2023屆北京市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬卷（二）

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷（二）（北京卷）

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).）

1.（2022?北京?高三階段練習(xí)（文））己知集合。={尤3Vx＜2},A={-1,1},則"A=（）

A.（-3,-2,0}B.{-2,0}

C.{-3,0}D.{-2,-1,0,1）

2.（2022?北京?高三學(xué)業(yè)考試）對(duì)于正整數(shù)n,記不超過n的正奇數(shù)的個(gè)數(shù)為K（n）,如K⑴=1,則K（2022）=

（）

A.2022B.2020C.1011D.1010

3.（2022?北京四中高三期中）已知復(fù)數(shù)z滿足（l+2i）z=2+i,則忖=（）

A.@B.1C.75D.5

5

4.（2022?北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）若等差數(shù)列{q}滿足%+。8+%＞。，%+%0＜。，則當(dāng){凡}的前

”項(xiàng)和的最大時(shí)，〃的值為（）

A.7B.8C.9D.8或9

TT

5.（2022?北京?匯文中學(xué)高三期中）定義:角。與夕都是任意角，若滿足9+0=5，則稱。與?！皬V義互

余”.已知sina=],下列角夕中，可能與角a“廣義互余”的是（）.

4

A.sin（3=B.cos（乃+￡）=：C.tan/3=D.tanP=

6.（2022?北京市第二十二中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個(gè)

倒置圓錐，則圓錐體積的最小值為（）

7.（2022?北京密云.高三期中）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴

赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“（大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有

其他因數(shù)的自然數(shù)叫做素?cái)?shù)），如36=5+31.在不超過36的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于

36的概率是（）

8.（2022?北京市育英學(xué)校高三開學(xué)考試）若不等式加+6無+c>o的解集為（二,，則+￡<（）成

\1Jaa

立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.—<x<3B.—<x<0

22

C.-3<x<—D.—1<x<6

2

9.（2022.北京石景山.高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)都不相等的數(shù)列三｝｛〃=1,2,3...,2015）,圓

2221

Cl：x+y-4x-4y=0,0C2:x+y-2anx-2a2m6_ny=0,若圓C?平分圓G的周長(zhǎng)，則｛?！埃乃许?xiàng)的和

為（）

A.2014B.2015C.4028D.4030

10.（2022.北京一七一中高三期中）如圖，在棱長(zhǎng)為。（。>0）的正四面體A3CD中，點(diǎn)與、G、R分別

在棱AB、AC,AD上，且平面平面BCD,4為內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐A-耳G2的體積為V,

AF）

設(shè)聚=X,對(duì)于函數(shù)v=/（x）,貝I（）

7

A.當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）取到最大值

B.函數(shù)/（尤）在gj上是減函數(shù)

C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱

D.存在％,使得（其中匕一sc。為四面體ABCD的體積）

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分.）

11.（2022?北京市第一六一中學(xué)高三期中）已知二項(xiàng)式，+（〃eN*）展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則〃的最

小值為?

12.（2022?北京通州.高三期中）己知矩形ABCD,A5=3,AD=4.P為矩形ABC。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，E4=l,

PC=2A/6.則屈屈=.

13.（2022?北京一^t一中高三期中）如果雙曲線的離心率e=^口，則稱此雙曲線為黃金雙曲線.有以

2

22,2

下幾個(gè)命題：①雙曲線j-i是黃金雙曲線；②雙曲線/-葛一1是黃金雙曲線；③在雙曲線

。一與=1伍>0,6>0）中，B為左焦點(diǎn)，上為右頂點(diǎn)，8/（0,b）,若/乃8加=90。，則該雙曲線是黃金雙

ab

22

曲線；④在雙曲線=-二=1m>0,b>0）中，過右焦點(diǎn)仍作實(shí)軸的垂線交雙曲線于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)

ab

原點(diǎn)，若/MON=120。,則該雙曲線是黃金雙曲線.其中正確命題的序號(hào)為.

x—2xx>a,

14.（2022?北京市第五中學(xué)三模）已知函數(shù)/（x）=2]給出下列四個(gè)結(jié)論：

[-X-2x,x<a.

①存在實(shí)數(shù)4，使函數(shù)/（刈為奇函數(shù)；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)/（x）既無最大值也無最小值；

③對(duì)任意實(shí)數(shù)。和％,函數(shù)丫=/（X）+3總存在零點(diǎn)；

④對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)加，總存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)”無）在區(qū)間（-1,刈）上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序

號(hào)是.

15.（2022.北京豐臺(tái).一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AgGR中，M,N分別是棱A2的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段CM上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

BC

①平面CMN截正方體ABCD-A耳GA所得的截面圖形是五邊形;

②直線BR到平面CMN的距離是變；

2

③存在點(diǎn)尸，使得/4犬口二90。；

④△PDA面積的最小值是九5.

6

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題（共6小愿，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）

16.（2022?北京J01中學(xué)三模）己知函數(shù)/（x）=cosx（2Hsinx+cosx）-sin2x.

（I）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

（II）若當(dāng)xe0,1時(shí)，關(guān)于x的不等式“X”機(jī),求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全問題(II),并求解.其中，①有解；②恒成立.

17.(2022?北京?高三專題練習(xí))如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,

/ABC=120°,AB=l,BC=4,PA=y/15,M,N分別為8cpe的中點(diǎn)，PDLDC,PMYMD.

(D證明：ABYPM-,

(2)求直線AN與平面PD暇所成角的正弦值.

18.(2022?北京市第十中學(xué)高三期中)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意程度，從A地區(qū)造機(jī)抽取了400

名用戶，從B地區(qū)隨機(jī)抽取了100名用戶，請(qǐng)用戶根據(jù)滿意程度對(duì)該公司產(chǎn)品評(píng)分.該公司將收集到的數(shù)據(jù)

按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組，繪制成評(píng)分頻率分布直方圖如下：

/地區(qū)8地區(qū)

(1)從A地區(qū)抽取的400名用戶中隨機(jī)選取一名，求這名用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分不低于60分的概率.

(2)從2地區(qū)抽取的100名用戶中隨機(jī)選取兩名，記這兩名用戶的評(píng)分不低于80分的個(gè)數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)A地區(qū)抽取的400名用戶

對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為4,3地區(qū)抽取的100名用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為〃,，以及A2

兩個(gè)地區(qū)抽取的500名用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為〃°,試比較〃。和乙詈的大小，并說明理由.

22

19.(2022?北京師范大學(xué)第三附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè))橢圓C：1+口=1(。＞。＞0)的右頂點(diǎn)為8(2,0),離心

ab~

率為3.

2

(1)求橢圓C的方程及短軸長(zhǎng)；

(2)已知：過定點(diǎn)42,3)作直線/交橢圓C于。，E兩點(diǎn)，過E作的平行線交直線于點(diǎn)孔設(shè)E尸中

點(diǎn)為G,直線與橢圓的另一點(diǎn)交點(diǎn)為若四邊形尸為平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo).

20.(2022?北京?北師大二附中三模)已知函數(shù)"x)=e'(l+〃dnx),其中加＞0,尸(x)為〃x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴當(dāng)機(jī)=1,求在點(diǎn)(L〃l))處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)刈尤)=/與，且恒成立.

e2

①求機(jī)的取值范圍；

②設(shè)函數(shù)“X)的零點(diǎn)為％,廣(X)的極小值點(diǎn)為玉，求證：

21.(2022?北京房山?一模)若無窮數(shù)列｛七｝滿足如下兩個(gè)條件，則稱｛"“｝為無界數(shù)列：

①4>0(w=l,2,3..)

②對(duì)任意的正數(shù)5,都存在正整數(shù)N,使得4,>5.

⑴若。,=2〃+1,2=2+cos(〃)(n=l,2,3......),判斷數(shù)列｛七｝,｛〃,｝是否是無界數(shù)列;

(2)若?！?2〃+1,是否存在正整數(shù)左，使得對(duì)于一切都有幺+生+…+&<"T成立？若存在，求

〃2。3an+\

出女的范圍；若不存在說明理由；

⑶若數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增的無界數(shù)列，求證：存在正整數(shù)機(jī)，使得幺+歿+...+9<〃2-1.

“2〃3%+1

2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官卷(二)(北京卷)

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).）

1.（2022?北京?高三階段練習(xí)（文））己知集合"={尤eZ|-3Vx<2},A={-1,1},則24=（）

A.{-3,-2,0}B.{-2,0}

C.{-3,0}D.{-2,-1,0,1）

【答案】B

【詳解】因?yàn)椤?{-2,—1,0,1},A={-1,1},

2.（2022?北京?高三學(xué)業(yè)考試）對(duì)于正整數(shù)n,記不超過n的正奇數(shù)的個(gè)數(shù)為K（〃），如K⑴=1,則K（2022）=

（）

A.2022B.2020C.1011D.1010

【答案】C

3.（2022?北京四中高三期中）已知復(fù)數(shù)z滿足（l+2i）z=2+i,則忖=（）

A.旦B.1C.75D.5

5

【答案】B

4.（2022.北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）若等差數(shù)列{見}滿足%+08+%>0,%+陽<0,則當(dāng){4}的前

九項(xiàng)和的最大時(shí)，〃的值為（）

A.7B.8C.9D.8或9

【答案】B

TT

5.（2022?北京?匯文中學(xué)高三期中）定義：角夕與。都是任意角,若滿足6+9=5，則稱6與。“廣義互

余”.已知下列角夕中，可能與角八廣義互余”的是（）.

A.sinP=B.cos（/r+/?）=；C.tanp=~~~D.tan夕

【答案】A

6.（2022?北京市第二十二中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個(gè)

倒置圓錐，則圓錐體積的最小值為（）

B.407rC.84%D.727r

【答案】D

7.（2022?北京密云?高三期中）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴

赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”（大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有

其他因數(shù)的自然數(shù)叫做素?cái)?shù)），如36=5+31.在不超過36的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于

36的概率是（）

A4e424

A.—B.—C.—D.—

11553345

【答案】B

8.（2022?北京市育英學(xué)校高三開學(xué)考試）若不等式a?+6尤+c>0的解集為則無2+2》+￡<。成

\2Jaa

立的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.—<x<3B.—<x<0

22

C.—3<x<—D.—1<x<6

2

【答案】D

9.（2022.北京石景山.高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)都不相等的數(shù)列=2,3...,2015）,圓

2222

q:x+y-4x-4y=0,0C2:x+y-2anx-2a20l6_ny=0,若圓C2平分圓C1的周長(zhǎng),則｛%｝的所有項(xiàng)的和

為（）

A.2014B.2015C.4028D.4030

【答案】D

10.（2022?北京一七一中高三期中）如圖，在棱長(zhǎng)為的正四面體ABCD中，點(diǎn)用、1、，分別

在棱AB、AC,AD1.,且平面旦G。〃平面BCD,A為△BCD內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐A-ACQ的體積為V,

設(shè)條■=無，對(duì)于函數(shù)V=/（x），貝I（）

2

A.當(dāng)x=］時(shí)，函數(shù)f（x）取到最大值

B.函數(shù)“X）在上是減函數(shù)

C.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱

D.存在%,使得（其中匕一88為四面體ABC。的體積）

【答案】A

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分.）

11.（2022?北京市第一六一中學(xué)高三期中）已知二項(xiàng)式,+J]（〃eN*）展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則〃的最

小值為?

【答案】6

12.（2022?北京通州?高三期中）已知矩形ABCD,AB=3,AD=4.P為矩形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，PA=1,

PC=276.則而屈=.

【答案】0

13.（2022.北京一^t一中高三期中）如果雙曲線的離心率則稱此雙曲線為黃金雙曲線.有以

2

22

下幾個(gè)命題:①雙曲線三-看=1是黃金雙曲線;②雙曲線V-=1是黃金雙曲線；③在雙曲線

二一當(dāng)=130,6>0）中，B為左焦點(diǎn)，42為右頂點(diǎn)，Bi（0,b）,若/、8加=90。，則該雙曲線是黃金雙

ab

22

曲線；④在雙曲線鼻-2=1（。>0,b>0）中，過右焦點(diǎn)仍作實(shí)軸的垂線交雙曲線于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)

ab

原點(diǎn)，若/MON=120。,則該雙曲線是黃金雙曲線.其中正確命題的序號(hào)為.

【答案】②③

14.（2022.北京市第五中學(xué)三模）已知函數(shù)〃%）="~2^~a，給出下列四個(gè)結(jié)論：

[―x—2x,x<a.

①存在實(shí)數(shù)4，使函數(shù)/（刈為奇函數(shù)；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)。，函數(shù)/（x）既無最大值也無最小值；

③對(duì)任意實(shí)數(shù)。和左，函數(shù)y=/（x）+/總存在零點(diǎn)；

④對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)加，總存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序

號(hào)是.

【答案】①②③④

15.（2022?北京豐臺(tái)?一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-4月60中，M,N分別是棱4與，42的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段CM上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①平面CMV截正方體4BCQ-AAGA所得的截面圖形是五邊形;

②直線8上到平面CMN的距離是叵；

2

③存在點(diǎn)P,使得4FR=90。；

@A尸。，面積的最小值是也.

6

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③

三、解答題（共6小愿，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）

16.（2022?北京?101中學(xué)三模）已知函數(shù)/（X）=cosx（2百sinx+cosx）—sin2%.

（I）求函數(shù)八X）的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

77

（II）若當(dāng)xe0,-時(shí)，關(guān)于x的不等式機(jī),求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全問題（II）,并求解.其中，①有解；②恒成立.

7171

【答案】（I）單調(diào)遞增區(qū)間為：-不+k兀三+k兀，keZ；T=TT；（II）答案見解析.

36_

【詳解】（I）解：因?yàn)椤▁）=cosx（2出sinx+cosx）-sin2x=2^3sinxcosx+cos2x-sin2x

=V3sin2x+cos2x=2sin（2x+?].

所以函數(shù)/（%）的最小正周期T=萬；

jrjr

因?yàn)楹瘮?shù)丁=5皿尢的單調(diào)增區(qū)間為一萬+2女環(huán)萬+2女乃,keZ,

TTTTTC

所以---F2k兀<2XH——<——F2kji,keZ,

262

JT-TT

解得---FkjrW%W—Fkji,kGZ,

36

所以函數(shù)“X）的單調(diào)增區(qū)間為-gk*+kT,ZeZ；

（n）解：若選擇①

由題意可知，不等式/（工經(jīng)機(jī)有解，即機(jī)（〃力111ax;

因?yàn)閤e[o,g],所以+

_2」666

故當(dāng)2x+g=g,即x=J時(shí)，〃尤）取得最大值，且最大值為=

626Vo7

所以加42；

若選擇②

由題意可知，不等式機(jī)恒成立，即加W/（x）niin.

因?yàn)閤e[0,g],所以+

2666

故當(dāng)2x+g=?,即x=g時(shí)，/（x）取得最小值，且最小值為/?。?-1.

662C

所以mW-1.

17.（2022?北京?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCO是平行四邊形，

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn)，PDLDC,PMLMD.

（1）證明：AB1PM；

（2）求直線AN與平面尸八暇所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）21.

6

【詳解】（1）在ADCW中，DC=1,CM=2,ZDCM=60°,由余弦定理可得OM=6，

所以￡>“2+。。2=32,;./）加1。。.由題意DC_LPD且PDcDM=O,.1OC，平面而PA/u平

面所以￡>C_LRS,5LAB//DC,所以AB_LPM.

（2）由PMJ_MD,AB_LPM,而AB與ZW相交，所以PM_L平面ABCD，因?yàn)锳M=,所以PM=2直，

取AD中點(diǎn)E,連接ME,則ME,QW,PM兩兩垂直，以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)

系，

則A（一瓜2,0）,尸（0,0,2五）,D（區(qū)0,0）,M（0,0,0）,C（有,-1,0）

又N為PC中點(diǎn)，所以N1#,-；,&也.

由（1）得CD_L平面尸DW,所以平面的一個(gè)法向量為=（04,0）

5

,八\AN-n\2岳

從而直線AN與平面PDM所成角的正弦值為sm0=南而=⑵25=~6~'

vT+Z+2

z

p

18.(2022.北京市第十中學(xué)高三期中)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意程度，從A地區(qū)道機(jī)抽取了400

名用戶，從3地區(qū)隨機(jī)抽取了100名用戶，請(qǐng)用戶根據(jù)滿意程度對(duì)該公司產(chǎn)品評(píng)分.該公司將收集到的數(shù)據(jù)

按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分組，繪制成評(píng)分頻率分布直方圖如下：

工地區(qū)6地區(qū)

(1)從A地區(qū)抽取的400名用戶中隨機(jī)選取一名，求這名用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分不低于60分的概率.

(2)從B地區(qū)抽取的100名用戶中隨機(jī)選取兩名，記這兩名用戶的評(píng)分不低于80分的個(gè)數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望.

(3)根據(jù)頻率分布直方圖，假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)A地區(qū)抽取的400名用戶

對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為4,8地區(qū)抽取的100名用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為〃2,以及A8

兩個(gè)地區(qū)抽取的500名用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為〃°,試比較〃。和叢詈的大小，并說明理由.

【答案】；

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望，

(3)4＞經(jīng)&，理由見解析

【詳解】(1)對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分不低于60分的頻率為(0.020+0.010)*20=0.6,由頻率估計(jì)概率可得對(duì)

該公司產(chǎn)品的評(píng)分不低于60分的概率為；

(2)由頻率分布直方圖可知，評(píng)分不低于80分的人數(shù)為0.005x20x100=10人；X的可能取值為0,1,2,

尸(X=0)=Z=^，尸(X=l)=^=［，尸3=2)=旨=%

所以分布列如下:

Joo11UJoo11joo

X012

8921

P

noTTTio

QQO11

則數(shù)學(xué)期望石(X)=Ox——+lx—+2x——=-；

V)110111105

(3)由頻率分布直方圖可得：A=30x0.005x20+50x0.015x20+70x0.020x20+90x0.010x20=64,

例=30x0.015x20+50x0.010x20+70x0.020x20+90x0.005x20=56,貝|J乂愛=60,

又A地區(qū)和8地區(qū)抽取用戶人數(shù)之比為4:1,A地區(qū)抽取用戶人數(shù)占總數(shù)的4,，3地區(qū)抽取用戶人數(shù)占總數(shù)

的~5,

故AB兩個(gè)地區(qū)抽取的500名用戶對(duì)該公司產(chǎn)品的評(píng)分的平均值為4=[4+[%=62.4，故例>"必.

22

19.(2022.北京師范大學(xué)第三附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè))橢圓C：=+.=l(a>b>0)的右頂點(diǎn)為8(2,0),離心

ab

率為;.

⑴求橢圓C的方程及短軸長(zhǎng)；

(2)已知：過定點(diǎn)42,3)作直線/交橢圓C于。，E兩點(diǎn)，過E作AB的平行線交直線。B于點(diǎn)F設(shè)EF中

點(diǎn)為G,直線BG與橢圓的另一點(diǎn)交點(diǎn)為若四邊形為平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo).

22_

【答案】⑴亍+5=1：26

13

(2)G(—

c

【詳解】(1)由題意可得4=2,e=￡=；1,所以c=l,

a2

HW=3,短軸長(zhǎng)2后

22

所以橢圓C的方程：工+匕=1；

43

(2)設(shè)直線4。的方程：y-3=k(x-2),即y=Ax+3-21,成占,％),

(y=kx+3—2k...

由:；/+4y-12=0'消去”整理得(3+4F)/+W(3—2QX+4(3-2Q2-12=°'

則A>0,

8k4-2k)4(3—2/y—12

所以±+9=一

3+4左2-3+492

y-0_x-2則>=追任鏟，所以砥/用竦),

則直線BD的方程:,令X=X],所以,

/一2x-2

,2一°，2-22

y2a1-2)(_玉%+-2(必+%)_2"1%2+◎-4左)(玉+工2)-4(3-2%)

*1

X2-2(X2-2)(X2-2)

2k(X1—2)(x2—2)+3(石+/)—12

二(X2-2)'

則直線BG的斜率

2k(x「2)(%-2)+3(%+X2)-12

%-0_%_2(%-2)

xG—0Xj—2Xj-2

2k(X1—2)(/—2)+3(石+%2)—12

:2但-2)(%-2)

=仁13(%+%)—12

2[匹12-2(再+%)+4]

,8%(3-2%)-

—J---------------1Z

=k+___________3+4F_____________

2P4(3-21)2-12+16%(3-2我+《

|_3+4/3+4k23_

,3x[-8左(3-2左)]-12(3+4左I

-2[4(3—24)2-12+16左(3—2左)]+4(3+442)]

,-72k+48/-36-48公1

2(36-48Z:+16fc2-12+48k-32k2+12+16fc2)2'

所以直線8G的斜率為所以直線BG的方程：y=-1x+l,

1,

V-X+1

因此」2',則/-》-2=0,解得無=2或X=-1,

3無2+4/-12=0

3

所以加(一1，5),

1313

當(dāng)為平行四邊形時(shí)，G為的中點(diǎn)，則Gig,；),所以G(e，；).

20.(2022?北京?北師大二附中三模)已知函數(shù)/(x)=e，(l+7〃lnx),其中〃>0,廣⑺為的導(dǎo)函數(shù).

⑴當(dāng)機(jī)=1,求〃x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)刈到=/華，且〃(同…；恒成立.

①求加的取值范圍；

②設(shè)函數(shù)“X)的零點(diǎn)為％,廣(X)的極小值點(diǎn)為X],求證：%>玉.

【答案】(l)y=2a-e

(2)①■1,+00];②詳見解析

⑴m=l時(shí)，"x)=e，(l+lnx),/'(x)=e(l+lnx+m，/”)=2e,〃l)=e,所以函數(shù)在x=l處的切線方程

y-e=2e(x—l),即y=2ex-e.

(2)①由題設(shè)知，f'(x)=ex\^+—+mInxj(x>0),

7/.f\x)[mi7，/、m(x-l).c、

h(x)=----=1H----1-minx,h(x)=------(x>0),

exxx

由”(x)>。，得％>1,所以函數(shù)0(%)在區(qū)間(L+oo)上是增函數(shù)；

由“。)>0,得0v尤vl,所以函數(shù)MX)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù).

故故工)在犬=1處取得最小值，且MD=I+“

由于/z(x)之15恒成立，所以15得機(jī)3

所以優(yōu)的取值范圍為5+°°)；

②設(shè)g。)=f\x)=e*[1+?+ndnx[,貝I]g'(x)=e"111+序一?+mlnxj.

、兒77/、i2mmi/八、

H(x)=1H-------+zzzlnx(<x>0),

xx

i-,,.2相9mrij1Tl\—2%+2)

貝皿(x)=-=+當(dāng)+竺=」_-——^>0，

XXXX

3

故函數(shù)H(x)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增，由(1)知，m>~,

2

所以"(1)=加+1>0,/7^=l-mln2<l-ln2^/2<0,

故存在Zeg,1),使得H(%)=0,

所以,當(dāng)。<x<々時(shí)，H(x)<0,g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)了時(shí),H(x)>0,gr(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

所以須是函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn).因此％=%，即玉小；」；

35—1

由①可知，當(dāng)機(jī)=不時(shí)，/z(x)>^,即必5,3]、5,整理得lnx+—21,

221+~+_lnxa：Z%

x22

所以根InxH——>m.

x

(、

mX1

因此g(%)?g(玉)=e*1+一+m\nx1>e(1+m)>0,即f\x)>0.

I再)

所以函數(shù)“X)在區(qū)間(0,+刈上單調(diào)遞增.

2mm

由于//(石)=0,即------Y+m^nxi=0,

,,m2m

即1+〃zIn玉=------

玉石

所以/(再)=爐(1+和nxj=ee~1產(chǎn)<0=/小).

再

又函數(shù)”尤)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增，所以%>網(wǎng).

21.(2022?北京房山?一模)若無窮數(shù)列滿足如下兩個(gè)條件，則稱｛6｝為無界數(shù)列:

①a”>0(n=l,2,3……)

②對(duì)任意的正數(shù)5,都存在正整數(shù)M使得?！?gt;"

⑴若?！?2〃+1,6“=2+cos⑺(?=1,2,3……),判斷數(shù)列{%},{0}是否是無界數(shù)列;

(2)若%=2〃+1,是否存在正整數(shù)也使得對(duì)于一切“2%,都有幺+&+…+&<〃T成立？若存在，求

“2434+1

出左的范圍；若不存在說明理由；

(3)若數(shù)列｛%｝是單