2023年中考數(shù)學綜合壓軸題訓練：二次函數(shù)

（2）銷售這種水果，第幾月每千克所獲得利潤最大?最大利潤是多少？

2023年中考數(shù)學綜合壓軸題訓練——二次函數(shù)4.某文具店購進A,B兩種鋼筆，若購進A種鋼筆2支，B種鋼筆3支，共需90元；購進A種鋼筆3支，B

一、綜合題種鋼筆5支，共需145元.

1.生產商對在甲、乙兩地生產并銷售的某產品進行研究后發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律:每年年產量為x（噸）時所需的全部費

（1）求A、B兩種鋼筆每支各多少元？

用y（萬元）與X滿足關系式y(tǒng)=—x2+5x+90，投人市場后當年能全部售10出，且在甲、乙兩地每噸的售價

（2）若該文具店要購進A,B兩種鋼筆共90支，總費用不超過1588元，并且A種鋼筆的數(shù)量少于B種

心，P乙（萬元）均與x滿足一次函數(shù)關系.（注:年利潤=年銷售額-全部費用）鋼筆的數(shù)量，那么該文具店有哪幾種購買方案？

（1）當在甲地生產并銷售x噸時，滿足編=-焉%+14,求在甲地生成并銷售20噸時利潤為多少萬元；（3）文具店以每支30元的價格銷售B種鋼筆，很快銷售一空，于是，文具店決定在進價不變的基礎上再

購進一批B種鋼筆，漲價賣出，經統(tǒng)計，B種鋼筆售價為30元時，每月可賣68支；每漲價1元，每月將少

（2）當在乙地生產并銷售x噸時，生=-，％+15，求在乙地當年的最大年利潤應為多少萬元？

賣4支，設文具店將新購進的B種鋼筆每支漲價a元（a為正整數(shù)），銷售這批鋼筆每月獲利W元，試求W

2.某批發(fā)市場批發(fā)甲、乙兩種水果，根據(jù)以往經驗和市場行情，預計夏季某一段時間內，甲種水果的銷售利與a之間的函數(shù)關系式，并且求出B種鉛筆銷售單價定為多少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少元？

潤y甲（萬元）與進貨量％（t）近似滿足函數(shù)關系y甲=0.3%；乙種水果的銷售利潤，乙（萬元）與進貨量了5.已知二次函數(shù)y=—x?+4x—3.

（1）若一3WX&3,則y的取值范圍為（直接寫出結果）；

（t）近似滿足函數(shù)關系=ax2+bx（其中awO,。、b為常數(shù)），且進貨量尤為It時，銷售利潤

（2）若一80ys—3,則x的取值范圍為（直接寫出結果）；

%為L4萬元；進貨量%為2t時，銷售利潤，乙為2.6萬元.3

（3）若A（m,yi）,B（m+1,y2）兩點都在該函數(shù)的圖象上，且滿足mV—,試比較yi與y2的大小，并說

（1）求y乙（萬元）與％（t）之間的函數(shù)關系式；明理由.

（2）如果市場準備進甲、乙兩種水果共10t,設乙種水果的進貨量為t（t）,請你寫出這兩種水果所獲得6.面朝大海，春暖花開！榴島大地正值草莓上市銷售的旺季.某商家以每盒20元的價格購進一批盒裝草莓，

的銷售利潤之和W（萬元）與t（t）之間的函數(shù)關系式.并求出這兩種水果各進多少噸時獲得的銷售利潤之和經市場調查發(fā)現(xiàn)：在一段時間內，草莓的日銷售量y（盒）與每盒售價x（元）滿足一次函數(shù)關系，其圖象如

最大，最大利潤是多少.下圖所示：

3.某水果店銷售某種水果，由歷年市場行情可知，從第1月至第12月，這種水果每千克售價%（元）與

銷售時間第冗月之間存在如圖1（一條線段）所示的變化趨勢，每千克成本%（元）與銷售時間第冗月

之間存在如圖2（一段拋物線，對稱軸為直線x=5）所示的變化趨勢.

ot2535x（X）

（1）求y關于x的函數(shù)關系式；

（2）根據(jù)市場的定價規(guī)則，草莓的售價每盒不得高于49元，當售價定為多少時，日銷售利潤最大？最大

利潤是多少？

（3）為了增加店鋪的人氣，商家決定搞促銷活動，顧客每購買一盒草莓可以獲得a元的現(xiàn)金獎勵

（?>0）,商家想在日銷售量不少于40盒的基礎上，使日銷售最大利潤為1568元，求此時a的值.

7.如圖，在△ABC中，BC=7cm,AC=24cm,AB=25cm,P點在BC上，從B點到C點運動（不包括C

點），點P運動的速度為2cm/s；Q點在AC上從C點運動到A點（不包括A點），速度為5cm/s.若點P、Q分

（1）分別求函數(shù)%和y2的表達式別從B、C同時運動，請解答下面的問題，并寫出探索主要過程：

（1）請你根據(jù)“月牙線”的定義，設計一個開口向下.“月牙線”，直接寫出兩條拋物線的解析式；

（2）求N兩點的坐標；

（3）在第三象限內的拋物線。上是否存在一點P,使得△胸的面積最大？若存在，求出△外〃的面積

的最大值；若不存在，說明理由.

1、

10.如圖，拋物線丁二二/一％一3與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C.直線1與拋

4

（1）經過多少時間后，P、Q兩點的距離為58cm?物線交于A,D兩點，與y軸交于點E,點D的坐標為（4,-3）.

（2）經過多少時間后，Sipce的面積為15s??

（3）用含t的代數(shù)式表示APCQ的面積，并用配方法說明t為何值時APCQ的面積最大，最大面積是多

少？

_3

8.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線Ci：y=-x2+6x+2的頂點為M,與y軸相交于點N,先將拋

物線C1沿X軸翻折，再向右平移P個單位長度后得到拋物線C2,直線1：y=kx+b經過M,N兩點.

（1）請直接寫出A,B兩點的坐標及直線1的函數(shù)表達式；

（2）若點P是拋物線上的點，點P的橫坐標為機（機之。），過點P作尸軸，垂足為M.PM與直線1

交于點N,當點N是線段PM的三等分點時，求點P的坐標；

（3）若點Q是y軸上的點，且NADQ=45。，求點Q的坐標.

11.對于某一函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)p,當其自變量的值為p時，其函數(shù)值等于p,則稱p為這個

函數(shù)的不動值，在函數(shù)存在不動值時，該函數(shù)的最大不動值與最小不動值之差夕稱為這個函數(shù)的不動長度，

3

（1）求點M的坐標，并結合圖象直接寫出不等式-x2+6x+2Vkx+b的解集；

2特別地，當函數(shù)只有一個不動值時，其不動長度9為0,例如，下圖中的函數(shù)有。和1兩個不動值，其不動長

（2）若拋物線C2的頂點D與點M關于原點對稱，求p的值及拋物線C2的解析式；

（3）若拋物線Ci與x軸的交點為E、F,試問四邊形EMBD是何種特殊四邊形？并說明其理由.

9.定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線如

圖，拋物線G與拋物線C2組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線G與拋物線C2與x軸有相同的交點N

（點”在點N的左側），與y軸的交點分別為A,8且點4的坐標為（0,-3）,拋物線C2的解析式為y=

Mx2+47n￥-12m,（zn>0）.

（1）下列函數(shù)①y=2x,②y=N+l,③y=N-2%中存在不動值的是（填序號）

（2）函數(shù)y=3%2+Z?%,

①若其不動長度為0,則人的值

為

②若-2W/2,求其不動長度9的取值范圍；

（3）記函數(shù)y=/-4x（應力的圖象為Gi,將Gi沿％=，翻折后得到的函數(shù)圖象記為G2,函數(shù)G的圖象由

G和G兩部分組成，若其不動長度q滿足0<^<5,則t的取值范圍為.~O'1x01x

12.如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，拋物線y=x2+bx+c交工軸于A，B兩點，

備用圖1備用圖2

交y軸于點C，直線y=x-3經過8,C兩點.

14.已知梯形ABCD中，AZ)〃,且AD<BC,AD=5,AB=DC=2.

APD

BC

（D如圖，P為AD上的一點，滿足NBPC=NA,求AP的長；

（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點D不重合），且滿足NBPE=NA,BC交直線BC于點

露用圖

E,同時交直線DC于點Q.

（1）求拋物線的解析式；①當點Q在線段DC的延長線上時，設。。=丁，CQ=y,求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的

（2）過點C作直線CDLy軸交拋物線于另一點D,點、P是直線CD下方拋物線上的一個動取值范圍；

點，且在拋物線對稱軸的右側，過點P作PE±x軸于點E,PE交CD于點、F,交BC于點②寫CE=1時，寫出AP的長（不必寫解答過程）

〃，連接AC,過點M作MNA.AC于點N,設點尸的橫坐標為￡,線段MN的長為15.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中點，E,F分別是AC,BC±

。，求d與/之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；的點（點E不與端點A,C重合），且AE=CF,連接EF并取EF的中點O,連接DO并延長至點G,使

（3）在（2）的條件下，連接PC,過點B作BQLPC于點。（點Q在線段PC上），BQGO=OD,連接DE,DF,GE,GF.

交CD于點T,連接0Q交CO于點S,當ST=TD時，求線段MN的長.

13.已知：關于x的方程X?-（m+2）x+m+l=0.

（1）求證：該方程總有實數(shù)根；

（2）若二次函數(shù)y=x2-（m+2）x+m+1（m>0）與x軸交點為A,B（點A在點B的左邊），且兩交點間

（1）求證：四邊形EDFG是正方形；

的距離是2,求二次函數(shù)的表達式；

（2）當點E在什么位置時，四邊形EDFG的面積最?。坎⑶笏倪呅蜤DFG面積的最小值.

（3）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.

16.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=-—x2+26x-6與x軸交于A、B兩點（點A在點

在（2）的條件下，垂直于y軸的直線y=n與拋物線交于點E,F.若拋物線在點E,F之間的部分與線段

2

EF所圍成的區(qū)域內（包括邊界）恰有7個整點，結合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍.

B的左側），與y軸交于點C,頂點為D,對稱軸與x軸交于點E,直線CE交拋物線于點F（異于點C）,直線

CD交x軸交于點G.

18.如圖，拋物線y=-爐+云+c交y軸于點A(0,2),交X軸于點8(4,0)、C兩點，點D為線段03上的一

過點D作。軸，交于點M,交拋物線于點N.

(1)如圖1,求直線CE的解析式和頂點D的坐標；

(備用圖)

(2)如圖1,點P為直線CF上方拋物線上一點，連接PC、PF,當APCF的面積最大時，點M是過P垂

(1)求拋物線的解析式；

直于x軸的直線1上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，求FM+MN+NO的最小值；

(2)連接AN和3N,當?shù)拿娣e最大時，求出點D的坐標及△ABN的最大面積；

(3)如圖2,過點D作DILDG交x軸于點L將△GDI沿射線GB方向平移至△GDT處，將△GDT繞

(3)在平面內是否存在一點P,使得以點A,M,N,P為頂點，以AM為邊的四邊形是菱形？若存在,

點D，逆時針旋轉a(0VaV180。)，當旋轉到一定度數(shù)時，點G，會與點I重合，記旋轉過程中的AGUT為

請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

△G〃D4〃，若在整個旋轉過程中，直線G〃I〃分別交x軸和直線GD，于點K、L兩點,是否存在這樣的K、L,

使AGKE為以NLGK為底角的等腰三角形？若存在，求此時GL的長.

17.如圖，拋物線y=-1x2+2x+3與直線1交于A,B兩點，點A是對稱軸與x軸的交點.

(1)請直接寫出A,B兩點的坐標及直線1的函數(shù)表達式；

(2)如圖①所示，P是拋物線上的一個動點，且位于第一象限，連接BP,AP,求4ABP的面積的最大

值；

(3)如圖②所示，在對稱軸AC的右側作NACD=30。交拋物線于點D,求出D點的坐標；并探究：在y

軸上是否存在點Q,使NCQD=60。？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

答案解析部分k=—

解得彳3,

1.【答案】(1)解：根據(jù)題意可得：b=n

甲地當年的年銷售額為(-—X+14)X=(-—X2+14X)萬元，1-

2020y.=—x+12；

3

設利潤為貝

Hqj,ij=+14%)—+5x+90)=—+9%—'90,2

設y2=a(x-5)+8,

將(11,14)代入y=a(x-5)2+8,得:

在甲地生成并銷售20噸時利潤為：把x=20代入，2

得：%=--x202+9x20-90=30萬元，14=4(11—5)2+8,

中20

二?在甲地生成并銷售20噸時利潤為30萬元.解得?=j,

6

(2)解：乙地當年的年銷售額為(-—x+15)%=(--X2+15X)萬元，1°

5>+8,

6

設利潤為,貝！J：二[―+15%)—+5%+9°)=—二%?+1°JV—9°=—二(%—25/+21511

函數(shù)%和y的表達式分別為％=——x+12,%=_(%.5)9+8

236

二?乙地生產并銷售25噸時，利潤最大為215萬元.(2)解：設第x月每千克所獲得的利潤為w(元)，由題意得:

11

fa+b=\Aw=——X+12-[-(X-5)92+8]

2.【答案】(1)解：由題意，得：L?.36

[4a+26=2.6

1

=——(X-4)29+2.5,

[a=-0A6

解得：一v.

[b=1.5???當％=4時，w有最大值，w最大=2.5.

所以y乙=-0.1爐+1.5%二?銷售這種水果，第4個月每千克所獲得利潤最大，最大利潤是2.5元/千克.

4.【答案】(1)解：設A種鋼筆每只x元，B種鋼筆每支y元，

(2)解：由題意，得：W=y甲+y乙=0.3(10—￡)+(—0.1〃+1.5力,

由題意得:12%+3y=90

所以W=-0.k2+1.2z+3=-0.1(r-6)2+6.6,[3x+5y=145'

即當方=6時，W有最大值為6.6.%=15

解得:

所以10-6=4(t).y=20

答：甲種水果的進貨量為43乙種水果的進貨量為6t時，獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元答：A種鋼筆每只15元，B種鋼筆每支20元;

3.【答案】(1)解：由題意設y=區(qū)+6/。0),(2)解：設購進A種鋼筆z支，

[15z+20(90-z)<1588

由題意得：，

將(6,10),(9,9)代入yx=kx+b,得：I“‘

[z<90-z

6k+b=W

.\42,4<z<45,

9k+b=9

???z是整數(shù)

z=43,44,

.,.90-z=47,或46；又???日銷售量不少于40盒，

???共有兩種方案：方案一：購進A種鋼筆43支，購進B種鋼筆47支，.\-2x+160>60,

方案二：購進A種鋼筆44只，購進B種鋼筆46只；.\x<60,

7

(3)解：W=(30-20+a)(68-4a)=-4a2+28a+680=-4(a--)2+729,A20<x<60,

2

①當;a+50V60,即aV20時，

???-4V0,???W有最大值,Ta為正整數(shù)，

當a=3,或a=4時，W最大，大值=(萬〃+50—20—a]]—215〃+5C)J+160=—tz2—60a+1800=1568,

7

.?.W最大=-4x(3--)2+729=728,30+a=33,或34；

2

解得：a=116(不合題意，舍去)或a=4,

答：B種鉛筆銷售單價定為33元或34元時，每月獲利最大，最大利潤是728元.

②當;a+50N60,即aN20時，卬最大值=(60—20-。)(一120+160)=1568,

5.【答案】⑴解：-24<y<l

(2)解：-10x00或鋁xW5解得：a=0.8(不合題意，舍去)，

(3)解：由題意，yi=-m2+4m—3,y2=—(m+1)2+4(m+1)—3???商家想在日銷售量不少于40盒的基礎上，使日銷售最大利潤為1568元時，a=4.

則yi—y2=2m-37.【答案】(1)解：設經過ts后，P、Q兩點的距離為50cm,

3

又mV—,2m-3<0,即yiVy2則ts后，PC=(7-2t)cm,CQ=5tcm,

6.【答案】(1)解：設丫=履+>BC2+BC2=49+576=625,AB2=625

V(25,110)和(35,90)在函數(shù)圖象上，.-.BC2+BC2=AB2

(25女+6=110,[k=-2△ABC是直角三角形，即ZC=90°

??135%+人=90,'解得]人=160’

在RtAPCQ中，PC2+CQ2=PQ2,

y=-2x+160；.-.(7-2t)2+(5t)2=(5V2)2

(2)解：設日銷售利潤為W元，

解之：1=1或1=-'(不符合題意，舍去)

由題意，得:W=(x-20)(-2x+160),

整理，得：W=-2(x-50)2+1800,答：設經過1s后，P、Q兩點的距離為50cm；

V-2<0,即二次函數(shù)圖象開口向下，(2)解：設經過ts后，S2kPCQ的面積為15cm2

當xV50時，W隨x的增大而增大，則ts后，PC=(7-2t)cm,CQ=5tcm,

V20<x<49,SAPCQ=；XPCXCQ=；X(7-2t)x5t=15

???當x=49時，W取得最大值，Wmax=1798元，

解之：ti=2,t2=1.5,

答：當售價定為每盒49元時，日銷售利潤最大，最大利潤是1798元；

答：經過2或L5s后，SAPCQ的面積為15cm2；

(3)解：???顧客每購買一盒草莓可以獲得a元的現(xiàn)金獎勵(a>0),

(3)解：設經過ts后，△PCQ的面積最大，

...W=(x-20-a)(-2x+160)=-2x2+(2a+200)x-3200-160a,

則ts后，PC=(7-2t)cm,CQ=5tcm,

..a+1001“

..對稱軸為x=----------=—a+50,

22SAPCQ=xPCxCQ=x(7-2t)x5t

=-5(t-1.75)2+——同理點A、B、D的坐標分別為(2-友,0)、(2+偵，0)、(2,4),

16

33

Va=-5<0,拋物線開口向下

245由點的對稱性知，DM、EB相互平分，故四邊形EMBD是平行四邊形，

???當t-1.75時，SAPCQ的值最大，最大值為：——

16經驗證該四邊形不是矩形、菱形，故四邊形EMBD是平行四邊形.

245

答：當t-1.75時，△PCQ的面積最大值為；;。.【答案】(解：如圖