工程數(shù)學 - 第二章 極限與連續(xù)

工程數(shù)學主

編

馬玉

高琰

盧靜極限與連續(xù)第二章目錄數(shù)列的極限01函數(shù)的極限02極限運算與兩個重要極限03無窮大與無窮小04CONTENTS行業(yè)PPT模板/hangye/函數(shù)的連續(xù)性05函數(shù)的連續(xù)性06用MATLAB求極限07第一節(jié)數(shù)列的極限01一、數(shù)列極限的定義01

定義2.1.1如果按照某一法則,對每個n∈N+,都對應著一個確定的實數(shù)an,那么這些實數(shù)an按照下標n從小到大排列得到的一個序列a1,a2,a3,a4,…,an,…稱為數(shù)列,記作數(shù)列{an}.數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項,第n項an稱為數(shù)列的通項(或一般項),表示通項的公式稱為通項公式.例如,數(shù)列1,3,5,…,2n-1,…的一個通項公式是2n-1.

定義2.1.2如果當無窮數(shù)列{an}的項數(shù)n無限增大時,an無限趨近于一個確定的常數(shù)A,那么A就稱為數(shù)列{an}的極限,或稱數(shù)列{an}收斂于A.記作

01二、數(shù)列極限的運算法則

下面介紹數(shù)列極限的運算法則,利用這些法則可以求某些復雜的數(shù)列的極限.第二節(jié)函數(shù)的極限02一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限02

現(xiàn)在考慮自變量x的變化過程為x→x0.如果在x→x0的變化過程中,對應的函數(shù)值f(x)無限接近于確定的數(shù)值A(chǔ),那么就說A是f(x)當x→x0時的極限.下面給出自變量趨于有限值時函數(shù)的極限的定義.

定義2.2.1設函數(shù)y=f(x)在x0的某空心鄰域內(nèi)有定義,如果當x無限趨近于x0時,函數(shù)f(x)無限趨近于常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當x→x0時的極限,記作注意:在自變量趨于有限值時函數(shù)的極限的定義中,y=f(x)不需要在x0處有定義,x只需無限趨近于x0即可,不一定要達到.02

定義2.2.2如果當

時,函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)在x→x0時的左極限(右極限),記作注意:在考慮單側(cè)極限時,應注意x→x0的趨近方向.當02二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限定義2.2.3如果當x→∞時,對應的函數(shù)值f(x)無限趨近于常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當x→∞時的極限,記作注意:x→∞表示x→+∞、x→-∞兩種情況.但有的時候x的變化趨勢只能取這兩種變化中的一種情況.下面給出當x→+∞或x→-∞時函數(shù)f(x)極限的定義.定義2.2.4如果當x→+∞(x→-∞)時,函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個確定的常數(shù)A,那么A就稱為函數(shù)f(x)當x→+∞(x→-∞)時的極限,記作注意到x→∞意味著同時考慮x→+∞和x→-∞,可以得到下面的結(jié)論:第三節(jié)極限運算與兩個重要極限0303一、極限的四則運算法則

上一節(jié)討論了函數(shù)極限的定義,下面我們介紹極限的運算法則,利用這些法則可以求一些復雜函數(shù)的極限.03二、兩個重要極限03第四節(jié)無窮大與無窮小0404一、無窮小04二、無窮大如果當x→x0(x→∞)時,對應的函數(shù)值的絕對值f(x)可以大于預先指定的任何很大的正數(shù)M,那么就稱函數(shù)f(x)是當x→x0(x→∞)時的無窮大.0404三、無窮小與無窮大的關(guān)系04四、無窮小的比較

通過無窮小的性質(zhì)可以知道,兩個無窮小的和、差、積還是無窮小.但是,關(guān)于兩個無窮小的商,卻會出現(xiàn)不同的情況.例如,當x→0時,sinx,3x,x2都是無窮小,而第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性0505一、函數(shù)的連續(xù)性的定義0505二、間斷點第六節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)0606一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性06二、復合函數(shù)的連續(xù)性06三、初等函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)2.6.3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.06四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)2.6.4(有界性與最大值最小值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么函數(shù)f(x)在[a,b]上一定有最大值與最小值.如圖2-4所示,函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上至少存在x1和x2,使得當x∈[a,b]時,f(x1)≥f(x),f(x2)≤f(x)恒成立,則f(x1)和f(x2)分別稱為函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值.x1、x2稱為最大值點和最小值點.06

性質(zhì)2.6.5(介值定理)如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且在兩端點取不同的函數(shù)值f(a)=A和f(b)=B,C是A和B之間的任一實數(shù),那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f(ξ)=C.如圖2-6所示.

推論(零點定理)設函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號,即f(a)·f(b)<0,則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f(ξ)=0.如圖