河北省唐山市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案

河北省唐山市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．2．如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點(diǎn)，若，，，則（

）

A． B．C． D．3．設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．4．若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知圓C的圓心在x軸上且經(jīng)過，兩點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．6．已知圓的方程為，若點(diǎn)在圓外，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（

）A．是一個半徑為的圓 B．是一條與相交的直線C．上的點(diǎn)到的距離均為 D．是兩條平行直線8．已知直線：與直線：交于點(diǎn)Px0,y0，則的最大值為（

）A．4 B．8 C．32 D．64二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，互相平行，且，之間的距離為，則（

）A． B． C．3 D．510．?dāng)?shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點(diǎn)，距離之比是常數(shù)（，且）的點(diǎn)的軌跡是圓．若兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為B．點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對稱C．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為6D．面積的最大值為11．如圖，在長方體中，，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線平面B．三棱錐的體積為C．三棱錐的外接球的表面積為D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線和直線垂直，則實(shí)數(shù).13．設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則的最大值為.14．如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直，點(diǎn)在上移動，點(diǎn)在上移動，若，則的長的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．求過兩直線和的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線的方程．(1)過點(diǎn)；(2)和直線垂直．16．平面直角坐標(biāo)系中有，，，四點(diǎn)，這四點(diǎn)是否在同一個圓上？為什么？17．已知動點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)，的距離的比為，求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．18．已知為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)變化時，方程．(1)此方程表示什么圖形？圖形有什么特點(diǎn)？(2)求點(diǎn)與此方程所表示的圖形的距離的最大值，并求出此時的值．19．如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．

參考答案1．【答案】A【解析】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的一個方向向量為，又因?yàn)榕c共線，所以的一個方向向量可以是，故選：A.2．【答案】A【詳解】，，，則．故選：A．3．【答案】C【詳解】直線的方程為，設(shè)直線的傾斜角為，當(dāng)時，，②當(dāng)時，直線的斜率，由于或，所以,,，所以，綜上所述：；故選：C．4．【答案】A【詳解】，即交點(diǎn)為，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以.故選：A5．【答案】A【詳解】因?yàn)閳AC的圓心在x軸上，故設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,又經(jīng)過，兩點(diǎn)，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.故選：A.6．【答案】D【詳解】由圓的方程為，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓外，可得，整理得，解得或，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7．【答案】C【分析】設(shè)，由可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.【詳解】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯誤，C正確.故選C.8．【答案】D【詳解】由題知：直線恒過定點(diǎn).直線化簡為：，當(dāng)時，x=6，直線恒過點(diǎn).當(dāng)時，直線的斜率不存在，直線的斜率，則.當(dāng)時，，，，則.綜上：直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，且.因?yàn)橹本€與直線交于點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，則其軌跡方程為（除點(diǎn)外），圓的半徑，因?yàn)楸硎緢A上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，設(shè)，則，所以的最大值為64.故選：D.9．【答案】AC【詳解】由，解得，滿足．的方程為，有，則，解得或，故．故選：AC．10．【答案】ABD【詳解】設(shè)動點(diǎn)，則，，由，即，所以，所以，所以動點(diǎn)的軌跡方程為，所以點(diǎn)的軌跡是圓且圓心，半徑為，對于A：點(diǎn)的軌跡區(qū)域面積，故A正確；對于B，圓心在直線上，故點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對稱，B正確，對于C，,故點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為,C錯誤，對于D，又，所以，而，則的最大值為．D正確，故選：ABD11．【答案】ABD【詳解】對于A，由長方體性質(zhì)可得，，平面，平面，平面，同理，平面，又平面，且，所以平面平面，又平面，平面.故A正確；

對于B，由A選項(xiàng)，平面，所以點(diǎn)到平面的距離和點(diǎn)到平面的距離相等，則.故B正確；對于C，三棱錐的外接球即長方體的外接球，設(shè)外接球半徑為r，所以，所以外接球的表面積為.故C錯誤；對于D，因?yàn)槠矫妫B接，，則直線與平面所成角即，在中，，當(dāng)最小時，最大，，此時，，所以直線與平面所成角正弦值的最大值為.故D正確.故選：ABD.

12．【答案】【詳解】由于，所以，解得，所以的值為.故答案為：13．【答案】12【解析】由平面向量的數(shù)量積公式，可得的解析式；再由是圓上的動點(diǎn)，可得，的取值范圍；從而求得的最大值．【詳解】是圓上的動點(diǎn)，且，，，，，由，得，且，，的最大值為：12故答案為：．14．【答案】【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以兩兩垂?過點(diǎn)M作，垂足分別為G，H，連接，易證.因?yàn)椋砸訠為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以當(dāng)，的長最小，且最小值為．故答案為：．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由解得，，由兩點(diǎn)式直線方程得：，化簡得：；（2）∵與直線垂直，∴直線斜率，由點(diǎn)斜式直線方程得：，化簡得；16．【答案】四點(diǎn)在同一個圓上（證明見解析）【詳解】設(shè)過三點(diǎn)的圓的一般方程為.將三點(diǎn)代入得：.所以圓的一般方程為.將點(diǎn)代入得：，滿足方程.所以四點(diǎn)在同一個圓上.17．【答案】，以為圓心2為半徑的圓【詳解】設(shè)點(diǎn).則，化簡得：為以為圓心2為半徑的圓.18．【答案】(1)答案見解析(2)距離的最大值為，此時【詳解】（1），解得，故當(dāng)變化時，方程表示過直線和直線的交點(diǎn)，除直線以外的所有直線，包括直線．（2）由于到的距離為，故當(dāng)過和點(diǎn)的直線與所給方程表示的圖形垂直時，此時距離最大，且最大值為,此時,故的斜率為，故，解得19．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）（1）因?yàn)槠矫?，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面?/p>