2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線x+y?12=0的傾斜角是(

)A.π4 B.π2 C.3π42.已知點(diǎn)B是點(diǎn)A(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則OB等于A.5 B.34 C.41 3.長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.x29+y2=1 B.x281+y4.已知方程x22+m?y2A.(?2,?1) B.(?∞,?2)∪(?1,+∞)

C.5.在正四棱錐P?ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值是(

)A.612 B.68 C.6.已知橢圓C:x29+y25=1A.9+21 B.14 C.7+27.已知A(?3,0),B(0,3)，從點(diǎn)P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過(guò)直線AB反射到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為A.210 B.6 C.268.已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(?1,0),(1,0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，則點(diǎn)M的軌跡方程為A.y=?x2+1(x≠±1) B.y=x2+1(x≠±1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知A(?3,?4),B(6,3)兩點(diǎn)到直線l:ax+y+1=0的距離相等，則A.?13 B.13 C.?10.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1?F2，過(guò)點(diǎn)FA.PQ=4a B.3PF1=PQ

C.雙曲線C的漸近線方程為y=±11.已知橢圓C1:x29+y25=1，將C1繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π2得到橢圓C2，將C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)到原來(lái)的A.順次連接C1,C2的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形

B.C3的面積為C1的4倍

C.C3的方程為4x2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l，使它被直線l1:2x+y?8=0和l2:x?3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l13.直線y=x?2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn)，則OA?14.設(shè)F是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若△FOH的內(nèi)切圓與x四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(?1,0),B(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA⊥PB.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)將點(diǎn)A和點(diǎn)B并入點(diǎn)P的軌跡得曲線C，若過(guò)點(diǎn)Q(1,2)的直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程16.(本小題12分)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC?O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.

(1)求證：A'F⊥C'E;

(2)當(dāng)三棱錐B'?BEF的體積取得最大值時(shí)，求平面B'EF與平面BEF的夾角正切值.

17.(本小題12分)已知頂點(diǎn)為O的拋物線y2=12x的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線交于A,B(1)若直線l過(guò)點(diǎn)M(5,0)，且其傾斜角θ∈π6,(2)是否存在斜率為1的直線l，使得FA⊥FB?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(本小題12分)如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△ABD為底面圓O的內(nèi)接正三角形，且△ABD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在母線PC上，且(1)求證：直線PO//平面(2)若點(diǎn)M為線段PO上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M到平面ABE的距離.19.(本小題12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,(2)過(guò)點(diǎn)H(?2,0)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若AF1⊥B(3)直線l1,l2過(guò)右焦點(diǎn)F2，且它們的斜率乘積為?12，設(shè)l1和l2分別與橢圓交于點(diǎn)C,D和E，F(xiàn).若M,N分別是線段答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

求出直線的斜率，然后求出直線的傾斜角．【解答】

解：因?yàn)橹本€x+y?12=0的斜率是?1，

所以tanα=?1，它的傾斜角為3π4.2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查空間直角坐標(biāo)系，考查空間向量的模，是基礎(chǔ)題.

結(jié)合題意可得到B的坐標(biāo)，根據(jù)向量的模計(jì)算公式得到結(jié)果．

【解答】

解：∵點(diǎn)B是A(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,4,0)，

∴|OB|=3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意分兩種情況討論，設(shè)橢圓方程的兩種形式，然后根據(jù)題意求出結(jié)果．【解答】

解：①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0)，知9a2+0b2=1，

又a=3b，

解得b2=1，a2=9，

故橢圓的方程為x29+y2=1；

②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為y2a24.【答案】B

【解析】【分析】本題考查雙曲線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．

利用方程表示雙曲線，列出不等式求解即可．【解答】

解：方程x22+m?y2m+1=1表示雙曲線，

可得(2+m)(m+1)>0，

解得m<?2或m>?15.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查異面直線所成角的求法，屬于中檔題.

建立，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OP方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，由異面直線夾角向量法即可求解.

【解答】

解：由題意知，PA=4，AB=2，PO=42?22=14.

設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OP方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，如圖，

所以P(0,0,14)，A(0,?26.【答案】B

【解析】【分析】本題考查橢圓的性質(zhì)及幾何意義，屬于中檔題.

利用橢圓定義及三角形兩邊之差小于第三邊即可求解.【解答】

解：如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，

|AF|=22+(?23∴△APF的周長(zhǎng)=|AF|+|PA|+|PF|

=|AF|+|PA|+6?|PF'|≤4+6+4=14，

當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)'，P三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)(點(diǎn)P位于圖中的P'處).

∴△APF周長(zhǎng)的最大值等于14.

故選7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了對(duì)稱問(wèn)題，重點(diǎn)考查了兩點(diǎn)的距離公式，屬中檔題．

由對(duì)稱問(wèn)題，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式求解．

【解答】

解：設(shè)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1，PP1與x軸交于M，

則P1的坐標(biāo)為(0,?2)，

根據(jù)對(duì)稱性，

設(shè)P1關(guān)于直線AB對(duì)稱的點(diǎn)為P2，P1P2與AB直線交點(diǎn)為N，

根據(jù)對(duì)稱性|P1N|=|NP2|，

又直線AB的方程為x?3+y3=1，

即x?y+3=0，

設(shè)P(m,n)，

則n+2m8.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查軌跡方程的求法，考查計(jì)算能力，注意斜率存在的條件，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)M(x,y)，先表示直線AM、BM的斜率，再利用斜率之差可得所求方程．

【解答】

解：設(shè)M(x,y)，則kBM=yx?1

(x≠1)，kAM=yx+1(x≠?1)，

因?yàn)橹本€AM與直線BM的斜率之差是2，

即kAM?kBM=2，

所以yx+19.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出.

【解答】∵兩點(diǎn)A(?3,?4)，B(6,3)到直線

l:ax+y+1=0的距離相等，

∴|?3a?4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，化為

10.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查雙曲線的漸近線，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，屬于中檔題.

根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的定義求得|PF1|=2a3，|QF1|=4a3，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.

雙曲線x【解答】解：由4PQ=3PF2，設(shè)PQ=3m，則PF1=4m?2a，QF1=5m?2a，而|PF對(duì)于A，PQ=2a，A對(duì)于B，顯然F1Q=2PF對(duì)于C，令|F1F2|=2c，在△P則c2=179a2，b2=c對(duì)于D，由tan∠PF1F2=PF2P故選：BC.11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

求出焦點(diǎn)即可判斷A;根據(jù)相似比求解B;根據(jù)題意所描述的變換判斷C；設(shè)出P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，得到kPQkOR=?59，即可判斷D.

【解答】

解：橢圓C1:x29+y25=1的焦點(diǎn)為(?2,0)，(2,0)，

將C1繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π2得到橢圓C2，

則橢圓C2的焦點(diǎn)為(0,?2)，(0,2)，

所以順次連接C1，C2的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，故A正確;

將C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到橢圓C3，

所以C3與C1為相似曲線，相似比為2，

所以C3的面積為C1的面積的22=4倍，故B正確;

且C3的方程為(x2)29+(y2)25=1，即x236+y22012.【答案】x+4y?4=0

【解析】【分析】本題考查兩點(diǎn)式求直線的方程，屬于中檔題.

設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8?2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(?a,2a?6)在l2上，求得a的值，再根據(jù)點(diǎn)A、P點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線l【解答】

解：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8?2a)，

則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(?a,2a?6)在l2上，

代入l2的方程得?a?3(2a?6)+10=0，解得a=4，

即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，

又點(diǎn)P(0,1)在直線l上，

所以直線l的方程為x4+y=1，

13.【答案】0

【解析】【分析】本題求解OA?OB，把兩點(diǎn)坐標(biāo)具體求解出，考查距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

將直線y=x?2與拋物線【解答】

解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則OA?OB=x1x2+y1y2，14.【答案】2【解析】【分析】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的幾何性質(zhì)，屬于較難題.

先求出內(nèi)切圓半徑，再利用已知條件找到a，b之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．

【解答】

解：因?yàn)镕到漸近線的距離FH=b,OH=c2?b2=a,

則△FOH的內(nèi)切圓的半徑r=a+b?c2,

設(shè)△FOH的內(nèi)切圓與HF切于點(diǎn)M，則MH=r=a+b?c2，

因?yàn)锽F=OB，

所以FM15.【答案】解：(1)設(shè)P(x,y)，∵PA⊥PB，A(?1,0),B(1,0)，

∴PA=(?1?x,?y),PB=(1?x,?y)，

∴由PA?PB=0，

得(?1?x)(1?x)+(?y)2=0，

即x2?1+y2=0，

則動(dòng)點(diǎn)P軌跡方程x2+y2=1(y≠0)；

(2)由題設(shè)知曲線C的方程為x2+y2=1，

由直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，直線l與圓相切，故分兩種情況考慮：

當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，

①若斜率存在，設(shè)l：y?2=k(x?1)，即kx?y+2?k=0，

由【解析】【分析】本題考查軌跡方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．

(1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解；

(2)根據(jù)直線與圓相切時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，即可求解.16.【答案】解：(1)證明：如圖，

以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(為了方便，我們把ABB'A'朝外)

設(shè)AE=BF=x，則A'(a,0,a)，F(xiàn)(a?x,a,0)，C'(0,a,a)，E(a,x,0)，

∴A'F=?x,a,?a,C'E=a,x?a,?a，

∵A'F?C'E=?xa+ax?a+a2=0，

∴A'F⊥C'E；

(2)記BF=x，BE=y，則x+y=a，

三棱錐B'?BEF的體積V=16xya≤a6x+y22=124a3，

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=a2時(shí)，等號(hào)成立，

因此，三棱錐B'?BEF的體積取得最大值時(shí)，BE=BF=a2，

此時(shí)Ea,a2【解析】本題考查空間中兩平面夾角的求法，利用空間向量證明線線垂直，利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

(1)以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，AE=BF=x，驗(yàn)證A'F?C'E=0，即可證明A'F⊥C'E；

(2)利用基本不等式，確定三棱錐B'?BEF的體積取得最大值時(shí)，17.【答案】解：(1)由題可知F(3,0)，且直線l的斜率不為0，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，設(shè)直線l的方程為kx?y?5k=0，

因?yàn)棣取蔥π6,π3]，則k∈[33,3]，

因此點(diǎn)O到直線l的距離為d=|?5k|k2+1，

聯(lián)立y2=12xx=1ky+5，則y2?12ky?60=0，

顯然△>0，所以y1+y2=12k，y1y2=?60，

則|AB|=1+(1k)2?144k2+240，

所以SΔOAB=12d|AB|=109k2+15，

當(dāng)k2=13時(shí)，S△OAB取得最大值1042，

當(dāng)k2=3時(shí)，S【解析】本題主要考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了函數(shù)及方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)先設(shè)直線l的方程為kx?y?5k=0，結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系先求出斜率的范圍，然后求出點(diǎn)O到直線l的距離d，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系求出|AB|，進(jìn)而表示S△OAB，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)即可求解;

(2)先設(shè)直線l的方程為y=x+b，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示即可求解18.【答案】解：(1)證明：如圖，設(shè)AC交BD于點(diǎn)F，連接EF，

易知PO⊥底面ABD，

因?yàn)锳C?底面ABD，

所以PO⊥AC.

又△ABD是底面圓的內(nèi)接正三角形，

所以AC=3sinπ3=2，F(xiàn)為BD中點(diǎn).

因?yàn)锳E=3，CE=1，所以AC2=AE2+CE2，

所以AE⊥EC.

又AF=3?34=32，

所以CF=2?32=12，AO=23AF=1.

因?yàn)锳EAC=AFAE=32，且∠EAF=∠CAE，

所以△ACE∽△AEF，

所以∠AFE=∠AEC=90°，即EF⊥AC，

所以EF//PO.

因?yàn)镻O?平面BDE，EF?平面BDE，

所以直線PO//平面BDE.

(2)易知PO=2EF=3.以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)E所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(32,0,0)，B(0,32,0)，D(0,?32,0)，E(0,0,32)，

P(12,0,3)，O(12,0,