第10講復(fù)數(shù)的三角形式（知識(shí)點(diǎn)串講）原卷版

第10講復(fù)數(shù)的三角形式（滬教版2020必修二）【知識(shí)講練】知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角主值一般地，如果非零復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(a，b)，且r為向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模，θ是以x軸正半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個(gè)角，則r＝|z|＝eq\r(a2＋b2)，根據(jù)任意角余弦、正弦的定義可知cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r).因此a＝rcosθ，b＝rsinθ，如圖所示，從而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右邊稱為非零復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角形式(對(duì)應(yīng)地，a＋bi稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式)，其中的θ稱為z的輻角．顯然，任何一個(gè)非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個(gè)，而且任意兩個(gè)輻角之間都相差2π的整數(shù)倍．特別地，在[0,2π)內(nèi)的輻角稱為z的輻角主值，記作argz例1．（2021·浙江高一單元測(cè)試）把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式.（1）；（2）.【變式訓(xùn)練11】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)化成三角形式，正確的是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練12】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)的三角形式是A． B．C． D．【變式訓(xùn)練13】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的三角形式為（）A． B．C． D．【方法技巧】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟(1)先求復(fù)數(shù)的模．(2)決定輻角所在的象限．(3)根據(jù)象限求出輻角．(4)求出復(fù)數(shù)的三角形式．提醒：一般在復(fù)數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值，這使表達(dá)式簡(jiǎn)便，又便于運(yùn)算，但三角形式輻角不一定取主值．例2．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）“復(fù)數(shù)的模與輻角分別相等”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式訓(xùn)練14】（2020·河北冀州中學(xué)（衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)）高三月考）任意復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）都可以的形式，其中該形式為復(fù)數(shù)的三角形式，其中稱為復(fù)數(shù)的輻角主值.若復(fù)數(shù)，則的輻角主值為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練15】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1＝，z2＝，則z1z2的代數(shù)形式是（）A． B．C．－i D．＋i【變式訓(xùn)練16】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)的輻角主值為A． B． C． D．【方法技巧】復(fù)數(shù)的三角形式z＝rcosθ＋isinθ必須滿足“模非負(fù)、余正弦、＋相連、角統(tǒng)一、i跟sin”，否則就不是三角形式，只有化為三角形式才能確定其模和輻角，.知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算若復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，則(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．(3)[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)].例1．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）.【方法技巧】1．乘法法則：模相乘，輻角相加．2．除法法則：模相除，輻角相減．3．復(fù)數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角為n倍．例2．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A． B． C． D．【變式訓(xùn)練23】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的向量為，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A．2i B． C． D．【變式訓(xùn)練23】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，求與所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)（用代數(shù)形式表示）.【變式訓(xùn)練23】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，且的輻角主值分別為，模長(zhǎng)均為1.若的重心對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，求.【方法技巧】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ2如果θ2＜0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.【變式訓(xùn)練24】（2020·全國(guó)）復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練25】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算下列各式：（1）；（2）.【變式訓(xùn)練26】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算的值.【方法技巧】知識(shí)：(1)任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍．(2)復(fù)數(shù)0的輻角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角主值，通常記作argz，且0≤argz＜2π.(4)兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角主值分別相等．方法：兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式乘法的法則可簡(jiǎn)記為：模相乘，輻角相加，并且可以作以下推廣；(1)有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘，結(jié)論亦成立．即z1·z2…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)…rn(cosθn＋isinθn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)