示出的=；"d<1=；萬(wàn)4_|,作差即可判斷.

【詳解】由題意知：前(〃+1)項(xiàng)所占格子組成長(zhǎng)為4+。用，寬為。向的矩形，其面積為

S“+i=(4+%)%=anan+l+4+i，A正確;

a3=%+。1，。4=。3+〃2,…，q+2=q+1，以上各式相加得，

生+4^------q+2=(。2+/")------*"an+l)+^2------化簡(jiǎn)得。〃+2-。2=%+%~*----------------?！ǎ?/p>

%+%+…+〃〃=。〃+2-1,B正確；

%=〃2=1,q=2,%=3,%=5,〃6=8,/.％+%+〃5—8^^—1=7,C錯(cuò)誤；

易知％=；哂3，4(%-c,T)=萬(wàn)(4-唬)=萬(wàn)(2-)(%+%)=萬(wàn)*4+1("23),D正確

故選：C.

19.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖是美麗的“勾股樹(shù)”，將一個(gè)直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方

形而得到如圖①的第1代“勾股樹(shù)”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹(shù)”，…，以此類(lèi)推，記第

〃代“勾股樹(shù)”中所有正方形的個(gè)數(shù)為耳，數(shù)列｛見(jiàn)｝的前〃項(xiàng)和為S“，若不等式5“>2022恒成立，貝"的最

小值為()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)第1代“勾股樹(shù)”，第2代“勾股樹(shù)”中，正方形的個(gè)數(shù)，以此類(lèi)推，得到第"代“勾股樹(shù)”中所有

正方形的個(gè)數(shù)，即冊(cè),從而得到個(gè)求解.

【詳解】解:第1代“勾股樹(shù)”中，正方形的個(gè)數(shù)為3=22-1,第2代“勾股樹(shù)”中，正方形的個(gè)數(shù)為7=2田-1,

以此類(lèi)推，第〃代“勾股樹(shù)”中所有正方形的個(gè)數(shù)為2用-1，即。—,

所以S「（J-

"1-2

因?yàn)?>。所以數(shù)列⑸｝為遞增數(shù)列,

又國(guó)=1。12<2022,Sg=2035>2022,

所以w的最小值為9.

故選：C.

20.（2022?海南省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考三模）北宋數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)制的數(shù)字圖式（如圖）又稱(chēng)“賈憲三角”，后被

南宋數(shù)學(xué)家楊輝引用、〃維空間中的幾何元素與之有巧妙聯(lián)系、例如，1維最簡(jiǎn)幾何圖形線段它有2個(gè)0維

的端點(diǎn)、1個(gè)1維的線段：2維最簡(jiǎn)幾何圖形三角形它有3個(gè)。維的端點(diǎn)，3個(gè)1維的線段，1個(gè)2維的三

角形區(qū)域；……如下表所示.從1維到6維最簡(jiǎn)幾何圖形中，所有1維線段數(shù)的和是（）

元素維度

0123

幾何體維度

n=1（線段）21

〃=2（三角形）331

〃=3（四面體）46410?????0

A.56B.70C.84D.28

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得%-%7=〃，可求得a“=當(dāng)w,即可求解.

【詳解】設(shè)從1維到〃維最簡(jiǎn)幾何圖形的1維線段數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛%｝,

由題意可得%=3-1=2,a3~a2=6—3=3,a4—a3=10—6=4,...,

以此類(lèi)推，可得%--=〃，

所以4=q+(〃2_q)+(〃3_2)+???+(%_%-1)

=1+2+3H----\-n=-------------，

2

所以Q]+a2+Q3+〃4+々5+&=1+3+6+10+15+21=56.

故選：A.

21.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))大衍數(shù)列，來(lái)源于中國(guó)古代著作《乾坤普》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.

f2-l

n〃為奇數(shù)

其前10項(xiàng)為：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,通項(xiàng)公式為。〃氣2,若把這個(gè)

乙,幾為偶數(shù)

I2

數(shù)列｛。,｝排成下側(cè)形狀，并記A(〃Z,")表示第”7行中從左向右第"個(gè)數(shù)，則4(9,5)的值為()

0

248

1218243240

50...........

A.2520B.2312

C.2450D.2380

【答案】D

【分析】確定A(9,5)在數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)數(shù)，結(jié)合數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】由題可知，設(shè)數(shù)陣第"行的項(xiàng)數(shù)為么，則數(shù)列色,｝是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列,

Q7

數(shù)歹式6,,｝的前8項(xiàng)和為1x8+三xx2=64,

所以，A（9,5）是數(shù)列也｝的第64+5=69項(xiàng)，因此，A（9,5）=鼻二=2380.

故選：D.

22.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在歸國(guó)包機(jī)上，孟晚舟寫(xiě)下《月是故鄉(xiāng)明，心安是歸途》，其中寫(xiě)道“過(guò)去

的1028天，左右跑躇，千頭萬(wàn)緒難抉擇；過(guò)去的1028天，日夜徘徊，縱有萬(wàn)語(yǔ)難言說(shuō)；過(guò)去的1028天,

山重水復(fù)，不知?dú)w途在何處“感謝親愛(ài)的祖國(guó)，感謝黨和政府，正是那一抹絢麗的中國(guó)紅，燃起我心中的

信念之火，照亮我人生的至暗時(shí)刻，引領(lǐng)我回家的漫長(zhǎng)路途.”下列數(shù)列｛凡｝（weN*）中，其前〃項(xiàng)和不可能

為1028的數(shù)列是（）

（參考公式：/+22+32+…—+1）（2〃+1））

6

74

2

A.%=10〃+28B.an=4n-12n+—

71

C.a=（—I）"]/---D.a=2n1H—

n452

【答案】A

【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式以及參考公式求數(shù)列｛〃“｝前〃項(xiàng)和令S,=1028,看

是否有正整數(shù)解即可判定選項(xiàng)A、B、D的正確性；通過(guò)分類(lèi)討論分別求出S2k和S21,然后可得到S?.<0,

令邑-=1028,看是否有正整數(shù)解即可選項(xiàng)C的正確性.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為s“，

對(duì)于A：由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，得：

=〃（％+"“）="（5"+33）=1028,

2

因?yàn)榉匠虩o(wú)正整數(shù)解，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

74

對(duì)于B：不妨令2=4〃2,Cn=_i2n+—,

數(shù)列也｝和仁｝的前?項(xiàng)和分別為1和Q,.,

a

則n=b.+c?,Sn=Tn+Qn,

由參考公式和等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，得：

2n(/j+1)(277+1)

T"=4(1+2+3+…+/)=

2〃5+1)(2,7+1)44

所以S“=(+Q=-6/+丁=1028,

解得"=10eN*,即選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C：①當(dāng)九=2%（左eN*）時(shí)，

7

222222

s?=SM=1-2+3-4+...+（2^-1）-（2k）--x2k

14”

二一（3+7+…+4左一1）------<0,故止匕時(shí)W1028；

45

②當(dāng)〃=2左—1（左cN*）時(shí)，

7

22

Sn=S2k_}=仔_2?+32—42+…+（2左一3）2-（2左-2）+（2fc-l）-—（2k-1）

,7

=一（3+7+——+4左一5）+（2左一——

45

.”）（3+4—）+工

245

7

=2k29-3k+2——（2k-I）

45

7

令2人2-3左+2——（2左一1）=1028,解得左=23,

45

即[=2x23-1=45時(shí),5“=1028,

即選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D：由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可知，

。lx（l-2"）1c"1,…0

S=-------------1—n=2H—7?-1=1028，

"1-222

解得〃=10eN*,即選項(xiàng)D正確.

故選：A.

23.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋

中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，

是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、

50,則此數(shù)列的第21項(xiàng)是（）

A.200B.210C.220D.242

【答案】C

【分析】由數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的前幾項(xiàng)可歸納出奇數(shù)項(xiàng)上的通項(xiàng)公式，從而得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,其中奇數(shù)項(xiàng)為0、4、

2

[2—]Q2_1<2_1y_1

12、24、40,有％=---=0,a3=---=4,%=---=12,%=---=24,...

故其奇數(shù)項(xiàng)上的通項(xiàng)公式為=寧，故%=”==220,

故選：C

24.（2022春?云南紅河?高二彌勒市一中?？茧A段練習(xí)）斐波那契數(shù)列（FibonacciSequence）又稱(chēng)黃金分割

數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多，斐波那契■曲Fibonacci-）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”.在

數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列｛q｝滿足：q=a2=l,an+2=a?+an+｝,現(xiàn)從數(shù)列的前2022

項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，能被3整除的概率是（）

505r252-504_1

A.------B.------C?------D.一

2022202220224

【答案】A

【分析】依次寫(xiě)出數(shù)列各項(xiàng)除以3所得余數(shù)，尋找后可得結(jié)論.

【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，數(shù)列各項(xiàng)除以3所得余數(shù)依次為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,

余數(shù)數(shù)列是周期數(shù)列，周期為8,2022=252x8+6,所以數(shù)歹U的前2022項(xiàng)中能被3整除的項(xiàng)有252*2+1=505,

所求概率為尸=普，

2022

故選A.

25.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它的研究對(duì)象普遍存

在于自然界中，因此又被稱(chēng)為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個(gè)樹(shù)形

圖.若記圖2中第w行黑圈的個(gè)數(shù)為%,則q=（）

第1行

第2行

第3行

圖1圖2

A.55B.58C.60D.62

【答案】A

【分析】％表示第〃行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)或表示第〃行中的白圈個(gè)數(shù)，由題意可得??+1=24+bn,bn+l=an+bn,

根據(jù)初始值，由此遞推，不難得出所求.

【詳解】已知凡表示第"行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)幻表示第"行中的白圈個(gè)數(shù)，則由于每個(gè)白圈產(chǎn)生下一行的

一白一黑兩個(gè)圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈2個(gè)黑圈，

；.an+i=2an+bn,bn+l=an+bn,

又,:4=o,4=1;

%=1也=1;

。3=2x1+1=3,4=1+1=2;

a4=2x3+2=8也=3+2=5；

“5=2x8+5=21,a=8+5=13；

4=2x21+13=55,

故選：A.

26.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個(gè)雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和

音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡(jiǎn)易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于x軸，相鄰兩根弦間

的距離為1,雁柱所在曲線的方程為y=LF,第w根弦（〃eN,從左數(shù)第1根弦在y軸上，稱(chēng)為第0根弦）

20

分別與雁柱曲線和直線/：y=x+i交于點(diǎn)4（%%）和紇（＜,立），則?/：=（）

〃=0

參考數(shù)據(jù)：取1.產(chǎn)=8.14.

D.1000

【答案】c

【分析】求出％、,用錯(cuò)位相減法求和即可.

2020

【詳解】由條件可得>>a=X(〃+l)Ll"=lxLl°+2xLll+…+20xL嚴(yán)+21xL產(chǎn)①,

n=0n=0

20

所以l.lxZyj：=1X1.r+2x1.產(chǎn)+…+20x1.產(chǎn)+21x1.產(chǎn)②，

〃=0

一②得：

201_1[21

1202121

-0.1x￡yny；=l.l°+l.l+...+l.l-21xl.l=——：——21x1.1,

n=01-1-1

1-1.121+0.1X21X1.1211+1.1221+8.14八一

=---------------------=-------=-------=-91.4,

-0.1-0.1-0.1

20

所以￡y,j：=9i4.

n=0

故選：c.

27.（2022秋.陜西渭南.高二?？计谥校﹫D1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，BB',CC,是桁,

相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中。2,CC,,BB,,

AA是舉，OD-DC、,CB、,BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為第=。-5,會(huì)=左，鬻=&，

UU{UCj。巧

蝎=/，已知尤，k2,匕成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725,則履=（）

【答案】B

【分析】設(shè)on=r>G=c用=網(wǎng)=1，則可得關(guān)于心的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng)

【詳解】設(shè)O2=DG=CB|=BA=i，則DD]=0.5,CG=區(qū),BB】=k2,AAi=k3,

DD、+CC[+BB1+

依題意，有左2_0.1=匕，42+01=k3，且=0.725,

OR+DC[+CB[+BAi

所以"士改=0.725,故&=03，

故選：B

28.（2022秋?陜西咸陽(yáng)?高二?？茧A段練習(xí)）《張邱建算經(jīng)》記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減

半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的路程是前一天的一半，連續(xù)走了

7天，共走了700里”.在上述問(wèn)題中，此馬第二天所走的路程大約為（）

A.170里B.180里C.185里D.176里

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，可知此馬每天走的路程形成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求得基本量，從而

得解.

【詳解】由題意得，設(shè)這匹馬的第w天走的路程為?！埃瑒t有%M=ga,，$7=700,

所以數(shù)列｛%｝是q的等比數(shù)列，

痂（一U初汨_350x128

故70。=―!=——-——，斛倚力——西一，

1--

2

.175x128.

所以%=%q=-診^—x176.4.

故選：D.

29.（2022秋?廣東廣州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的三角形叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)

的倒數(shù)組