25.1 銳角的三角比的意義（第1課時(shí)）同步練習(xí)

25.1銳角的三角比的意義（第1課時(shí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）在Rt△ABC中，如果，那么表示的(

)A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切2．（2021·上海靜安·九年級(jí)期末）如果銳角的正切值為，那么下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）⊿ABC中，∠C=90°，下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．4．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，小雅家(圖中點(diǎn)O處)門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測(cè)量得知有一水塔(圖中點(diǎn)A處)在她家北偏東60度500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是()A．250m B．250m C．m D．250m二、填空題5．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）小明要測(cè)量公園里一棵古樹的高，被一條小溪擋住去路，采用計(jì)算方法，在點(diǎn)測(cè)得古樹頂?shù)难鼋菫?，向前走?00米到點(diǎn)，測(cè)得古樹頂?shù)难鼋菫?，則古樹的高度為________米．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值為_____．7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，∠C=90°，AB=13，AC=5，______．【能力提升】8．（2022·上海徐匯·九年級(jí)期末）如圖，在中，，CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．9．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知如圖，正方形ABCD的邊長為4，取AB邊上的中點(diǎn)E，連接CE，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，連接DF．過點(diǎn)A作AH⊥DF于點(diǎn)H，交CE于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則MN=_____．三、解答題10．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）矩形ABCD中，AB=AE=5，AD=3，求．11．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値．12．（2020·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）已知為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足（如圖所示）.聯(lián)結(jié)，當(dāng)，且點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)點(diǎn)之間的距離為，，其中表示的面積，表示的面積，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域.

25.1銳角的三角比的意義（第1課時(shí)）（解析版）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在Rt△ABC中，如果，那么表示的(

)A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切【答案】D【分析】根據(jù)余切的定義求解可得．【詳解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴cotA=，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正弦、余弦、正切、余切的定義．2．（2021·上海靜安·九年級(jí)期末）如果銳角的正切值為，那么下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用30度角和45度角的正切值與角的正切值比較，即可得到答案．【詳解】∵，，而，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查各角的正切值，實(shí)數(shù)的平方運(yùn)算，實(shí)數(shù)的大小比較，熟記各角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）⊿ABC中，∠C=90°，下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以解決．【詳解】解：如圖所示，Rt△ABC中，設(shè)AC=b，BC=a，AB=c．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：A、∵tanA=，cotA=，，∴，故成立；B、∵tanA=，cotB=，，∴，故不成立；C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立；D、∵cotA=，tanB=，∴，故不成立；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中兩銳角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合圖形容易求解．4．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，小雅家(圖中點(diǎn)O處)門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測(cè)量得知有一水塔(圖中點(diǎn)A處)在她家北偏東60度500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是()A．250m B．250m C．m D．250m【答案】A【詳解】解：由已知得：∠AOB=30°，OA=500m．則AB=OA=250m．故選A．二、填空題5．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）小明要測(cè)量公園里一棵古樹的高，被一條小溪擋住去路，采用計(jì)算方法，在點(diǎn)測(cè)得古樹頂?shù)难鼋菫?，向前走?00米到點(diǎn)，測(cè)得古樹頂?shù)难鼋菫?，則古樹的高度為________米．【答案】【分析】由正切的定義分別確定的表達(dá)式，進(jìn)而聯(lián)立成方程組，求解方程組即可得到答案．【詳解】解：如圖，CD為樹高，點(diǎn)C為樹頂，則，BD=AD-100∴依題意，有由①得將③代入②，解得故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正切的定義，二元一次方程組得應(yīng)用，能依題意根據(jù)正切的定義列出方程組是解題的關(guān)鍵．6．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值為_____．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義直接解答．【詳解】解：如圖：∵在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tanA＝＝．故答案為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)定義，正確把握其定義是解題關(guān)鍵．7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，∠C=90°，AB=13，AC=5，______．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，再利用余切公式．【詳解】解：中，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及余切定理，掌握這兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．【能力提升】8．（2022·上海徐匯·九年級(jí)期末）如圖，在中，，CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，的余角相等即可判斷A，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，可得，則，即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)A選項(xiàng)可得，即，即可判斷C，根據(jù)，可得，，即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，，故B選項(xiàng)不正確，符合題意；，即，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；，即，又故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線，高線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)，找出圖中相等的角是解題的關(guān)鍵．9．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知如圖，正方形ABCD的邊長為4，取AB邊上的中點(diǎn)E，連接CE，過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F，連接DF．過點(diǎn)A作AH⊥DF于點(diǎn)H，交CE于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則MN=_____．【答案】1【分析】如圖，延長DF交AB于P．首先證明EF：CF=1：4，由△ADP≌△BAN，推出BN=AP，DP=AN，由PE∥DC，推出PE：DC=EF：CF=1：4，推出PE=BP=1，再證明∠NCM=∠NMC即可解決問題；【詳解】解：如圖，延長DF交AB于P．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠ABN=∠DAP=90°，∵AN⊥DP，∴∠APD+∠PAH=90°，∠ANB+∠PAH=90°，∴∠APD=∠ANB，∴△ADP≌△BAN，∴AN=DP，BN=AP，∵BF⊥EC，∴∠EBF+∠BEF=90°，∠BCE+∠BEC=90°，∴∠EBF=∠BCE，∴tan∠EBF=tan∠BCE=，∵AB=BC，BE=AE，∴tan∠EBF=tan∠BCE=，設(shè)EF=a，則BF=2a，CF=4a，∵PE∥DC，∴∵CD=4，∴PE=1，∵BE=2，∴PE=PB=1，∴PF=BE=1，AP=3，在Rt△ADP中，DP=∴DF=4，BN=AP=3，CN=1，∴BC=DF，∴∠DFC=∠DCF，∵∠BCE+∠DCF=90°，∠FMH+∠DFC=90°，∠FMH=∠NMC，∴∠NCM=∠NMC，∴MN=CN=1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題掌握的壓軸題．三、解答題10．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）矩形ABCD中，AB=AE=5，AD=3，求．【答案】3【分析】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，則四邊形EFBC為矩形，且在直角△AEF中，由勾股定理求得AF的長度，繼而得到BF的長度，由等腰△ABF的性質(zhì)推知tan∠AEB=tan∠ABE=，得解．【詳解】∵矩形ABCD∴DC∥AB，AD=BC，DC=AB，∠D=∠C=90°，∴∠ABE=∠CEB，∵AB=AE=5，AD=3∴∠ABE=∠AEB，由勾股定理得DE==4∴CE=DC-DE=5-4=1∴【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)定義．11．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値．【答案】2；2【分析】根據(jù)銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊，余切等于鄰邊比對(duì)邊即可解答．【詳解】解：∵⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.∴，．即=2，=2．【點(diǎn)睛】本題考了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊，余切為鄰邊比對(duì)邊是解題關(guān)鍵．12．（2020·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足（如圖所示）.聯(lián)結(jié)，當(dāng)，且點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)點(diǎn)之間的距離為，，其中表示的面積，表示的面積，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域.【答案】【分析】方法一：過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，首先證明四邊形PEBF是矩形，進(jìn)而得出，然后根據(jù)平行線分線段成比例得出，則有，然后分別表示出和，求比值即可找到答案；方法二：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，首先利用勾股定理求出AD的長度，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出QH，CM，然后分別找到和與的關(guān)系，從而答案可解