空間向量與立體幾何（壓軸題專練）（原卷版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（人教版選擇性必修第一冊）

第一章空間向量與立體幾何（壓軸題專練）

一、單選題

1.在長方體中，AB=AD=4,9=3,點尸在底面A8CD的邊界及其內(nèi)部運動，且滿

足群41,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.若點M滿足曬'=2加，則

-912~

B.點尸到平面AC。的距離范圍為-,y

C.若點M滿足融=2內(nèi)，則不存在點尸使得

D.當(dāng)8P=3時，四面體尸-4aB的外接球體積為小屈

3

2.如圖，已知正三棱臺ABC-A4G的上、下底面邊長分別為4和6,側(cè)棱長為2,點尸在側(cè)面BCG與內(nèi)

運動（包含邊界），且AP與平面BCG百所成角的正切值為后，則所有滿足條件的動點P形成的軌跡長度

4兀-2兀

A.——L.-------D.——

3B?號33

3.如圖，棱長為2的正方體ABC。-4與4R中，P為線段3a上動點（包括端點）.

①三棱錐尸-A加中，點P到面A加的距離為定值半

②過點P且平行于面A3。的平面被正方體A8C。-AAG。截得的多邊形的面積為26

③直線PA與面A3。所成角的正弦值的范圍為

④當(dāng)點尸為用2中點時，三棱錐尸-A3。的外接球表面積為11兀

以上命題為真命題的個數(shù)為（）

4.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以

看成是一個十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長方體

ABCD-A.B^的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45。得到如圖2所示的十面體ABCD-EFG//.已知

AB^AD=2,AE=幣,成=2(0+1)而，過直線EP作平面a,則十面體ABCD-EFGH外接球被平

81+56匈萬

D.

48124812

5.如圖，在正方體ABCD-EFGH■中，P在棱8C上，BP=x,平行于3。的直線/在正方形EFG//內(nèi)，點、E

到直線/的距離記為d,記二面角為A-/-尸為。，已知初始狀態(tài)下x=0,d=0,貝ij()

B.當(dāng)x增大時，。先減小后增大

C.當(dāng)d增大時，。先增大后減小D.當(dāng)d增大時，e先減小后增大

6.在棱長為3的正方體ABC。-AAGA中，。為棱。C的中點，E為線段4。上的點，且AE=2EO,若

點￡尸分別是線段。G，BG上的動點，則！尸所周長的最小值為（）

A.3y[2B.'C.5/4TD.142

7.如圖，在圓錐SO中，A,5是。。上的動點，BE是。。的直徑，M,N是S3的兩個三等分點，

ZAOB=O（O<0<^,記二面角的平面角分別為a,p,若a&/3,則6的最大

值是（）

二、多選題

8.如圖，在棱長為6的正方體ABCD-ABC"中，E,EG分別為AB,BC,CG的中點，點尸是正方形DCCR

面內(nèi)（包含邊界）動點，則（）

A.2c與政所成角為30。

B.平面EFG截正方體所得截面的面積為27世

C.g〃平面￡FG

D.若NAPD=/FPC,則三棱錐尸-BCD的體積最大值是126

9.如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為3,A3是底面直徑，點C在圓。上且點E在母線

上,3E=2,點尸是上底面的一個動點，則（)

A.存在唯一的點歹，使得4歹+尸￡=2/

B.若AELCF,則點F的軌跡長為4

C.若則四面體AC跖的外接球的表面積為40兀

D.若AF_LEE,則點尸的軌跡長為2通乃

10.已知正方體ABCD-AAG。的棱長為2,點尸在正方形ABC。內(nèi)運動（含邊界），則（）

A.存在點P,使得2尸，8￡

B.若|RP卜君，則忸升的最小值為20-1

C.若口尸，耳。，則尸點運動軌跡的長度為0

D.若4尸，2。，直線4P與直線B2所成角的余弦值的最大值為追

3

11.在正方體ABCD-4B1GA中，AB=1,點P滿足麗=彳麗+〃反。其中4e[0,l],〃e[0,l],則下列結(jié)

論正確的是（）

A.當(dāng)耳尸//平面A不。時，與P與CA所成夾角可能為三

B.當(dāng)4=〃時，I由1+144的最小值為0；正

c.若男尸與平面CG2。所成角為IT;，則點尸的軌跡長度為三7T

42

D.當(dāng)4=1時，正方體經(jīng)過點4、p、c的截面面積的取值范圍為與垃

12.如圖，點。是正四面體X4BC底面ABC的中心，過點。且平行于平面的直線分別交AC,8C于點

M,N,S是棱PC上的點，平面SMN與棱E4的延長線相交于點。，與棱尸3的延長線相交于點R,貝底）

A.若〃平面F4B,則A8〃RQ

B.存在點S與直線MN,使麗?（包+而）=0

C.存在點S與直線使尸C,平面SR。

1113

D"也門西門麗麗|

三、填空題

13.斜三棱柱ABC-ABQ中，平面A5cl平面，若AB=36,AC=BC=3,sinZAAB=1,在三

棱柱ABC-A4G內(nèi)放置兩個半徑相等的球，使這兩個球相切，且每個球都與三棱柱的三個側(cè)面及一個底面

相切，則三棱柱ABC-的高為.

14.在空間直角坐標(biāo)系。-孫z中，四面體ABC。各頂點坐標(biāo)分別為A（2,2,1）,B（2,l,-2）,C（0,2,l）,￡>（0,0,1）.

則該四面體外接球的表面積是.

15.在正三棱柱A2C-440中，AB=A4,=1,點尸滿足麗=4宓+〃西，其中2e[0,l],則

下列說法中，正確的有（請?zhí)钊胨姓_說法的序號）

①當(dāng)2=1時，△△耳P的周長為定值

②當(dāng)〃=1時，三棱錐ABC的體積為定值

③當(dāng)彳=g時，有且僅有一個點尸，使得4尸，2尸

④當(dāng)〃=:時，有且僅有一個點P,使得AB，平面A片尸

16.正方體的棱長為3,AC"/平面a,3D//平面a,則正方體在平面a內(nèi)的正投影面積

為.

四、解答題

17.我們把和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.如圖，在菱形ABCD中，

ZS4D=60°,將△"/）沿3。翻折，使點A到點尸處.E,F,G分別為3D,PD,8C的中點，且FG是PD

與3c的公垂線.

P

（1）證明：三棱錐P-3co為正四面體；

（2）若點M,N分別在PE,BC±,且MN為尸E與3C的公垂線.

①求P瞿M的值；

ME

②記四面體3EMN的內(nèi)切球半徑為r,證明：+

2rEMBN

18.如圖①所示，長方形ABC?中，AT>=1,AB=2,點/是邊CO的中點，將△ACM沿AM翻折到,

連接尸B,PC,得到圖②的四棱錐P-ABCM.

(1)求四棱錐P-ABCM的體積的最大值；

⑵若棱P8的中點為N,求CN的長；

(3)設(shè)尸-40-。的大小為凡若,求平面P4"和平面P3C夾角余弦值的最小值.

19.如圖，在三棱錐。-ABC中，