2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章導數(shù)及其應用6.1.3基本初等函數(shù)的導數(shù)學案含解析新人教B版選擇性必修第三冊1

PAGE6.1.3基本初等函數(shù)的導數(shù)新版課程標準學業(yè)水平要求1.能依據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=QUOTE,y=QUOTE的導數(shù)2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,求簡潔函數(shù)的導數(shù)3.會運用導數(shù)公式表1.借助教材實例了解利用定義求函數(shù)的導數(shù).(數(shù)學運算)2.駕馭基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,并會利用公式求簡潔函數(shù)的導數(shù).(數(shù)學運算)3.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)、解決與曲線的切線有關的問題.(數(shù)學運算)必備學問·素養(yǎng)奠基1.導函數(shù)一般地,假如函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)的每一個點x都可導,則稱f(x)可導,此時,對定義域內(nèi)的每一個值x,都對應一個確定的導數(shù)f′(x),于是,在f(x)的定義域內(nèi),f′(x)是一個函數(shù),這個函數(shù)通常稱為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),記作:f′(x)(或y′,y′x),即f′(x)=y′=y′x=QUOTE.2.幾個常用函數(shù)的導數(shù)函數(shù)f(x)=C,其中C是常數(shù)f(x)=xf(x)=x2f(x)=x3f(x)=QUOTEf(x)=QUOTE導數(shù)f′(x)=0f′(x)=1f′(x)=2xf′(x)=3x2f′(x)=-QUOTEf′(x)=QUOTE3.常用函數(shù)的導數(shù)公式,其中C,α,a均為常數(shù),a>0,且a≠1函數(shù)導數(shù)函數(shù)導數(shù)f(x)=Cf′(x)=0f(x)=axf′(x)=axlnaf(x)=xαf′(x)=αxα-1f(x)=exf′(x)=exf(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=logaxf′(x)=QUOTEf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=lnxf′(x)=QUOTE(1)函數(shù)f(x)=ax的導數(shù)與函數(shù)f(x)=ex的導數(shù)之間有什么關系?提示:f(x)=ex是底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù),是特別的指數(shù)函數(shù),所以其導數(shù)f′(x)=ex也是f′(x)=axlna當a=e時的特別狀況.(2)函數(shù)f(x)=logax與f(x)=lnx的導數(shù)之間有何關系?提示:f(x)=lnx是f(x)=logax的一個特例,f(x)=lnx的導數(shù)也是f(x)=logax的導數(shù)的特例.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)(sinx)′=-cosx. ()(2)QUOTE′=QUOTE. ()(3)(log5x)′=QUOTE. ()(4)(lnx)′=QUOTE. ()提示:(1)×.(sinx)′=cosx.(2)×.QUOTE′=(x-1)′=-x-2=-QUOTE.(3)×.(log5x)′=QUOTE.(4)√.2.已知f(x)=x2,則f′(3)等于 ()A.0B.2xC.6D.9【解析】選C.因為f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6.關鍵實力·素養(yǎng)形成類型一利用導數(shù)公式計算導數(shù)【典例】1.f(x)=a3(a>0,a≠1),則f′(2)= ()A.8B.12C.8ln3D.02.已知f(x)=QUOTE,則f′(1)= ()A.1 B.-1 C.3 D.-33.求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=x6. (2)y=2x. (3)y=log3x. (4)y=QUOTE.【思維·引】運用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式.【解析】1.選D.f(x)=a3(a>0,a≠1)是常數(shù)函數(shù),所以f′(x)=0.所以f′(2)=0.2.選D.f(x)=QUOTE=x-3,所以f′(x)=-3x-4,所以f′(1)=-3.3.(1)y′=(x6)′=6x5.(2)y′=(2x)′=2xln2.(3)y′=(log3x)′=QUOTE.(4)y′=QUOTE′=(x-2)′=-2x-3.【內(nèi)化·悟】運用導數(shù)公式求導需留意什么問題?提示:仔細審題,確定函數(shù)類型,精確選擇公式計算.【類題·通】運用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求導的留意事項(1)對于簡潔的函數(shù),干脆套用公式;(2)對于較為困難,不能干脆套用公式的,可先把題中函數(shù)恒等變形為基本初等函數(shù),再求導.【習練·破】1.已知函數(shù)f(x)=cosQUOTE,則f′(x)= ()A.sinQUOTEB.-sinQUOTEC.cosQUOTED.0【解析】選D.f(x)=cosQUOTE=-QUOTE,所以f′(x)=0.2.已知f(x)=QUOTE,則f′QUOTE=________.

【解析】因為f(x)=QUOTE,所以f′(x)=QUOTE,所以f′QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加練·固】若函數(shù)f(x)=QUOTE,則f′(1)= ()A.0B.-QUOTEC.1D.QUOTE【解析】選B.因為f(x)=QUOTE,所以f′(x)=-QUOTE,f′(1)=-QUOTE.類型二導數(shù)公式的應用【典例】1.曲線y=QUOTE在點QUOTE處的切線方程為 ()A.4x-4QUOTEy+2QUOTE-1=0B.4x-4y+1=0C.4QUOTEx-4y+2-QUOTE=0D.4x+4y-3=02.設曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=QUOTE(x>0)上點P處的切線垂直,則點P處的切線方程為________.

【思維·引】1.求函數(shù)y=QUOTE在x=QUOTE處的導數(shù),即為切線的斜率.2.先求函數(shù)y=ex在x=0的導數(shù),依題意求出函數(shù)y=QUOTE(x>0)上點P處的導數(shù),從而求出點P的坐標.【解析】1.選B.由于y=QUOTE,所以y′=QUOTE,于是y′QUOTE=1,所以曲線在點QUOTE處的切線的斜率等于1,切線方程為4x-4y+1=0.2.由題意知,y′=ex,曲線在點(0,1)處的斜率k1=e0=1,設P(m,n),y=QUOTE(x>0)的導數(shù)為y′=-QUOTE(x>0),曲線y=QUOTE(x>0)在點P處的切線斜率k2=-QUOTE(m>0),由題意知k1k2=-1,所以k2=-1,由此易得m=1,n=1,即點P的坐標為(1,1),k2=-1.點P處的切線方程為x+y-2=0.答案:x+y-2=0【內(nèi)化·悟】應用導數(shù)公式求切線方程的關鍵是什么?提示:確定切點,求函數(shù)在切點處的導數(shù),即切線的斜率.【類題·通】利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種狀況(1)若已知點是切點,則在該點處的切線斜率就是該點處的導數(shù).(2)假如已知點不是切點,則應先設出切點,再借助兩點連線的斜率公式進行求解.【習練·破】(2024·全國Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(1,f(1))處的切線方程為()A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1【解題指南】求得函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x),計算出f(1)和f′(1)的值,可得出所求切線的點斜式方程,化簡即可.【解析】選B.因為f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切線的方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.【加練·固】函數(shù)f(x)=x3的斜率等于1的切線有________條. ()

A.1B.2C.多于兩個D.不能確定【解析】選B.因為f′(x)=3x2,所以令3x2=1,得x=±QUOTE.所以可得切點坐標為QUOTE和QUOTE.所以f(x)=x3有兩條斜率為1的切線.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.下列結論不正確的是 ()A.若y=3,則y′=0B.若y=QUOTE,則y′=-QUOTEC.若y=-QUOTE,則y′=-QUOTED.若y=3x,則y′=3【解析】選B.y′=QUOTE′=(QUOTE)′=-QUOTE=-QUOTE.2.若y=lnx,則其圖象在x=2處的切線斜率是 ()A.1B.0C.2D.QUOTE【解析】選D.因為y′=QUOTE,所以y′x=2=QUOTE,故圖象在x=2處的切線斜率為QUOTE.3.若y=sinx,則y′QUOTE= ()A.QUOTE