2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷含答案

2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x+y?12=0的傾斜角是(

)A.π4 B.π2 C.3π42.已知點B是點A(3,4,5)在坐標平面Oxy內(nèi)的射影，則OB等于A.5 B.34 C.41 3.長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點P(3,0)的橢圓的標準方程為A.x29+y2=1 B.x281+y4.已知方程x22+m?y2A.(?2,?1) B.(?∞,?2)∪(?1,+∞)

C.5.在正四棱錐P?ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值是(

)A.612 B.68 C.6.已知橢圓C:x29+y25=1A.9+21 B.14 C.7+27.已知A(?3,0),B(0,3)，從點P(0,2)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射到P點，則光線所經(jīng)過的路程為A.210 B.6 C.268.已知A,B兩點的坐標分別是(?1,0),(1,0)，直線AM,BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，則點M的軌跡方程為A.y=?x2+1(x≠±1) B.y=x2+1(x≠±1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知A(?3,?4),B(6,3)兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等，則A.?13 B.13 C.?10.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別為F1?F2，過點FA.PQ=4a B.3PF1=PQ

C.雙曲線C的漸近線方程為y=±11.已知橢圓C1:x29+y25=1，將C1繞原點O沿逆時針方向旋轉π2得到橢圓C2，將C1上所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長到原來的A.順次連接C1,C2的四個焦點構成一個正方形

B.C3的面積為C1的4倍

C.C3的方程為4x2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1:2x+y?8=0和l2:x?3y+10=0截得的線段被點P平分，則直線l13.直線y=x?2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點，則OA?14.設F是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點，O為坐標原點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若△FOH的內(nèi)切圓與x四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在平面直角坐標系中，已知點A(?1,0),B(1,0)，動點P滿足PA⊥PB.(1)求動點P的軌跡方程；(2)將點A和點B并入點P的軌跡得曲線C，若過點Q(1,2)的直線l與曲線C有且只有一個公共點，求直線l的方程16.(本小題12分)如圖，在棱長為a的正方體OABC?O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF.

(1)求證：A'F⊥C'E;

(2)當三棱錐B'?BEF的體積取得最大值時，求平面B'EF與平面BEF的夾角正切值.

17.(本小題12分)已知頂點為O的拋物線y2=12x的焦點為F，直線l與拋物線交于A,B(1)若直線l過點M(5,0)，且其傾斜角θ∈π6,(2)是否存在斜率為1的直線l，使得FA⊥FB?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.18.(本小題12分)如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△ABD為底面圓O的內(nèi)接正三角形，且△ABD的邊長為3，點E在母線PC上，且(1)求證：直線PO//平面(2)若點M為線段PO上的動點，當直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時，求此時點M到平面ABE的距離.19.(本小題12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,(2)過點H(?2,0)的直線交橢圓于A,B兩點，若AF1⊥B(3)直線l1,l2過右焦點F2，且它們的斜率乘積為?12，設l1和l2分別與橢圓交于點C,D和E，F(xiàn).若M,N分別是線段答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查直線的斜率與傾斜角的關系，屬于基礎題．

求出直線的斜率，然后求出直線的傾斜角．【解答】

解：因為直線x+y?12=0的斜率是?1，

所以tanα=?1，它的傾斜角為3π4.2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查空間直角坐標系，考查空間向量的模，是基礎題.

結合題意可得到B的坐標，根據(jù)向量的模計算公式得到結果．

【解答】

解：∵點B是A(3,4,5)在坐標平面Oxy內(nèi)的射影，

∴B點的坐標是(3,4,0)，

∴|OB|=3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查橢圓的標準方程，分類討論思想的應用，屬于基礎題．

根據(jù)題意分兩種情況討論，設橢圓方程的兩種形式，然后根據(jù)題意求出結果．【解答】

解：①當焦點在x軸上時，設其方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

由橢圓過點P(3,0)，知9a2+0b2=1，

又a=3b，

解得b2=1，a2=9，

故橢圓的方程為x29+y2=1；

②當焦點在y軸上時，設其方程為y2a24.【答案】B

【解析】【分析】本題考查雙曲線的概念及標準方程，屬于基礎題．

利用方程表示雙曲線，列出不等式求解即可．【解答】

解：方程x22+m?y2m+1=1表示雙曲線，

可得(2+m)(m+1)>0，

解得m<?2或m>?15.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查異面直線所成角的求法，屬于中檔題.

建立，以O為原點，OB，OC，OP方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O?xyz，由異面直線夾角向量法即可求解.

【解答】

解：由題意知，PA=4，AB=2，PO=42?22=14.

設AC，BD交于點O，以O為原點，OB，OC，OP方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，

建立空間直角坐標系O?xyz，如圖，

所以P(0,0,14)，A(0,?26.【答案】B

【解析】【分析】本題考查橢圓的性質及幾何意義，屬于中檔題.

利用橢圓定義及三角形兩邊之差小于第三邊即可求解.【解答】

解：如圖所示，設橢圓的左焦點為F'，

|AF|=22+(?23∴△APF的周長=|AF|+|PA|+|PF|

=|AF|+|PA|+6?|PF'|≤4+6+4=14，

當且僅當A，F(xiàn)'，P三點共線時取等號(點P位于圖中的P'處).

∴△APF周長的最大值等于14.

故選7.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了對稱問題，重點考查了兩點的距離公式，屬中檔題．

由對稱問題，結合兩點的距離公式求解．

【解答】

解：設P關于x軸的對稱點為P1，PP1與x軸交于M，

則P1的坐標為(0,?2)，

根據(jù)對稱性，

設P1關于直線AB對稱的點為P2，P1P2與AB直線交點為N，

根據(jù)對稱性|P1N|=|NP2|，

又直線AB的方程為x?3+y3=1，

即x?y+3=0，

設P(m,n)，

則n+2m8.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查軌跡方程的求法，考查計算能力，注意斜率存在的條件，屬于基礎題．

設M(x,y)，先表示直線AM、BM的斜率，再利用斜率之差可得所求方程．

【解答】

解：設M(x,y)，則kBM=yx?1

(x≠1)，kAM=yx+1(x≠?1)，

因為直線AM與直線BM的斜率之差是2，

即kAM?kBM=2，

所以yx+19.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查了點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題.

利用點到直線的距離公式即可得出.

【解答】∵兩點A(?3,?4)，B(6,3)到直線

l:ax+y+1=0的距離相等，

∴|?3a?4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，化為

10.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查雙曲線的漸近線，考查直線與雙曲線的位置關系及其應用，雙曲線的焦點三角形問題，屬于中檔題.

根據(jù)給定條件，結合雙曲線的定義求得|PF1|=2a3，|QF1|=4a3，再逐項計算判斷即可.

雙曲線x【解答】解：由4PQ=3PF2，設PQ=3m，則PF1=4m?2a，QF1=5m?2a，而|PF對于A，PQ=2a，A對于B，顯然F1Q=2PF對于C，令|F1F2|=2c，在△P則c2=179a2，b2=c對于D，由tan∠PF1F2=PF2P故選：BC.11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查橢圓的定義和性質，屬于中檔題.

求出焦點即可判斷A;根據(jù)相似比求解B;根據(jù)題意所描述的變換判斷C；設出P，Q點的坐標，得到kPQkOR=?59，即可判斷D.

【解答】

解：橢圓C1:x29+y25=1的焦點為(?2,0)，(2,0)，

將C1繞原點O沿逆時針方向旋轉π2得到橢圓C2，

則橢圓C2的焦點為(0,?2)，(0,2)，

所以順次連接C1，C2的四個焦點構成一個正方形，故A正確;

將C1上所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長到原來的2倍得到橢圓C3，

所以C3與C1為相似曲線，相似比為2，

所以C3的面積為C1的面積的22=4倍，故B正確;

且C3的方程為(x2)29+(y2)25=1，即x236+y22012.【答案】x+4y?4=0

【解析】【分析】本題考查兩點式求直線的方程，屬于中檔題.

設l1與l的交點為A(a,8?2a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(?a,2a?6)在l2上，求得a的值，再根據(jù)點A、P點的坐標，求得直線l【解答】

解：設l1與l的交點為A(a,8?2a)，

則由題意知，點A關于點P的對稱點B(?a,2a?6)在l2上，

代入l2的方程得?a?3(2a?6)+10=0，解得a=4，

即點A(4,0)在直線l上，

又點P(0,1)在直線l上，

所以直線l的方程為x4+y=1，

13.【答案】0

【解析】【分析】本題求解OA?OB，把兩點坐標具體求解出，考查距離公式的應用，屬于基礎題．

將直線y=x?2與拋物線【解答】

解：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則OA?OB=x1x2+y1y2，14.【答案】2【解析】【分析】本題主要考查雙曲線的幾何性質，圓的幾何性質，屬于較難題.

先求出內(nèi)切圓半徑，再利用已知條件找到a，b之間的等量關系，進而求出雙曲線的離心率．

【解答】

解：因為F到漸近線的距離FH=b,OH=c2?b2=a,

則△FOH的內(nèi)切圓的半徑r=a+b?c2,

設△FOH的內(nèi)切圓與HF切于點M，則MH=r=a+b?c2，

因為BF=OB，

所以FM15.【答案】解：(1)設P(x,y)，∵PA⊥PB，A(?1,0),B(1,0)，

∴PA=(?1?x,?y),PB=(1?x,?y)，

∴由PA?PB=0，

得(?1?x)(1?x)+(?y)2=0，

即x2?1+y2=0，

則動點P軌跡方程x2+y2=1(y≠0)；

(2)由題設知曲線C的方程為x2+y2=1，

由直線l與曲線C有且只有一個交點，直線l與圓相切，故分兩種情況考慮：

當直線l與圓相切時，

①若斜率存在，設l：y?2=k(x?1)，即kx?y+2?k=0，

由【解析】【分析】本題考查軌跡方程的求法，考查直線與圓位置關系的應用，是中檔題．

(1)根據(jù)向量垂直的坐標運算即可求解；

(2)根據(jù)直線與圓相切時，只有一個交點，即可求解.16.【答案】解：(1)證明：如圖，

以O為原點建立空間直角坐標系(為了方便，我們把ABB'A'朝外)

設AE=BF=x，則A'(a,0,a)，F(xiàn)(a?x,a,0)，C'(0,a,a)，E(a,x,0)，

∴A'F=?x,a,?a,C'E=a,x?a,?a，

∵A'F?C'E=?xa+ax?a+a2=0，

∴A'F⊥C'E；

(2)記BF=x，BE=y，則x+y=a，

三棱錐B'?BEF的體積V=16xya≤a6x+y22=124a3，

當且僅當x=y=a2時，等號成立，

因此，三棱錐B'?BEF的體積取得最大值時，BE=BF=a2，

此時Ea,a2【解析】本題考查空間中兩平面夾角的求法，利用空間向量證明線線垂直，利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

(1)以O為原點建立空間直角坐標系，AE=BF=x，驗證A'F?C'E=0，即可證明A'F⊥C'E；

(2)利用基本不等式，確定三棱錐B'?BEF的體積取得最大值時，17.【答案】解：(1)由題可知F(3,0)，且直線l的斜率不為0，

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，設直線l的方程為kx?y?5k=0，

因為θ∈[π6,π3]，則k∈[33,3]，

因此點O到直線l的距離為d=|?5k|k2+1，

聯(lián)立y2=12xx=1ky+5，則y2?12ky?60=0，

顯然△>0，所以y1+y2=12k，y1y2=?60，

則|AB|=1+(1k)2?144k2+240，

所以SΔOAB=12d|AB|=109k2+15，

當k2=13時，S△OAB取得最大值1042，

當k2=3時，S【解析】本題主要考查了直線與拋物線位置關系的應用，體現(xiàn)了函數(shù)及方程思想的應用，屬于中檔題.

(1)先設直線l的方程為kx?y?5k=0，結合直線的傾斜角與斜率關系先求出斜率的范圍，然后求出點O到直線l的距離d，聯(lián)立直線與拋物線方程，結合方程的根與系數(shù)關系求出|AB|，進而表示S△OAB，結合函數(shù)性質即可求解;

(2)先設直線l的方程為y=x+b，聯(lián)立直線與拋物線方程，結合方程的根與系數(shù)關系及向量數(shù)量積的性質的坐標表示即可求解18.【答案】解：(1)證明：如圖，設AC交BD于點F，連接EF，

易知PO⊥底面ABD，

因為AC?底面ABD，

所以PO⊥AC.

又△ABD是底面圓的內(nèi)接正三角形，

所以AC=3sinπ3=2，F(xiàn)為BD中點.

因為AE=3，CE=1，所以AC2=AE2+CE2，

所以AE⊥EC.

又AF=3?34=32，

所以CF=2?32=12，AO=23AF=1.

因為AEAC=AFAE=32，且∠EAF=∠CAE，

所以△ACE∽△AEF，

所以∠AFE=∠AEC=90°，即EF⊥AC，

所以EF//PO.

因為PO?平面BDE，EF?平面BDE，

所以直線PO//平面BDE.

(2)易知PO=2EF=3.以點F為坐標原點，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)E所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(32,0,0)，B(0,32,0)，D(0,?32,0)，E(0,0,32)，

P(12,0,3)，O(12,0,