專題511函數(shù)y=Asin(ωxφ)-重難點題型精講（舉一反三）（人教A版2019）

專題5.11函數(shù)重難點題型精講1．勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖5.62).明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.62).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.2．,A對函數(shù)的圖象的影響(1)對的圖象的影響函數(shù)（其中）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當(dāng)>0時)或向右(當(dāng)<0時)平移||個單位長度而得到(可簡記為“左加右減”).(2)對的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)>1時)或伸長(當(dāng)0<<1時)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.(3)對的圖象的影響

函數(shù)的圖象，可以看作是把圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時)或縮短(當(dāng)0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.(4)由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象以上兩種方法的圖示如下：3．函數(shù)的圖象類似于正弦型函數(shù)，余弦型函數(shù)的圖象的畫法有以下兩種.

(1)“五點法”，令，求出相應(yīng)的x值及y值，利用這五個點，可以得到在一個周期內(nèi)的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得的圖象.

(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.

一是類似于正弦型函數(shù)的變換作圖法，可由的圖象通過變換作圖法得到(>0,A>0)的圖象，即：二是由誘導(dǎo)公式將余弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，即，再由的圖象通過變換作圖法得到的圖象即可.【題型1“五點法”作函數(shù)的圖象】【方法點撥】用“五點法”畫函數(shù)(x∈R)的簡圖，先作變量代換，令X=，再用方程思想由X取來確定對應(yīng)的x值，最后根據(jù)x,y的值描點、連線、擴(kuò)展，畫出函數(shù)的圖象.【例1】（2020秋?涪城區(qū)校級月考）在用五點法作函數(shù)y=A．0，π2，πC．0，π4，【解題思路】利用“五點法”，令2x+π3【解答過程】解：由“五點法”作圖可知，令2x+π3解得x=-故選：B．【變式11】（2021春?歷城區(qū)校級期中）用五點作圖法作y＝2sin4x的圖象時，首先描出的五個點的橫坐標(biāo)是（）A．0，π2，π，3π2，2π B．0，π4，π2C．0，π8，π4，3π8，π2 D．0，π6，【解題思路】根據(jù)“五點法”作圖，只需令4x＝0，π2，π，3π2，【解答過程】解：由“五點法”作圖知：令4x＝0，π2，π，3π2，解得x＝0，π8，π4，3π故選：C．【變式12】（2021春?五華區(qū)校級期中）用“五點法”作函數(shù)y＝cos2x，x∈R的圖象時，首先應(yīng)描出的五個點的橫坐標(biāo)是（）A．0，π2，π，3π2，2π B．0，π4，π2C．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π【解題思路】根據(jù)五點法確定對于的點的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答過程】解：分別令2x＝0，π2則x＝0，π4，π2，3π故選：B．【變式13】（2021秋?內(nèi)江期末）用“五點法”作y＝2sin2x的圖象是，首先描出的五個點的橫坐標(biāo)是（）A．0，π2，πC．0，π，2π，3π，4π D．0【解題思路】根據(jù)“五點法”作圖，只需令2x＝0，π2，π，32π，【解答過程】解：由“五點法”作圖知：令2x＝0，π2，π，32π，解得x＝0，π4，π2，34故選：B．【題型2三角函數(shù)間圖象的變換】【方法點撥】可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進(jìn)行變換.【例2】（2021秋?12月份月考）要得到函數(shù)f(x)=A．向左平移π2個單位長度 B．向左平移π4C．向右平移π2個單位長度 D．向右平移π【解題思路】利用誘導(dǎo)公式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答過程】解：因為f(x)=cos(2x-π6)=cos（π6-2x）＝sin[π2-（π6-2x）]＝所以將函數(shù)g(x)=sin(2故選：B．【變式21】（2021春?未央?yún)^(qū)校級期中）若將函數(shù)f（x）＝2sin（2x+π3）的圖像向右平移φ個單位，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則A．2π3 B．π3 C．5π【解題思路】利用三角函數(shù)的圖象平移得到y(tǒng)＝2sin（2x+π3-2φ【解答過程】解：把該函數(shù)的圖象右移φ個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y＝2sin（2x+π3-又所得函數(shù)為偶函數(shù)，則π3-2φ＝kπ+π2，可得當(dāng)k＝﹣1時，φ有最小正值是5π故選：C．【變式22】（2021秋?五華區(qū)校級期中）為了得到函數(shù)y=3sin(2x+πA．向左平行移動π3個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1B．向左平行移動π3個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍C．向左平行移動π6個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1D．向右平行移動π3個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的【解題思路】直接利用函數(shù)圖像的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過程】解：為了得到函數(shù)y=3sin(2x+π3)的圖像，只需把函數(shù)y＝3sinx圖像上所有點向左平行移動π3個單位長度，得到y(tǒng)＝故選：A．【變式23】（2021秋?菏澤期中）已知函數(shù)f(x)=2cos(2x-π6)，現(xiàn)將y＝f（x）的圖象向左平移π6A．-3 B．﹣1 C．1 D．【解題思路】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，余弦型函數(shù)的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過程】解：函數(shù)f(x)=2cos(2x-π6)，現(xiàn)將y＝f（x）的圖象向右平移π6個單位長度，得到y(tǒng)＝再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到g（x）＝2sinx的圖象，所以g（π6）＝2sinπ6=2故選：C．【題型3與三角恒等變換有關(guān)的圖象變換問題】【方法點撥】根據(jù)三角恒等變換的相關(guān)知識對所給解析式進(jìn)行化簡，利用圖象變換規(guī)律進(jìn)行變換即可.【例3】（2021秋?西安月考）將函數(shù)f（x）＝sinx+cosx的圖像向左平移π4個單位，得函數(shù)y＝g（x）的圖像，則g（3A．12 B．1 C．-62 【解題思路】由題意利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖像變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答過程】解：將函數(shù)f（x）＝sinx+cosx=2sin（x+π4）的圖像向左平移π4個單位，得函數(shù)y＝g（x）=2sin（x+則g（3π4）=2cos故選：D．【變式31】（2021?河南開學(xué)）已知函數(shù)f（x）=3sin2x+cos2x，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π12個單位長度，得到y(tǒng)＝g（x）圖象，則g（A．2sin（2x+π6） B．2sin（2x+C．2sin（x+π6） D．2sin（x【解題思路】由題意利用兩角和的正弦公式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答過程】解：∵函數(shù)f（x）=3sin2x+cos2x＝2sin（2x+將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π12個單位長度，得到y(tǒng)＝g（x）＝2sin（2x+故選：B．【變式32】（2021秋?紅橋區(qū)期中）以下關(guān)于f（x）＝sin2x﹣cos2x的命題，正確的是（）A．函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，2B．直線x=3π8是函數(shù)y＝fC．點(π4，0)是函數(shù)y＝fD．將函數(shù)y＝f（x）圖象向右平移π8個單位，可得到y(tǒng)【解題思路】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答過程】解：函數(shù)f（x）=sin對于A：由于x∈(0，2π3)，所以對于B：當(dāng)x=3π8時，f（3π8對于C：當(dāng)x=π4時，f(對于D：函數(shù)y＝f（x）圖象向右平移π8個單位，可得到y(tǒng)=2sin故選：B．【變式33】（2021秋?武功縣月考）將函數(shù)f（x）＝sin2x+3cos2x的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位，再向上平移1個單位，所得圖象經(jīng)過點（π8，1），則A．5π12 B．7π12 C．5【解題思路】直接利用函數(shù)的圖象的平移變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過程】解：函數(shù)f（x）＝sin2x+3cos2x＝2sin（2x+π3得到g(x再向上平移1個單位得到y(tǒng)＝2sin（2x+π3-2φ由于函數(shù)的圖象經(jīng)過（π8故2sin整理得：7π12-2φ當(dāng)k＝0時，φ的最小值為7π故選：D．【題型4由部分圖象求函數(shù)的解析式】【方法點撥】根據(jù)部分圖象求出解析式中的A，，即可得解.【例4】（2021秋?廣東月考）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示．若f（π6+α2）=65，則sinA．35 B．45 C．-35【解題思路】由圖知，A＝2，周期T＝π，ω=2πT=2，由f（2π3）＝﹣2，可推出φ【解答過程】解：由圖知，A＝2，周期T＝4×（2π3-所以ω=2π因為函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（2π3，﹣所以﹣2＝2sin（2×2π3+φ），即4π3+φ=3所以φ=π6+2kπ，k因為0＜φ＜π，所以φ=π所以f（x）＝2sin（2x+π因為f（π6+α2）=65，所以2sin[2（π6+α所以sin2α2-cos2α2=-故選：C．【變式41】（2021秋?荔灣區(qū)校級期中）已知函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可以是（）A．y=4sin(π4C．y=4sin(π【解題思路】由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而得到函數(shù)的解析式．【解答過程】解：由函數(shù)的圖象可得，A＝4，由12?2πω=6﹣（﹣2）＝8再由五點法作圖可得π8×6+φ＝0，解得φ故函數(shù)的解析式為y＝4sin（π8x-故選：C．【變式42】（2021秋?豐臺區(qū)校級月考）若將函數(shù)g（x）圖象上所有的點向右平移π6個單位長度得到函數(shù)f（x）的圖象，已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|A．f（x）在[0，π4B．(4π3，0)是C．g（x）在(π4D．g（x）的圖象關(guān)于點(π【解題思路】根據(jù)圖象，先求出f（x）的解析式，再結(jié)合平移變換，求出g（x），并根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解．【解答過程】解：由圖象可得，A＝1，34T=5π∴ω=2∵sin(2∴π6∵|φ∴φ=π∴f（x）=sin∵函數(shù)g（x）圖象上所有的點向右平移π6個單位長度得到函數(shù)f（x∴g(對于A，∵x∈[0，∴2x∴f（x）在[0，π4]上的最小值是對于B，∵f(∴(4π3，0)是f對于C，∵x∈(π∴2x+2g（x）在(76π，對于D，∵g(∴g（x）的圖象關(guān)于點(π6，故選：C．【變式43】（2021秋?昌江區(qū)校級期中）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0A．[712，1312) B．[1112【解題思路】由f（0）=32求解φ，再由x的范圍可得ωx+2π3的范圍，結(jié)合f（x）在（0，2π）上恰有一個最大值和一個最小值，可得5π【解答過程】解：f（x）＝sin（ωx+φ），∵f（0）=3∴sinφ=32，又φ∈[π2，π∵x∈（0，2π），∴2π3＜ωx+2又f（x）在（0，2π）上恰有一個最大值和一個最小值，∴5π2＜2∴1112∴ω的取值范圍是（1112，故選：D．【題型5三角函數(shù)模型在勻速圓周運動中的應(yīng)用】【方法點撥】利用三角函數(shù)模型解決實際問題時，首先尋找與角有關(guān)的信息，確定選用正弦、余弦還是正切型函數(shù)模型；其次是尋找數(shù)據(jù)，建立函數(shù)解析式并解題；最后將所得結(jié)果“翻譯”成實際答案，要注意根據(jù)實際作答.【例5】（2021秋?菏澤期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用．假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2m，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈．規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標(biāo)原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy．設(shè)盛水筒M從點P0運動到點P時所經(jīng)過的時間為t（單位：s），且此時點P距離水面的高度為h（單位：m），則點P第一次到達(dá)最高點需要的時間為（）sA．2 B．3 C．5 D．10【解題思路】求出∠P0Ox，得到以O(shè)P為終邊的角為2π15t-π6，得出h關(guān)于【解答過程】解：∵筒車半徑為4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2m，∴∠xOP0=π∴-π6是以O(shè)x為始邊，OP由OP在t（s）內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為4×2π60t=可知以O(shè)x為始邊，以O(shè)P為終邊的角為2π15t則點P的縱坐標(biāo)為4sin（2π15t所以點P距水面的高度h（m）表示為時間t（s）的函數(shù)是h＝4sin（2π15t-π令h＝4sin（2π15t-π6）+2＝6，得sin（2π15t-π6）＝1，則2π15t-π6故經(jīng)過5s后點P第一次到達(dá)最高點．故選：C．【變式51】（2021秋?呂梁期中）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動一周需要30min．游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動后，游客距離地面的高度H（單位：m）關(guān)于時間t（單位：min）的函數(shù)為H=55sin(ωt-π2)+65，t∈[0，+A．37.5m B．92.5m C．(65-5532【解題思路】首先求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的關(guān)系式求出函數(shù)的值．【解答過程】解：某摩天輪開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動一周需要30min．所以ω=π所以H=55當(dāng)t＝5時，h=55故選：A．【變式52】（2021秋?綠園區(qū)校級月考）如圖所示，有一半徑為10米的水輪，水輪的圓心與水面的距離為6米，若水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)4圈，且水輪上的點P在t＝0時刻剛剛從水中浮現(xiàn)，則5秒鐘后點P與水面的距離是（）（結(jié)果精確到0.1米）A．9.3米 B．9.9米 C．15.3米 D．15.9米【解題思路】利用三角函數(shù)模型設(shè)出解析式，根據(jù)條件求解．【解答過程】解：以O(shè)為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，x軸正半軸與OP的夾角為φ設(shè)水輪上的點P到水面的距離y（米）與時間t（秒）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝Asin（ωt﹣φ）+6，因為水輪半徑為10，水輪的圓心與水面的距離為6米，故P離水面的最大距離為16，所以A＝10，因為水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，所以T=604=所以ω=此時解析式y(tǒng)＝10sin（2π15t﹣φ）因為t＝0時，y＝0，代入得10sin（﹣φ）+6＝0，所以sinφ=3由圖可知，φ為銳角，所以cosφ=4當(dāng)t＝5s時，y＝10sin（2π15×5﹣φ）+6故選：D．【變式53】（2021?全國Ⅰ卷模擬）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，一個水斗從點A（3，﹣33）出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），其縱坐標(biāo)滿足y＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜π2），當(dāng)t＝100時，|PAA．6 B．62 C．63 D．3（6-【解題思路】利用點A的坐標(biāo)求出圓的半徑R，根據(jù)周期公式求出ω，通過三角函數(shù)解析式求出φ，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出點P的坐標(biāo)，即可求出|PA|的值．【解答過程】解：由題意知，R=32+(-33)2所以ω=2把點A（3，﹣33）對應(yīng)的t＝0，y＝﹣33代入y＝6sin（π60t+φ可得﹣33=6sinφ，解得sinφ=又|φ|＜π2，所以φ=-π3，所以y＝6sin當(dāng)t＝100時，y＝6sin（π60×100-π3）＝6sin此時P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣33），所以|PA|＝6．故選：A．【題型6函數(shù)的性質(zhì)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【方法點撥】對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關(guān)系，并能根據(jù)式子的特點構(gòu)造出二倍角的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式求值，注意利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例6】（2021秋?定遠(yuǎn)縣校級月考）已知函數(shù)f(A．f（x）的圖像關(guān)于直線x=πB．f（x）的圖像向左平移π6個單位后為偶函數(shù)圖像C．f（x）的圖像關(guān)于點(5πD．f（x）的最小正周期為π，且在[0，【解題思路】由題意利用兩角和的正弦公式，化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答過程】解：∵函數(shù)f(x)=3sin2令x=π12，求得f（x）=3，不是最值，故f（x）的圖像不關(guān)于直線xf（x）的圖像向左平移π6個單位后，可得y＝2sin（2x+π3+π6令x=5π6，求得f（x）＝﹣1≠0，故f（x）的圖像不關(guān)于點(在[0，π3]上，2x+π6∈[π6，5π故選：B．【變式61】（2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考）已知函數(shù)f（x）＝﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期為π，若將其圖象沿x軸向右平移a（a＞0）個單位，所得圖象關(guān)于x=π3對稱，則實數(shù)A．π B．π3 C．3π4 【解題思路】由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得實數(shù)a的最小值．【解答過程】解：函數(shù)f（x）＝﹣sin2ωx=cos2ωx-12（ω＞0）的最小正周期為2π2ω=π，∴若將