人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 同步訓(xùn)練

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)精講精練同步訓(xùn)練

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一拋物線的簡單幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=~2px(p>0)^=2py(p>0)^=-2py(p>0)

\\yJ

圖形

TKJ/TA

范圍y20,%￡R

對稱軸尤軸X軸y軸y軸

造,，以

焦點(diǎn)坐標(biāo)o)+多°)m-9

T

準(zhǔn)線方程x=-2x=2y=i

頂點(diǎn)坐標(biāo)0(0,0)

離心率e=l

通徑長2P

考點(diǎn)二直線與拋物線的位置關(guān)系

[y—kx+b,

直線與拋物線丁=2川3>0）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組f。解的個(gè)數(shù)，即二次方程Mx2+

\y-2px

2（姑一p）x+〃=o解的個(gè)數(shù).當(dāng)kwo時(shí)，若/>0,則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若/=0,直線與拋物線有

二個(gè)公共點(diǎn)；若/<0,直線與拋物線沒有公共點(diǎn).當(dāng)左=0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合,此時(shí)直線與拋物線

有L個(gè)公共點(diǎn).

考點(diǎn)三直線和拋物線

1.拋物線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦）長為2P.

2.拋物線的焦點(diǎn)弦

過拋物線y2=2px（/?>0）的焦點(diǎn)尸的一條直線與它交于兩點(diǎn)A（xi，?），8（X2,”），貝。

2112

+=

①yi>2=—p2,xix2=/；②|AB|=XI+X2+〃；?\XF\]BF\P'

重難點(diǎn)技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（。為焦準(zhǔn)距）

（1）焦點(diǎn)廠在X軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)P（M，%）,則陽=無。+多

（2）焦點(diǎn)廠在X軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)P（M，%）,則忸同=-%+點(diǎn);

（3）焦點(diǎn)/在y軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)尸（毛,為）,則|尸耳=%+^；

（4）焦點(diǎn)尸在y軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)尸（七,%）,則|P刊=-%+，

【題型歸納】

題型一：拋物線的簡單性質(zhì)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)）

1.（2020?全國高二）對拋物線y=下列描述正確的是（）

8

B.開口向上，焦點(diǎn)為［（），，）

A.開口向上，焦點(diǎn)為（0,2）

C.開口向右，焦點(diǎn)為（2,0）D,開口向右，焦點(diǎn)為

2.（2021?全國高二（文））點(diǎn)M（5,3）到拋物線>=依2的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.x2=-yB.x2=-y^x2=---y

121236

C.f=__—yD./=i2y或/=_36y

36

3.（2017?河南信陽?高二期末（理））拋物線y=9Y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

A-山B-囁,ic-?°d-H

題型二：拋物線的對稱性

4.（2021.全國高二單元測試）以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于。，E兩點(diǎn)，已知

AB=4夜，DE=2小,則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.2B.4C.6D.8

5.（2021.中國農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)）若正三角形的頂點(diǎn)都在拋物線y2=4x上，其中一個(gè)頂點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)

三角形的面積是（）

A.48也B.24A/3C.—^3D.46^3

6.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）A3是拋物線f=2y上的兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若|。4|=|。邳，且的面積為126，

則NAO3=（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

題型三：拋物線的弦長問題

7.（2021.全國高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)廠作直線交拋物線于“，N兩點(diǎn)（M,N的橫坐標(biāo)

不相等），弦的垂直平分線交x軸于點(diǎn)“，若|MV|=40,則（）

A.14B.16C.18D.20

8.（2021?馬鞍山市第二中學(xué)鄭蒲港分校高二開學(xué)考試（文））過拋物線C：y2=2px（0>0）焦點(diǎn)廠的直線與拋物線

相交于A，8兩點(diǎn)，|/回=2忸用，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AO3的面積為6立，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

9.（2021?河北運(yùn)河?滄州市一中高二開學(xué)考試）已知直線）=左（龍-2）（>>0）與拋物線C：丁=舐相交于A,B兩點(diǎn)，

尸為拋物線C的焦點(diǎn).若|AP|=6,則|AB|等于（）

A.7B.8C.9D.10

題型四：拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)問題

10.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線M的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，過其焦點(diǎn)尸作直線/交拋物線

于A,5兩點(diǎn)，過點(diǎn)A,8分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)C,D,\AF\=2\BF\,且成.麗=72,則

該拋物線的方程為（）

A.x2=8yB.x2=10yC.x2=9yD.x2=5y

11.（2020?江蘇高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=-l,過其焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線

C交于A,3兩點(diǎn)，若直線/的斜率為1,則弦A3的長為（）

A.4B.6C.7D.8

12.（2021?四川自貢.高二期末（文））已知拋物線氏丁=人的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過焦點(diǎn)廠的直線交拋物線E于

A、8兩點(diǎn)，C、。兩點(diǎn)分別為A、8兩點(diǎn)在直線/上的射影，而且|A戶|=3怛刊，M為線段的中點(diǎn).則下列命題

（）

①NCFD=90。②△CMC等腰直角三角形

③直線A3的斜率為土道

④的面積為4（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

題型五：拋物線的應(yīng)用

13.（2020?廣東普寧.高二期中）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時(shí)，拱頂離水面2m,水面寬4m.當(dāng)水位上升0.5m

后，水面寬是（）

A.2巫mB.s/6mC.2mmD.6m

14.（2021?山東臨沂?高二期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的

對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為R

一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M（3,l）射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)8射出，貝必4?"的

周長為（）

A.9+A/TOB.9+>/26C.—+A/26D.—+V26

1212

15.（2019?廣東深圳?）如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在/時(shí)，拱頂高于水面2m,水面寬為4m,當(dāng)水面寬為時(shí),

水位下降了（）m

A.y/5B.2C.1D.一

2

題型六：直線與拋物線的位置關(guān)系

16.（2021?貴州師大附中高二月考（理））已知拋物線C：y2=2px{p>G）,過其焦點(diǎn)且斜率為2的直線/與拋物線C

交于A,8兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=—2B.x=—lC.y=—2D.y=-l

17.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）直線>=區(qū)+）與拋物線V=4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則3匕滿足的條件是（）

A.kb=lB.k=U,Z?GR

C.b手0,k=0D.劭=1或左=0

18.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A,3在拋物線y2=2px（p>0）上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|Q4|=|QB|,且△AO3

的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)/，則直線A3的方程是（）

A.X—p=0B.4%—3P=0C.2x—5p=QD.2x—3p=0

題型七：拋物線的定值、定點(diǎn)、定直線問題

19.(2021.全國高二課時(shí)練習(xí))已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，直線x+y-l=0與拋物線

B兩點(diǎn)，且卜卻=邛.

交于A,

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)，使AABC為正三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.(2021?全國高二課時(shí)練習(xí))已知拋物線C：儼=以，A(l,2),其中機(jī)>0,過B的直線/交拋物線C于

M,N.

(1)當(dāng)機(jī)=5,且直線/垂直于x軸時(shí)，求證：aAMN為直角三角形；

(2)若而=次+而，當(dāng)點(diǎn)尸在直線/上時(shí)，求實(shí)數(shù)相，使得

21.(2021?重慶市第六十六中學(xué)校高二月考)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)廠(1,0),且與直線/:尤=-1相切，

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

(2)過點(diǎn)加(1,2)作曲線C的兩條弦，設(shè)肱I、MB所在直線的斜率分別為左、k2,當(dāng)匕、心變化且滿足%+履=T

時(shí)，證明直線A3恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【雙基達(dá)標(biāo)】

一、單選題

22.(2021?全國圖二課時(shí)練習(xí))直線kx+b交拋物線>于A、3兩點(diǎn)，。為拋物線的頂點(diǎn)，OALOB,貝肥的

值為()

A.2B.0C.1D.4

23.(2022?全國高三專題練習(xí))已知拋物線C丁2=?的焦點(diǎn)為R過點(diǎn)尸分別作兩條直線(4，直線/1與拋物

線。交于A、B兩點(diǎn),直線/2與拋物線C交于。、E兩點(diǎn),若乙與4的斜率的平方和為1，貝“的+|。國的最小值為

)

A.16B.20C.24D.32

24.（2022?全國高三專題練習(xí)）如圖所示，過拋物線y=2px（p>0）的焦點(diǎn)廠的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,

C,若|BC|=2忸尸且|AF卜4,則拋物線的方程為（）

B.y2=4x

C.y2=lxD.y2=x

25.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線"：/=2〃彳5>0）的準(zhǔn)線與圓從％2+,2—6%+分_3=0只有一個(gè)公共點(diǎn),

UL1UULU

設(shè)A是拋物線“上一點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，若O4AF=-4（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）

A.（-1,2）或（-1,-2）B.（1,2）或（1,一2）

C.（1,2）D.（1,-2）

26.（2022.全國高三專題練習(xí)（理））已知尸為拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)，過尸作兩條互相垂直的直線人乙，直線4

與C交于A,B兩點(diǎn)，直線4與C交于，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

27.（2021?榆林市第十中學(xué)）已知直線A3垂直于拋物線石：y=2內(nèi)（尸>0）的對稱軸，與E交于點(diǎn)A,8（點(diǎn)A在

第一象限），過點(diǎn)A且斜率為-括的直線與E交于另一點(diǎn)C,若|AB|=|3C|=2,則p=（）

A.立B.逑

23

C.72D.目

28.（2021?河南高三模擬預(yù)測）拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)4（4,6）且平行于x軸的直線與線段

A廠的中垂線交于點(diǎn)若點(diǎn)M在拋物線C上，貝（）

5735

A.一或—B.—或—C.1或3D.2或4

2222

29.（2021?河北）已知點(diǎn)尸為拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直/線交拋物線。于A3兩點(diǎn)，且

AF=rraa>l）,|AB|=y,貝！h=（）

A.2B.3C.4D.5

30.（2022.全國高三專題練習(xí)（理））直線y=2尤與拋物線W：：/=2px交于A,B兩點(diǎn),若卜石，則A,B兩

點(diǎn)到拋物線卬的準(zhǔn)線的距離之和為（）

A.1B.2C.3D.4

31.（2021?內(nèi)江市教育科學(xué)研究所高二期末（文））已知直線/：>=尤-1與拋物線C：y2=2px（〃>0）相交于A、B兩

—.—,2___-

點(diǎn)，若A3的中點(diǎn)為N,且拋物線。上存在點(diǎn)"，^OA+OB=-OM（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則。的值為（）

A.4B.2C.1D.1

【高分突破】

一：單選題

32.（2021?全國高二課前預(yù)習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與直線y=3相切，且與定圓C：/+。+3）2=1外切，則動(dòng)圓圓心〃的

軌跡方程為（）

A.x1=—12yB.x1=12yC.y2=12xD.y2=-12x

33.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)（x,y）在拋物線儼=4無上，貝Uz=爐+；/+3的最小值是（）

A.2B.3C.4D.0

34.（2021?內(nèi)蒙古赤峰?高二期末）已知過拋物線丁=20吠0>0）的焦點(diǎn)尸的直線交拋物線于4,8兩點(diǎn)，線段AB的

延長線交拋物線的準(zhǔn)線/于點(diǎn)C.若忸C|=2,|FB|=1.則|4同=（）

A.2B.3C.6D.8

35.（2022?浙江高三專題練習(xí)）已知拋物線y2=16x,過點(diǎn)M（2,0）的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn),尸為拋物線的焦點(diǎn),

若|AF|=12,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形Q4FB的面積是（）

A.2072B.1072C.5&D.

2

36.（2021.陜西漢中?高二期末（文））已知拋物線必=2川（0>0）的焦點(diǎn)為尸心,0；過/的直線/交拋物線于A,B

兩點(diǎn)，且衣=2麗，貝心的斜率為（）

A.±1B.±^2C.±寧D.±2&

37.（2022?全國高三專題練習(xí)（理）（文））已知雙曲線￡-《=1（。>0,8>0）的右焦點(diǎn)與拋物線,2=20彳（0>0）的

ab

焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、。兩點(diǎn)，若=則雙曲

線的離心率為（）

A.72B.6C.2D.3

rr

38.（2021?全國高三專題練習(xí)（文））已知拋物線V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過/且傾斜角為了的直線/與拋物線

相交于A3兩點(diǎn)，|知|=8,過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，交于點(diǎn)。.下列說法不正確的是（）

A.QALQBB.AAO3（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2企

C.；+歷%=2D.若"（LI）,P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則|尸閭+|尸石的最小值為2

二、多選題

39.（2022?江蘇高三專題練習(xí)）已知拋物線C:V=?的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M（%,%））在拋物線C上，若I"/1=4,則（）

A.毛=3B.%=2后

C.|OM|=A/21D.尸的坐標(biāo)為（0,1）

40.（2021.河北遷安.高二期末）已知拋物線y=2d的焦點(diǎn)為尸，加（占,%）,N（%,%）是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［J。］

B.若直線肱V過點(diǎn)尸，貝也馬=-］

16

C.若礪=彳而，貝（i|ACV|的最小值為《

D.若附巴+|八回=彳，則線段的中點(diǎn)尸到了軸的距離為g

41.（2021?歷下?山東師范大學(xué)附中高三開學(xué)考試）過拋物線V=4尤的焦點(diǎn)下作直線交拋物線于A3兩點(diǎn)，M為線

段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.以線段A3為直徑的圓與直線x=-3相交B.以線段為直徑的圓與y軸相切

9

C.當(dāng)赤=2而時(shí)，|AB|=5D.I的最小值為4

42.（2021.雙峰縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）拋物線C：y2=2px（?>o）的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線/交x軸于點(diǎn)。（-2,0）,

過焦點(diǎn)的直線相與拋物線C交于43兩點(diǎn)，則（

A.p=2

B.|AB|..8

C.直線AQ與8。的斜率之和為0

D.準(zhǔn)線/上存在點(diǎn)若AMAB為等邊三角形，可得直線48的斜率為±也

2

43.（2021?江蘇省漂水高級中學(xué)高二月考）拋物線C:9=以的焦點(diǎn)為下，動(dòng)直線/：丫=履+6（妨工0）與拋物線交于

兩點(diǎn)43且直線AEB廠分別與拋物線交于C,D兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（4,0）B.%=*

C.kAD=-^kBCD.若。"_LAB于點(diǎn)H，則點(diǎn)H的軌跡是圓

三、填空題

44.（2022.全國高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系尤Oy中，直線/過拋物線儼=4x的焦點(diǎn)尸，且與該拋物線相交于A、B

兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方.若直線/的傾斜角為60。，則△OAF的面積為.

45.（2022?貴州貴陽?高三開學(xué)考試（文））已知點(diǎn)N為拋物線V=_4無上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為圓O'：（x-1）2+（y-2）2=1

上的動(dòng)點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)N到）軸距離為加，則%+|MN|的最小值為.

46.（2021?東城?北京二中高二月考）在直角坐標(biāo)系無伽中，點(diǎn)A為拋物線V=4尤上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為該拋物線的焦點(diǎn)，

若ZAFO=120。，則△Q4F的面積為.

47.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）拋物線型塔橋的頂點(diǎn)距水面2米時(shí)，水面寬8米，若水面上升1米，則此時(shí)水面寬

為米.

48.（2021?江蘇姑蘇?蘇州中學(xué)高三月考）如圖所示，已知拋物線C：儼=8了的焦點(diǎn)為區(qū)準(zhǔn)線/與無軸的交點(diǎn)為K,

點(diǎn)A在拋物線C上，且在x軸的上方，過點(diǎn)A作48，/于8,\AK\=yf2\AF],則AAFK的面積為.

四、解答題

IT

49.(2022?全國高三專題練習(xí))已知拋物線及丁=2內(nèi)3>0)的焦點(diǎn)為凡過點(diǎn)/且傾斜角為了的直線/被E截得的

線段長為8.

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心的圓過點(diǎn)E且圓C與直線尤=—［相交于A,B兩點(diǎn).求|取卜怛回

的取值范圍.

50.(2021?貴州貴陽一中高三月考(理))在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)"0,1)的距離比到

X軸的距離大1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)過點(diǎn)N(4,4)作斜率為勺上的直線分別交曲線C于不同于N的A,B兩點(diǎn)，且!+(=1.證明：直線A3恒過定

/vj*2

點(diǎn).

51.(2021.云南玉溪.高三月考(理))已知拋物線E：/=2/(2>0),過點(diǎn)尸(3,0)的直線/交拋物線E于A,B,

且麗?麗=-3(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求拋物線E的方程；

(2)過P作與直線/垂直的直線加交拋物線E于C,D.求四邊形AC3。面積的最小值.

52.(2021?深圳市第七高級中學(xué)高三月考)拋物線E：9=2庶(0>0)的焦點(diǎn)為乩過點(diǎn)尸的直線與拋物線交于

N兩點(diǎn)，弦的最小值為2.

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。是直線x=-l(yw0)上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P(LO)的直線/與拋物線E交于4B兩點(diǎn)，記直線A。，BQ,

PQ的斜率分別為燈°,kBQ,%,證明：為定值.

RpQ

53.(2021?江蘇鼓樓?金陵中學(xué)高三月考)已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)A(0,l),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(y上0)到x軸的

距離為d,且=記動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程：

(2)設(shè)動(dòng)直線與C交于。，E兩點(diǎn)，3(2力)為C上不同于￡>,E的點(diǎn)，若直線3D,3E分別與V軸相交于M,

N兩點(diǎn)，且說.兩=1,證明：動(dòng)直線OE恒過定點(diǎn).

54.(2021?山西運(yùn)城.高三)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)夕。,-2).

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知直線/：＞=-尤+%與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，在拋物線C上是否存在點(diǎn)Q,使得直線QA,Q8分別于y

軸交于N兩點(diǎn)，且IQM|=IQN|,若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案詳解】

1.A

【詳解】

由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為尤2=8y,

則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(。,2).

故選：A.

2.D

【詳解】

將y=轉(zhuǎn)化為x2=-y,

a

當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程〉=-；，點(diǎn)M(5,3)到準(zhǔn)線的距離為3+3=6,解

4。4a

得。=\，所以拋物線方程為>即V=12y；

當(dāng)”0時(shí)，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程'=，點(diǎn)加(5,3)到準(zhǔn)線的距離為3+；=6,解

4。4〃

111

得4=-9或“=7T(舍去)，所以拋物線方程為了=-9/,即f=-36y.

361236

所以拋物線的方程為V=12y或尤2=_36y

故選：D

3.B

【詳解】

將y=9/化為無2=1y,則拋物線y=9x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為f0，9.故選B.

9I36)

4.B

解：不妨設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p>0),令點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)。在第二象限.

4

根據(jù)拋物線的對稱性，得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2及，代入拋物線。的方程得％=即點(diǎn)

A1,20；

又點(diǎn)可,⑹.因?yàn)辄c(diǎn)A,D都在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，所以小8=%5,解得

。=4或。=-4(舍去)，

則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.

故選：B.

5.A

【詳解】

設(shè)三角形其中一個(gè)頂點(diǎn)為k,2五），

因?yàn)槿切问钦切危?/p>

所以3&=tan3（T=且，即4=：,

x3x3

解得x=12,

所以三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為（12,4百）,（12,-4石），

所以三角形的面積為S=；xl2x（4百+46）=48班,

故選：A

6.C

【詳解】

9：\OA\=\OB\f知A3兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，

設(shè)A—ti,-J,Bfl,-J

**?SAA0B=—x2ax—=12A/3,解得〃=26，

**?B^2\/3,6j,tan0=~~~=~~~f

???6=30。，ZAOB=20=6O°.

故選：C

7.D

設(shè)N（z，%）,弦MN的中點(diǎn)為“（無（）,%）,H&，。），

則士卻

所以上*=2p,所以（叩一%）（、+%）=22,

再一々玉一馬

2P2p_p

則%N=

2%y0

xx

所以弦MN的垂直平分線為y-%~^(-o).

令y=o,則.%=毛+0,所以|H川=%+勺

又\MN\=+x,+/?=2XQ+p=40,

所以|HF|=20.

故選：D.

8.D

【詳解】

由題設(shè)，令A(yù)B為x=6+g聯(lián)立拋物線方程并整理得V-2物-p』，

.?.若A(X］，X),B(X2，%),則%+%=2切，%%=-加，又|AFj=2怛同易得|%|=2"|,

乂=43,%=—2切，則一8左2P2=-p2,gpk2s=-,

8

；?IX-%1=何+%產(chǎn)-你％=2pdkF,

又LOB=To門"%-%1=6&，而im=m

...左正衛(wèi)=60,即p2=16,又p>0,則p=4,故y2=8x.

2

故選：D

9.C

【詳解】

+2=6=>=4,又%>0,XBV%A，>A>0，

??；=8X4n%=4夜,

yA=k^xA-2)=>4^2=左?2=>左=242,

「?直線方程為y=20(x-2),代入拋物線方程V=8x,得：

%之-5x+4=0n+4=5n=1,

/JAB|=|AF|+|BF|=6+Q+2)=9,

/.|AB|=9,

故選：C.

10.A

【詳解】

設(shè)A（Xj,yJ,B（x2,y2）,%>%，

拋物線的方程為3=2刀（p>0）,尸]。，￡|，

由|A尸|=2|3/|可得衣=2而，

所以卜yj=2卜，%

所以一百=2x2,點(diǎn)一％=21為一光），

所以>2=—,%=P，司=^2p,X]=—2P，

所以A（0p,°）,sj-字（，C（y/2p,0）,D一號,0

因?yàn)?72,所以抗.而=述0義逑p=72,所以。=4,

22

所以拋物線的方程為V=8y.

故選：A.

11.D

解：依題意得，拋物線C的方程是V=4x,直線/的方程是y=x-l.聯(lián)立口一="無’

[y=x-i

消去得（X-1）2=4X,BPx2—6x+\=0.設(shè)4（占,%）,則X[+無2=6,所以

\AB\=^+X2+/?=6+2=8.

故選：D.

12.B

【詳解】

根據(jù)題意可得焦點(diǎn)網(wǎng)1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-l,由題意可得直線BA的斜率不為0,

可設(shè)直線AB的方程為x=my+l設(shè)A（尤1m）,2（短,券）,由題意可知C（-l,%）,D（-L%）滔直線AB

與拋物線方程聯(lián)立得y2-4my-4=0所以％+%=4m,%必=-4.

對于①：京?麗=（-2,%）?-2,%）=（-2*（一2）+%%=4-4=0,所以FCLFD,^ZCFD=9Q°,

故①正確；

對于②:由①可得,不可能CM_LOM更不會/C或/O為直角，故B不正確；

對于③:因?yàn)閨AF|=3|BF|，所以衣=3而，即X=-3%，

f-2y9=4mo?

因?yàn)?+%=4皿%%=-4所以｛2“解得獷=彳,所以〃2=土二，

[-3%=-433

所以直線A3的斜率為士超.故③正確；

對于④:由題意可得

AB=yjl+m2，(％+%)2-4%為=Vl+m2J(4mf+16=Jl+gJ|+|^x16=y,

點(diǎn)0到直線AB的距離方,

所以54。8=34卦4='*3'3=逑，故④錯(cuò)誤?

iAOB2112323

故選:B

13.C

解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：

設(shè)拋物線方程為/=〃少，

由題意知：(2,-2)在拋物線上,

即22=-2m,

解得：m=—2,

x2=-2y,

當(dāng)水位上升0.5m后，

即將y=-1.5代入/=-2〉，

BPX2=-2X(-1.5),

解得：X=+y/3,

；?水面寬為26m.

故選：C.

14.B

【詳解】

如下圖所示：因?yàn)樗詾?%=1,所以/=曰=；,所以A

又因?yàn)槭?1,0),所以乙Q一°二二1(1),即L：y=-1),

43

一4

又<,3?！?所以9+3>-4=0,所以y=l或y=-4,所以為=一4,所以/="=4,

y2=4x4

所以3(4,T),

又因?yàn)閨AB|=|AF|+忸司=無4+/+?=：+4+2=?，\AM\=xM一貓=3-；=2，

\BM\=^(4-3)2+(-4-l)2=>/26,

所以AABM的周長為：卜卻+|4圖+怛叫=m+?+J防=9+后，

【詳解】

建系如圖，設(shè)拱橋所在拋物線為爐=效（。＜0）,點(diǎn)A（2,-2）在拋物線上，得。=-2,

拋物線方程為V=_2y,

當(dāng)水面寬為26時(shí)，設(shè)拱頂高于水面刀m,由點(diǎn)（6,-力）在拋物線上，得/7=g,

故水面下降了;機(jī).

故選：D.

【詳解】

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（go；

所以直線A2為y=2、-,將其代入拋物線方程可得y2-py-p2=0,

設(shè)4（%,%）,3（彳2，%），則%+%=P,

因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,

所以苫=”，

所以準(zhǔn)線方程為無=-5="!,

故選：B

17.D

【詳解】

當(dāng)左=0時(shí)，直線y=6與拋物線V=4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意;

當(dāng)左W0時(shí)，由，可得：左丁+（2亞—4b+廿=0,

若直線>=反+8與拋物線V=4x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則A=（2協(xié)—4）2-必力2=o,整理可得：16—16劭=0,所以處=1,

綜上所述：姑=1或左=0,

故選：D.

18.C

【詳解】

如圖所示，???尸為△AO5的垂心，尸為焦點(diǎn)，

|。4|=|。5|,二。/垂直平分線段AB,.??直線AB垂直于不軸.

設(shè)A（2p*,2p。，B（2p『,—2pt）,其中/>0.

?尸為垂心，尸二一1，

-2pt2pt_

即2p1,jp-,解得尸=],

尸2Pt--4

直線AB的方程為x=2p?=|0,即2x-5p=0.

【詳解】

(1)由題意，設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0).

由卜0,消去九得％2—2(l+p)x+l=0.

[x+y-l=O

設(shè)人(石,芳)，3(%2，%)，則%+%2=2(1+〃)，%工2=1.

X+X2

由IA同=jl+(-l)2,^[(l2)-4XJX2J=，

得121P2+242p-48=0,解得p=打或/?=——(舍去)，

A

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=4.

C132

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)。，則外行，-五)-

假設(shè)在x軸上存在滿足條件的點(diǎn)C(xo,O),連接8.

：AABC為正三角形，

o-f-^

/.CDLAB,即―=

%°0-----1--1--

解得%=?.?.(5,())，

竺一竺丫+(0+工丫=述.

又|8|=走|”|=應(yīng)1二逆，

112111111

J在工軸上不存在一點(diǎn)C,使~4BC為正三角形.

20.

(1)證明：由題意，/：%=5,代入儼=以中，解得y=±2石，

不妨取M5,2百)，N0—2后,則而=(4,2逐-2),麗=(4,-2逐-2),

???AM.而=(4,2A/5-2)-(4,-2A/5-2)=16-(20-4)=0,

：.AM±ANf即AAMN為直角三角形，得證.

(2)由題意，四邊形O4P3為平行四邊形，則屈尸=左04=2,

v2v2(y=2(x-m)

設(shè)直線/：y=2(x—m),M(—,)；!),?/(—,j2),聯(lián)立<2，得/一2y—4機(jī)=0,

44[y=4x

由題意，判別式A=4+16m>0,川+”=2,”y2=-4機(jī)，

,?*AM.LAN,則AM.AN=0>又AM=(看—1,—2),AN-(0—1,y2—2)9

**?(y-l)(y-1)+(Jj-2)(y2-2)=0,化簡得。1+2)8+2)+16=0,即經(jīng)”+28+竺)+20

=0,

A24-4/77=0,解得優(yōu)=6,故機(jī)=6時(shí)，有AMLLAN.

21.

U):動(dòng)圓過定點(diǎn)A(l,0),且與直線x=-l相切，

曲線C是以點(diǎn)A(L0)為焦點(diǎn)，直線x=-l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y2=4.r.

(2)???直線A3與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

直線AB的斜率必不為0.

V?=4無

設(shè)其方程為x=<v+〃z,并設(shè)點(diǎn)A&,%),點(diǎn)現(xiàn).力)，與拋物線聯(lián)立得：一

x=ty+m

.fy+必=4/

.,.整理得：y2-4ty-4m=0,其中，△=16〃+16〃?>0,且<-“

=-4機(jī)

k,+k2=比匚+五心=+%-2

玉一]x2-1tyx+m-\ty2+m-l

(y-2)(/y+m-l)+(y-2)(ry+m-l)

=---1-------2------------2-------1-------=—1_

+m-l)(fy2+m-l)

.-1%~272+(加一1)%一2(，-1)+/1%-2[1+(加—1)%一2(，-1)_]

+2，)+[根—]—2/+，(加—1)](y+必)+(機(jī)—1)—4(加—1)—0.

-4M，2+21）+4（機(jī)一1一3/+3）+機(jī)2-6機(jī)+5=0

12/2+4（m+l）/^-m2+6m-5=12/2+4（m+l）/-（m-l）（m-5）=（6^-m+5）（2/+m-l）=0.

%=6，+5或根=-2，+1.

當(dāng)相=6，+5時(shí)，直線的方程可化為：x—（y+6）/—5=0,過定點(diǎn)（5,-6）；

當(dāng)根=-2/+1時(shí)，直線的方程可化為：％+（y-2"-1=0,過定點(diǎn)（1,2）,即點(diǎn)M不合題

意，舍去?

?,?直線必過定點(diǎn)（5-6）.

22.A

【詳解】

y=x+b

設(shè)點(diǎn)A（石，X）、3仇,％），聯(lián)立，%2，可得f-2x-2〃=0,

卜=了

△=4+泌>0,可得b>-g,由韋達(dá)定理可得玉々=-2匕，由題意可知Z?w0,

因?yàn)镺ALOB,則函.9=%%2+%力=西々+^^-=—2〃+尸=0,解得匕=2.

故選：A.

23.C

解：拋物線C>2=4x的焦點(diǎn)廠（1,0）,設(shè)直線/1：尸尤（尸1）,直線/2：y=k2（x-l）

由題意可知，則婷+修=1,聯(lián)立廠:'（1）

[y=4x

整理得：X1—（2^2+4）x+左]2=。

2左2+44

）％

設(shè)A&,%），B（X2,%），貝!1+工2=-h=2+=,

左左1

C4