概率（講義）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第34講概率

目錄

題型04列舉法求概率

一、考情分析題型05畫樹狀圖法/列表法求概率

二、知識(shí)建構(gòu)題型06幾何概率

考點(diǎn)一概率的相關(guān)概念題型07由頻率估計(jì)概率

題型01事件的分類題型08用頻率估計(jì)概率的綜合應(yīng)用

題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小題型09放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法

題型03理解概率的意義題型10不放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法

題型04判斷幾個(gè)事件概率的大小關(guān)系題型11游戲公平性

考點(diǎn)二概率的計(jì)算方法題型12概率的應(yīng)用

題型01根據(jù)概率公式計(jì)算概率題型13概率與統(tǒng)計(jì)綜合

題型02根據(jù)概率作判斷

題型03已知概率求數(shù)量

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

概率問題在中考數(shù)學(xué)中的考察難度在中檔以下，年年

概率的相

>能通過列表、畫樹狀圖等方法列出都會(huì)考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為10分左右，預(yù)

關(guān)概念

簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn).該專題考題的類型也比較

及指定隨機(jī)事件發(fā)生的所有可能結(jié)的固定，單獨(dú)考察時(shí)，通常作為選擇或者填空題，考概率

果，了解隨機(jī)事件的概率.的基本定義和簡單計(jì)算;綜合考察時(shí)會(huì)和統(tǒng)計(jì)圖表類問題

概率的計(jì)

>知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻結(jié)合，作為最后一問，考察概率的樹狀圖或者列表分析.

算方法

率估計(jì)概率.因?yàn)檎w難度較小，屬于中考數(shù)學(xué)中必拿分點(diǎn)，審題時(shí)要

多加注意即可.

概率的定義及計(jì)算公式題型01事件的分類

概率的相題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小

關(guān)概念確定事件后隨機(jī)事件題型03理解概率的意義

題型04判斷幾個(gè)事件概率的大小關(guān)系

概題型01根據(jù)概率公式計(jì)算概率

題型02根據(jù)概率作判斷

題型03已知概率求數(shù)量

公式法題型04列舉法求概率

列舉法題型05畫樹狀圖法/列表法求概率

題型06幾何概率

概率的計(jì)畫樹狀圖法,題型07由頻率估計(jì)概率

算方法題型08用頻率估計(jì)概率的綜合應(yīng)用

列表法題型09放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法

用頻率估計(jì)概率的方法.題型10不放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法

題型11游戲公平性

題型12概率的應(yīng)用

題型13概率與統(tǒng)計(jì)綜合

考點(diǎn)一概率的相關(guān)概念

一夯基-必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

1.概率的定義及計(jì)算公式

概率的定義：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A,把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱之為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率,

記為P（A）.

概率的意義：一個(gè)事件發(fā)生的概率是一個(gè)確定的數(shù),它從數(shù)值上刻畫了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.

隨機(jī)事件出現(xiàn)的次數(shù)

概率公式:P（隨機(jī)事件）=

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

2.確定事件與隨機(jī)事件

定義事件發(fā)生的概率

確必然在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，P（必然事件）=1

定事件這些事情稱為必然事件。

事不可能在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會(huì)發(fā)P（不可能事件）=0

件事件生，這些事情稱為不可能事件。

不確定事件在一定條件下，許多事情我們無法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，Q<P（隨機(jī)事件）

（隨機(jī)事件）這些事情稱為不確定事件（又叫隨機(jī)事件）。

提升-必考題型歸納

題型01事件的分類

【例1】（2023.安徽合肥.統(tǒng)考模擬預(yù)測）彩民李大叔購買1張彩票，中獎(jiǎng).這個(gè)事件是（）

A.必然事件B.確定性事件C.不可能事件D.隨機(jī)事件

【變式1-1］（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水漲船高C.水滴石穿D.水中撈月

【變式1-2］（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考一模）下列事件是必然事件的是（）

A.三角形內(nèi)角和是180。B.端午節(jié)賽龍舟，紅隊(duì)獲得冠軍

C.擲一枚均勻骰子，點(diǎn)數(shù)是6的一面朝上D.打開電視，正在播放神舟十四號(hào)載人飛船發(fā)射實(shí)況

【變式1-3］（2021?貴州貴陽?統(tǒng)考一模）如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)4、B、C、。和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開

關(guān)4B或同時(shí)閉合開關(guān)C、。都可以使小燈泡發(fā)光.下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個(gè)事件是隨機(jī)事件的是（）

AB

CD

A.只閉合1個(gè)開關(guān)B.只閉合2個(gè)開關(guān)C.只閉合3個(gè)開關(guān)D.閉合4個(gè)開關(guān)

【變式1-4］（2024.福建福州??？家荒＃┫铝惺录惺请S機(jī)事件的是（）

A.明天太陽從東方升起

B.經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口時(shí)遇到紅燈

C.平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓

D.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是540。

題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小

【例2】（2022?廣東中山?統(tǒng)考一模）某校九年級(jí)選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識(shí)競賽”.比賽

規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個(gè)人的出場順序，主持人將表示出場順序的數(shù)字1,2,3分別寫在3張同樣的紙

條上，并將這些紙條放在一個(gè)不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個(gè)抽，下列說法中正

確的是（）

A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大

C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大D.小星抽到每個(gè)數(shù)的可能性相同

【變式2-1］（2021?河北唐山?統(tǒng)考一模）下列4個(gè)袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個(gè)小球，任意摸出

一個(gè)球，摸到紅球可能性最大的是（）

【變式2-2］（2023?安徽蕪湖?蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┐永镉?個(gè)紅球，機(jī)個(gè)白球，3個(gè)黑球，每

個(gè)球除顏色外都相同，從中任意摸出一個(gè)球，若摸到紅球的可能性最大，則根的值不可能是（）

A.1B.3C.5D.10

【變式2-3］（2023?貴州貴陽??？家荒＃?張質(zhì)地相同的卡片背面朝上放置，正面分別標(biāo)有1?4四個(gè)數(shù)

字，隨機(jī)抽出一張，出現(xiàn)可能性最大的是（）

A.數(shù)字大于2的卡片B.數(shù)字小于2的卡片

C.數(shù)字大于3的卡片D.數(shù)字小于4的卡片

方法技巧

判斷事件發(fā)生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大為100%,不可能事件的可

能性最小為0,隨機(jī)事件的可能性有大有小，其發(fā)生可能性介于0—100%.在隨機(jī)事件中，要想判斷隨

機(jī)事件發(fā)生的概率就要列舉出隨機(jī)事件中可能出現(xiàn)的各種結(jié)果，其中包含的結(jié)果數(shù)多的事件發(fā)生的可能

性大.所以平時(shí)要多加練習(xí)如何列舉全隨機(jī)事件中包含的各種結(jié)果，如果少列舉一種都會(huì)造成錯(cuò)誤結(jié)果.

題型03理解概率的意義

【例3】（2022?廣東深圳??？家荒＃?4人中至少有2人在同一個(gè)月過生日”這一事件發(fā)生的概率為P,則（

A.尸=0B.0<P<lC.P=\D.P>\

【變式3-1］（2022?安徽蕪湖?統(tǒng)考一模）縣氣象站天氣預(yù)報(bào)稱，明天千島湖鎮(zhèn)的降水概率為90%,下列理解

正確的是（）

A.明天千島湖鎮(zhèn)下雨的可能性較大

B.明天千島湖鎮(zhèn)有90%的地方會(huì)下雨

C.明天千島湖鎮(zhèn)全天有90%的時(shí)間會(huì)下雨

D.明天千島湖鎮(zhèn)一定會(huì)下雨

【變式3-2］（2022.河北石家莊?校聯(lián)考一模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時(shí)，正面向上的概率是0.5.則下列

判斷正確的是（）

A.連續(xù)擲2次時(shí)，正面朝上一定會(huì)出現(xiàn)1次

B.連續(xù)擲100次時(shí)，正面朝上一定會(huì)出現(xiàn)50次

C.連續(xù)擲271次時(shí)，正面朝上一定會(huì)出現(xiàn)71次

D.當(dāng)拋擲次數(shù)越大時(shí)，正面朝上的頻率越穩(wěn)定于0.5

【變式3-3］（2023?山西晉城?統(tǒng)考一模）在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，如果沒有硬幣，我們可以用替代物，

但下列物品不能做替代物的是（）

A.一枚均勻的普通六面體骰子B.兩張撲克牌（一張黑桃，一張紅桃）

C.兩個(gè)只有顏色不同的小球D.一枚圖釘

題型04判斷幾個(gè)事件概率的大小關(guān)系

【例4】（2021?福建福州?福州三牧中學(xué)?？级＃┰谝粋€(gè)布袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，它們除顏色外

沒有任何其他區(qū)別.其中紅球若干，白球5個(gè)，袋中的球已攪勻.若從袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出紅球的

可能性大，則紅球的個(gè)數(shù)是（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.不足4個(gè)D.6個(gè)或6個(gè)以上

【變式4-1］（2023?廣東云浮?統(tǒng)考二模）任意拋擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，發(fā)生可能性最大的事

件是（）

A.朝上一面的點(diǎn)數(shù)大于2B.朝上一面的點(diǎn)數(shù)為3

C.朝上一面的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)D.朝上一面的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)

【變式4-2］（2020?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考一模）桌子上有6杯同樣型號(hào)的杯子，其中1杯84消毒液，2杯

75%的酒精，3杯雙氧水，從6個(gè)杯子中隨機(jī)取出1杯，請你將下列事件發(fā)生的可能性從大到小排列：_.（填

序號(hào)即可）①取到75%的酒精；②取到雙氧水；③沒有取到75%的酒精；④取到84消毒液.

考點(diǎn)二概率的計(jì)算方法

夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

公式法P（A）=墨,其中n為所有事件的總數(shù)，m為事件A發(fā)生的總次數(shù).

在一次試驗(yàn)中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，我們可通過列

舉試驗(yàn)結(jié)果的方法，分析出隨機(jī)事件發(fā)生的概率，這種方法稱為列舉法.

【注意事項(xiàng)】

列舉法1）直接列舉試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，要有一定的順序性，保證結(jié)果不重不漏.

2）用列舉法求概率的前提有兩個(gè)：①所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)②每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.

3）所求概率是一個(gè)準(zhǔn)確數(shù)，一般用分?jǐn)?shù)表示.

當(dāng)事件中涉及兩個(gè)以上的因素時(shí)，用樹狀圖的形式不重不漏地列出所有可能的結(jié)果的方法叫畫樹狀圖

法.

畫樹狀圖法求概率的步驟：

畫樹狀圖法1）明確試驗(yàn)由幾個(gè)步驟組成；

2）畫樹狀圖分步列舉出試驗(yàn)的所有等可能結(jié)果；

3）根據(jù)樹狀圖求出所關(guān)注事件包含的結(jié)果數(shù)及所有等可能的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解.

當(dāng)事件中涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，用表格不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，

這種方法叫列表法.

列表法列表法求概率的步驟：

1）列表，并將所有可能結(jié)果有規(guī)律地填人表格；

2）通過表格計(jì)數(shù)，確定所有等可能的結(jié)果數(shù)n和符合條件的結(jié)果數(shù)m的值；

3）利用概率公式P（A）=（計(jì)算出事件的概率.

通過大量重復(fù)試驗(yàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示

用頻率估計(jì)出一定的穩(wěn)定性.因此可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)該事件發(fā)生的概率.

概率的方法適用范圍：當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等

時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率.

易混易錯(cuò)

1.當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素或一個(gè)因素做兩次試驗(yàn)并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地

列出所有可能的結(jié)果，通?？梢圆捎昧斜矸?，也可以用樹狀圖法.當(dāng)試驗(yàn)包含三步或三步以上時(shí)，不能

用列表法，用畫樹狀圖法比較方便.

2.概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，且隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.

■提升.必例型鼬

題型01根據(jù)概率公式計(jì)算概率

【例1】（2023?廣西?模擬預(yù)測）書架上有2本數(shù)學(xué)書、1本物理書.從中任取1本書是物理書的概率為（）

1117

A.-B.-C.-D.-

4323

【變式1-1］（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在一個(gè)不透明的袋子里，裝有3個(gè)紅球、1個(gè)白球，它們除顏

色外都相同，從袋中任意摸出一個(gè)球?yàn)榧t球的概率是（）

3111

A.-B.-C.-D.-

4234

【變式「2】（2023?廣西?模擬預(yù)測）老師從甲、乙，丙、丁四位同學(xué)中任選一人去學(xué)校勞動(dòng)基地澆水，選中

甲同學(xué)的概率是（）

【變式1-3］（2023?遼寧撫順?統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)質(zhì)地均勻的正五邊形轉(zhuǎn)盤，指針的位置固定，當(dāng)轉(zhuǎn)盤自

由轉(zhuǎn)動(dòng)停止后，觀察指針指向區(qū)域內(nèi)的數(shù)（若指針正好指向分界線，則重新轉(zhuǎn)一次），這個(gè)數(shù)是一個(gè)奇數(shù)的

概率是______

題型02根據(jù)概率作判斷

【例2】（2020?北京?一模）一個(gè)不透明的袋中裝有8個(gè)黃球，a個(gè)紅球，個(gè)白球，每個(gè)球除顏色外都相同.任

意摸出一個(gè)球，是黃球的概率與不是黃球的概率相同，下列爪與n的關(guān)系一定正確的是（）

A.m=n=8B.n—m=8C.m+n=8D.m—n=8

【變式2-l］（2015?河北石家莊?統(tǒng)考一模）已知電流在一定時(shí)間段內(nèi)正常通過電子元件"”的概率是0.5,

則在一定時(shí)間段內(nèi)，由該元件組成的圖示電路4B之間，電流能夠正常通過的概率是.

【變式2-2］（2023?福建廈門?統(tǒng)考一模）一個(gè)不透明盒子中裝有1個(gè)紅球、2個(gè)黃球，這些球除顏色外無其

他差別.從該盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，請寫出概率為1的事件：.

題型03已知概率求數(shù)量

【例3】（2023?廣東?統(tǒng)考二模）一個(gè)不透明的口袋中裝有“個(gè)白球，為了估計(jì)白球的個(gè)數(shù)，向口袋中加入兩

個(gè)紅球，它們除顏色外其它完全相同.通過多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在10%附近，則〃

的值為（）

A.18B.20C.22D.24

【變式3-1］（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）一個(gè)不透明的箱子中有5個(gè)紅球和若干個(gè)黃球，除顏色外無其它差

別.若任意摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率為J,則這個(gè)箱子中黃球的個(gè)數(shù)為個(gè).

4

【變式3-2］（2018?四川成都?成都外國語學(xué)校?？家荒＃┐醒b有6個(gè)黑球和幾個(gè)白球，經(jīng)過若干次試驗(yàn)，發(fā)

現(xiàn)“若從袋中任摸出一個(gè)球，恰是黑球的概率為￥，則這個(gè)袋中白球大約有個(gè).

4

【變式3-3］（2020?遼寧鞍山?統(tǒng)考一模）在一個(gè)不透明的袋子中裝有6個(gè)紅球和若干個(gè)白球，這些球除顏色

外都相同，將球攪勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20

次摸到紅球，估計(jì)袋子中白球的個(gè)數(shù)約為.

【變式3-4］（2023?廣西南寧?廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考一模）黔東南州某校數(shù)學(xué)興趣小組開展摸球試驗(yàn)，具

體操作如下：在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的小球共4個(gè)，這些球除顏色外無其它差別，將

球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，然后再把它放回盒子里攪勻，再隨機(jī)摸出一球記下顏色，不斷重

復(fù)摸球?qū)嶒?yàn).下表是這次活動(dòng)的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)〃1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)加263850127197251

摸到白球的頻率二

n0.2600.2530.2500.2540.2460.251

（1）請你根據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)：從不透明的盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是白球的概率約為

（精確到0.01）;

（2）試估算盒子里有多少個(gè)白球？

（3）根據(jù)第（2）題的估算結(jié)果，若從盒子里隨機(jī)摸出兩球，請畫樹狀圖或列表求“摸到兩個(gè)顏色相同小球”的

概率.

題型04列舉法求概率

【例4】（2023?湖北武漢?校考模擬預(yù)測）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進(jìn)我們的日常生活，其圖案主要

由黑、白兩種小正方形組成.現(xiàn)對(duì)由三個(gè)小正方形組成的」II”進(jìn)行涂色，每個(gè)小正方形隨機(jī)涂

成黑色或白色，恰好是兩個(gè)黑色小正方形和一個(gè)白色小正方形的概率為（）

1312

A.-B.-C.-D.-

3823

【變式4-1］（2023?廣東佛山?校考一模）宋代程穎的《秋月》有四句古詩如下：

①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；

③清溪流過碧山頭；④隔斷紅塵三十里

這四句古詩的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩調(diào)整為正確位置，則她第一次就調(diào)整正確的可能性是（

A.-B.-C.-D.一

12182464

【變式4-2］.（2021?山東濰坊??？级＃┈F(xiàn)有下列長度的五根木棒：3,5,8,10,13,從中任取三根，可

以組成三角形的概率為.

題型05畫樹狀圖法/列表法求概率

【例5】（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考一模）為了疫情防控，某小區(qū)需要從甲、乙、丙、丁4名志愿者中隨機(jī)抽取2

名負(fù)責(zé)該小區(qū)入口處的測溫工作，則甲被抽中的概率是（）

【變式5-1］（2022?廣東深圳??？家荒＃┩瑫r(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概

率是（）

1111

A.石B.-C.-D.-

【變式5-2］（2023?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）一只不透明的袋子中裝有3個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面

上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3,攪勻后先從袋子中任意摸出1個(gè)球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸

出1個(gè)球，記下數(shù)字.

（1）第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是;

（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率.

【變式5-3］（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考一模）有五個(gè)封裝后外觀完全相同的紙箱,且每個(gè)紙箱內(nèi)各裝有一個(gè)西瓜，

其中，所裝西瓜的重量分別為6kg,6kg,7kg,7kg,8kg.現(xiàn)將這五個(gè)紙箱隨機(jī)擺放.

（1）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選1個(gè)，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是；

（2）若從這五個(gè)紙箱中隨機(jī)選2個(gè)，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個(gè)紙箱里西瓜的重量之和為15kg

的概率.

【變式5-4］（2023?陜西西安??？寄M預(yù)測）如圖所示，甲、乙兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個(gè)面積相等

的扇形（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其它完全相同），轉(zhuǎn)盤甲上的數(shù)字分別是-6,-1,8,轉(zhuǎn)盤乙上的數(shù)

字分別是-4,5,7（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)一次）.

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤甲指針指向正數(shù)的概率是；轉(zhuǎn)盤乙指針指向正數(shù)的概率是

（2）若同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤甲指針?biāo)傅臄?shù)字記為。，轉(zhuǎn)盤乙指針?biāo)傅臄?shù)字記為6,請用列表法或樹狀

圖法求滿足a+b<0的概率.

題型06幾何概率

【例6】（2023?安徽合肥?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在5x6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色

外都相同，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，扇形0A8的圓心及弧的兩端均為格點(diǎn).假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方

形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB

（陰影部分）的概率是（）

A.二B.二C.叵D.迪

12246060

【變式6-1］（2022?福建漳州.統(tǒng)考模擬預(yù)測）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在

白色區(qū)域的概率為（）

【變式6-2］（2022?福建龍巖?統(tǒng)考一模）如圖①所示，平整的地面上有一個(gè)不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），

小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個(gè)長為5m,寬為4m的長方形，將不規(guī)則圖案圍

起來，然后在適當(dāng)位置隨機(jī)地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上

或長方形區(qū)域外不計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果），他將若干次有效實(shí)驗(yàn)的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，由此他估計(jì)不

【變式6-3］（2020?浙江衢州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指

針落在數(shù)字“II”所示區(qū)域內(nèi)的概率是（）

【變式6-4］（2022?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將一個(gè)棱長為3的正方體表面涂上顏色，再把它分割成

棱長為1的小正方體，將它們?nèi)糠湃胍粋€(gè)不透明盒子中搖勻，隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，只有一個(gè)面被涂

色的概率為（）

【變式6-5］（2023?湖南株洲??？寄M預(yù)測）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動(dòng)，并隨機(jī)的停留在某

塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是.

【變式6-6］（2022?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）如圖，正方形力BCD中，對(duì)角線4C和BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線

段BC上，。尸，OE交CD于點(diǎn)R小明向正方形內(nèi)投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在陰影部分的概率是.

題型07由頻率估計(jì)概率

【例7】（2020?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的

頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）

實(shí)驗(yàn)次數(shù)10020030050080010002000

頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333

A.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

B.拋一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是5

C.在“石頭、剪刀、布''的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”

D.拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率

【變式7-1］（2023?山東青島?模擬預(yù)測）在一個(gè)不透明的口袋中裝有紅球和白球共8個(gè)，這些球除顏色外都

相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，

共摸了100次球，發(fā)現(xiàn)有75次摸到紅球，則口袋中紅球的個(gè)數(shù)約為.

【變式7-2］（2023?江蘇揚(yáng)州??？级＃榱吮容^甲、乙兩魚池中的魚苗數(shù)目，小明從兩魚池中各撈出100

條魚苗，每條做好記號(hào)，然后放回原魚池；一段時(shí)間后，在同樣的地方，小明再從甲、乙兩魚池中各撈出

100條魚苗，發(fā)現(xiàn)其中有記號(hào)的魚苗分別是5條、10條，可以初步估計(jì)魚苗數(shù)目較多的是_________魚池（填

甲或乙）

【變式7-3］（2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模）2022年3月12日是我國第44個(gè)植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某

種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對(duì)這種幼樹進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，下表是

這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

幼樹移植數(shù)（棵）100100050008000100001500020000

幼樹移植成活數(shù)（棵）878934485722489831344318044

幼樹移植成活的頻率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902

估計(jì)該種幼樹在此條件1;移植成活的概率是—（結(jié)果精確到0.1)

【變式7-4］（2023?福建三明?統(tǒng)考一模）某射擊運(yùn)動(dòng)員在同一條件下的射擊成績記錄如下:

射擊次數(shù)20801002004008001000

射中九環(huán)以上次數(shù)186882166330664832

射中九環(huán)以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí)“中九環(huán)以上”的概率約是.（精確到0.01）

題型08用頻率估計(jì)概率的綜合應(yīng)用

【例8】（2022.福建.二模）不透明袋子中裝有紅、黃小球各若干個(gè)，這些球除顏色外無其他差別.把“從袋

子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球”作為試驗(yàn)，每次試驗(yàn)后，將摸出的小球放回?fù)u勻，再進(jìn)行下一次試驗(yàn).試驗(yàn)數(shù)據(jù)顯

示：大量重復(fù)試驗(yàn)后，摸出紅球的頻率越來越穩(wěn)定于02則下列對(duì)于袋子中球的數(shù)量的估計(jì)，最合理的是

（）

A.紅球有2個(gè)B.黃球有10個(gè)

C.黃球的數(shù)量是紅球的4倍D.黃球和紅球的數(shù)量相等

【變式8-1］（2015?河北?模擬預(yù)測）某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪

制了如圖的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）

A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”

B.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

C.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球

D.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是6

【變式8-2］（2023?北京朝陽?統(tǒng)考二模）某射箭選手在同一條件下進(jìn)行射箭訓(xùn)練，結(jié)果如下:

射箭次數(shù)n102050100200350500

射中靶心的次數(shù)m7174492178315455

射中靶心的頻率二

n0.700.850.880.920.890.900.91

下列說法正確的是（）

A.該選手射箭一次，估計(jì)射中靶心的概率為0.90

B.該選手射箭80次，射中靶心的頻率不超過0.90

C.該選手射箭400次，射中靶心的次數(shù)不超過360次

D.該選手射箭1000次，射中靶心的次數(shù)一定為910次

【變式8-3］（2020.江蘇揚(yáng)州.統(tǒng)考模擬預(yù)測）大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用.如圖

是小明同學(xué)的蘇康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機(jī)打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計(jì)圖中黑

色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左

右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的總面積約為cm2.

回麒回

【變式8-4］（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考一模）國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會(huì)辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行“五

項(xiàng)管理,,督導(dǎo)的通知》指出，要加強(qiáng)中小學(xué)生作業(yè)、睡眠、手機(jī)、讀物、體質(zhì)管理.某校數(shù)學(xué)社團(tuán)成員采用

隨機(jī)抽樣的方法，抽取了八年級(jí)部分學(xué)生，對(duì)他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時(shí)間t

（單位：h）進(jìn)行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：

組別睡眠時(shí)間分組頻數(shù)頻率

At<640.08

B6<t<780.16

C7<t<810a

D8<t<9210.42

Et>9b0.14

請根據(jù)圖表信息回答下列問題：

（1）頻數(shù)分布表中，a=,b=；

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C組所在扇形的圓心角的度數(shù)是。；

（3）請估算該校600名八年級(jí)學(xué)生中睡眠不足7小時(shí)的人數(shù)；

（4）研究表明，初中生每天睡眠時(shí)長低于7小時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)效率.請你根據(jù)以上調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，向

學(xué)校提出一條合理化的建議.

題型09放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法

【例9】（2017?河北?模擬預(yù)測）在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個(gè)，小穎做摸球試驗(yàn),

她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，然后把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程.如

圖所示為“摸到白球”的頻率折線統(tǒng)計(jì)圖.

“摸到白球”的頻率折線統(tǒng)計(jì)圖

頻率］

050三三三三WlWW三:

0.45三三三三三三三三三三三

04。1二二二二二二二二二二二二三三三二二二二二二二二二二二二

f）------------1----1----1----1----1----1----1------->,

406080100摸球的次數(shù)〃

（1）請估計(jì)：當(dāng)〃足夠大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近（結(jié)果精確到0.1）,假如小李摸一次球，小

李摸到白球的概率為；

（2）試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個(gè)；

（3）在（2）的條件下，如果要使摸到白球的頻率穩(wěn)定在|,需要往盒子里再放入多少個(gè)白球？

【變式9-1］（2024.福建南平.統(tǒng)考一模）在一個(gè)不透明的盒子里，裝有四個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1,3,4,5的小

球.它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.小明先從盒子里隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為尤，放回盒子

搖勻后，再由小華隨機(jī)取出一個(gè)小球，記下數(shù)字為y.

（1）列出表示點(diǎn)（久,y）的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）求小明、小華各取一次小球所確定的點(diǎn)Q,y）落在一次函數(shù)y=5久的圖象上的概率.

【變式9-2］（2022?陜西西安??？寄M預(yù)測）一個(gè)不透明的箱子里裝有1枚黑棋子和若干枚白棋子，這些棋

子除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的棋子搖勻后隨機(jī)摸出一枚棋子，記下顏色后再放回箱子里，通

過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到黑棋子的頻率穩(wěn)定于

(1)請你估計(jì)箱子里白棋子的數(shù)量；

(2)若一個(gè)不透明的袋子里裝有2枚黑棋子和1枚白棋子，從箱子和袋子里各隨機(jī)摸出一枚棋子，請用樹狀

圖或列表法求摸出的兩枚棋子顏色不同的概率.

【變式9-3](2021?廣東清遠(yuǎn).一模)為慶祝黨的二十大勝利召開，陽光中學(xué)舉行作文比賽，題目有“科技托

起強(qiáng)國夢”“家鄉(xiāng)的新變化““時(shí)代賦予我們的使命”.比賽時(shí)，將這三個(gè)作文題目寫在三張無差別不透明的卡

片的正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，然后參賽學(xué)生依次抽?。簶窐废葟闹须S機(jī)抽取一張卡片，放回

后洗勻，再由貝貝從中隨機(jī)抽取一張卡片，……，每人所抽取到的卡片題目均為自己此次參賽作文的題目.

科技托起家鄉(xiāng)的|時(shí)代賦予我

強(qiáng)國夢新變化們的使命

⑴貝貝抽中題目“家鄉(xiāng)的新變化"的概率是.

(2)請用畫樹狀圖或列表的方法表示出樂樂和貝貝兩人抽取的所有可能的結(jié)果，并求出他倆抽中不同題目的

概率.(三個(gè)作文題目分別用字母A,B,C表示)

題型10不放回實(shí)驗(yàn)概率計(jì)算方法

【例10】(2023?江蘇鹽城??？级?鹽城地處黃海之濱，市域內(nèi)海洋灘涂資源豐富，灘涂面積占江蘇省灘

涂總面積近70%,被譽(yù)為“東方濕地之都”.黃海濕地文化是鹽城身份認(rèn)同、文化自信的重要載體，丹頂鶴、

麋鹿、勺嘴鶴“濕地吉祥三寶”更是世界聞名.為保護(hù)與宣傳這“三寶”，某校生物興趣小組設(shè)計(jì)了3張環(huán)保宣

傳卡片，正面分別繪有丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鶴圖案，除此之外卡片完全相同.

丹頂鶴麋鹿勺嘴鶴

(1)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為；

(2)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，不放回，再從剩余的兩張卡片中隨機(jī)抽取一張，請

用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鶴”的概率.

【變式10-1](2023?陜西榆林?統(tǒng)考模擬預(yù)測)中國一中亞峰會(huì)于5月18日至19日在陜西省西安市舉行，讓

千年古都再次聚焦世界的目光.也讓每一個(gè)西安人、陜西人感到驕傲.在一個(gè)不透明的口袋里，裝有分別

標(biāo)著漢字“喜”、“迎”、“中”、“亞”、“峰”、“會(huì)”的六個(gè)小球

(1)若從袋中任取一個(gè)小球，則取到的小球上的漢字恰好是“亞”的概率為；

(2)從袋中任取一個(gè)小球，不放回.攪勻后再從剩下的五個(gè)小球中任取一個(gè)，請用畫樹狀圖或列表法(漢字

不分先后順序)求出取到的兩個(gè)小球上的漢字恰能組成“喜迎”或“中亞”或“峰會(huì)”的概率.

【變式10-2](2022?廣東湛江?校聯(lián)考二模)在一個(gè)不透明的布袋中，有紅，白兩種顏色的小球，這些球除

顏色外都相同，其中白球1個(gè)，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)紅球的概率為|.

（1）求袋中紅球的個(gè)數(shù)為.

（2）攪勻后先從中任意摸出1個(gè)球（不放回），再從余下的球中任意摸出1個(gè)球.請用樹狀圖或表格求兩次都摸

到紅球的概率.

【變式10-3］（2023?吉林白山?校聯(lián)考二模）從一副撲克牌中取出四張牌，它們的牌面數(shù)字分別為1、2、2、

3,將這四張撲克牌背面，朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，不放回，再從剩余的三張牌中隨機(jī)抽取一張.請

用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的概率.

【變式10-4】（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考一模）將圖中的A型、8型、C型矩形紙片分別放在3個(gè)盒子中，盒

子的形狀、大小、質(zhì)地都相同，再將這3個(gè)盒子裝入一只不透明的袋子中.

H2同2?1

31I

（1）攪勻后從中摸出1個(gè)盒子，則摸出的盒子中是A型矩形紙片的概率」

（2）攪勻后先從中摸出1個(gè)盒子（不放回），再從余下的兩個(gè)盒子中摸出一個(gè)盒子，用列表法或畫樹狀圖法求2

次摸出的盒子的紙片能拼成一個(gè)新矩形的概率（不重疊無縫隙拼接）.

方法技巧

對(duì)于“放回”和“不放回”的題目，易錯(cuò)點(diǎn)在于不知道如何判斷是“放回”還是“不放回”，只要判

斷正確，然后結(jié)合樹狀圖等方法就能迎刃而解：如，過紅綠燈、選擇直行、左、右轉(zhuǎn)彎等，就屬于放回

這類問題，他們有共同特征就是每一次都有同樣多的選擇；從幾個(gè)人里選兩個(gè)人參加活動(dòng)、一次性選擇

兩個(gè)物品等，屬于不放回問題，他們的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一種情況，特別注意同時(shí)

抽取，也是表示抽出來不放回.做題時(shí)，一定要看清每次選擇后的下一步選擇是都有同樣多的選擇還是

少了一種選擇以正確判斷是“放回”還是“不放回”.

題型11游戲公平性

【例H】（2022.北京西城.統(tǒng)考二模）如圖，在8個(gè)格子中依次放著分別寫有字母。?耳的小球.

??

甲、乙兩人輪流從中取走小球，規(guī)則如下：

①每人首次取球時(shí)，只能取走2個(gè)或3個(gè)球；后續(xù)每次可取走1個(gè)，2個(gè)或3個(gè)球；

②取走2個(gè)或3個(gè)球時(shí)，必須從相鄰的格子中取走；

③最后一個(gè)將球取完的人獲勝.

（1）若甲首次取走寫有6,c，d的3個(gè)球，接著乙首次也取走3個(gè)球，則（填“甲”或“乙”）一定獲勝;

（2）若甲首次取走寫有a,b的2個(gè)球，乙想要一定獲勝，則乙首次取球的方案是

【變式11-1］（2023?云南?模擬預(yù)測）2022年3月23日下午，“天宮課堂”第二課開講，航天員翟志剛、王亞

平、葉光富相互配合進(jìn)行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識(shí)的熱情.小冰和小雪參加航天知識(shí)競賽時(shí)，均

獲得了一等獎(jiǎng)，學(xué)校想請一位同學(xué)作為代表分享獲獎(jiǎng)心得.小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游

戲，誰獲勝誰分享，游戲規(guī)則如下：甲口袋裝有編號(hào)為1,2的兩個(gè)球，乙口袋裝有編號(hào)為1,2,3,4,5

的五個(gè)球，兩口袋中的球除編號(hào)外都相同.小冰先從甲口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，小雪再從乙口袋中隨機(jī)摸

出一個(gè)球，若兩球編號(hào)之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號(hào)之和為偶數(shù)，則小雪獲勝.

請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平.

【變式1「2】（2021?云南昆明?校聯(lián)考一模）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場

券，于是他們設(shè)計(jì)了一個(gè)“配紫色”游戲：A,B是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，每個(gè)轉(zhuǎn)盤都被分成面積相等的

幾個(gè)扇形、同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么可以配成紫

色.若配成紫色，則小穎去觀看，否則小亮去觀看.這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由.

【變式1-3】（2020?云南昆明.統(tǒng)考一模）現(xiàn)有A、B兩個(gè)不透明袋子，分別裝有3個(gè)除顏色外完全相同的

小球.其中，A袋裝有2個(gè)白球，1個(gè)紅球；B袋裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球.

（1）將A袋搖勻，然后從A袋中隨機(jī)取出一個(gè)小球，求摸出小球是白色的概率；

（2）小華和小林商定了一個(gè)游戲規(guī)則：從搖勻后的A,B兩袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸出的這兩個(gè)小球，

若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝.請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個(gè)游戲規(guī)則

對(duì)雙方是否公平.

題型12概率的應(yīng)用

【例12】（2022?福建?校聯(lián)考一模）商場在國慶期間舉行部分商品優(yōu)惠促銷活動(dòng)，顧客只能從以下兩種方案

中選擇一種：

方案一：購物每滿200元減66元；

方案二：顧客購物達(dá)到200元可抽獎(jiǎng)一次.具體規(guī)則是：在一個(gè)箱子內(nèi)裝有四張一樣的卡片，四張卡片中

有2張寫著數(shù)字1,2張寫著數(shù)字5.顧客隨機(jī)從箱子內(nèi)抽出兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字和記為w,w的值

和享受的優(yōu)惠如表所示.

W的值2610

實(shí)際付款8折7折6折

（1）若按方案二的抽獎(jiǎng)方式，利用樹形圖（或列表法）求一次抽獎(jiǎng)獲得7折優(yōu)惠的概率;

（2）若某顧客的購物金額為a元（200<a<300）,請用所學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)，求出選擇方案二更優(yōu)惠時(shí)a的

取值范圍.

【變式12-1］（2022?山西?山西大附中?？家荒＃┠成虉?，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎(jiǎng)酬

賓活動(dòng)，凡購物滿200元者，有兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案供選擇：

方案一：是直接獲得20元的禮金卷；

方案二：是得到一次搖獎(jiǎng)的機(jī)會(huì).規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤4B,這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤

除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎(jiǎng)?wù)咄瑫r(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個(gè)區(qū)域（指針落在分割

線上時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少.

指針指向兩紅一紅一藍(lán)兩藍(lán)

禮金券（元）18918

/款8款（1）請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針

分別指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率.

（2）如果一名顧客當(dāng)天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為

實(shí)惠.

【變式12-2］（2021.江蘇無錫.校聯(lián)考一模）一款游戲的規(guī)則如下：如圖①為游戲棋盤，從起點(diǎn)到終點(diǎn)共7

步；如圖②是一個(gè)被分成4個(gè)大小相等的扇形的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后，此時(shí)，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)

盤一次（若指針指向兩個(gè)扇形的交線，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部

為止），每次棋子按照指針?biāo)傅臄?shù)字前進(jìn)相應(yīng)的步數(shù)，若棋子最終能恰