廣東省佛山市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段測(cè)試一（10月） 數(shù)學(xué)試題含答案

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)科階段測(cè)試一（概率+空間向量與立體幾何）考試題（全卷共4頁(yè)，供全級(jí)使用）成績(jī)：______一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個(gè)頂點(diǎn)各畫一條高線，這三條高線交于一點(diǎn)；③實(shí)數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機(jī)事件的是（）A.①④ B.①②③ C.②③④ D.②④【答案】A【解析】【分析】利用隨機(jī)事件的定義逐一分析給定的各個(gè)事件即可判斷作答.拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，①是隨機(jī)事件；三角形三條高線一定交于一點(diǎn)，②是必然事件；實(shí)數(shù)a，b都不為0，則，③是不可能事件；某地區(qū)明年7月的降雨量是一種預(yù)測(cè)，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機(jī)事件，所以在給定的4個(gè)事件中，①④是隨機(jī)事件.故選：A2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（）A.事件1與事件3互斥 B.事件1與事件2互為對(duì)立事件C.事件2與事件3互斥 D.事件3與事件4互為對(duì)立事件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件定義判斷求解.由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,事件3可表示為：,事件4可表示為：,因?yàn)椋允录?與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录?，為必然事件，所以事?與事件2互為對(duì)立事件，B正確；因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录粸楸厝皇录?，所以事?與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；故選：B.3.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題運(yùn)用投影向量定義即可解題.因，則故向量在向量上的投影向量是故選：C.4.如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)D處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)C處，已知庫(kù)底與水壩斜面所成的二面角為，測(cè)得從D，C到庫(kù)底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算得到，然后利用平方法即可求出答案.由于，所以，所以，故甲，乙兩人相距70m．故選：A．5.已知向量，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)m的值為（）．A. B.0 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到存在使得，從而得到方程組，得到答案.因?yàn)椴荒軜?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得故選：C6.已知一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，滿足，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件A與事件B互斥 B.C. D.事件A與事件B相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】利用古典概型計(jì)算公式可得，利用概率的加法公式可得，再由互斥事件和對(duì)立事件定義可判斷AB錯(cuò)誤，由可知C錯(cuò)誤，利用事件獨(dú)立性定義可判斷D正確.易知，同理可得，；由可得，即，對(duì)于A，因?yàn)?，所以事件A與事件B不互斥，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，即所以，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知，滿足獨(dú)立性定義，即D正確.故選：D7.是被長(zhǎng)為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，用坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范圍．如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，設(shè)，，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)或1，或1時(shí)，取得最大值0，所以的取值范圍是.故選：B.8.甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無(wú)平局情況），第一局通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰(shuí)先著子，以后每局由上一局負(fù)者先著子，則最終甲勝的概率為（）A.0.5 B.0.6 C.0.57 D.0.575【答案】D【解析】【分析】最終甲勝分三種情況，一二局甲勝，一三局甲勝，二三局甲勝，而每種情況又分甲先著子和乙先著子，結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.由題意知，一二局甲勝的概率為：，一三局甲勝的概率為：，二三局甲勝的概率為：，因此最終甲勝的概率為，故選：D.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.以下命題正確的是（）A.兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，則B.若直線l的方向向量，平面的一個(gè)法向量，則C.已知，，若與垂直，則實(shí)數(shù)D.已知三點(diǎn)不共線，對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，若，則四點(diǎn)共面【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量判定線面、面面關(guān)系可判定AB，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判定C，根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件可判定D.對(duì)于A，由題意知，所以，故A正確；對(duì)于B，由題意知，所以或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意知，解之得，故C正確；對(duì)于D，由，即，所以四點(diǎn)共面，故D正確.故選：ACD10.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，用數(shù)字表示第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，數(shù)字表示第二次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果．記事件“”，事件=“”，事件=“”，則（）A. B.與相互獨(dú)立C.與為對(duì)立事件 D.與相互獨(dú)立【答案】AB【解析】【分析】用列舉法列出所有可能結(jié)果，再結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件及古典概型的概率公式計(jì)算可得．依題意依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為個(gè)；其中事件“

”包含的樣本點(diǎn)有：

，，，，，共個(gè)；事件

“

”，包含的樣本點(diǎn)有：

，

，

，

，，，，，共個(gè)，事件“”，包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，事件包含的樣本點(diǎn)有，，共3個(gè)，所以，所以，所以與相互獨(dú)立，故B正確；對(duì)于C，包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)滿足，所以與不為對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件包含的樣本點(diǎn)有：，，，，，，共6個(gè)，而，，，從而，所以與不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.（多選）在直三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則（）A.B.若，則C.在上存在一點(diǎn)，使得平面D.若，則平面與平面不平行【答案】CD【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、空間向量共線向量坐標(biāo)表示公式、空間向量模公式，結(jié)合平面向量的法向量逐一判斷即可.以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，所以，A錯(cuò)誤；若，則，所以，B錯(cuò)誤；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面平面，所以平面，C正確；若，，則，所以．設(shè)平面的法向量，平面的法向量，則，即，令，則，又，則，即，令，則，所以與不平行，D正確．故選：CD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組.代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：137996191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率_______________【答案】【解析】【分析】根據(jù)在這20組隨機(jī)數(shù)中，表示該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的有組，即可得出結(jié)論.這20組隨機(jī)數(shù)中，表示該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的有：137、191、271、932、812、393共組，故該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為：，故答案為：.13.小剛參加一種答題游戲，需要解答A,B,C三道題，已知他答對(duì)這三道題的概率分別為，且各題答對(duì)與否互不影響，若他恰好能答對(duì)兩道題的概率為，則他三道題都答錯(cuò)的概率為___________.【答案】##【解析】【分析】記小剛解答三道題正確分別為事件，且相互獨(dú)立，根據(jù)題意，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，合理計(jì)算，即可求解.解：記小剛解答三道題正確分別為事件，且相互獨(dú)立，且，因?yàn)樗『媚艽饘?duì)兩道題的概率為，可得，整理得，所以他三道題都答錯(cuò)的概率為.故答案為：.14.已知梯形如圖1所示，其中，A為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形，現(xiàn)沿AB進(jìn)行折疊，使得平面⊥平面，得到如圖2所示的幾何體．已知當(dāng)點(diǎn)F滿足時(shí)，平面平面，則λ的值為________．圖1圖2【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用空間向量法計(jì)算已知面面垂直即法向量垂直即可求參.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴則，若是平面的一個(gè)法向量，則可得，若是平面的一個(gè)法向量，則可得由平面平面，得，即，解得．故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.已知向量，且．（1）求的值；（2）求向量與夾角的余弦值．【答案】（1）9；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得，從而可得，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)求法計(jì)算即可；（2）結(jié)合（1）可得，，再由夾角公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以，則，所以；【小問(wèn)2詳解】解：，，，設(shè)向量與夾角為，所以，所以向量與夾角的余弦值為．16.由數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)中抽取一個(gè)，求：（1）所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率；（2）所抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率；（3）所抽到數(shù)個(gè)位和十位不相同的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析】運(yùn)用列舉法，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解（1）（2）（3）即可.【小問(wèn)1詳解】數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有共16個(gè)，其中偶數(shù)有共8個(gè)，所以所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率；【小問(wèn)2詳解】數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有共16個(gè)，其中3的倍數(shù)有共5個(gè)，所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率；【小問(wèn)3詳解】數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有共16個(gè)，其中個(gè)位和十位相同的數(shù)有共4個(gè)，所以個(gè)位和十位不相同的數(shù)有12個(gè)，所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率；17.如圖，在正四棱錐中，各棱長(zhǎng)均為，為側(cè)棱上的點(diǎn)，是中點(diǎn).（1）若是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到，求得向量和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）設(shè)，得到，求得平面的法向量為，根據(jù)平面，利用，列出方程，求得的值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在正方形中，由，可得，又因?yàn)?，所以，所以，可得，則，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，可得，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，可得，所以直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋傻茫O(shè)，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，若平面，可得，即可得，解得，所以，即存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)的值為.18.在空間直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)為.（1）求的坐標(biāo)（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)AC和BD的中點(diǎn)相同，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；（2）由（1）得到，再利用向量的夾角公式求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，因?yàn)锳C和BD的中點(diǎn)相同，且，所以，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由（