專項(xiàng)24-正多邊形與圓-重難點(diǎn)題型

正多邊形與圓-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1正多邊形與圓】（1）正多邊形的有關(guān)計(jì)算中心角邊心距周長(zhǎng)面積為邊數(shù)；為邊心距；為半徑；為邊長(zhǎng)（2）正多邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，每個(gè)外角度數(shù)為【題型1正多邊形與圓（求長(zhǎng)度問(wèn)題）】【例1】（寧德模擬）已知四個(gè)正六邊形如圖擺放在圓中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個(gè)大正六邊形的邊長(zhǎng)均為2，則小正六邊形的邊長(zhǎng)是（）A．3?3 B．23?12 C．【變式1-1】（皇姑區(qū)校級(jí)月考）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OC＝4，OG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，則正六邊形的中心角＝，邊長(zhǎng)＝，邊心距＝．【變式1-2】（曲江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，若AC＝4，則點(diǎn)O到AC的距離為．【變式1-3】（西城區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O外接于正方形ABCD，P為弧AD上一點(diǎn)，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)和PB的長(zhǎng)．【題型2正多邊形與圓（求角度問(wèn)題）】【例2】（山西模擬）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，點(diǎn)M，N，F(xiàn)分別是邊AE，AB，CD與⊙O的切點(diǎn)，則∠MFN的度數(shù)為．【變式2-1】（韓城市模擬）兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正五邊形如圖所示放置，則∠α的度數(shù)為．【變式2-2】（碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CE與BF交于點(diǎn)G，則∠CGF＝．【變式2-3】（墾利區(qū)期中）七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長(zhǎng)廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：（1）如圖1，等邊三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點(diǎn)M、N，使BM＝AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN＝CM，且∠NOC＝60°，試說(shuō)明：∠NOC＝60°．（2）如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM＝BN，連接AN、DM，那么∠DON＝度，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM＝BN，連接AN、EM，那么AN＝，且∠EON＝度．（正n邊形內(nèi)角和（n﹣2）×180°，正多邊形各內(nèi)角相等）【題型3正多邊形與圓（求面積問(wèn)題）】【例3】（橋東區(qū)二模）閱讀圖中的材料，解答下面的問(wèn)題：已知⊙O是一個(gè)正十二邊形的外接圓，該正十二邊形的半徑為1，如果用它的面積來(lái)近似估計(jì)⊙O的面積，則⊙O的面積約是（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．π【變式3-1】（資中縣一模）已知⊙O的面積為4π，則⊙O的內(nèi)接正六邊形的面積是．【變式3-2】（崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，正八邊形ABCDEFGH的外接圓⊙O的半徑為2，則正八邊形的面積．【變式3-3】（武漢期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，CE．（1）求證：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．【題型4正多邊形和圓（規(guī)律問(wèn)題）】【例4】（德陽(yáng)）如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（?32，?3） B．（32，?332） C．（?3，【變式4-1】（普寧市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)i個(gè)45°，得到正六邊形OAiBi?iDiEi，則正六邊形OAiBi?iDiEi（i＝4）的頂點(diǎn)?i的坐標(biāo)是（）A．（1，?3） B．（1，3） C．（1，﹣2） 【變式4-2】（興國(guó)縣期末）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n＝2020時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，23） B．（﹣2，﹣23） C．（2，﹣23） D．（2，23）【變式4-3】（宜春一模）如圖，點(diǎn)O為正六邊形的中心，P、Q分別從點(diǎn)A（﹣1，0）同時(shí)出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2021次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．(?12，32)

正多邊形與圓-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1正多邊形與圓】（1）正多邊形的有關(guān)計(jì)算中心角邊心距周長(zhǎng)面積為邊數(shù)；為邊心距；為半徑；為邊長(zhǎng)（2）正多邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，每個(gè)外角度數(shù)為【題型1正多邊形與圓（求長(zhǎng)度問(wèn)題）】【例1】（寧德模擬）已知四個(gè)正六邊形如圖擺放在圓中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個(gè)大正六邊形的邊長(zhǎng)均為2，則小正六邊形的邊長(zhǎng)是（）A．3?3 B．23?12 C．【分析】在邊長(zhǎng)為2的大正六邊形中，根據(jù)正六邊形和圓的性質(zhì)可求出ON和半徑OD，進(jìn)而得出小正六邊形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離MF，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出半徑GF，即邊長(zhǎng)FH即可．【解答】解：連接AD交PM于O，則點(diǎn)O是圓心，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥DE于N，連接MF，取MF的中點(diǎn)G，連接GH，GQ，由對(duì)稱性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，由正六邊形的性質(zhì)可得ON＝23，∴OD=DN∴MF=13由正六邊形的性質(zhì)可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，∴FH=12MF故選：D．【變式1-1】（皇姑區(qū)校級(jí)月考）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，半徑OC＝4，OG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，則正六邊形的中心角＝60°，邊長(zhǎng)＝4，邊心距＝23．【分析】由正六邊形的性質(zhì)得∠COD=360°6=60°，再證△OCD是等邊三角形，得BC＝CD＝OC【解答】解：在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，∠COD=360°∵OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∴BC＝CD＝OC＝4，∵OG⊥BC，∴CG=12∵∠COG=12∠∴OG=3CG＝23故答案為：60°，4，23．【變式1-2】（曲江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，若AC＝4，則點(diǎn)O到AC的距離為2．【分析】連接OB交AC于M，根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)得到∠AOB＝∠BOC＝45°，AB＝BC，由垂徑定理可求得AM，得到OM⊥AC，在等腰Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理求出OA，在等腰Rt△AOM中，根據(jù)勾股定理求出OM，即為點(diǎn)O到AC距離為2．【解答】解：連接OB交AC于M，∵正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，∴∠AOB＝∠BOC=360°8=45°，AB∴AB=BC，∠∴AM＝CM=12AC＝2，OM⊥∵OA＝OC，∠OAM＝∠OCA=12（180°﹣∠∴∠OAM＝∠AOB，∴AM＝OM，在Rt△AOC中，∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，∴2OA2＝AC2＝42＝16，∴OA＝22，在Rt△AOM中，∵OM2+AM2＝OA2，∴2OM2＝（22）2，∴OM＝2，∴點(diǎn)O到AC距離為2，故答案為：2．【變式1-3】（西城區(qū)校級(jí)月考）如圖，⊙O外接于正方形ABCD，P為弧AD上一點(diǎn)，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)和PB的長(zhǎng)．【分析】連接AC，作AE⊥PB于E，由正方形的性質(zhì)得出AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，由圓周角定理得出AC是⊙O的直徑，△ABC是等腰直角三角形，得出∠APC＝90°，AC=2AB，由勾股定理得出AC=AP2+PC2=10，得出AB=5，由圓周角定理得出∠APB＝∠ACB＝45°，證出△APE是等腰直角三角形，得出PE＝【解答】解：連接AC，作AE⊥PB于E，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，∴AC是⊙O的直徑，△ABC是等腰直角三角形，∴∠APC＝90°，AC=2AB∴AC=A∴AB=AC∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，∴△APE是等腰直角三角形，∴PE＝AE=22AP∴BE=A∴PB＝PE+BE=22+【題型2正多邊形與圓（求角度問(wèn)題）】【例2】（山西模擬）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的內(nèi)切圓，點(diǎn)M，N，F(xiàn)分別是邊AE，AB，CD與⊙O的切點(diǎn)，則∠MFN的度數(shù)為36°．【分析】如圖，連接OM，ON．求出∠MON，再利用圓周角定理求解即可．【解答】解：如圖，連接OM，ON．∵M(jìn)，N，F(xiàn)分別是AE，AB，CD與⊙O的切點(diǎn)，∴OM⊥AE，ON⊥AB，∴∠OMA＝∠ONA＝90°，∵∠A＝108°，∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，∴∠MFN=12∠故答案為：36．【變式2-1】（韓城市模擬）兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正五邊形如圖所示放置，則∠α的度數(shù)為108°．【分析】首先求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，然后求得外角的度數(shù)，從而求得答案即可．【解答】解：正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)為：(5?2)×180°5∴∠ABC＝∠BCD＝∠GBE＝∠BEF＝108°，∴∠BCE＝∠BEC＝180°﹣108°＝72°，∴∠CBE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠α＝360°﹣108°﹣108°﹣36°＝108°，故答案為：108°．【變式2-2】（碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CE與BF交于點(diǎn)G，則∠CGF＝126°．【分析】連接BE，BD，求出∠DEC＝36°，∠BFE＝90°可得結(jié)論．【解答】解：連接BE，BD，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，∴∠DCE＝∠DEC＝36°，∵BE＝BD，DF＝EF，∴BF⊥DE，∴∠BFE＝90°，∴∠BFG＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，故答案為：126．【變式2-3】（墾利區(qū)期中）七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長(zhǎng)廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：（1）如圖1，等邊三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點(diǎn)M、N，使BM＝AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN＝CM，且∠NOC＝60°，試說(shuō)明：∠NOC＝60°．（2）如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM＝BN，連接AN、DM，那么∠DON＝90度，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點(diǎn)M、N，使AM＝BN，連接AN、EM，那么AN＝EM，且∠EON＝108度．（正n邊形內(nèi)角和（n﹣2）×180°，正多邊形各內(nèi)角相等）【分析】（1）利用△ABC是正三角形，可得∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，又因BM＝AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN＝∠BCM，所以∠NOC＝∠BCM+∠OBC＝∠ABN+∠OBC＝60°；（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN＝DM，∠DON＝90°；（3）同（1），利用三角形全等可知在正五邊形中，AN＝EM，∠EON＝108°．【解答】（1）證明：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，在△ABN和△BCM中，AB=BC∠A=∠ABC∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠ABN＝∠BCM，又∵∠ABN+∠OBC＝60°，∴∠BCM+∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，又∵∠ADM+∠AMD＝90°，∴∠BAN+∠AMD＝90°∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；（3）解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠A＝∠B，AB＝AE，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△EAM（SAS），∴AN＝ME，∴∠AEM＝∠BAN，∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．故答案為：90°，EM，108°．【題型3正多邊形與圓（求面積問(wèn)題）】【例3】（橋東區(qū)二模）閱讀圖中的材料，解答下面的問(wèn)題：已知⊙O是一個(gè)正十二邊形的外接圓，該正十二邊形的半徑為1，如果用它的面積來(lái)近似估計(jì)⊙O的面積，則⊙O的面積約是（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．π【分析】設(shè)AB為正十二邊形的邊，連接OB，過(guò)A作AD⊥OB于D，由正十二邊形的性質(zhì)得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出AD=12OA=12，求出△AOB的面積=1【解答】解：設(shè)AB為正十二邊形的邊，連接OB，過(guò)A作AD⊥OB于D，如圖所示：∴∠AOB=360°∵AD⊥OB，∴AD=12OA∴△AOB的面積=12OB×AD=1∴正十二邊形的面積＝12×1∴⊙O的面積≈正十二邊形的面積＝3，故選：A．【變式3-1】（資中縣一模）已知⊙O的面積為4π，則⊙O的內(nèi)接正六邊形的面積是63．【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，先求出⊙O的半徑，又由圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：∵⊙O的面積為4π，∴⊙O的半徑為2，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，∴AH=12∵∠AOB=16×360°＝60°，OA∴△OAB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2，∴AH=12∴OH=3AH=∴S正六邊形ABCDEF＝6S△OAB＝6×12×2×故答案為：63．【變式3-2】（崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，正八邊形ABCDEFGH的外接圓⊙O的半徑為2，則正八邊形的面積82．【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出AO＝BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝45°，進(jìn)而得出AC的長(zhǎng)，即可得出S四邊形AOCB的面積，進(jìn)而得出答案．【解答】解：連接AO，BO，CO，AC，∵正八邊形ABCDEFGH的外接圓O半徑為2，∴AO＝BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC=360°∴∠AOC＝90°，∴AC＝22，此時(shí)AC與BO垂直，∴S四邊形AOCB=12×BO×AC=12∴正八邊形面積為：22×4＝82故答案為：82．【變式3-3】（武漢期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，CE．（1）求證：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．【分析】（1）欲證明AE＝DE，只要證明AE=（2）連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長(zhǎng)線于F．證明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四邊形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求出DE，即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB=∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=∴AE=∴AE＝DE．（2）解：連接BD，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長(zhǎng)線于F．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，∵∠EDF＝90°，∴∠F＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝DF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF∠AED=∠F∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四邊形AECD＝S△DEF，∵EF=2DE＝EC+DE，EC∴1+DE=2DE∴DE=2∴S△DEF=12DE2【題型4正多邊形和圓（規(guī)律問(wèn)題）】【例4】（德陽(yáng)）如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（?32，?3） B．（32，?332） C．（?3，【分析】如圖，連接AD，BD．首先確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)6次一個(gè)循環(huán)，由2025÷6＝337???3，推出經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的D3的坐標(biāo)相同，由此即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，連接AD，BD．在正六邊形ABCDEF中，AB＝1，AD＝2，∠ABD＝90°，∴BD=A在Rt△AOF中，AF＝1，∠OAF＝60°，∴∠OFA＝30°，∴OA=12AF∴OB＝OA+AB=3∴D（32，3∵將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，∴6次一個(gè)循環(huán)，∵2025÷6＝337……3，∴經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的D3的坐標(biāo)相同，∵D與D3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴D3（?32，∴經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（?32，故選：A．【變式4-1】（普寧市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)i個(gè)45°，得到正六邊形OAiBi?iDiEi，則正六邊形OAiBi?iDiEi（i＝4）的頂點(diǎn)?i的坐標(biāo)是（）A．（1，?3） B．（1，3） C．（1，﹣2） 【分析】由于正六邊形旋轉(zhuǎn)4次，每次轉(zhuǎn)45°，所以點(diǎn)C與C4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可以直接把的C4坐標(biāo)寫出來(lái)．【解答】解：∵正六邊形旋轉(zhuǎn)4次，即45°×4＝180°，∴點(diǎn)C與C4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵C的坐標(biāo)為（﹣1，3），∴C4的坐標(biāo)為（1，?3故選：A．【變式4-2】（興國(guó)縣期末）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n