863平面與平面垂直（第1課時(shí)平面與平面垂直的判定定理）（精講）

8.6.3平面與平面垂直（第1課時(shí)平面與平面垂直的判定定理）(精講）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:判斷面面垂直題型2:證明面面垂直題型3:補(bǔ)全面面垂直的條件題型4:二面角的概念及辨析題型5:求二面角題型6:二面角最值問題題型7:由二面角求參數(shù)三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：二面角（1）二面角:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．（2）符號(hào)語言：①二面角.②在,內(nèi)分別取兩點(diǎn)，(,),可記作二面角;③當(dāng)棱記作時(shí)，可記作二面角或者二面角.知識(shí)點(diǎn)2：二面角的平面角（1）定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn),以點(diǎn)為垂足,在半平面和內(nèi)分別作垂直與直線的射線,,則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）說明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度；②二面角的大小與垂足在上的位置無關(guān)一個(gè)二面角的平面角有無數(shù)個(gè)，它們的大小是相等的；③構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”.即二面角的平面角的頂點(diǎn)必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個(gè)條件缺一不可，前兩個(gè)要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，后一個(gè)要素表明平面角所在的平面與棱垂直；④二面角的平面角的范圍是，當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，；當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，⑤當(dāng)兩個(gè)半平面垂直時(shí)，，此時(shí)的二面角稱為直二面角.知識(shí)點(diǎn)3：二面角的平面角求法（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（一般取特殊點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來找出平面角.（2）三垂線定理及其逆定理①定理：平面內(nèi)的一條直線如果和經(jīng)過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個(gè)面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角.(4)轉(zhuǎn)化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角（或其補(bǔ)角）.(5)向量法：用空間向量求平面間夾角的方法（該方法我們將在選擇性必修第一冊(cè)中學(xué)到).知識(shí)點(diǎn)4：求二面角的平面角步驟(1)找到或作出二面角的平面角；(2)證明(1)中的角就是所求的角；(3)計(jì)算出此角的大小以上步驟可概括為“一作、二證、三計(jì)算”知識(shí)點(diǎn)5：平面與平面垂直（1）定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.（2）符號(hào)語言:（3）圖形語言知識(shí)點(diǎn)4：平面與平面垂直的判定定理（1）定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)（2）符號(hào)（圖形）語言:，（3）應(yīng)用：線面垂直面面垂直.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:判斷面面垂直典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】A選項(xiàng)，若，則可能異面，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，則可能，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若，則可能，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，若，，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【詳解】因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選：C例題3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體所有經(jīng)過四個(gè)頂點(diǎn)的平面中，垂直于平面的平面有________．【答案】平面，平面，平面【詳解】連接面對(duì)角線，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平面，同理可知平面⊥平面，平面⊥平?故答案為：平面，平面，平面.同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m∥n，則n∥αC．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β【答案】C【詳解】m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，對(duì)于,若m⊥α，n?β，m⊥n，則與平行或相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于,若m∥α，m∥n，則n∥α或，故錯(cuò)誤；對(duì)于,若m∥n，n⊥β，m?α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正確；對(duì)于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則或與相交或∥，故錯(cuò)誤.故選：.2．（2022秋·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線、，平面、，滿足且，則“”是“”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分條 C．充要 D．既非充分又非必要【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，即“”是“”的充分條件；如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)面為面、面為面，則，且與面不垂直，即“”不是“”的必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．（2022秋·四川眉山·高二四川省眉山第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，四邊形中，，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成四面體，則在四面體中，下列說法正確的是（

）①直線直線

②直線直線③直線平面

④平面平面A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】D【詳解】取的中點(diǎn)．連，則，平面平面，平面平面，平面平面，，假設(shè)，因?yàn)榕c交于，平面，，這與相矛盾，故假設(shè)不成立，即直線與直線垂直不成立．由平面平面，平面平面，平面，且，可得平面，又平面，所以直線直線，又平面，所以平面平面，所以①錯(cuò)誤，②③④正確.故選：D．題型2:證明面面垂直典型例題例題1．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，因?yàn)槭橇庑?，所以，且是的中點(diǎn)，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）設(shè)到平面的距離為，因?yàn)槠矫?，平?所以,因?yàn)?平面，所以平面，且平面,所以,因?yàn)?，，所以，所?,,所以且,所以,取中點(diǎn)為，連接,因?yàn)槭橇庑?，，所以為等邊三角形，所?且,又因?yàn)槠矫?，平?所以,且平面,所以平面,又因?yàn)?因?yàn)?，?所以.例題2．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，現(xiàn)將，分別沿，折起，使得，兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，連接，得到四棱錐.(1)證明：平面平面；(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：在正方形中有，，，，又因?yàn)?，所以平面，而平面，所以平面平?（2）連接MN,由題意可得，，，由，所以為直角三角形，即，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，，即，得，即四棱錐的體積為例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.（2）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，直三棱柱中，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若三棱柱上下底面為正三角形，，，求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（1）連接，與相交于點(diǎn)F，連接MF，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以MF是的中位線，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?）因?yàn)橹比庵舷碌酌鏋檎切?，，，所以，所以，所以，即，由三線合一可得：，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)樗云矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面平面同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓心，是底面圓的一條直徑，且點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．(1)求圓錐的表面積；(2)求證：平面平面．【答案】(1)(2)證明見解析（1）圓錐的側(cè)面積，底面積，故表面積.（2）證明：由圓錐的性質(zhì)知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭堑酌鎴A的一條直徑，所以又是的中點(diǎn)，所以，又，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面．2．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在三棱錐中，，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求四面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，又因?yàn)?，，平面，所以平面，又由平面，所以，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又由，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；?）由（1）可得為三棱錐的高，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以，，由余弦定理可得，因?yàn)?，，所以，可得，所以，即四面體的體積為.3．（2023秋·江西新余·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱中，底面是中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若四邊形是正方形，，求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）易知分別為的中點(diǎn)，是的中位線，，平面平面，平面；（2）底面平面，又平面，且，平面，又平面，四邊形是正方形，，平面，平面，又平面平面平面.4．（2023秋·江西景德鎮(zhèn)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱，上的點(diǎn)，平面，且M是的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若，求四面體的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）過作的平行線交分別于點(diǎn)，連接，如下所示：因?yàn)槭钦庵?，故可得面面，故；又三角形為等邊三角形，為中點(diǎn)，故；又面，，故面；因?yàn)椋瑒t確定一個(gè)平面，即面，又面，面面，故可得，則面，又面，故面面.（2）根據(jù)（1）中所證，可得，故四邊形為平行四邊形，在△中，因?yàn)?，且點(diǎn)為中點(diǎn)，故可得，又，則，所以，又正三棱柱中到平面的距離為，即到平面的距離，所以.題型3:補(bǔ)全面面垂直的條件典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面，且底面各邊都相等，，是上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足___________時(shí)，平面平面.（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）【答案】（或，等都可）【詳解】解：可填，由為菱形，則，∵平面，平面，所以，又，∴平面，又平面，∴，又，，所以平面MBD，又因平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故答案為：.（或，等都可）例題2．（2022春·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，已知側(cè)面與底面所成的二面角的大小為，是的中點(diǎn).(1)請(qǐng)?jiān)诶馀c上各找一點(diǎn)和，使平面平面，作出圖形并說明理由；(2)求異面直線與所成角的正切值；(3)問在棱上是否存在一點(diǎn)，使側(cè)面，若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)答案見解析(2)(3)答案見解析（1）分別取AB，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN，NE，則平面MNE//平面PAC證明：在中，M，E分別為AB，PB的中點(diǎn)，所以ME//AP，同理，NE//PC，又平面平面所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC又ME，所以平面MNE//平面PAC

（2）連接，，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，故為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角．因?yàn)?，，平面，所以平面．又平面，所以．設(shè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，取中點(diǎn)為,連接由于,故為側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，故，在中,，所以，所以；（3）存在點(diǎn)F符合題意，且AF=AD，證明：取OB得中點(diǎn)Q，連接，在中，Q，E分別為BP，BO的中點(diǎn)，所以QE//PO，所以QE⊥平面ABCD，因?yàn)锽C平面ABCD，所以QE⊥BC,又在中，，,所以QF//AB，所以QF⊥BC，又,所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF在，PF==,BF==所以，故又所以平面PBC,所以存在點(diǎn)F符合題意。所以存在這樣的F點(diǎn)，且例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，，.在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】存在，【詳解】當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面.證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)?，M為棱的中點(diǎn)，故,又因?yàn)槠矫鍭BC,平面ABC,故，由平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面.同類題型演練1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，為等腰直角三角形，，，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．(1)在AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)為等邊三角形，在（1）的條件下，求直線SE與平面SBC所成角的正弦值．【答案】(1)存在，E為AD的中點(diǎn)(2)（1）在線段AD上存在點(diǎn)E滿足題意，且E為AD的中點(diǎn)．如圖，取AD中點(diǎn)E連接EF，SE，SF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以．又E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，E為AD的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椋矫?，平面，所以平面．又平面．所以平面平面．故AD上存在中點(diǎn)E，使得平面平面．（2）過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，由（1）知平面，又則平面，平面，所以，又，所以平面，所以直線SE與平面SBC所成的角為，由為等腰直角三角形，，得，．又，因?yàn)闉榈冗吶切?，，所?在中，，所以．則，即直線與平面所成角的正弦值為．2．（2022·高一單元測(cè)試）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為線段上的一點(diǎn)，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)當(dāng)為何值時(shí)，平面平面，并說明理由；(2)若，，平面平面，，求出點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)，理由見解析(2)(1)解：當(dāng)時(shí)，平面平面，理由如下：因?yàn)榈酌?，平面，所以，因?yàn)闉榫匦?，所以，又，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，又因?yàn)椋?，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?(2)解：因?yàn)槠矫嫫矫妫桑?）可知為的中點(diǎn).因?yàn)榈酌?，所以點(diǎn)到底面的距離為，所以，因?yàn)?，所以，所以，，平面，平面，則，同理可知，，為的中點(diǎn)，則，，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，解得.3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中四邊形為平行四邊形，，是正三角形，且．(1)當(dāng)點(diǎn)M在線段上什么位置時(shí)，有平面？(2)在（1）的條件下，點(diǎn)N在線段上什么位置時(shí)，有平面平面？【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，有平面，證明見解析．(2)點(diǎn)在線段的靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，有平面平面【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，有平面．下面先證明：平面．四邊形是平行四邊形，．又，即，，，平面，平面，，從而平面，平面．．是正三角形，，，又，平面，平面，平面．（2）解：在（1）的條件下，點(diǎn)時(shí)，有平面平面，即點(diǎn)在線段的靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，有平面平面．下面給出證明：在（1）的條件下，平面，平面．，又．，平面，平面平面．因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫环猎O(shè)，則，．則，即，解得．．點(diǎn)在線段的靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，有平面平面．題型4:二面角的概念及辨析典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）自二面角棱上任選一點(diǎn)，若是二面角的平面角，則必須具有條件（），， B．，C．，， D．，，且，【答案】D【詳解】根據(jù)題意，是與平面的交線，則根據(jù)二面角的定義，若，，且,則為二面角的平面角故選：D例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(diǎn)(不同于，)，且，則二面角的平面角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵是圓上一點(diǎn)(不同于，)，是圓的直徑，∴，，，即面，而面，∴，又面面，，∴由二面角的定義：為二面角的平面角.故選：C例題3．（2022·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┻^正方體的頂點(diǎn)作平面，使正方形?正方形?正方形所在平面與平面所成的二面角的平面角相等，則這樣的平面可以作（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【詳解】如圖所示，由正方形可知，三棱錐為正三棱錐，所以平面與平面，平面，平面所成角均相等，所以平面平面，同理，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以平面，平面，平面與平面，平面，平面所成角均相等，所以有4個(gè)，故選：D.同類題型演練1．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）若兩個(gè)半平面所成二面角的大小為.則的取值范圍是______【答案】##【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)半平面所成二面角的大小為，所以的取值范圍是.故答案為：.2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是（

）A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定【答案】C【詳解】若方向相同則相等，若方向相反則互補(bǔ)，故選：C.3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是______．【答案】##【詳解】設(shè)二面角的大小為，因?yàn)椋?，垂足為、，所以，又，所?故答案為：題型5:求二面角典型例題例題1．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）在長(zhǎng)方體中，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】長(zhǎng)方體中，，，，平面,平面,,又平面平面，為二面角所成的平面角，，所以二面角的余弦值為.故選：D.例題2．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在三棱臺(tái)中，三棱錐的體積為，的面積為4，，且平面.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為，又由，得，解得.（2）由已知設(shè)，，則，，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：則，由平面平面，知面，故，又，從而平面.故，，取中點(diǎn)，則，四邊形是平行四邊形，，從而為正三角形，故，，又，得.在平面內(nèi)作于，則，在平面內(nèi)，作于，連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，則二面角的平面角為.在直角中，，故，，即所求二面角的余弦值為.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，為的垂心，連接.(1)證明：；(2)若平面把三棱錐分成體積相等的兩部分，與平面所成角的，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)闉榈拇剐模?因?yàn)?，，所以?因?yàn)槊?，所以，因?yàn)?，所以面，又面，所?（2）由（1）知，面把三棱錐分成兩個(gè)三棱錐.因?yàn)閮蓚€(gè)三棱錐的體積相等，所以到面的距離相等，即為的中點(diǎn).因?yàn)?，所?因?yàn)槊妫詾榕c面所成的角，，因?yàn)?，所以所求平面與平面所成二面角的平面角為，且，所以平面與平面所成二面角的余弦值為.例題4．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在三棱柱中，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，.(1)求證：；(2)求平面與平面所成的二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意可知，，又，所以，連接，如下圖所示：由，可知，是正三角形，又點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，平面，平面，，所以平面，平面所以.（2）由（1）知，，根據(jù)二面角定義可知，即為所求二面角的平面角或其補(bǔ)角，在正三角形中，，所以，因?yàn)椋?，所以，又，且，所以平面，而平面，所以，在中，，所以，于是平面與平面所成的二面角的正弦值為同類題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖1，是等邊三角形，是直角三角形，BD⊥BC，，將沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖2.(1)證明：BC⊥平面ABD；(2)求平面ABC與平面BCD所成的二面角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：由已知，折疊后的幾何體是三棱錐，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫鍮CD＝BD，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，，所以平面；?）解：由（1）知平面.因?yàn)槠矫妫?，又，所以平面與平面所成的角為，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以平面與平面所成角的正切值.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖．正方體中，棱長(zhǎng)為1，(1)求證：AC⊥平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵在正方體中，平面ABCD，又平面ABCD，∴，∵，，，BD，平面，∴AC⊥平面；（2）∵，所以，又，而，面BAC，∴為二面角的平面角．在中，，，∴，∴．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE.(1)證明：BD⊥平面PAC；(2)若，求二面角B—PC—A的正切值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以，又因?yàn)镻C⊥平面BDE，BD平面BDE，所以，且平面PAC、PC平面PAC所以BD⊥平面PAC．（2）（2）設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，連接BF由（1）知，BD⊥平面PAC，且OF平面PAC，所以，即△OBF為直角三角形且，OF平面BDF，BO平面BDF，所以PC⊥平面BOF，BF平面BOF，所以，所以∠BFO為二面角B—PC—A的平面角由（1）知，所以ABCD為正方形.且在Rt△BFO中，，則，所以二面角B—PC—A的正切值為．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐PABCD中，ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為棱PC的中點(diǎn).(1)求證：平面EBD⊥平面PAC；(2)若，，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）證明：由ABCD為菱形得，又PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故PA⊥BD，由平面PAC，故平面PAC，由平面EBD，故平面EBD⊥平面PAC；（2）作平行四邊形ABNP，PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故PA⊥AB，即PA⊥NP，又平面ABNP，故平面ABNP⊥平面ABCD，取CD中點(diǎn)M，由菱形ABCD的得AM⊥CD，即AM⊥AB，由平面ABNP平面ABCD，平面ABCD，故AM⊥平面ABNP，∵平面PAM，，∴平面PAM，又平面PAM，故，由平面ABNP平面NCDP，故為平面PAB與平面PCD夾角，設(shè)，則，故，故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為題型6:二面角最值問題典型例題例題1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱中，，，，，為線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（包括端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則二面角的正弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，又，，所以，.如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，故平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，故，過點(diǎn)作交AB于點(diǎn)，連接DN，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平面，又平面，則，故即二面角的平面角.設(shè)，在直角中，，所以，，所以，.所以，則，易知在上的值域?yàn)?，所?故選：C.例題2．（2022春·吉林·高一吉林省實(shí)驗(yàn)?？计谥校┮阎匦螡M足，現(xiàn)將沿著對(duì)角線翻折，得到，設(shè)頂點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)．(1)若點(diǎn)恰好落在邊上，①求證：平面；②當(dāng)，時(shí)，求邊長(zhǎng)度的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)恰好落在的內(nèi)部（不包括邊界），求二面角的平面角余弦值的取值范圍．【答案】(1)①證明見解析；②.(2)(1)解：①證明：因?yàn)辄c(diǎn)在平面上年的射影為，點(diǎn)恰好落在邊大紅，所以平面平面，又由，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)榍遥矫?，所以平?②解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又由，所以，記，，則，又因?yàn)?，所以，可得，由矩形，可得，又由平面，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，在直角中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值，最小值為.(2)解：作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，由，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)辄c(diǎn)恰好落在的內(nèi)部（不包括邊界），則點(diǎn)恰好在線段上，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)因?yàn)椋?，不妨設(shè)，則，在直角中，可得，又由直角三角形的射影定理，可得，可得，則，根據(jù)，可得，所以，此時(shí)，所以，即二面角的余弦值的取值范圍是.同類題型演練1．（2022秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB是的直徑，PA垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A?B的任意一點(diǎn)，且.求證：(1)平面平面PBC；(2)當(dāng)點(diǎn)C（不與A?B重合）在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平面PBC與所在的平面所成二面角大小的范圍.【答案】(1)證明見解析(2)（1）因?yàn)镻A垂直于所在的平面ABC，平面ABC，所以，，因?yàn)锳B是的直徑，所以，因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC，因?yàn)槠矫鍼BC，所以平面平面PBC（2）因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，所以，又，所以即為平面PBC與所在的平面所成二面角的平面角，設(shè)，圓O的半徑為R，則，又，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)樗?，所以平面PBC與所在的平面所成二面角大小的范圍為2．（2022春·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）已知矩形，設(shè)是邊上的點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿者直線翻折至，(1)當(dāng)為何值時(shí)，使平面平面；并求此時(shí)直線與平面所成角的正切值；(2)設(shè)二面角的大小為，求的最大值.【答案】(1)為，正切值是(2)（1）當(dāng)為時(shí)，可以使面面.證明如下：取中點(diǎn)，則.在中，，此時(shí).又平面平面面面此時(shí)面為在面上的射影是與面所成角在中，，即直線與平面所成角的正切值是（2）作，垂足為，且面，則面，作，垂足為，則，設(shè)則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，故的最大值為.題型7:由二面角求參數(shù)典型例題例題1．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）二面角的大小是60°，在該二面角內(nèi)有一點(diǎn)到的距離是3，到的距離是5，又動(dòng)點(diǎn)和，，，則的周長(zhǎng)的最小值是（

）A． B． C．12 D．14【答案】D【詳解】解：如圖，作出關(guān)于兩個(gè)平面，的對(duì)稱點(diǎn)、，交平面，分別為，，過點(diǎn)，分別作，垂直直線，連接，線段與兩個(gè)平面的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，連接，，，，則的周長(zhǎng)，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短可以得出即為周長(zhǎng)的最小值，根據(jù)題意可知：到二面角兩個(gè)面的距離分別為3、5，，，面角的大小是60°，，，根據(jù)余弦定理有：，，周長(zhǎng)的最小值等于．故選：D．例題2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）已知是邊長(zhǎng)為3的正三角形的中心，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，平面，二面角的大小為60°，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【詳解】∵O是正三角形ABC的中心，則，∴，取的中點(diǎn)，連接，則，即二面角的平面角為，由正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，則，三棱錐為正三棱錐，則三棱錐的外接球的球心在直線上，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，∵，則，解得，∴三棱錐外接球的表面積.故答案為：.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．將沿折起，使，連接、、，得到三棱錐．(1)求證：平面平面；(2)若，二面角的大小為60°，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)(1)，，，故平面，平面，故，，，故平面，平面BCD，故平面平面BCD.(2)如圖所示：分別為的中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，故，平面，故平面，平面，故.分別為中點(diǎn)，故，，故，，故平面，故為二面角的平面角，即，設(shè)，則，，，，，，根據(jù)的等面積法：，解得..同類題型演練1．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知二面角的大小為，直線分別在平面內(nèi)且都垂直于棱，則與所成角的大小為__________.【答案】【詳解】因?yàn)槎娼堑拇笮椋本€分別在平面內(nèi)且都垂直于棱，所以與所成角的大小為故答案為：2．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)面與底面所成角的大小為，則該四棱錐的側(cè)面積為______．【答案】8【詳解】如圖,在正四棱錐VABCD中,底面正方形ABCD邊長(zhǎng)為2.側(cè)面VAB與底面ABCD所成二面角的大小為60°,過V作平面ABC的垂線VO,交平面ABC于O點(diǎn),過作OE⊥AB,交AB于E.連結(jié)VE,則∠VEO是二面角VABC的平面角,∴∠VEO=60°,OE=AE=BE=1,∴，∴cos∠VEO=,∴該四棱錐的側(cè)面積.故答案為：83．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖所示，圓錐的底面圓半徑，母線.(1)求此圓錐的體積和側(cè)面展開圖扇形的面積；(2)如圖，半平面與半平面所成二面角大小為，設(shè)線段中點(diǎn)為，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)體積為，側(cè)面展開圖扇形的面積為.(2)【詳解】（1）解：由題意可知，，圓錐的體積為，該圓錐的側(cè)面展開圖扇形的面積為.（2）解：在圓錐中，平面，、平面，，，所以，二面角的平面角為，取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，，，則，，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得.因此，異面直線與所成角的余弦值為.三、高考（模擬）題體驗(yàn)1．（2022·四川資陽·統(tǒng)考二模）如圖，在長(zhǎng)方體中，底面為正方形，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近的三等分點(diǎn)，直線與平面所成角為.給出以下4個(gè)結(jié)論：①平面；

②；③平面平面；