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文檔簡介
甘肅省武威市武威十八中2024屆高三4月19日第12周數(shù)學試題考試試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊,已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C.1 D.2.已知雙曲線:的左右焦點分別為,,為雙曲線上一點,為雙曲線C漸近線上一點,,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-54.在邊長為2的菱形中,,將菱形沿對角線對折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.5.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎,現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張,則至少有一張有獎的概率為()A. B. C. D.6.定義在R上的函數(shù)滿足,為的導函數(shù),已知的圖象如圖所示,若兩個正數(shù)滿足,的取值范圍是()A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)在上可導,其導函數(shù)為,若函數(shù)在處取得極大值,則函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.8.已知邊長為4的菱形,,為的中點,為平面內(nèi)一點,若,則()A.16 B.14 C.12 D.89.已知全集,集合,則()A. B. C. D.10.已知集合則()A. B. C. D.11.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.12.若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D.函數(shù)在上最大值是1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則______.14.在平面直角坐標系中,已知圓及點,設(shè)點是圓上的動點,在中,若的角平分線與相交于點,則的取值范圍是_______.15.如果橢圓的對稱軸為坐標軸,短軸的一個端點與兩焦點組成一正三角形,焦點在x軸上,且=,那么橢圓的方程是.16.在中,,,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)解不等式;(2)記的最大值為,若實數(shù)、、滿足,求證:.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,求函數(shù)的值域;(2),,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,求四面體的體積.20.(12分)若數(shù)列滿足:對于任意,均為數(shù)列中的項,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前項和,,試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”?說明理由;(2)若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”,求的取值范圍;(3)若數(shù)列為“數(shù)列”,,且對于任意,均有,求數(shù)列的通項公式.21.(12分)已知在平面四邊形中,的面積為.(1)求的長;(2)已知,為銳角,求.22.(10分)某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試,每位同學彼此獨立的從五所高校中任選2所.(1)求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率;(2)若已知甲同學特別喜歡高校,他必選校,另在四校中再隨機選1所;而同學乙和丙對五所高校沒有偏愛,因此他們每人在五所高校中隨機選2所.(i)求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率;(ii)記為甲、乙、丙三名同學中選高校的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得,即的值,由此求得和的值,進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為,所以,即,所以,所以.故選:D【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為,為雙曲線上的一點,為雙曲線的漸近線上的一點,且都位于第一象限,且,可知為的三等分點,且,點在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).3、C【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.4、D【解析】
取AC中點N,由題意得即為二面角的平面角,過點B作于O,易得點O為的中心,則三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,列出方程即可得解.【詳解】如圖,由題意易知與均為正三角形,取AC中點N,連接BN,DN,則,,即為二面角的平面角,過點B作于O,則平面ACD,由,可得,,,即點O為的中心,三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,,,解得,三棱錐的外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解,考查了空間想象能力,屬于中檔題.5、C【解析】
先計算出總的基本事件的個數(shù),再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎的概率,由對立事件的概率關(guān)系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張,共有種情況,2張均沒有獎的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系,意在考查數(shù)學建模、數(shù)學計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍,再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,而,故由可知.故,又有,綜上得的取值范圍是.故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識,屬于中檔題.7、B【解析】
由題意首先確定導函數(shù)的符號,然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導,其導函數(shù)為,且函數(shù)在處取得極大值,當時,;當時,;當時,.時,,時,,當或時,;當時,.故選:【點睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值,判斷導函數(shù)在極值點附近左側(cè)為正,右側(cè)為負,由正負情況討論圖像可能成立的選項,是判斷圖像問題常見方法,有一定難度.8、B【解析】
取中點,可確定;根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的運算法則可求得,利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點,連接,,,即.,,,則.故選:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題,涉及到平面向量的線性運算,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M行拆解,進而利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解.9、D【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合,由補集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】,,,.故選:.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算問題,涉及到函數(shù)定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
解對數(shù)不等式可得集合A,由交集運算即可求解.【詳解】集合解得由集合交集運算可得,故選:B.【點睛】本題考查了集合交集的簡單運算,對數(shù)不等式解法,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個選項,再求時的函數(shù)值,再排除一個,得正確選項.【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對稱,排除B,C,當時,,排除D,故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負,以及函數(shù)值的變化趨勢,排除錯誤選項,得正確結(jié)論.12、A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點對稱,錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得:當時,在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當時,,關(guān)于點對稱,錯誤;當時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù),進一步求出的值.【詳解】解:若,則,即,所以.故答案為:.【點睛】本題考查的知識要點:定積分的應(yīng)用,被積函數(shù)的原函數(shù)的求法,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由角平分線成比例定理推理可得,進而設(shè)點表示向量構(gòu)建方程組表示點P坐標,代入圓C方程即可表示動點Q的軌跡方程,再由將所求視為該圓上的點與原點間的距離,所以其最值為圓心到原點的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形,因為AQ是的角平分線,由角平分線成比例定理可知,所以.設(shè)點,點,即,則,所以.又因為點是圓上的動點,則,故點Q的運功軌跡是以為圓心為半徑的圓,又即為該圓上的點與原點間的距離,因為,所以故答案為:【點睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問題,常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑,還考查了求動點的軌跡方程,屬于中檔題.15、【解析】
由題意可設(shè)橢圓方程為:∵短軸的一個端點與兩焦點組成一正三角形,焦點在軸上∴又,∴,∴橢圓的方程為,故答案為.考點:橢圓的標準方程,解三角形以及解方程組的相關(guān)知識.16、【解析】
先由題意得:,再利用向量數(shù)量積的幾何意義得,可得結(jié)果.【詳解】由知:,則在方向的投影為,由向量數(shù)量積的幾何意義得:,∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應(yīng)用,考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)采用零點分段法:、、,由此求解出不等式的解集;(2)先根據(jù)絕對值不等式的幾何意義求解出的值,然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】(1)當時,不等式為,解得當時,不等式為,解得當時,不等式為,解得∴原不等式的解集為(2)當且僅當即時取等號,∴,∴∵,∴,∴(當且僅當時取“”)同理可得,∴∴(當且僅當時取“”)【點睛】本題考查絕對值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式,難度一般.(1)常見的絕對值不等式解法:零點分段法、圖象法、幾何意義法;(2)利用基本不等式完成證明時,注意說明取等號的條件.18、(1);(2).【解析】
(1)將代入函數(shù)的解析式,將函數(shù)的及解析式變形為分段函數(shù),利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域;(2)由參變量分離法得出在區(qū)間內(nèi)有解,分和討論,求得函數(shù)的最大值,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當時,.當時,;當時,.函數(shù)的值域為;(2)不等式等價于,即在區(qū)間內(nèi)有解當時,,此時,,則;當時,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,當時,,則.綜上,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查含絕對值函數(shù)的值域與含絕對值不等式有解的問題,利用絕對值的應(yīng)用將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查分類討論思想的應(yīng)用,屬于中等題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)取中點,連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到,利用全等三角形證得,由此證得平面,進而證得平面平面.(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,結(jié)合錐體體積公式,求得四面體的體積.【詳解】(1)證明:如圖,取中點,連接,由則,則,故故,平面.又平面,故平面平面(2)由(1)知平面,即是四面體的面上的高,且.在中,,由勾股定理易知故四面體的體積【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查錐體體積計算,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.20、(1)不是,見解析(2)(3)【解析】
(1)利用遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式,進一步驗證時,是否為數(shù)列中的項,即可得答案;(2)由題意得,再對公差進行分類討論,即可得答案;(3)由題意得數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的公差為,再根據(jù)不等式得到公差的值,即可得答案;【詳解】(1)當時,又,所以.所以當時,,而,所以時,不是數(shù)列中的項,故數(shù)列不是為“數(shù)列”(2)因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,所以.因為數(shù)列為“數(shù)列”所以任意,存在,使得,即有.①若,則只需,使得,從而得是數(shù)列中的項.②若,則.此時,當時,不為正整數(shù),所以不符合題意.綜上,.(3)由題意,所以,又因為,且數(shù)列為“數(shù)列”,所以,即,所以數(shù)列為等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公差為,則有,由,得,整理得,①.②若,取正整數(shù),則當時,,與①式對應(yīng)任意恒成立相矛盾,因此.同樣根據(jù)②式可得,所以.又,所以.經(jīng)檢驗當時,①②兩式對應(yīng)任意恒成立,所以數(shù)列的通項公式為.【點睛】本題考查數(shù)列新定義題、等差數(shù)列的通項公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、
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