2025《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》微專題（八） 定序問題、分排問題、相同元素問題的解題策略

排列組合問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容之一，也是求解概率問題的基礎(chǔ)．排列組合問題不僅內(nèi)容抽象，題型多樣，而且解法靈活，不易掌握．解答排列組合問題時(shí)，要注意分析題型類別，抓住問題的本質(zhì)，采取恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚韱栴}．下面我們重點(diǎn)講解一下定序問題、分排問題、相同元素問題的解題策略．類型一定序問題例1身高互不相同的7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有________種(用數(shù)字作答)．答案840解析解法一：先在7個位置上排甲、乙、丙之外的四人，有Aeq\o\al(4,7)種排法，留下三個空位，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序自動入列，不能亂排，即有Aeq\o\al(4,7)＝840種排法．解法二：將7名同學(xué)全排列，有Aeq\o\al(7,7)種排法，因?yàn)榧?、乙、丙三人自左向右從高到矮排列，所以共有eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(3,3))＝840種排法．一般地，對于某些元素的順序固定型問題，解決時(shí)有兩種方法：(1)倍縮法：先不考慮限制條件，所有元素全排列，再除以定序元素的全排列；(2)空位(或占位)法：在總位置中，安排非定序元素的位置，然后對定序元素進(jìn)行排列時(shí)，只有1種排法．如已知n個不同的元素進(jìn)行排列，要求其中m(m≤n，n∈N*，m∈N*)個元素相對順序固定不變，有eq\f(Aeq\o\al(n,n),Aeq\o\al(m,m))種不同的方法，或從n個位置中排m個元素之外的n－m個元素，再放這定序的m個元素，共有Aeq\o\al(n－m,n)種不同的方法．對于給定元素順序確定，再插入其他元素進(jìn)行排列：順序確定的元素為n個，新插入的元素為m個，則排列數(shù)為eq\f(（m＋n）！,n！).1．某班2024年元旦晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插入方法的種數(shù)為()A．2 B．11C．36 D．42答案D解析將第一個新節(jié)目插入5個節(jié)目排成的節(jié)目單中有6種插入方法，再將第二個新節(jié)目插入到剛排好的6個節(jié)目排成的節(jié)目單中有7種插入方法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×7＝42種插入方法．2．某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后進(jìn)行，那么安排這6項(xiàng)工程不同的排法種數(shù)是________．答案120解析六個元素進(jìn)行排序，保證甲、乙、丙三個元素順序不變，再加入三個元素進(jìn)行排序，共eq\f(6！,3！)＝120種排法．類型二分排問題例2(多選)17名同學(xué)站成兩排，前排7人，后排10人，則不同站法的種數(shù)為()A．Aeq\o\al(7,7)Aeq\o\al(10,10) B．Aeq\o\al(7,17)Aeq\o\al(10,10)C．Aeq\o\al(7,17)＋Aeq\o\al(10,10) D．Aeq\o\al(17,17)答案BD解析17名同學(xué)中選7名同學(xué)排在前排有Aeq\o\al(7,17)種方法，剩下10名同學(xué)全排在后排有Aeq\o\al(10,10)種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(7,17)Aeq\o\al(10,10)種站法．或?qū)⑶昂笈乓暈橐慌牛灿蠥eq\o\al(17,17)種站法．多排元素排列問題通?？珊喕癁橐慌趴紤]．3．5名學(xué)生、1名教師站成前后兩排照相，要求前排3人，后排3人，其中教師必須站在前排，那么不同的站法共有()A．30種 B．360種C．720種 D．1440種答案B解析教師在前排選1個位置，5名學(xué)生，站剩余的5個位置，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(5,5)＝360種站法．類型三相同元素問題例3某校準(zhǔn)備參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把16個選手名額分配到高三年級的1～4班，每班至少一個名額．(1)不同的分配方案共有多少種？(2)若每班名額不少于該班的序號數(shù)，則不同的分配方案共有多少種？解(1)問題等價(jià)于將16個小球串成一串，插入3塊隔板，截為4段，16個小球間有15個空隙，從中選3個插入隔板，插法種數(shù)為Ceq\o\al(3,15)＝455.故不同的分配方案共有455種．(2)問題等價(jià)于先給2班1個小球，3班2個小球，4班3個小球，再把余下的10個相同的小球放入4個盒子里，求每個盒子至少有1個小球的分配方法數(shù)．將10個小球串成一串，截成4段，截法種數(shù)為Ceq\o\al(3,9)＝84，因此不同的分配方案共有84種．相同元素分配問題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”．每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問題．(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m)，有Ceq\o\al(m－1,n－1)種方法．可描述為n－1個空中插入m－1塊板．4．(2024·石家莊一中模擬)小明同學(xué)去文具店購買文具，現(xiàn)有4種不同樣式的筆記本可供選擇(可以有筆記本不被選擇)，單價(jià)均為一元一本，小明只有8元錢且要求全部花完，則不同的選購方法共有()A．70種 B．165種C．280種 D．1860